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3.2 双曲线的简单几何性质
【学习目标】
1.根据双曲线的标准方程，能够用代数方法研究出双曲线的简单几何性质；
2.能够根据双曲线的简单几何性质求双曲线方程.
【学习重点】
代数方法研究双曲线的简单几何性质并求双曲线方程.
【学习难点】
渐近线的发现.
【学习过程】
课本121页—123页，结合以下问题，在课本上圈画关键知识.
问题1：类比椭圆的几何性质的研究方法你认为应研究双曲线(a>0,b>0)的哪些性质
如何研究这些性质
【活动1】双曲线的简单几何性质
标准方程 (a>0，b>0) (a>0，b>0)
图形
性 质 范围
对称性 对称轴： 对称中心：
顶点坐标
实轴和虚轴 线段叫做双曲线的实轴； 线段叫做双曲线的虚轴
焦点
焦距
渐近线
离心率
问题2：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？
问题3：什么叫等轴双曲线？等轴的双曲线的渐近线方程和离心率分别是什么？
<学以致用1>
1.求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐进线方程．
【活动2】由双曲线的几何性质求方程
<学以致用2>
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1）顶点在x轴上，两顶点间的距离是8,
(2）焦点在 y 轴上，焦距是16,
对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是（一6,0)，求双曲线的标准方程和渐近线方程.
【活动3】直线与双曲线位置关系的判断
例1 已知已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数k的取值范围．
（1）直线l与双曲线有两个公共点;
（2）直线l与双曲线有且只有一个公共点;
（3）直线l与双曲线没有公共点．
<学以致用1> 已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k的值．
【活动4】弦长问题
例2 如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|.
【活动5】中点弦问题
例3 已知双曲线的方程为x2－＝1．是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程，如果不存在，请说明理由．
<学以致用2> 过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为
【活动6】双曲线有关的实际应用问题
例1 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高为55m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).
【活动7】会求双曲线有关的轨迹方程
例2 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定直线l：的距离的比是常数，求动点M的轨迹.
<学以致用1> 已知A，B两点的坐标分别是(-6,0)，(6,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状.
二、续学习
如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点.线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，并求出曲线方程.
设动点M与定点F(c，0)（c>0）的距离和M到定直线l：的距离的比是（a课后作业
1．双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)
A．3x±4y＝0 B．4x±3y＝0
C．9x±16y＝0 D．16x±9y＝0
2．双曲线－ ＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)
A．2 B．2 C. D．1
3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　)
A．－ B．－4 C．4 D.
4. 已知下列双曲线的方程，求它的焦点坐标、离心率和渐近线方程：
5. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，实轴长是10，虚轴长是8;
(2)焦点在 y 轴上，焦距是10，虚轴长是8;
(3)离心率 e =，经过点 M (-5,3).
(4)渐近线方程是 ，虚轴长为4.
求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程.
7.设动点M与定点 F ( c ,0)( c >0）的距离和 M到定直线：的距离的比是, 求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
※8. M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂足 B位于第四象限，若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程
※9.设椭圆与双曲线的离心率分别为 ，双曲线的斜率小于，求的取值范围.
加强练习1
过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
求下列直线和双曲线的交点坐标：
3. 已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
4. 直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-9，求离心率e.
已知双曲线，过点P(1，1)的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？
已知直线l：x+y=1与双曲线C：
若，求l与C相交所得的弦长;
若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围.
7.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．
（1）求双曲线方程；
（2）若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
（3）在（2）的条件下，求△F1MF2的面积．
加强练习2
如图所示，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A地的距离比到B地的距离远2 km．现要在河岸PQ上选一处M建码头，向B，C两地转运货物．经测算，修建公路的费用是a万元/km，求修建这两条公路的最低总费用．
已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为.
求双曲线C的方程;
若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为坐标原点），求实数k的取值范围.
设A，B为双曲线上的两点，线段AB的中点为M(1，2). 求：
直线AB的方程;
OAB的面积（O为坐标原点）
4.已知双曲线与直线l：
有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于A(x，0)，B(0，y)两点. 当点M运动时，求点P(x，y)的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？

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