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【知识剖析】
之前我们学习过简单抽屉问题，以及最不利原则的应用。抽屉原理应用广泛，在计数、数字、图形、表格等具体问题中都有比较复杂的应用，本讲重点教会同学们能根据已知条件合理的选取和设计“抽屉”与“苹果”，有时还可以构造出能达到最佳效果的实例。还有一些与图形周长、面积相关的问题，往往需要根据图形特点进行分割，从而构造出抽屉。
【基础巩固】
1．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？
2．1只口袋里装有10个黄球和10个红球（这些球除颜色不同外其它都相同）。小明1次从袋子中摸出3个球。他至少摸几次，才能保证有2次摸出的球相同？
3．有红、绿、紫三种颜色的袜子各6只，把它们混放在一个口袋中。如果要从口袋中摸袜子。
①至少要摸出几只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双）？
②至少要摸出多少只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子？
4．学校里买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可以借阅其中两本，现有位小朋友前来借阅，每人都借了本。请问，你能保证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种吗？
5．一副扑克牌，共54张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证：（1）至少有5张牌的花色相同；（2）四种花色的牌都有；（3）至少有3张牌是红桃；（4）至少有2张梅花和3张红桃。
6．试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案。一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相同。问参加考试的学生最多有多少人？
7．将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色。（每一列的三小格涂的颜色不相同），不论如何涂色，其中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同意吗？
8．从1、3、5、7，…，47、49这25个奇数中，不重复的取数字，至少取出( )个数，才能保证取出的数中有两个数的和是46。
【勇攀高峰】
9．在边长为的正方形内任意放入九个点，求证：存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过。
10．对世界上任何六个人来说，其中至少有三个人，他们要么互相认识，要么互相都不认识，请说明其中的理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．5个
【分析】分清楚这个袋子里面总共有多少种颜色的球，要保证一定有两个颜色相同的，每个颜色的球都取一个以后，下一次取出的球的颜色一定与之前取出的球的颜色相同。
【详解】此题中求至少取多少个球，即为“最不利原则”问题。
解决此类问题，从最坏情况出发考虑问题。最坏的情况就是摸出的前4个球的颜色都不一样，那么摸出的第5个球的颜色必定与之前的四个球中的某一个球颜色相同。
答：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。
【点睛】本题考查了抽屉原理。
2．5次
【分析】小明1次从袋子中摸出3个球，可能是3黄、3红、2黄1红或1黄2红，共4种可能，从最不利的情况考虑，如果前4次各摸出1种可能，那么第5次无论摸出的是哪种情况，都能保证有2次摸出的球相同，据此解答。
【详解】4＋1＝5（次）
答：他至少摸5次，才能保证有2次摸出的球相同。
【点睛】本题主要考查鸽巢原理，找出摸出三种球的所有可能性是解答题目的关键。
3．①4只；②10只
【分析】①要求至少要摸出几只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双），要考虑到各种可能性的发生，因为有红、绿、紫三种颜色，有可能摸出3只都不能保证摸出一双袜子，因为有可能这三种颜色各1只，所以至少要摸出4只，才能保证摸出一双袜子。
②要求至少要摸出多少只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子，从最极端情况分析：假设前9次摸出的是红、绿、紫三种颜色的袜子各3只，这时再摸出1只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子。
【详解】①因为有可能摸出3只袜子时，这三种颜色各1只，
所以至少要摸出4只，才能保证摸出一双袜子。
答：至少要摸出4只，才能保证摸出一双袜子（颜色相同的两只为一双）。
②
（只）
答：至少要摸出10只，才能保证摸出两双颜色相同的袜子。
【点睛】此题主要考查了抽屉原理的应用，要熟练掌握，解答此题应从最极端情况进行分析。
4．见详解
【分析】每个小朋友都借2本有三种可能：数数，英英，数英，抽屉数是3，苹果数是4，按照抽屉原理求解即可。
【详解】可能的借书方法：数数，英英，数英；
（人）
至少有两人借书方法相同；
答：可以保证至少有两人借阅的图书属于同一种。
【点睛】本题考查的是抽屉原理，这里借书的方法是抽屉数，首先要枚举出所有的借书方法。
5．（1）19张；（2）42张；（3）44张；（4）张
