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【知识剖析】
本讲主要是研究在两个人的游戏过程中如何使自己取胜的策略问题，因而在考虑问题时需要设想对手可能采取的各种方案，并使己方的策略能在对手所有可能采取的方案中都处于有利位置，即“必胜状态”，那么在既定游戏规则下，是否存在“必胜状态”以及为了达到“必胜状态”所采取的的策略就成了问题的关键。需要强调的是，这里的目标是“必胜”，而不是“可能胜”。
在一定能分出胜负的策略问题中，一方要么处于必胜状态，要么处于必败状态。处于必胜状态的一方，总能进行一些适当的操作，把必败状态留给对手。反之，处于必败状态的一方，无论采取什么策略，都只能把必胜状态留给对手。在很多对策问题中，具有对称性的状态往往是解决问题的关键。
游戏策略解题思路：
一、取余制胜（取棋子、报数游戏）
1.每次取1——n个棋子，总数，取最后一个赢。策略：总数÷(1＋n)。
有余则先，拿掉余数，之后总与对手凑成1＋n即可；无余则后，总与对手凑成1＋n即既。
2.每次取1——n个棋子，总数，取最后一个输。策略：最狠的做法就是留给对方一枚棋子，对方不取也得取。所以想赢的关键就在于能不能取到倒数第二枚棋子。
问题转化为：每次取1——n个棋子，总数，取倒数第二枚棋子赢。（总数－1）÷（1＋n）， 之后同1中做法。
二、抢占制胜点(倒推法)
1.能一步到棋子的位置均是不能走的地方即负位。
2.处处为别人着想。自己不能走的地方逼别人走进去即可，即确定制胜点。
三、对称法
1.同等情况下，模仿对方步骤可以达到制胜目的。
2.不同等情况下，创造对等局面方可制胜。
【基础巩固】
1．桌子上放着50根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？
2．有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取1枚，最多取3枚，以取走最后一枚棋子者为胜者．如果甲先取，那么谁有必胜策略？如果取走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么谁有必胜策略？
3．有一种游戏称作“抢三十”，游戏规则是两人轮流报数，每人每次至少报1个数，最多报4个数，从1到30按顺序连续报数，谁先报到30，谁就获胜，请给出取胜的方法。（写出过程）
4．现有2008根火柴，甲、乙两个人轮流从中取出火柴，每次最少从中取出2根，最多取出4根，谁无法再次取出火柴谁就赢。如果甲先取，请问谁有必胜的策略？
5．1111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7个格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？
6．甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可，规定取到最后一个球的人赢，现在甲先取球．
（1）如果开始时两堆球数分别是两个和两个，那么谁有必胜策略？请说明理由；
（2）如果开始时两堆球数分别是两个和三个，那么谁有必胜策略？请说明理由；
（3）如果开始时两堆球数分别是五个和八个，那么谁有必胜策略？请说明理由．
7．有两堆火柴，一堆35根，另一堆24根．两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取．规定取得最后一根者为胜者。如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？
8．把一枚棋子放在图中左下角的方格内，甲、乙两人玩这样一个游戏：双方轮流移动棋子，只能向上、向右或者向右上方沿45°角移动，一次可以移动任意多格．谁把棋子移到了右上角的方格中即为输，试问：如果甲先走，是否有必胜的策略，为什么？
【勇攀高峰】
9．如图，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：谁有必胜策略，策略是什么？如果每次允许往同一方向（上、右或右上）走任意多步，结果又如何呢？
10．桌上有一块巧克力，它被直线划分成3行7列的21个小方块，如图．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：
①每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；
②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；
③谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜．
