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4.2.1　指数函数的概念
课标要求　1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念.2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用.
素养要求　1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养.2.通过指数函数的实际应用，发展数学建模素养.
一、指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
温馨提醒　指数函数和幂函数的区别：两者虽然都是幂的形式，但不同之处在于指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上.
二、两类指数型函数模型
　(1)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型.
(2)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0重点题型
题型一　指数函数的概念
例1 (1)给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.4
(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　)
A.(0，1)∪(1，＋∞) 　　　B.[0，1)∪(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞) 　　　D.
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；
②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；
④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；
⑤中，底数－2<0，故⑤不是指数函数.
(2)依题意得2a－1>0且2a－1≠1，解得a>且a≠1.
思维升华　1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.
2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.
训练1 (1)(多选)下列函数是指数函数的是(　　)
A.y＝52x
B.y＝－4x
C.y＝x3
D.y＝(6a－3)x
(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________.
答案　(1)AD　(2)2
解析　(1)根据指数函数的定义知y＝52x＝25x，y＝(6a－3)x是指数函数.y＝x3是幂函数，y＝－4x不是指数函数.
(2)由指数函数的定义知
解得a＝2.
题型二　求指数函数的解析式或求值
例2 (1)已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(3)＝________.
答案　125　
解析　设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
且f＝，
∴f＝a－＝5－，则a＝5.
故f(x)＝5x，所以f(3)＝53＝125.
(2)已知函数y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝3，＝，＝，…，＝，n∈N*，求函数y＝f(x)的一个解析式.
解　当x增加1时函数值都以的衰减率衰减，
∴函数f(x)为指数衰减型函数模型，
令f(x)＝k(k≠0)，又f(0)＝3，
∴k＝3，∴f(x)＝3·.
思维升华　(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式.
训练2 已知函数f(x)＝(2a2－3a＋2)ax是指数函数，求f(x)的解析式、f的值.
解　因为函数f(x)＝(2a2－3a＋2)ax是指数函数，
所以2a2－3a＋2＝1，且a>0，a≠1，
解得a＝或a＝1(舍去).
所以f(x)＝，故f＝＝.
题型三　指数增长(衰减)型函数的实际应用
例3 (1)为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2017年的耕地面积为m，则2022年的耕地面积为(　　)
A.(1－0.1250)m B.0.9m
C.0.9250m D.(1－0.9)m
(2)某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为(　　)
A.640 B.1 280
C.2 560 D.5 120
答案　(1)B　(2)B
解析　(1)设每年减少的百分率为a，
由题意得，(1－a)50＝1－10%＝0.9，
则1－a＝0.9.
由2017年的耕地面积为m，
得2022年的耕地面积为(1－a)5m＝0.9m.
(2)依题意，2＝ek，则y＝10ekt＝10×2t.
∴当t＝7时，y＝10×27＝1 280.
思维升华　关于函数y＝kax在实际问题中的应用
1.解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率.
2.主要解法用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题.
训练3 春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出的荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天.
答案　19
解析　设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a·2x(x∈N*).
根据题意，令2(a·2x)＝a·220，解得x＝19.
[课堂小结]
1.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
2.解决增长率问题时要准确把握变量的意义，并转化为函数模型求解.
3.解题误区：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0且a≠1.
课后训练A
一、单选题
1．下列函数是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的特征即可求解.
【详解】对于A,是幂函数，
对于B，系数不为1，不是指数函数，
对于C, 是底数为的指数函数，
对于D,底数不满足大于0且不为1，故不是指数函数，
故选：C
2．下列函数是幂函数，且在定义域内为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据幂函数，指数函数的概念及性质逐项判断即可.
【详解】对于A，是幂函数，定义域为，在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
对于B，，定义域是，且在上单调递增，故B正确；
对于C，不是幂函数，故C错误；
对于D，是指数函数，不是幂函数，故D错误.
故选：B.
3．若函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，则.
故选：D
4．已知函数，且a≠1）的图象过定点（m，n），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的图象与性质，求出的图象所过定点，再计算的值．
【详解】解：函数，且中，
令，得，
所以，
所以的图象过定点，
所以，；
所以．
故选：．
【点睛】本题考查了指数函数与指数运算问题，属于基础题．
5．某乡镇现在人均一年占有粮食千克，如果该乡镇人口平均每年增长，粮食总产量平均每年增长，那么年后若人均一年占有千克粮食，则关于的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，分别求得年后人口总量和粮食总量关于的表达式，即可求得.
【详解】不妨设现在乡镇人口总数为，则现在乡镇粮食总量为，
故经过年后，乡镇人口总数为，乡镇粮食总量为，
故经过年后，人均占有粮食.
