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【知识剖析】
在日常生活中，人们常常需要统计一些数量。在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复。这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理。
容斥原理一：对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a分类与性质b分类（如下图），那么具有性质a或性质b的事物的个数＝Na＋Nb－Nab。
容斥原理二：n个事物，如果采用三种不同的分类标准，按性质a分类、性质b分类与性质c分类（如下图），那么具有性质a或b或c的事物的个数＝（Na＋Nb＋Nc）－（Nab＋Nbc＋Nca）＋Nabc。
【解题思路】
解答有关容斥问题时，关键是要搞清楚哪些部分是被重复计算的。要仔细分析题目，利用韦恩图（圆圈图）来帮助分析思考，再根据容斥原理进行解题。
【基础巩固】
1．儿童节文艺汇演中，跳舞的有14人，合唱的有30人，参加这两项演出的一共有35人。两项都参加的有多少人？
2．芳草地小学四年级有人学钢琴，人学画画，人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？
3．某班共有人，参加美术小组的有人，参加音乐小组的有人，有人两个小组都参加了。这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？
4．光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有人，参加中国象棋比赛的有人，参加国际象棋比赛的有人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有人，其中三种棋赛都参加的有人，问参加棋类比赛的共有多少人？
5．三个面积均为平方厘米的圆纸片放在桌面上（如图），三个纸片共同重叠的面积是平方厘米。三个纸片盖住桌面的总面积是厘米。问：图中阴影部分面积之和是多少？
6．某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？
7．如图，一个长8厘米，宽6厘米的长方形与一个边长5厘米的正方形叠放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？
8．一个班人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了。已知做完语文作业的有人；做完数学作业的有人。这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？
【勇攀高峰】
9．五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个。其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？
10．甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中块玻璃不是甲组擦的，块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了块玻璃。那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．9人
【分析】因为两种节目都参加的人数多计算了一次，所以求出参加跳舞和合唱的总人数，然后减去35人，就是两项都参加的人数，据此解答。
【详解】14＋30－35
＝44－35
＝9（人）
答：两项都参加的有9人。
【点睛】此题是容斥问题，关键理解两项都参加的人数。
2．只学钢琴的有21人，只学画画的有6人
【分析】如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，阴影表示既学钢琴又学画画的人，A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人。
【详解】如图所示：
（人）
（人）
答：只学钢琴的有21人，只学画画的有6人。
【点睛】解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清楚。
3．人
【分析】可以求出至少参加美术小组或音乐小组其中一个的人数，然后用总人数减去至少参加一个小组的人数，得到两个小组都没有参加的人数。
【详解】（人）
（人）
答：既没参加美术小组也没参加音乐小组的有16人。
【点睛】本题考查的是两个量的容斥问题，可以利用韦恩图表示各个量的关系，便于求解问题。
4．人
【分析】先把参加围棋比赛的42人，参加中国象棋比赛的55人与参加国际象棋比赛的33人加起来，得到130人，把重复加一遍同时参加围棋和中国象棋的18人，同时参加围棋和国际象棋的10人与同时参加中国象棋和国际象棋的9人减去，但是，同时参加了三种棋赛的5人被加了3次，又被减了3次，其实并未计算在内，应当补上。
【详解】
（人）
答：参加棋类比赛的共有98人。
【点睛】本题考查的是典型的三元容斥问题，解题的关键是区分每一部分的重叠次数。
5．30平方厘米
【分析】三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米计算3次，阴影部分计算2次，三个纸片的面积之和减去阴影部分的面积，再减去2个10平方厘米，得到所覆盖的面积。
【详解】将图中的三个圆标上、、。根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积＝（圆面积圆面积圆面积）－（与重合部分面积与重合部分面积与重合部分面积）＋三个纸片共同重叠的面积，得：（与重合部分面积与重合部分面积与重合部分面积）＋10，得到、、三个圆两两重合面积之和为：平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：阴影部分面积，则阴影部分面积为：（平方厘米）。
答：图中阴影部分面积之和是30平方厘米。
【点睛】本题考查的是三个量的容斥问题，首先要搞清楚图中每一部分分别计算了几次。
6．4人
【分析】这道题可以采用逆思考的方法，找出至少一项运动不会的人数，然后用全班人数减去至少一项运动不会的人数，剩下的是三项运动都会的人数；由已知，不会游泳的有21人，不会骑车的有15人，不会打乒乓球的有8人，至少一项运动也不会的最多的人数即可算出，再根据容斥原理，由此即可求要求的出答案．
【详解】解：不会游泳的有48-27=21（人）
不会骑车的有48-33=15（人）
不会打乒乓球的有48-40=8（人）
所以至少有一项运动不会的最多有：21+15+8=44（人），
那么全班三项运动都会的至少有：48-44=4（人）；
答：至少有4人会三项运动．
7．67平方厘米
【分析】阴影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分，两图形的面积和减去阴影部分的面积，即是两个图形盖住桌面的面积．
【详解】解：8×6＋5×5－3×4÷2=67（平方厘米）
答：盖住桌面的面积是67平方厘米．
8．人
【分析】做完语文作业的37人加上做完数学作业的42人，总共79人，显然多于总人数48人，多的人数即为语文、数学作业都完成的人数。
【详解】如图所示：
线段表示全班人数，线段表示做完语文作业的人数，线段表示做完数学作业的人数，重叠部分则表示语文、数学都做完的人数。
根据题意，做完语文作业的有人，即。做完数学作业的有人，即。
（人） ①
（人） ②
①式减②式，就有（人）
答：数学、语文作业都做完的有人。
【点睛】本题考查的是两个量的容斥问题，也可以画韦恩图来表示各个量之间的关系。
9．人
【分析】3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，且仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，可以对3个小组全参加的人数进行假设，然后求出其它小组的人数；由于总人数是28人，那么如果3个小组全参加的人数大于或等于4，那么仅参加语文与自然小组的人数则大于等于20，而仅参加数学与自然小组的人有6个，这样至少应有30人，与题意矛盾，所以参加3个小组的人数为2。
【详解】参加3个小组的人数为2；
（人）
仅参加语文与自然小组的人数为10人；
（人）
仅参加数学与语文小组的人数和仅参加数学小组的人数一共是10人；
（人）
仅参加数学和语文小组的有5人；
答：仅参加数学和语文小组的有5人。
【点睛】本题考查的是三元容斥问题，可以画韦恩图表示各个量之间的关系，解题时可以进行假设。
10．22块；38块；30块
【分析】68块玻璃不是甲组擦的，说明这68块玻璃是乙、丙两组擦的；52块玻璃不是乙组擦的，说明这52 块玻璃是甲、丙两组擦的；且甲组与乙组一共擦了60 块玻璃，利用三个量之间的关系求解。
【详解】（块）
这是两个丙组擦的玻璃数；
（块）
丙组擦了块玻璃，乙组擦了：（块）
甲组擦了：（块）玻璃；
答：甲组擦了22块，乙组擦了38块，丙组擦了30块。
【点睛】68、52、60的和相当于是甲、乙、丙数量的2倍，也可以先求出甲、乙、丙数量之和，再分别计算各自的数量。
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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