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【知识剖析】
一、长方体和正方体
如下图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱。
①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等。(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形。)
②长方体的表面积和体积的计算公式是：
长方体的表面积：；
长方体的体积：。
③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形。如果它的棱长为a，那么：，。
二、圆柱、圆锥
【基础巩固】
1．把一块长18.84厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体钢锭和一块底面直径是8厘米，高25厘米的圆柱形钢块，熔铸成一个底面半径为8厘米的圆锥形钢块，这个圆锥形钢块的高是多少厘米？
2．如下图：用一张长82.8厘米、宽10厘米的铁皮，剪下一个最大的圆做圆柱的底面，剩下的部分围在底面上做成一个无盖的铁皮水桶，算一算这个铁皮水桶的容积是多少？（铁皮厚度不计）．
3．如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为厘米，则薄膜展开后的面积是多少平方米？
4．如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的，乙容器中水的高度是锥高的，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？
5．下图是从一个立体图形的正上面与正侧面看到的图形,试回答下列问题:
(1)以每秒1毫升的速度,往容器内注水时,水面到离台面10的地方为止,需要多少秒
(2)求这个立体图形的体积.
(3)求这个立体图形的表面积.()
6．长10厘米，直径2厘米的三根圆柱捆成一捆（如图），用一张纸将这捆圆柱侧面包起来（纸要绷紧），至少需要多大面积的纸？
7．下图是一个珠宝箱的直观图，它的下部是一具棱长为20厘米的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个珠宝箱的表面积和体积．
8．如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米．若将木块从容器中取出，水面将下降多少厘米？
【勇攀高峰】
9．一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米。其内有一些水，正放时水面离容器顶厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（）
10．下图（左）是一个里面装有水的三棱柱封闭容器，下图（右）是这个三棱柱的平面展开图．当以A面作为底面放在桌面上时，水高2厘米，如果以B面与C面分别作为底面放在桌面上时，水面高各为多少厘米？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．24.375厘米
【分析】要求圆锥的高，必须知道圆锥的体积和底面积，而题中的圆锥是两个不同形体的几何体熔铸而成的，所以这个圆锥的体积等于长方体体积与圆柱体积的和．
【详解】解：设圆锥的高为x厘米．
×（3.14×82×x）=18.84×5×4＋3.14×（8÷2）2×25
x=24.375
答：这个圆锥形钢块高是24.375厘米．
2．1570立方厘米
【分析】由题意可知：在长方形上剪一个最大的圆，圆的直径应该是10厘米，把剩下的铁皮分成两块，把两块上下对接，围成的圆柱的高是20厘米．根据圆的面积计算公式S=πr2，算出圆的底面积，再根据圆柱的体积V=sh，算出圆柱的体积即可．
【详解】解：3.14×（10÷2）2×10×2
=3.14×25×20
=78.5×20
=1570（立方厘米）
答：这个铁皮水桶的容积是1570立方厘米．
3．65.94平方米
【详解】缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：(立方厘米)，薄膜展开后为一个长方体，体积保持不变，而厚度为厘米，所以薄膜展开后的面积为
平方厘米平方米．
另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积．
由于展开前后薄膜的侧面的面积不变，展开前为(平方厘米)，展开后为一个长方形，宽为厘米，所以长为厘米，所以展开后薄膜的面积为平方厘米平方米．
4．
【详解】设圆锥容器的底面半径为，高为，则甲、乙容器中水面半径均为，则有，
，，
，即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的倍．
5．(1) 60秒 (2) 840 (3) 728
【详解】(1)2×2×3×(10-5)=60,60÷1=60(秒).
(2)8×8×(10+5)- 2×2×3×10=840.
(3)底面积8×8×2=128;
外侧面的面积为8×(10+5)×4=480;
内侧面积为4×3×10=120;
表面积为128+480+120=728.
