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4.1.2　无理数指数幂及其运算性质
课标要求　1.通过对实数指数幂aα(a>0，且a≠1，α∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程.2.掌握实数指数幂的运算性质.
素养要求　能够结合教材实例了解指数幂的拓展过程，掌握实数指数幂及其运算性质在指数运算中的应用，提升数学抽象与数学运算素养.
1.(1)无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数.
(2)实数指数幂的运算法则
①aras＝ (a>0，r，s∈R).
②(ar)s＝ (a>0，r，s∈R).
③(ab)r＝ (a>0，b>0，r∈R).
④拓展：＝ (a>0，r，s∈R).
重点题型训练
题型一　无理数指数幂的运算
例1 计算下列各式的值：
(1)4＋1·23－2 ；(2)(×)2 .
思维升华　1.无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同.
2.在进行无理数指数幂的运算时，一定要注意按照运算性质进行变形、计算， 不能为了简化某一个数字而改用、错用公式.若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式.
训练1 计算下列各式的值(式中字母均是正数)：
(1)(2)2 ；(2)aaa－π；
题型二　实际问题中的指数运算
例2 从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
思维升华　指数运算在实际问题中的应用
在解决成倍数递增(递减)、固定增长率等问题时，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等.
训练2 如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成2个)，那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成________个.
题型三　实数指数幂运算的综合运用
例3 已知xα＋x－α＝2，x>1，且α<0，求xα－x－α的值.
思维升华　1.整体代换法是计算常用的方法技巧，分析条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是解题关键.在利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题时，常用完全平方式及变形公式求解.
2.本例中也可利用方程思想求xα.
训练3 已知x＋x－1＝7，求值：
(1)x＋x－；(2)x－x－1.
[课堂小结]
1.把有理数指数幂扩充到实数指数幂，指数幂的运算性质得到进一步扩充.
2.进行指数幂的运算，一定要按照指数幂运算性质进行变形计算.
3.解决条件求值问题，要从整体上把握已知条件和所求代数式之间的联系，把条件及所求式化简，将条件整体代入求值.
课后训练A
一、单选题
1．已知，m是正整数，下列各式中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（ ）
A． B．2 C．1 D．0
3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
4．若，，，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．定义在实数集上的奇函数恒满足，且时，，则（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题
7．(多选)下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．·
8．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
三、填空题
9．已知a2x＝2（a＞0），则＝ ．
10．计算： .
11．已知函数，则 .
12．是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则 .
四、解答题
13．（1）；
（2）.
14．化简：
（1）
（2）(a>0，b>0).
（3）.
15．计算：
(1)；
(2)
16．已知.
（1）求证：；
（2）求的值.
课后训练B
一、基础达标
1.对于a>0，b>0，以下运算正确的是(　　)
A.ar·as＝ars B.(ar)s＝ars
C.＝arbr D.arbs＝(ab)r＋s
2.下列运算中正确的是(　　)
A.a2 a3 ＝a6
B.(－a2)3＝(－a3)2
C.(－2)0＝1
D.(－a2 )5＝－a10
3.一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折(即沿对边中点连续折叠)10次，这时，报纸的厚度为(　　)
A.2.56厘米 B.5.12厘米
C.10.24厘米 D.20.48厘米
4.计算：3π×＋(22 )＋1＝(　　)
A.17 B.18
C.6 D.5
5.(多选)下列计算正确的是(　　)
A.＝
B.÷＝－9a(a>0，b>0)
C.＝
D.已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2
6.已知3a＝2，3b＝5，则32a－b＝________.
7.计算：27＋＋(27－＋162)0＝________.
8.化简＝________.
9.已知x＋x－1＝3(x>0)，求x＋x－的值.
10.已知a2x＝3，求的值.
二、能力提升
11.已知2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)
A. B.10
C.20 D.100
12.设α，β为方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则＝________.
13.已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值.
三、创新拓展
14.在算式2中＋2国＋2精＋2神＝29中，“中、国、精、神”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小，则“国”字所对应的数字为(　　)
A.4 B.3 C.2 D.14.1.2　无理数指数幂及其运算性质
课标要求　1.通过对实数指数幂aα(a>0，且a≠1，α∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程.2.掌握实数指数幂的运算性质.
素养要求　能够结合教材实例了解指数幂的拓展过程，掌握实数指数幂及其运算性质在指数运算中的应用，提升数学抽象与数学运算素养.
1.(1)无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数.
(2)实数指数幂的运算法则
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R).
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R).
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R).
④拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈R).
.重点题型训练
题型一　无理数指数幂的运算
例1 计算下列各式的值：
(1)4＋1·23－2 ；(2)(×)2 .