【分析】一副扑克牌有四种花色，每种花色各13张，另外还有两张王牌，共54张，考虑最不利于事件发生的情况，求出不符合要求的最大数量，加上1，即为符合要求的最低数量。
【详解】（1）先摸出了两张王牌，再把四种花色看作4个抽屉，要想有5张牌属于同一个抽屉，只需再摸出（张），也就是共摸出19张牌；
答：至少摸出19张牌，才能保证其中有5张牌的花色相同。
（2）因为每种花色有13张牌，摸出2张王牌和三种花色的所有牌共计（张），这时，只需再摸一张即一共42张牌，就保证四种花色的牌都有了；
答：至少摸出42张牌才能保证四种花色的牌都有。
（3）先摸出了2张王牌和黑桃、梅花、方块三种花色所有牌共计张，只剩红桃牌。这时只需再摸3张，就保证有3张牌是红桃了；
答：即至少摸出44张牌，才能保证其中至少有3张红桃牌。
（4）因为每种花色有13张牌，摸出2张王牌、方块和黑桃两种花色的所有牌共计：，然后是摸出所有的梅花和3张红桃，共计：张；
答:至少摸出44张牌可以保证有2张梅花和3张红桃。
【点睛】所谓最不利原则，就是要考虑最倒霉的情况，先求出不符合要求的最大数量，加上1，即为符合要求的最低数量。
6．9人
【分析】对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相同，有可能是第一题不一样，也有可能是第二题不一样，同样也可能是第三题、第四题不一样，需要考虑到每一种情况。
【详解】设总人数为A，再由分析可设第一题筛选取出的人数为，第二题筛选的人数为，第三题筛选取的人数为，第四题筛选的人数为。如果不能满足题目要求，则：至少是3，即3个人只有两种答案。由于是人做第四题后筛选取出的人数，则由抽屉原则知，
（两种答案）中至少放有个苹果（即）。＝＝3，则A3至少为4，即4人只有两种答案。由于是人做第三题后筛选的人数，则由抽屉原则知，将个苹果放久三个抽屉（三种答案），那么必然有两个抽屉（两种答案）中至少放有个苹果（即）。＝＝4，则至少为5，即5人只有两种答案。同理，有＝＝5则至少为7，即做完第一道题必然有7个人只有两种答案；则有＝＝7.则至少为10，即当有10人参加考试时无法满足题目的要求。考虑9名学生参加考试，令每人答题情况如下表所示（汉字表示题号，数字表示学生）。
1 2 3 4 5 6 7 8 9
一 A A A B B B C C C
二 A B C A B C A B C
三 A B C B C A C A B
四 A B C C A B B C A
答：参加考试的学生最多有9人。
【点睛】本题考查的是抽屉原理，题目并未直接给出抽屉数和苹果数是多少，需要自己进行构造。
7．同意
【分析】总共有9列，用红色、黄色或蓝色三种颜色染色，按照不同的染色方法，一共有6种不同的方法，那么抽屉数是6，苹果数是9。
【详解】一共有6种不同的方法，如下：
（列）
所以至少有两列，它们的涂色方式相同；
答：同意题目的说法。
【点睛】由于这里每一列的三小格涂的颜色不相同，所以抽屉数是6，可以考虑如果每一列的三小格涂的颜色可以相同，那么抽屉数是多少？
8．15
【分析】把1和45，3和43，5和41，7和39等这些和是46的两个数分成一组，剩下的23，47，49，一个数为一组，总共16组，从这16组中任取一个数，这16个数中没有两个数的和是46，但只有再多取一个，一定要两个数的和是46。
【详解】（1，45），（3，43），（5，41），（7，39），（9，37），（11，35），（13，33），（15，31），（17，29），（19，27），（21，25），23，47，49，共14组；
（个）
【点睛】本题考查的是抽屉原理，但首先要准确构造出抽屉数，才能按照抽屉原理求解。
9．见详解
【分析】大正方形的面积是1，四个小正方形的面积是0.25，而0.125正好是小正方形面积的一半；把4个小正方形看成4个抽屉，9个点看成苹果，那么必有三个点在一个小正方形中，考虑这三个点构成的三角形的面积大小。
【详解】证明：
如图，用9个点四等分正方形，得到四个面积都为0.25的正方形；
我们把四个面积为0.25的正方形看成4个抽屉，9个点看成苹果，因此必有三个点在一个面积为0.25的正方形内；
如果这三点恰好是正方形的顶点，则三角形的面积为0.125，如果这三点在正方形内部，则三角形的面积小于 0.125，因此存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过0.125。
【点睛】本题考查的是抽屉原理的问题，解题的关键是如何根据题目的条件构造抽屉。
10．见详解．
【分析】将这个问题换一种叙述方式：在纸上画出六个点，表示六个人，如果两个人互相认识，就在代表这两个人的两点间连一条红色直线；如果两个人互相认识，就在代表两个人的两点间连一条蓝色直线．这样，六个点中的任意两点之间总能连一条直线，要么红线要么蓝线．因此问题就转化为，以A、B、C、D、E、F这六个顶点中，必然存在一个三角形，它的三条边颜色是一样的．
【详解】在六点中任取其中一点A，如图所示：
它与其他五点有五条连线，每一条连线要么红要么蓝，而根据抽屉原理，其中至少有三条线颜色相同，不妨设AC、AD和AE是三条蓝色的连线．
而CD、CE和DE三条连线中，只要有一点蓝色的，就会有一个三边都是蓝色的三角形出现．这说明有三个人互相都不认识．而如果CD、CE和DE三条连线均不是蓝色的，那么三角形CDE三边颜色都是红色，这说明有三个人互相都认识．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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