如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．甲必胜
【分析】获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1，2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根……由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜。
【详解】3＋1＝4（根）
50÷4＝12……2
所以只要甲第一次取走2根，剩下48根火柴是4的倍数，以后甲总留给乙4的倍数根火柴，甲必胜。
答：甲必胜。
【点睛】本题考查的是必胜策略的问题，对于题目给出了先手是甲，所以关键是考虑如何操作。
2．甲
【详解】试题分析：①通过分析可知，因为每人每次可取1根2根或3根，所以只要甲先拿3根，乙无论再是拿1根、2根还是3根，甲再拿时，拿的根数和乙的根数和起来是4，则保证甲获胜．
②因为1+1=2，1+2=3，1+3=4，2，3，4都是12的因数，只要甲总是取一个，无论乙怎么取，最后一个一定是乙取的，所以甲必胜．
解：①因为，12÷4=3，
所以，甲先拿3根，乙如果拿1根，甲就拿3根；乙如果拿2根，甲就拿2根；乙如果拿3根，甲就拿1根；
即甲再拿时拿的根数和乙的根数和起来是4，
所以，甲一定取到最后一枚棋子而获胜．
②因为1+1=2，1+2=3，1+3=4，
而2，3，4都是12的因数，
只要甲总是取一个，无论乙怎么取，最后一个一定是乙取的，所以甲必胜．
点评：本题属于典型的不会输的游戏，即如果所给的数除以4，有余数，先取余数，再与对方取的个数和是4，即可获胜，如果没有余数，就让对方先取，自己再取时与对方取的个数和是4，自己一定获胜．
3．见详解
【分析】因为每次至少报1个数，最多报4个数，那么可以根据对手报数的情况，使得每一轮报数的和都是5，而30恰好是5的倍数，6轮游戏结束。
【详解】后报的获胜，根据对方报了几个数，自己报的和对方加起来是5就可以了，这样就一定能保证最后剩下5个数，由于对方最多只能报4个数，所以就能获胜了。
【点睛】本题考查的是必胜策略的问题，首选要判断先手还是后手，然后再确定具体的获胜策略。
4．甲
【分析】因每次最少拿2，最多拿4，所以两人每次最多只能取2＋4＝6，2008÷6＝334（次）……4（个），只要甲先取4个，然后再看乙每次取几个，只要每次与乙所取火柴数的和是6，甲就能取胜。
【详解】2008÷（2＋4）
＝2008÷6
＝334（次）……4（个）
只要甲先取4根，然后再看看乙每次取几根，只要每次与乙所取火柴数之和是6，甲就能取胜。
【点睛】本题的关键是根据题意先求出两人一次最多取几根，再除总根数，然后取余数，再让两人每次取的和是两人一次拿的最多的个数即可获胜。
5．5格
【分析】一开始棋子已占一格，棋子的右面有1110个空格，由于每次移动1~7个格，那么只要甲始终留给乙8的倍数加1格，就可获胜。
【详解】1111－1＝1110（个）
1＋7＝8
所以甲第一步必须移5格，还剩下1105格，1105是8的倍数加1.以后无论以移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是8，甲就必胜。
答：第一步必须移5格。
【点睛】本题考查的是必胜策略的问题，对于必胜策略的问题，首先要判断先后手，然后判断如何进行操作。
6．（1）如果甲先拿其中一堆的一个，乙拿另一堆的一个，无论甲怎么拿，乙一定胜；如果甲拿走一堆，那么乙就拿另一堆，所以还是乙胜利；
（2）甲先从3个一堆中拿2个，无论乙怎么拿，甲必胜；
（3）甲先拿其中一堆，把那一堆拿得只剩下一个；如果乙把这一个拿走，那再把另一堆拿得只剩下一个就好了；如果乙把另一堆拿得只剩下一个，那乙可以说无论如何也赢不了了．如果乙把另一堆拿走了一部分又没有全拿，甲把另一堆全拿走就可以了．
【详解】试题分析：（1）如果甲先拿其中一堆的一个，乙拿另一堆的一个，无论甲怎么拿，乙一定胜；
如果甲拿走一堆，那么乙就拿另一堆，所以还是乙胜利；
（2）（3）其中一堆，把那一堆拿得只剩下一个；如果乙把这一个拿走，那再把另一堆拿得只剩下一个就好了；如果乙把另一堆拿得只剩下一个，那乙可以说无论如何也赢不了了．如果乙把另一堆拿走了一部分又没有全拿，甲把另一堆全拿走就可以了．
解：（1）如果甲先拿其中一堆的一个，乙拿另一堆的一个，无论甲怎么拿，乙一定胜；
如果甲拿走一堆，那么乙就拿另一堆，所以还是乙胜利；
（2）甲先从3个一堆中拿2个，无论乙怎么拿，甲必胜；
（3）甲先拿其中一堆，把那一堆拿得只剩下一个；如果乙把这一个拿走，那再把另一堆拿得只剩下一个就好了；如果乙把另一堆拿得只剩下一个，那乙可以说无论如何也赢不了了．如果乙把另一堆拿走了一部分又没有全拿，甲把另一堆全拿走就可以了．
