资源简介

【知识剖析】
一、约数、公约数与最大公约数相关概念
1．求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；即为所求。
2．约数、公约数最大公约数的关系
（1）约数是对一个数说的；
（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数
二、倍数的概念与最小公倍数
1.求一组分数的最小公倍数方法步骤
先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公约数b；即为所求．例如：
注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：
2．倍数、公倍数、最小公倍数的关系
（1）倍数是对一个数说的；
（2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数
三、最大公约数与最小公倍数的常用性质
1．两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
如果m为A、B的最大公约数，且A＝ma，B＝mb，那么a、b互质，所以A、B的最小公倍数为mab，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：
①，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；
②最大公约数是及最小公倍数的约数。
2．两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即，此性质比较简单，学生比较容易掌握。
3． 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为
（1）奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数
例如：，210就是567的最小公倍数
（2）偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍
例如：，而6,7,8的最小公倍数为
四、求约数个数与所有约数的和
1．求任一整数约数的个数
一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。如:1400严格分解质因数之后为，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)
约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。
2．求任一整数的所有约数的和
一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。如：，所以21000所有约数的和为
此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。
【基础巩固】
1．求5040共有多少个约数？
2．四位数A752是24的倍数，A最大是几？
3． 两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少？
4．有一箱苹果，如果每个小朋友分3个苹果，则多出8个苹果；如果每个小朋友分5个苹果，则少6个苹果．问：有多少个小朋友分这些苹果？苹果一共有多少个？
5．某班有学生63人，一天上体育课排队，4人一排多2人，5人一排多3人，6人一排多4人，这天上体育课的有多少人？缺勤的有多少人？
6．甲每9天到图书馆一次，乙每6天到图书馆一次，7月29日两人到图书馆．请问几天后，两人又在图书馆见面？是什么时候？
7．已知九位数既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？
8．一个房间的长是3.6米，宽是2.4米。现在要在这个房间铺上相同的方砖。
（1）每块方砖的边长最大是多少分米？
（2）这间房间一共需要多少块这样的方砖？
【勇攀高峰】
9．已知一个苹果重千克，一个梨重千克，且苹果和梨的总重量相同，求最少有几个苹果和几个梨？
10．已知自然数、满足以下两个性质：⑴ 、不互素；⑵、的最大公约数与最小公倍数之和为35．那么+的最小值是多少？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．60个
【分析】首先将5040分解质因数
因此5040的约数都可以表示成为
其中a的取值为0，1，2，3，4；b的取值为0，1，2；c的取值为0，1；d的取值为0，1；因此a，b，c，d的可能取值个数分别为5，3，2，2．
【详解】
5040的约数的个数为：（4+1）×（2+1）×（1+1）×（1+1）=60（个）
答：5040共有60个约数．
2．7
【详解】解：24=3×2×2×2，A752应该能被3整除．
四位数A752是24的倍数，
A+7+5+2=14+A能被3整除．
那A只可能是：7、4、1，
因为A在千位上，所以A最大是7．
【分析】24分解成：3×2×2×2 因此：A752应该能被3整除． 也就是A+7+5+2=14+A能被3整除． 那A只可能是：7、4、1 所以，试算一下可得，A最大为7．
3．60
【详解】解法一：180＝22×32×5，30＝2×3×5.
对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从22与2就知道，一数中含22，另一数中含2；从32与3就知道，一数中含32，另一数中含3，从一数是90＝2×32×5.就知道另一数是22×3×5＝60.
解法二：另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找
30， 60， 90， 120，….
这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是．逐一去检验，有时会较费力．
4．有7个小朋友分这些苹果，苹果一共有29个．
【详解】试题分析：根据第一次分多出8个苹果，第二次分少6个苹果，可知两次分配相差8+6=14个，这是因为第二次比第一次每人多分了5﹣3=2个苹果，所以有小朋友：14÷2=7人；苹果数就好求了，据此解答．
解答：解：（8+6）÷（5﹣3）
=14÷2
=7（个）
3×7+8=29（个）
答：有7个小朋友分这些苹果，苹果一共有29个．
点评：盈亏问题的解答思路是：盈亏问题的基本数量关系：一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数．
5．58人 5人
【分析】4人一排多2人，5人一排多3人，6人一排多4人可理解为：4人一排少2人，5人一排少2人，6人一排少2人，出勤人数是4，5，6的公倍数减去2。
【详解】4，5，6的公倍数是60
60－2＝58（人）
63－58＝5（人）
答：这天上体育课的有58人，缺勤的有5人。
6．18天后，两人又在图书馆见面，是8月16日
【详解】9和6的最小公倍数是18，所以18天后，两人又在图书馆见面，7月29日向后推18天是8月16日．答：18天后两人又在图书馆见面，是8月16日．两人下一次在图书馆见面间隔的天数一定是9和6的最小公倍数，因此求出两个数的最小公倍数就是间隔的天数，然后从7月29日向后推算即可确定是什么时候．
7．200731212
【详解】设原数，∵或者，∵()或者()或者根据两数和差同奇偶，得：或者不成立.所以，。
8．（1）12分米
（2）6块
【分析】（1）3.6米＝36分米，2.4米＝24分米，要求每块方砖的边长最大是多少分米，就是求36和24的最大公因数；
（2）要求这间房间一共需要多少块这样的方砖，用房间的面积除以每块方砖的面积即可。
【详解】（1）3.6米＝36分米，2.4米＝24分米
36＝2×2×3×3
24＝2×2×2×3
36和24的最大公因数是2×2×3＝12
答：每块方砖的边长最大是12分米。
（2）（36×24）÷（12×12）
＝864÷144
＝6（块）
答：这间房间一共需要6块这样的方砖。
9．苹果25个，梨32个
【分析】本题实质上就是一个求分数的最小公倍数的问题，这类问题有固定的解法，一般地，对于两个分数 ，它们的最小公倍数是，这里[a，c]代表a，c的最小公倍数，（b，d）代表b，d的最大公约数．
【详解】方法一: 直接使用分数最小公倍数的公式
根据上述分析本题实质上是求和的最小公倍数
由上面给出的结论知道这个数是＝
所以苹果和梨的总重量都是20/3千克
因此苹果个数是个
梨的个数是个
方法二：列方程
设苹果有x个，梨有y个
所以x＝y，推出x︰y＝25︰32
故x最小是25，y最小是32．
x＝×25＝
所以总重量是千克．
10．25
【详解】因为、的最大公约数与最小公倍数的和是35，所以35是两数最大公约数的倍数．它们的最大公约数可能是5和7（因为两数不互质，所以不为1）．如果、的最大公约数是5，则、的最小公倍数是30，此时有=10、=15或=5、=30；如果、地最大公约数是7，则、的最小公倍数是28，此时有=7、=28．
所以＋的最小值为．
【点睛】、的最大公约数一定是它们最小公倍数的约数．充分应用最大公约数与最小公倍数的关系，并分类讨论多种可能性，考察推理思维的周密性和严谨性，最终找到最小值．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