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【知识剖析】
裂项法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。其本质是“凑、抵、消”。
在一些较复杂的数列求和时，单靠应算往往不容易得出结果，同时也没有公式可以直接来结算结果。比如：1×2＋2×3＋……＋9×10，这时就可以利用“裂项”的方法进行解答，通过把每一项分拆成两项的差，使得相邻两项由共同可以抵消的部分，相加抵消运算。
1×2＝（1×2×3－0×1×2）÷3
2×3＝（2×3×4－1×2×3）÷3
3×4＝（3×4×5－2×3×4）÷3
……
最终，将上述所有算式相加后提取公除数，括号内前后一加一减即可相互抵消，得出结果。
1×2＋2×3＋……＋9×10
＝（9×10×11－0×1×2）÷3
＝990÷3
＝330
【基础巩固】
1．计算。
1×2＋2×3＋……＋19×20
2．计算。
11×12＋12×13＋……＋99×100
3．计算。
7×8＋8×9＋……＋49×50
4．计算。
2×4＋4×6＋……＋28×30
5．计算。
1×3＋3×5＋……＋27×29
6．计算。
4×7＋7×10＋……＋40×43
7．计算。
5×10＋10×15＋……＋50×55
8．计算。
4×9＋9×14＋……＋49×54
【勇攀高峰】
9．计算。
1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋18×19×20
10．已知斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…的第20项是6765，那么它的前18项的和是多少？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．2660
【分析】观察算式可知，乘数是连续的自然数，可以利用裂项方法直接解答。
1×2＝（1×2×3－0×1×2）÷3
2×3＝（2×3×4－1×2×3）÷3
……
依次类推，将算式中的每个乘法都写出来，然后计算即可。
【详解】1×2＋2×3＋……＋19×20
＝（1×2×3－0×1×2）÷3＋（2×3×4－1×2×3）÷3＋……＋（19×20×21－18×19×20）÷3
＝[（1×2×3－0×1×2）＋（2×3×4－1×2×3）＋……＋（19×20×21－18×19×20）] ÷3
＝[1×2×3－0×1×2＋2×3×4－1×2×3＋……＋19×20×21－18×19×20] ÷3
＝[19×20×21－0×1×2]÷3
＝19×20×21÷3
＝2660
2．332860
【分析】观察算式可知，乘数是连续的自然数，可以利用裂项方法直接解答。
11×12＝（11×12×13－10×11×12）÷3
12×13＝（12×13×14－11×12×13）÷3
……
依次类推，将算式中的每个乘法都写出来，然后计算即可。
【详解】11×12＋12×13＋……＋99×100
＝（11×12×13－10×11×12）÷3＋（12×13×14－11×12×13）÷3＋……＋（99×100×101－98×99×100）÷3
＝[（11×12×13－10×11×12）＋（12×13×14－11×12×13）＋……＋（99×100×101－98×99×100）] ÷3
＝[11×12×13－10×11×12＋12×13×14－11×12×13＋……＋99×100×101－98×99×100] ÷3
＝[99×100×101－10×11×12]÷3
＝[999900－1320] ÷3
＝998580÷3
＝332860
3．41538
【分析】观察算式可知，乘数是连续的自然数，可以利用裂项方法直接解答。
7×8＝（7×8×9－6×7×8）÷3
8×9＝（8×9×10－7×8×9）÷3
……
依次类推，将算式中的每个乘法都写出来，然后计算即可。
【详解】7×8＋8×9＋……＋49×50
＝（7×8×9－6×7×8）÷3＋（8×9×10－7×8×9）÷3＋……＋（49×50×51－48×49×50）÷3
＝[（7×8×9－6×7×8）＋（8×9×10－7×8×9）＋……＋（49×50×51－48×49×50）] ÷3
＝[7×8×9－6×7×8＋8×9×10－7×8×9＋……＋49×50×51－48×49×50] ÷3
＝[49×50×51－6×7×8]÷3
＝[124950－336] ÷3
＝124614÷3
＝41538
4．4480
【分析】题干中乘数是连续的偶数，考虑利用整数列项方法进行解答：
2×4＝（2×4×6－0×2×4）÷6
4×6＝（4×6×8－2×4×6）÷6
……
以此类推，依次将每项进行裂项，然后相互抵消，最终求出结果。
【详解】2×4＋4×6＋……＋28×30
＝（2×4×6－0×2×4）÷6＋（4×6×8－2×4×6）÷6……＋（28×30×32－26×28×30）÷6
＝[（2×4×6－0×2×4）＋（4×6×8－2×4×6）……＋（28×30×32－26×28×30）] ÷6
＝[2×4×6－0×2×4＋4×6×8－2×4×6……＋28×30×32－26×28×30] ÷6