点评：关键是明确规定拿到最后一个球的人为输，所以甲先拿时要充分考虑这个条件．
7．见详解
【分析】先取者在35根一堆的火柴中取11根火柴，使得取后剩下两堆的火柴数相同。以后无轮对手在某一堆取几根火柴，你只需在另一堆也取同样多根的火柴只要对手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是说，最后一根火柴总会被你拿到。这样先取者胜。
【详解】答：如果都采用最佳方法，先取者将获胜。
【点睛】此题主要考查学生对可能性的理解与应用。
8．甲首先走1格，乙直接到达最上端红格，甲不得不走到顶点；甲若首先走2格，则乙直接到达第2个红格，甲只能到达它旁边的三个格，然后乙到达第一个红格，甲不得不输；依此类推，只要乙跟在甲的后面控制这5个点，乙一定获胜．
【详解】试题分析：根据游戏规则，谁首先把棋子移到了右上角方格的下一个格，则另一人必须把棋子移到了右上角的方格中即为输，所以如果甲先走，则乙有必胜的策略．如下图所示，甲首先走，则乙跟着只要首先到达下面的五个点，无论怎么走甲都不可能一步到达右上角方格的下一个格，乙即可获胜．
解：甲首先走1格，乙直接到达最上端红格，甲不得不走到顶点；甲若首先走2格，则乙直接到达第2个红格，甲只能到达它旁边的三个格，然后乙到达第一个红格，甲不得不输；依此类推，只要乙跟在甲的后面控制这5个点，乙一定获胜．
点评：甲首先移动，乙跟在后面有选择权，6步后，乙向上同样控制5个红格，乙必胜．
9．甲有必胜的策略：从A到B，向右方向要走10步，向上走也要走10步，不论两人每次走1步还是走2步，不论每次是向上还是向右走，两人走的总步数一定是20步．而20÷3=6（组）…2（步），所以甲只要先走2步，然后将剩下的18步分成6个3步，当乙走1步时，甲走2步，当乙走2步时，甲走1步，从而在每个3步中，甲总能把握主动让乙先走，抢到每组的最后1步，照此走下去甲必胜．
【详解】试题分析：通过分析可知，从A到B，向右方向要走10步，向上走也要走10步，不论两人每次走1步还是走2步，不论每次是向上还是向右走，两人走的总步数一定是20步．而20÷3=6（组）…2（步），所以甲只要先走2步，然后将剩下的18步分成6个3步，当乙走1步时，甲走2步，当乙走2步时，甲走1步，从而在每个3步中，甲总能把握主动让乙先走，抢到每组的最后1步，照此走下去甲必胜，据此解答即可．
解：甲有必胜的策略：从A到B，向右方向要走10步，向上走也要走10步，不论两人每次走1步还是走2步，不论每次是向上还是向右走，两人走的总步数一定是20步．而20÷3=6（组）…2（步），所以甲只要先走2步，然后将剩下的18步分成6个3步，当乙走1步时，甲走2步，当乙走2步时，甲走1步，从而在每个3步中，甲总能把握主动让乙先走，抢到每组的最后1步，照此走下去甲必胜．
点评：此题属于游戏中取胜的策略问题，解答此题的关键是甲若想必胜，走完第一次后剩下的步数必须是3的倍数，甲先走，因而甲把握主动，从而有必胜的策略．
10．甲可以永远获胜的策略是：每次将巧克力变为正方形的．
因为：巧克力是一长条，（如1×7的），显然，甲胜．因为他可以将7力掰掉6，留下1格．
如果巧克力的分格是2×2的，那么先取的人就无法取胜了．因为无论他怎样掰，只能留下1×2格的巧克力．
如果巧克力是2×2格的，乙胜．
如果巧克力是2×C格的（C不是2），那么甲胜．
可以发现：如果巧克力是正方形A×A格的，后取者胜；如果巧克力不是正方形的，则先取者胜．
所以甲可以永远获胜的策略是：每次将巧克力变为正方形的．
【详解】试题分析：如果巧克力是一长条，（如1×7的），显然，甲胜．因为他可以将7力掰掉6，留下1格．如果巧克力的分格是2×2的，那么先取的人就无法取胜了．因为无论他怎样掰，只能留下1×2格的巧克力．总结一下，如果巧克力是2×2格的，乙胜．如果巧克力是2×C格的（C不是2），那么甲胜．再仔细思考，就可以发现：如果巧克力是正方形A×A格的，后取者胜；如果巧克力不是正方形的，则先取者胜．因此，6×10格的巧克力，甲可以永远获胜．他的策略是：每次将巧克力变为正方形的．
解：甲可以永远获胜的策略是：每次将巧克力变为正方形的．
因为：巧克力是一长条，（如1×7的），显然，甲胜．因为他可以将7力掰掉6，留下1格．
如果巧克力的分格是2×2的，那么先取的人就无法取胜了．因为无论他怎样掰，只能留下1×2格的巧克力．
如果巧克力是2×2格的，乙胜．
如果巧克力是2×C格的（C不是2），那么甲胜．
可以发现：如果巧克力是正方形A×A格的，后取者胜；如果巧克力不是正方形的，则先取者胜．
所以甲可以永远获胜的策略是：每次将巧克力变为正方形的．
点评：此题考查最佳对策问题，注意结合图形和条件分析得出答案．
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