解　(1)原式＝22 ＋2·23－2 ＝22＋2＋3－2 ＝25＝32.
(2)原式＝＝29×32＝4 608.
思维升华　1.无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同.
2.在进行无理数指数幂的运算时，一定要注意按照运算性质进行变形、计算， 不能为了简化某一个数字而改用、错用公式.若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式.
训练1 计算下列各式的值(式中字母均是正数)：
(1)(2)2 ；(2)aaa－π；
(3) 。
解　(1)原式＝(2·m)2 ＝26·m3＝64m3.
(2)原式＝a＋－π＝a0＝1.
(3)原式＝.
题型二　实际问题中的指数运算
例2 从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
答案　4
解析　由题意，得第n次操作后溶液的浓度为，
令<，验证可得n≥4.
所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.
思维升华　指数运算在实际问题中的应用
在解决成倍数递增(递减)、固定增长率等问题时，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等.
训练2 如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成2个)，那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成________个.
答案　64
解析　经过1小时可分裂6次，可分裂成26＝64(个).
题型三　实数指数幂运算的综合运用
例3 已知xα＋x－α＝2，x>1，且α<0，求xα－x－α的值.
解　由xα＋x－α＝2，两边平方，
得x2α＋x－2α＋2＝20，则x2α＋x－2α＝18，
∴(xα－x－α)2＝x2α＋x－2α－2＝16.
∵x>1，且α<0，∴xα<1，x－α>1，
则xα－x－α<0，
∴xα－x－α＝－＝－4.
迁移 若把本例中条件变为“已知x＋x－＝”，求x2＋x－2.
解　将x＋x－＝，两边平方得x＋x－1＋2＝5，则x＋x－1＝3，
两边再平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.
思维升华　1.整体代换法是计算常用的方法技巧，分析条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是解题关键.在利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题时，常用完全平方式及变形公式求解.
2.本例中也可利用方程思想求xα.
训练3 已知x＋x－1＝7，求值：
(1)x＋x－；(2)x－x－1.
解　(1)设m＝x＋x－，两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，
因为m>0，所以m＝3，故x＋x－＝3.
(2)设n＝x－x－，两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，
则n＝x－x－＝±.
故x－x－1＝
＝±3.
[课堂小结]
1.把有理数指数幂扩充到实数指数幂，指数幂的运算性质得到进一步扩充.
2.进行指数幂的运算，一定要按照指数幂运算性质进行变形计算.
3.解决条件求值问题，要从整体上把握已知条件和所求代数式之间的联系，把条件及所求式化简，将条件整体代入求值.
课后训练A
一、单选题
1．已知，m是正整数，下列各式中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用指数幂的概念与运算法则即可判断.
【详解】由指数幂的概念与运算法则知C错误．
故选：C.
2．（ ）
A． B．2 C．1 D．0
【答案】D
【分析】直接根据指数幂的运算性质计算即可.
【详解】.
故选：D.
3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】B
【分析】化简整理，可得，根据平移变换的原则，即可得答案.
【详解】由题意得，
所以只需将函数的图象向右平移个单位，即可得到的图象.
故选：B
4．若，，，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】结合指数函数的单调性，可得出，，，结合，从而可得出三个数的大小关系.
【详解】函数是上减函数，所以，同理得，
又，所以，
又，所以，即.
故选：D.
【点睛】本题考查几个数的大小比较，考查指数函数单调性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.
5．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据分数指数幂的运算性质对各选项逐一计算即可求解.
【详解】解：对A：，故选项A错误；
对B：，故选项B正确；
对C：，不能化简为，故选项C错误；
对D：因为，所以，故选项D错误.
故选：B.
6．定义在实数集上的奇函数恒满足，且时，，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性和等量关系，求出函数是周期为4的周期函数，利用函数的周期性进行转化求解即可．
【详解】解：奇函数恒满足，
，即，则，即，即是周期为4的周期函数，
所以，
故选：B．
二、多选题
7．(多选)下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．·
【答案】ABC
【分析】根据指数幂的运算法则及运算性质，分选项排除即可．
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，成立，故B正确；
对于C，，成立，故C正确；
对于D，由可取且，但此时和无意义，故D错误，
故选：ABC．
8．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】AC
【分析】根据分数指数幂的定义和运算可得答案.
【详解】A：，故A正确；
B：0的负指数幂没有意义，故B错误；
C：，，故C正确；
D：和的值不相等．故D错误.
故选：AC.
三、填空题
9．已知a2x＝2（a＞0），则＝ ．
【答案】/3.5
【分析】由可得，根据对原式化简计算即可.
【详解】由，得，所以，
则.
故答案为：.
10．计算： .
【答案】0
【解析】由指数幂的运算可得答案.
【详解】因为，
故答案为：0.