＝[28×30×32－0×2×4] ÷6
＝28×30×32÷6
＝4480
5．4046
【分析】观察算式可知，乘数是连续的奇数，可以利用裂项方法直接解答。
1×3＝1×3
3×5＝（3×5×7－1×3×5）÷6
5×7＝（5×7×9－3×5×7）÷6
……
依次类推，将算式中的每个乘法都写出来，然后计算即可。
【详解】1×3＋3×5＋……＋27×29
＝1×3＋（3×5×7－1×3×5）÷6＋（5×7×9－3×5×7）÷6＋……＋（27×29×31－25×27×29）÷6
＝1×3＋[（3×5×7－1×3×5）＋（5×7×9－3×5×7）＋……＋（27×29×31－25×27×29）] ÷6
＝1×3＋[3×5×7－1×3×5＋5×7×9－3×5×7＋……＋27×29×31－25×27×29] ÷6
＝1×3＋[27×29×31－1×3×5]÷6
＝3＋[24273－15] ÷6
＝3＋24258÷6
＝3＋4043
＝4046
6．8788
【分析】观察算式可知，乘数构成了等差数列，可以利用裂项方法直接解答。
4×7＝（4×7×10－1×4×7）÷9
7×10＝（7×10×13－4×7×10）÷9
……
40×43＝（40×43×46－37×40×43）÷9
依次类推，将算式中的每个乘法都写出来，然后计算即可。
【详解】4×7＋7×10＋……＋40×43
＝（4×7×10－1×4×7）÷9＋（7×10×13－4×7×10）÷9＋……＋（40×43×46－37×40×43）÷9
＝[（4×7×10－1×4×7）＋（7×10×13－4×7×10）＋……＋（40×43×46－37×40×43）] ÷9
＝[4×7×10－1×4×7＋7×10×13－4×7×10＋……＋40×43×46－37×40×43] ÷9
＝ [40×43×46－1×4×7] ÷9
＝[79120－28] ÷9
＝79092÷9
＝8788
7．11000
【分析】观察算式可知，乘数构成了等差数列，可以利用裂项方法直接解答。
5×10＝（5×10×15－0×5×10）÷15
10×15＝（10×15×20－5×10×15）÷15
……
依次类推，将算式中的每个乘法都写出来，然后计算即可。
【详解】5×10＋10×15＋……＋50×55
＝（5×10×15－0×5×10）÷15＋（10×15×20－5×10×15）÷15＋……＋（50×55×60－45×50×55）÷15
＝[（5×10×15－0×5×10）＋（10×15×20－5×10×15）＋……＋（50×55×60－45×50×55）] ÷15
＝[5×10×15－0×5×10＋10×15×20－5×10×15＋……＋50×55×60－45×50×55] ÷15
＝[50×55×60－0×5×10]÷15
＝50×55×60÷15
＝11000
8．10410
【分析】观察算式可知，乘数构成了等差数列，可以利用裂项方法直接解答。
4×9＝4×9（此项可以带着运算）
9×14＝（9×14×19－4×9×14）÷15
……
49×54＝（49×54×59－44×49×54）÷15
依次类推，将算式中的每个乘法都写出来，然后计算即可。
【详解】4×9＋9×14＋……＋49×54
＝4×9＋（9×14×19－4×9×14）÷15＋……＋（49×54×59－44×49×54）÷15
＝4×9＋[（9×14×19－4×9×14）＋（14×19×24－9×14×19）＋……＋（49×54×59－44×49×54）] ÷15
＝4×9＋[9×14×19－4×9×14＋14×19×24－9×14×19＋……＋49×54×59－44×49×5] ÷15
＝4×9＋[49×54×59－4×9×14] ÷15
＝36＋[156114－504] ÷15
＝36＋155610÷15
＝36＋10374
＝10410
9．35910
【分析】每个乘法算式都有三个乘数，且为连续的自然数，利用整数裂项解答即可。
【详解】1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋18×19×20
＝（1×2×3×4－0×1×2×3）÷4＋（2×3×4×5－1×2×3×4）÷4＋……＋（18×19×20×21－17×18×19×20）÷4
＝[（1×2×3×4－0×1×2×3）＋（2×3×4×5－1×2×3×4）＋……＋（18×19×20×21－17×18×19×20）] ÷4
＝[18×19×20×21－0×1×2×3] ÷4
＝18×19×20×21÷4
＝35910
10．6764
【分析】斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。如果把前18项全写出来相加，计算量会很大。考虑裂项解决。关键在题干所给的第20项。写出哪一项裂项会出现第20项即可解答。
【详解】
……
所以前18项的和＝6765－1＝6764
【点睛】解题关键是明白斐波那契数列的特点，并且能观察到哪一项裂项会出现第20项。
答案第1页，共2页
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