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高考数学中的10+2个易考点
08高考在渐渐向我们走来，关于高考中的考查一直是老师和同学关注、议论的焦点。结合近几年高考呈现的特点以及课标地区的新要求，总结了高考中的十个易考点和课标地区两个预测点，希望对备考中的同学们能有所帮助。
一、集合的运算
考点分析：关于集合的运算，主要考查集合的子、交、并、补集的相关运算，题型上以选择题为主。该类题目一般与不等式知识进行交汇考查，难度不大，但要注意对文氏图的识读与应用。
例1、（06全国）设集合，，则
A． B．
C． D．
解：=，=，
∴ ，选B.
热身训练1：（07广东顺德模拟）已知，若，则集合等于（ ）
A. B. C. D.
答案：
二、空间中点、线、面的位置关系
考点分析：该考点主要考查空间中的垂直与平行。题型分布上有选择题，带有不定项选择的填空题，解答题中也有涉及，难度以中下等题目为主。应对这类问题，要掌握好空间中关于线面、面面垂直的定理，性质，在解题中依据定理、性质寻找突破口。
例2、（06天津）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（　　）
A．　　 　B．
C．　　　 D．
解：设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面。下列命题中正确的命题是，选B.
热身训练2：（07济南）已知是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：
①若∥，则平行于平面内的任意一条直线；
②若//，，，则//；
③若⊥，⊥，∥，则∥；
④若∥，，则//
上面的命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）.
答案：③④
三、二项式定理
考点分析：二项式展开式是高考考查的一个热点，该考点主要考查二项展开式中某项的系数，二项式系数，展开式中的某一项以及展开式中所有项的系数和等问题。在题型的考查上以填空题或选择题为主，很少涉及解答题，难度不大。对该部分知识要掌握好二项展开式的通项，熟知相关概念，计算时要细心。
例3、（06陕西）展开式中的系数为
解：展开式通项为，令
，则，∴的系数为
热身训练3：（07宜春）若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
四、线性规划中的最值问题
考点分析：线性规划问题高考的考查主要集中在两点：1、已知可行域，求目标函数的最值；2、已知可行域，求可行域的面积。该类题目一般以填空、选择的形式出现，作出较为准确的可行域是求解问题的关键。在最值问题的处理上，要注意代数问题与几何意义相联系。
例4、（06浙江）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是
A． B． 4 C． D． 2
解：原不等式组表示的平面区域如图所示：
易得的面积为4。
热身训练4：（07重庆）在条件下, 的取值范围是________
答案：
五、三角变换及三角函数的性质
考点分析：三角问题的考查主要有两类：一类是三角恒等变换，利用和、差角公式，倍、半角公式等对函数进行化简、求值；另一类主要是在三角变换的基础上，求解已知函数的性质，如求函数的最值及取最值的相应变量值，求解函数的单调区间等。三角问题在近几年的高考中出现在第1个解答题的几率很大。
例5、（06辽宁）已知函数，求：
（1）函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；
（2）函数的单调增区间．
解：
∴当，即时，取得最大值.
因此，取得最大值的自变量的集合是
（Ⅱ）解：
由题意得，即.
因此，的单调增区间是。
热身训练5：（07安徽）已知，（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值
答案：；。
六、概率问题
考点分析：概率为每年必考的内容，并且选择题和解答题也可能在同一试卷中出现。概率的考查主要以现实生活中的问题为载体，结合排列组合的知识进行考查。实施新课标的地区，由于知识安排的特点，古典概型与互斥事件相结合的题目出现的几率很大，理科同学要注意随机变量的分布列以及期望方差的考查。
例6、（06山东）盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：
(Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；
(Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率；
(Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率。
解：解：（I）“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A，由题意
（II）“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B，则。
（III）“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D，由题意，C与D是对立事件，因为，
所以.
热身训练6：（07深圳调研）某单位要在甲、乙、丙、丁人中安排人分别担任周六、周日的值班任务（每人被安排是等可能的，每天只安排一人）．
（Ⅰ）共有多少种安排方法？
（Ⅱ）其中甲、乙两人都被安排的概率是多少？
（Ⅲ）甲、乙两人中至少有一人被安排的概率是多少？
答案：（Ⅰ）12种方法；（Ⅱ）；（Ⅲ）。
七、空间几何体中的距离及角
考点分析：近几年高考的解答题中，关于立体几何的题目，几乎是每次都有。试题的考查形式有填空，有选择，也有解答题，其中解答题的形式主要是以空间几何体为载体，考查空间中的位置关系，或是距离及角，其中关于二面角的考查是这类题目命题中的热点。由于新课程对空间几何体的内容作了扩充，所以，有关空间几何体的表面积、体积的考查同样要引起重视。在处理空间中的距离及角时，要特别注意向量法的应用。
例7、如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为1，是底面边上的中点，是侧棱上的点，且
（Ⅰ）求二面角的平面角的余弦值；
（Ⅱ）求点到平面的距离。
解：因为是底面边上的中点，所以，又,所以面，从而，所以为二面角的平面角。
又,,