11．已知函数，则 .
【答案】/
【分析】根据指数幂的运算性质直接化简计算即可求解.
【详解】
.
故答案为：.
12．是定义在上的周期为的奇函数，当时，，则 .
【答案】
【分析】利用奇偶性将求转化为求，再利用周期性和指数运算进行求解.
【详解】因为函数是定义在上的周期为3的奇函数，
且当时,，
所以，
且，
则.
故答案为：.
四、解答题
13．（1）；
（2）.
【答案】（1）101（2）
【分析】化简式子，即可得出结果
【详解】解（1）由题意
原式=
（2）由题意及（1）得
原式=
14．化简：
（1）
（2）(a>0，b>0).
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案.
（2）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案.
（3）根据指数幂的化简原则，结合立方差公式，通分计算，即可得答案.
【详解】（1）原式
（2）原式＝.
（3）原式.
15．计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果；
（2）由根式与分数指数幂的互化，计算化简即可得出答案.
【详解】（1）原式
（2）由根式与分数指数幂互化运算可得，
16．已知.
（1）求证：；
（2）求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）500
【分析】（1）根据的表达式，求出的表达式，再进行分式通分运算，可得．
（2）设，再把的表达式运用加法交换律改写成，把两式相加利用求出的值．
【详解】（1），．
，
（2）设，则
，
两式相加得：
由（1）得：
，
∴.
【点睛】本题考查指数幂运算，分式运算，利用函数的性质进行式子求值，考查运算求解能力.
课后训练B
一、基础达标
1.对于a>0，b>0，以下运算正确的是(　　)
A.ar·as＝ars B.(ar)s＝ars
C.＝arbr D.arbs＝(ab)r＋s
答案　B
解析　根据实数指数幂的运算性质进行判断.
2.下列运算中正确的是(　　)
A.a2 a3 ＝a6
B.(－a2)3＝(－a3)2
C.(－2)0＝1
D.(－a2 )5＝－a10
答案　D
解析　a2 a3 ＝a5 ，故A错误；
(－a2)3＝－a2×3＝－a6，(－a3)2＝a6，故B错误；
当a＝4时，(－2)0无意义，故C错误；
(－a2 )5＝－a10 ，故D正确.
3.一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折(即沿对边中点连续折叠)10次，这时，报纸的厚度为(　　)
A.2.56厘米 B.5.12厘米
C.10.24厘米 D.20.48厘米
答案　C
解析　0.01×210＝10.24(厘米).
4.计算：3π×＋(22 )＋1＝(　　)
A.17 B.18
C.6 D.5
答案　B
解析　原式＝＋22 ×＋1＝1π＋24＋1＝18.
5.(多选)下列计算正确的是(　　)
A.＝
B.÷＝－9a(a>0，b>0)
C.＝
D.已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2
答案　BC
解析　＝＝，故A错误.
÷＝－9a＋－·b＋－＝－9a，故B正确.
由于＝＝(32)＝3＝，C正确.
因为x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝2，
所以(x＋x－1)2＝4，则x＋x－1＝±2，D不正确.
6.已知3a＝2，3b＝5，则32a－b＝________.
答案　
解析　32a－b＝＝.
7.计算：27＋＋(27－＋162)0＝________.
答案　13
解析　原式＝3＋9＋1＝13.
8.化简＝________.
答案　1
解析　原式＝＝＝＝1.
9.已知x＋x－1＝3(x>0)，求x＋x－的值.
解　因为x＋x－1＝3，所以(x＋x－1)2＝9，
所以x2＋x－2＝7，
所以＝x3＋x－3＋2
＝(x＋x－1)(x2＋x－2－1)＋2
＝3×6＋2＝20，
所以x＋x－＝2.
10.已知a2x＝3，求的值.
解　原式＝
＝a2x－1＋a－2x＝3－1＋＝.
二、能力提升
11.已知2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)
A. B.10
C.20 D.100
答案　A
解析　由题意得m>0，∵2a＝m，5b＝m，
∴2＝m，5＝m，
∵2×5＝m·m＝m＋，
∴m2＝10，∴m＝.
12.设α，β为方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则＝________.
答案　8
解析　由根与系数的关系得α＋β＝－，
所以＝＝(2－2)－＝23＝8.
13.已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值.
解　∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
∴a＋b＝6，且ab＝4.
∴＝＝＝.
∵a>b>0，∴>，∴－>0，
∴＝＝.
三、创新拓展
14.在算式2中＋2国＋2精＋2神＝29中，“中、国、精、神”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小，则“国”字所对应的数字为(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
答案　B
解析　由29＝16＋8＋4＋1＝24＋23＋22＋20，得“国”字所对应的数字为3.

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