故选：D.
【点睛】本题考查指数型函数模型的建立，属基础题.
6．函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：为奇函数且时，函数无意义，可排除，又在是减函数，故选.
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.
二、多选题
7．函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】ACD
【分析】根据指数函数的定义，列出方程，得出a的值.
【详解】由指数函数的定义知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3.
故选：ACD.
8．下列函数中，值域是的幂函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据幂函数的定义与性质，对选项中的函数进行分析、判断即可．
【详解】由题意可得选项D的函数为指数函数，故排除D；
对于A：函数，定义域为，所以值域为，满足条件；
对于B：函数，定义域为，所以值域为，满足条件；
对于C：函数，定义域为，在第一象限内单调递增，又，所以值域为，不满足条件.
故选：AB.
三、填空题
9．已知函数和都是指数函数，则 .
【答案】
【分析】根据指数函数解析式的特点即可求出的值，进而可得的值.
【详解】因为函数是指数函数，所以，
由是指数函数，所以，
所以，
故答案为：.
10．双曲函数是由以为底的指数函数和所产生的．其定义为：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切．类比三角函数的公式，我们给出如下双曲函数的公式，其中正确公式的序号为 ．
①
②
③
④
【答案】②④
【分析】根据所给的函数解析式逐个选项判断即可.
【详解】①，错误；
②
，正确；
③
，错误；
④，正确．
故答案为：②④
11．定义在上的奇函数满足，且当时， ，则
【答案】
【分析】由，得到函数为周期函数，再结合函数为奇函数求解.
【详解】因为，
所以，
所以函数周期为4，
所以，
因为函数奇函数，
所以，
所以.
故答案为：
12．已知函数．若对，使成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分别求解出、的值域、，根据题意可得是的子集，即得不等式组，求解不等式组即可.
【详解】试题分析：由题意知的值域是，的值域是，
由题意知是的子集，故，解得，所求的范围是.
故答案为：
四、解答题
13．设函数，，.
（1）若，求；
（2）是否存在正实数，使得是偶函数.
【答案】（1）；（2）存在.
【分析】（1）由函数解析式求、，结合已知可得，即可求；
（2）假设存在正实数使是偶函数，即，整理求出，判断所得参数是否符合题意即可.
【详解】（1）由题意，，，
由，即，整理可得，即；
（2）假设存在正实数，使得是偶函数，即，则，
∴，必有，
故存在正实数，使得是偶函数.
14．已知指数函数的图象经过点，
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，证明：函数的图象与函数的图象关于y轴对称．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设指数函数且，由函数图象过点即可求解；
（2）任取函数的图象上一点，证明该点关于y轴的对称点为在另一个函数图象上即可.
【详解】（1）解：由题意，设指数函数且，
因为函数的图象经过点，所以，解得，
所以函数；
（2）证明：由（1）知，
任取函数的图象上一点，则，
因为关于y轴的对称点为，且，
所以在函数的图象上，
设上任意一点，则，
因为关于y轴的对称点为，且，
所以在函数的图象上，
所以函数的图象与函数的图象关于y轴对称．
15．某车间产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间之间的关系为（其中表示初始废气中污染物数量）.经过5个小时后，经测试，消除了20%的污染物.问：
（1）15小时后还剩百分之几的污染物？
（2）污染物减少36%需要花多长时间？
【答案】（1）15个小时后还剩51.2%的污染物；（2）污染物减少36%需要花.
【分析】（1）根据题意列出，求得，再将代入即可求解.
（2）根据题意列出，利用（1）中的结果代入即可求解.
【详解】（1）由题意得，
则，故当时，.
故15个小时后还剩51.2%的污染物.
（2）由题意，，
即，所以，所以，即，
故污染物减少36%需要花.
【点睛】本题考查了指数函数的生活中的应用、指数的运算，解题的关键是建立指数型函数模型，属于基础题.
16．求下列函数的定义域和值域：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）定义域，值域为且；（2）定义域，值域；（3）定义域，值域
【解析】（1）由得定义域，求出的范围，结合函数的性质可得值域；
（2）由可得定义域，求得的取值范围，结合的性质可得值域；
（3）函数无限制条件，定义域为，求出的取值范围，结合的性质可得值域．
【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得.所以函数的定义域为.因为，所以，即函数的值域为.
（2）要使函数式有意义，则，解得，所以函数的定义域为.因为，所以，即函数的值域为.
（3）函数的定义域为.因为，所以.
又，所以函数的值域为.