连，得＝，在中，由余弦定理得：
。
故所求二面角的平面角的余弦值为。
（Ⅱ）过在面内作直线，为垂足。又平面，所以。于是平面，故即为到平面的距离。在中，＝。
所以点到平面的距离为1。
热身训练7、（07江苏）如图，在直三棱柱中，，，，是棱的中点．
设平面与棱交于点，确定点的位置并给出理由；
求直线与平面所成角的大小；
求二面角的大小．
答案：（1）是中点；（2）；（3）
八、利用导数求函数的极值、单调区间
考点分析：函数的极值（最值）以及单调区间的考查在高考中逐渐升温。导数的考查一是在导数的几何意义，运算处命题；二是以导数为工具，交汇函数，不等式等知识进行命题。关于函数的导数，要特别注意识记和两类函数的导数。
例8、（06江西）已知函数在与时都取得极值
（1）求的值与函数的单调区间
（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围。
解：（1）∵，∴
由，得：
∴，函数的单调区间如下表：
（－(，－）
－
（－，1）
1
（1，＋(）
＋
0
－
0
＋
极大值
极小值
所以函数的递增区间是与，递减区间是
（2），，当时，为极大值，而，则为最大值。
要使，恒成立，只需解得或。
热身训练8：．（07皖北省示范高中模拟）已知定义在实数集上的函数
是实数.
（1）若函数在区间上都是增函数，在区间上是减函数，并且求函数的表达式；
（2）若，求证：函数是单调函数.
答案：（1）；（2）提示：当恒成立，此时函数是单调递增函数；当恒成立，此时函数是单调递减函数.
九、数列综合问题
考点分析：数列问题是高中数学的核心内容之一，在高考中占有举足轻重的地位。由于自身的特点，数列问题经常与不等式，函数，解析几何知识交汇考查，考查主要以等差、等比数列为主线。三大题型中都有数列的影子，高考中的最后两题，经常以数列作为考查点之一进行交汇命题，因此数列题目既有中低档题，也有难度较大的题目。应对这类综合性问题，首先要打牢基础，熟练掌握等差、等比数列的通项、前项和的求法，以及其相关的性质，在此基础上结合题目进行灵活的处理。
例9、（06全国）设数列的前项的和，
（Ⅰ）求首项与通项；
（Ⅱ）设，，证明：
解：解: (Ⅰ)由，… ① 得，
∴
再由①有，… ②
将①和②相减得: ，…
整理得: ，… , 因而数列是首项为,公比为4的等比数列,即 : ，…,
因而，…,
(Ⅱ)将代入①得
所以,
热身训练9：（07烟台）已知：，数列的前n项和为，点在曲线
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的前n项和为Tn，且满足，设定的值，使得数列是等差数列；
（3）求证：.
（1）；（2）时，为等差数列；
（3）提示：
十、圆锥曲线的综合问题
考点分析：圆锥曲线的综合问题是高考考查的热点中的热点。圆锥曲线的综合问题涉及的交汇点多，符合高考“在知识交汇处命题”的精神，从近几年高考看，这类题目在高考压轴题中出现的频率较高，难度也很大。关于此类问题的备考，要注意以下几点：
1、掌握好圆锥曲线的定义，性质，并能灵活运用；
2、注意圆锥曲线与直线交汇考查时，相应的弦长，面积的考查；
3、注意圆锥曲线中的最值、定值问题，这方面的考查在高考中是热点。
4、注意圆锥曲线与向量、不等式、数列等的交汇命题。
例10、（06年四川）已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点，如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积
解：由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，
且，易知。故曲线的方程为
设，由题意建立方程组
消去，得
又已知直线与双曲线左支交于两点，
∴ ， 解得：
又∵
依题意得，整理后得
∴或 但 ∴
故直线的方程为，设，由已知，得，∴，
热身训练10：设椭圆若在椭圆上存在点M使得
（1）求实数m的范围；
（2）若直线最小，求此最小值及此椭圆的方程。
（3）已知定点的直线与椭圆交于A、B两点，满足。若存在则求出实数k的范围；若不存在说明理由。
答案：（1）；（2）最小值为；
（3）存在，此时的取值范围为
由于课程的改革，课标地区的教材有了一定的变化，高考考查的侧重点也有了较大的调整。07年的高考要体现课改的精神，所以，预测高考中会出现几个新亮点：
十一、程序框图的考查
算法知识在新课改中占有中要地位，新高考对这类知识的考查预计会以程序框图为主，题型应该多以选择、填空的形式出现。备考中要注意框图与数列，具有周期性的函数等进行联系。
例11、已知函数，，可构造一个数列发生器，其工作原理如图，由数列发生器产生数列，则的第项为
解：由流程图可得：，，，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，

∴，则。
热身训练11：（07深圳）在如下程序框图中，输入，则输出的是__________.
答案：
十二、积分的考查
积分的考查预计会分布在两点：1、积分的计算；2、利用积分计算曲边梯形面积。
例12、已知幂函数为增函数，则与轴以及直线所构成的曲边梯形的面积为
解：由幂函数定义及性质知：且，
所以，所求曲边梯形的面积
热身训练12：（潍坊模拟）＝
A．0 B． C．2 D．4
答案：A
说明：因为向量、不等式等知识的考查多以交汇形式出现，并且在有些综合题中已作分析，所以没有单独列出，但相关知识同样要引起大家的重视。

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