6．122.8平方厘米
【详解】如图所示：
上图为捆成的圆柱的截面图，由图可知，需要的纸张的长为1个圆的周长再加3个直径，宽为圆柱的长．
（2×3+3.14×2）×10
=（6+6.28）×10
=12.28×10
=122.8（平方厘米）
答：至少需要122.8平方厘米的纸．
【点睛】解答此题的关键是利用直观画图，求出所需纸张的长和宽，即可求其面积．
7．表面积：2942平方厘米 体积：11140立方厘米
【分析】这是一个由两个基本几何体组成的形体，因此将它拆分成两个部分分别来求体积和表面积．这两个部分为：上部的半圆柱体、下部的正方体．
【详解】（1）先求这个珠宝箱的表面积：
将这个几何体的表面积分成两上部分：一部分是圆柱表面积的一半，另一部分是正方体的5个面的面积之和．
由于正方体的棱长为20厘米，从而圆柱底面半径为10厘米，高为20厘米，因此圆柱的表面积为，可得第一部分的表面积为1884÷2=942（平方厘米）；而第二部分的表面积为：；故此珠宝箱的表面积为942+2000=2942（平方厘米）．
（2）再求这个珠宝箱的体积：
第一部分的体积为；第二部分的体积为；故此珠宝箱的体积为3140+8000=11140（立方厘米）．
答：这个珠宝箱的表面积为2942平方厘米，体积为11140立方厘米．
8．1.5厘米
【详解】在水中的木块体积为(立方厘米)，拿出后水面下降的高度为(厘米)
9．1620立方厘米
【分析】根据题意，设圆锥的高为h厘米，水体积是v立方厘米。根据正放时和倒放时的体积不变，可得关于h的方程，求得圆锥体的高，再根据容器的容积＝圆柱体的容积＋圆锥体的容积列式计算即可求解。
【详解】解：设圆锥的高为h厘米，水体积是v立方厘米。
正放时水体积：
倒放时水体积：
则：
容器的容积为：
＝
＝1296＋324
＝1620（立方厘米）
答：这个容器的容积是1620立方厘米。
【点睛】此题主要考查圆柱和圆锥的体积的计算方法，关键是明白：容器的容积＝圆柱体的容积＋圆锥体的容积。
10．1.5厘米
【详解】我们先求以A面作为底面放在桌面上时容器内的水的体积．此时水的体积，与以梯形FJQP为底面、JI为高的棱柱的体积相等．棱柱的体积等于底面积乘高，从图6—20可以看出，此棱柱的高JI为12厘米，梯形FJQP的下底FJ为3厘米，高QJ为2厘米．因为PTJQ是个长方形，所以QJ=PT=2厘米，而Q点是GJ的中点，PQ平行于FJ，这样可以推算出QP为FJ的一半，为1.5厘米，这一来梯形FJQP的面积为（平方厘米），水的体积是：4.5×12=54（立方厘米）．
以C面为底面时，水的体积与以C（即三解形EHI）为底面，高为某数值的棱柱的体积相等．三角形EHI的面积为：×3×4=6（平方厘米），此时水面的高度为：54÷6=9（厘米）．
以B面作为底面时，原来以A面为底面时不装水的那一部分，现在应装水，原来装水的某一部分现在应空出来，下面来讨论这两份之间的数量关系．
为方便起见，我们把C面适当放大成如图，
在图中，因为PQ平行于FJ，PT垂直于FJ，所以JQPT是一长方形，故JQ、PT、QG的长都是2厘米，TJ、PQ的长为1.5厘米，因为FJ长为3厘米，所以FT的长也为1.5厘米，这一来三角形FPT与PQG的形状一样，面积相等．这便说明原来以三角形PFT为底面，JI为高的装水的棱柱的体积，与现在以三角形PQG为底面，JI为高装水的棱柱的体积是相等的．所以以B面为底面时，水面的高度等于PQ的长度，即水面高为1.5厘米．
答案第1页，共2页
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