【点睛】本题考查指数型复合函数的定义域与值域，定义域只要使函数式有意义即可，求值域时，一个是指数作为一个整体先求得其取值范围，然后要结合指数函数性质得出所求函数的值域．
课后训练B
一、基础达标
1.下列函数是指数函数的是(　　)
A.y＝ B.y＝(－8)x
C.y＝2x－1 D.y＝x2
答案　A
解析　对于A，函数y＝中，a＝>1，是指数函数；
对于B，函数y＝(－8)x中，a＝－8<0，不是指数函数；
对于C，函数y＝2x－1＝×2x，不是指数函数；
对于D，函数y＝x2，是幂函数，不是指数函数.
2.若指数函数f(x)的图象过点(4，81)，则f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)＝x3 B.f(x)＝3x
C.f(x)＝ D.f(x)＝x
答案　B
解析　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，
由题意得a4＝81，解得a＝3，∴f(x)＝3x.
3.若函数f(x)＝(m2－m－1)ax是指数函数，则实数m的值为(　　)
A.2 B.3
C.2或－1 D.－1
答案　C
解析　∵函数f(x)＝(m2－m－1)ax是指数函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或－1.
4.(多选)若函数f(x)＝·ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是(　　)
A.a＝8 B.f(0)＝－3
C.f＝2 D.a＝4
答案　AC
解析　因为函数f(x)是指数函数，所以a－3＝1，解得a＝8，所以f(x)＝8x.
所以f(0)＝1，f＝8＝2，因此选项A、C正确.
5.一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%的衰减率衰减，则t年后，这种放射性元素质量w的表达式为(　　)
A.w＝500×0.9t B.w＝500×0.9t－1
C.w＝500×0.1t D.w＝500×0.1t－1
答案　A
解析　最初的质量为500 g，
经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.91；
经过2年，w＝500×0.92，…，
由此推出，t年后，w＝500×0.9t.
6.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.
答案　()x
解析　由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(2)＝a2＝2，得a＝，
所以f(x)＝()x.
7.若函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是________.
答案　(1，2)
解析　∵函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，
∴08.f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2，4)，则f(f(－1))＝________.
答案　
解析　设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
由f(－2)＝4，得a－2＝4，解得a＝，
所以f(x)＝，
所以f(－1)＝＝2，
所以f(f(－1))＝f(2)＝＝.
9.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数).若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间是多少小时？
解　因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数).
所以解得，
所以y＝100，
所以当x＝10时，y＝100×＝64.
故在10 ℃的冰箱中保鲜时间是64小时.
10.已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数.
(1)求f(x)的表达式；
(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明.
解　(1)由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，
∴f(x)＝2x.
(2)F(x)＝2x－2－x，定义域为R，
∴F(－x)＝2－x－2x＝－F(x)，
∴F(x)是奇函数.
二、能力提升
11.指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)f(2)等于(　　)
A.8 B.16
C.32 D.64
答案　D
解析　由指数函数y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，
可得a－2＝，解得a＝2，
函数的解析式为y＝2x，f(4)f(2)＝24×22＝64.
12.某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日，平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为(参考数据：1.055＝1.2 763，0.9515＝0.7 779)(　　)
A.赚723元 B.赚145元
C.亏145元 D.亏723元
答案　D
解析　由题意得10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5≈10×0.992 77＝9.927 7(万元)，
∵100 000－99 277＝723(元)，
∴股民亏723元.
13.截止到2021年年底，我国某市人口约为130万.若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，则经过x年后，此市人口数为y(万).
(1)求y与x的函数关系y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若按此增长率，2032年年底的人口数是多少？
(3)哪一年年底的人口数将达到135万？
解　(1)2021年年底的人口数为130万；
经过1年，2022年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)；
经过2年，2023年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)；
经过3年，2024年年底的人口数为130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万).
……
所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同，
所以经过x年后的人口数为130(1＋3‰)x(万).
即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*).
(2)2032年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万).
(3)由(2)可知，2032年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134<135.
2033年年底的人口数为130(1＋3‰)12≈134.8(万)，
2034年年底的人口数为130(1＋3‰)13≈135.2(万).
所以2034年年底的人口数达到135万.
三、创新拓展
14.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份(　　)
A.甲食堂的营业额较高
B.乙食堂的营业额较高
C.甲、乙两食堂的营业额相等
D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
答案　A
解析　设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，
由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m(1＋x)4＝.
因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，
所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高.4.2.1　指数函数的概念
课标要求　1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念.2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用.
素养要求　1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养.2.通过指数函数的实际应用，发展数学建模素养.
一、指数函数的概念
一般地，函数 叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
温馨提醒　指数函数和幂函数的区别：两者虽然都是幂的形式，但不同之处在于指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上.
二、两类指数型函数模型
　(1)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当 时为指数增长型函数模型.
(2)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当 时为指数衰减型函数模型.
重点题型
题型一　指数函数的概念
例1 (1)给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.4
(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　)
A.(0，1)∪(1，＋∞) 　　　B.[0，1)∪(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞) 　　　D.
思维升华　1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.
2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.
训练1 (1)(多选)下列函数是指数函数的是(　　)
A.y＝52x
B.y＝－4x
C.y＝x3
D.y＝(6a－3)x
(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________.
题型二　求指数函数的解析式或求值
例2 (1)已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(3)＝________.
(2)已知函数y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝3，＝，＝，…，＝，n∈N*，求函数y＝f(x)的一个解析式.
思维升华　(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式.
训练2 已知函数f(x)＝(2a2－3a＋2)ax是指数函数，求f(x)的解析式、f的值.
题型三　指数增长(衰减)型函数的实际应用
例3 (1)为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2017年的耕地面积为m，则2022年的耕地面积为(　　)
A.(1－0.1250)m B.0.9m
C.0.9250m D.(1－0.9)m
(2)某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为(　　)
A.640 B.1 280
C.2 560 D.5 120
思维升华　关于函数y＝kax在实际问题中的应用
1.解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率.
2.主要解法用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题.
训练3 春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出的荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天.
[课堂小结]
1.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
2.解决增长率问题时要准确把握变量的意义，并转化为函数模型求解.
3.解题误区：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0且a≠1.
课后训练A
一、单选题
1．下列函数是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数是幂函数，且在定义域内为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．若函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，且a≠1）的图象过定点（m，n），则（ ）
A． B． C． D．
5．某乡镇现在人均一年占有粮食千克，如果该乡镇人口平均每年增长，粮食总产量平均每年增长，那么年后若人均一年占有千克粮食，则关于的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．下列函数中，值域是的幂函数是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．已知函数和都是指数函数，则 .
10．双曲函数是由以为底的指数函数和所产生的．其定义为：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切．类比三角函数的公式，我们给出如下双曲函数的公式，其中正确公式的序号为 ．
①
②
③
④
11．定义在上的奇函数满足，且当时， ，则
12．已知函数．若对，使成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
13．设函数，，.
（1）若，求；
（2）是否存在正实数，使得是偶函数.
14．已知指数函数的图象经过点，
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，证明：函数的图象与函数的图象关于y轴对称．
15．某车间产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间之间的关系为（其中表示初始废气中污染物数量）.经过5个小时后，经测试，消除了20%的污染物.问：
（1）15小时后还剩百分之几的污染物？
（2）污染物减少36%需要花多长时间？
16．求下列函数的定义域和值域：
（1）；
（2）；
（3）.
课后训练B
一、基础达标
1.下列函数是指数函数的是(　　)
A.y＝ B.y＝(－8)x
C.y＝2x－1 D.y＝x2
2.若指数函数f(x)的图象过点(4，81)，则f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)＝x3 B.f(x)＝3x
C.f(x)＝ D.f(x)＝x
3.若函数f(x)＝(m2－m－1)ax是指数函数，则实数m的值为(　　)
A.2 B.3
C.2或－1 D.－1
4.(多选)若函数f(x)＝·ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是(　　)
A.a＝8 B.f(0)＝－3
C.f＝2 D.a＝4
5.一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%的衰减率衰减，则t年后，这种放射性元素质量w的表达式为(　　)
A.w＝500×0.9t B.w＝500×0.9t－1
C.w＝500×0.1t D.w＝500×0.1t－1
6.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.
7.若函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是________.
8.f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2，4)，则f(f(－1))＝________.
9.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数).若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间是多少小时？
10.已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数.
(1)求f(x)的表达式；
(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明.
二、能力提升
11.指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)f(2)等于(　　)
A.8 B.16
C.32 D.64
12.某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日，平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为(参考数据：1.055＝1.2 763，0.9515＝0.7 779)(　　)
A.赚723元 B.赚145元
C.亏145元 D.亏723元
13.截止到2021年年底，我国某市人口约为130万.若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，则经过x年后，此市人口数为y(万).
(1)求y与x的函数关系y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若按此增长率，2032年年底的人口数是多少？
(3)哪一年年底的人口数将达到135万？
三、创新拓展
14.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份(　　)
A.甲食堂的营业额较高
B.乙食堂的营业额较高
C.甲、乙两食堂的营业额相等
D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高

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