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2023年 10月高一月考数学—淄博市名校
（考试时间：120分钟 满分 150分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1. 下列元素与集合的关系中，正确的是 ( )
A. 0 N * B. - 1∈N C. 3 ∈Q D. 25 R A. A∩ (B∪C) B. A∪ (B∩C) C. A∩ U(B∩C) D. (A∩ B) ∪ (A∩C)
2. 已知集合 A={x| -1< x≤ 2}，B={-1，0，1}，则 A∩ B= ( ) 11. 1已知关于 x的不等式 ax2+ bx+ c> 0的解集为 - 2 ，2 ，则下列结论错误的是 ( )
A. {-1，0，1} B. {-1，0} C. {0，1} D. {0，1，2} A. a> 0 B. b> 0 C. c> 0 D. a+ b+ c> 0
3. 已知命题 p：“ x≥ 0，x2- x+ 1≥ 0”，则它的否定为 ( ) 12. 下列选项中正确的是 ( )
A. x< 0，x2- x+ 1< 0 B. x< 0，x2- x+ 1< 0 A. x y x+ 2y= 1 2 + 1 ≥ 8 B. a a+ 1若正实数 ， 满足 ，则 x y 存在实数 ，使得不等式 a ≤ 2成立
C. x≥ 0，x2- x+ 1< 0 D. x≥ 0，x2- x+ 1< 0
C. 若 a、b b a为正实数，则 a +x y z xyz b
≥ 2 D. 不等式 a+ b≥ 2 ab恒成立
4. 已知集合M={m|m= | | + | | + | | + | |，x、y、z为非零实数}，则M的子集个数是 ( )x y z xyz
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
A. 2 B. 8 C. 4 D. 16
13. a b c a> b> 0 m> 0 b b+m若实数 ，， 满足 ， ，则 a a+m (用不等号填空)．
5. 已知 0< x< 4，0< y< 6，则 2x- y的取值范围是 ( )
14. 某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x吨，运费为 6 万元 /次，一年的总存储费用为 4x万元．要使一年的
A. - 2< 2x- y< 0 B. 0< 2x- y< 2 C. - 8< 2x- y< 6 D. - 6< 2x- y< 8
总运费与总存储费用之和最小，则 x的值是 ．
6. 已知集合 A={x|x<-4或 x> 2}，B={x|x< a}，若 A∪ B= R，则实数 a的取值范围为 ( )
15. 若“x<-1”是“x≤ a”的必要不充分条件，则 a的取值范围是 ．
A. a|a≥ 4 B. a|a> 4 C. a|a≥ 2 D. a|a> 2
16. 已知关于 x的不等式 (mx-m2- 6) (x+ 4)< 0(其中m∈ R)的解集为 A，若满足 A∩ Z= B(其中 Z为整数集)，则
7. 下列说法中，错误的是 ( )
使得集合 B中元素个数最少时m取值范围是 ．
A. 若 a2> b2，ab> 0 1 < 1，则 a b B.
a b
若 2 > 2 ，则 a> bc c 四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
C. 若 b> a> 0 m> 0 a+m， ，则 b+m >
a
b D. 若 a> b，c< d，则 a- c> b- d 17. 已知U= R，A={x∈ R|2≤ x< 5}，B={x∈ R|3≤ x≤ 7}，计算．
8. 设 a> 0，b> 1，若 a+ b= 2 4 1，且不等式 2a + b- 1 >m + 8m恒成立，则m的取值范围是 ( )
(1)A∪ B； (2) ( UA) ∪ ( UB)．
A. m> 9或m<-1 B. m> 1或m<-9 C. - 9二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 5分，部分选对得 2分，有选错的得 0分。
1 1
9. 下列“若 p，则 q”形式的命题中，p是 q的必要条件的是 ( ) 18. (1)已知 0< x< 2 ，求 y= 2 x(1- 2x)的最大值；
4
A. 若 x2> y2，则 x> y B. 若 x> 5，则 x> 10 (2)已知 x< 3，求 f (x) = x- 3 + x的最大值；
C. 若 ac= bc，则 a= b D. 若 2x+ 1= 2y+ 1，则 x= y (3)已知 x，y∈ R+，且 x+ y= 4 1 3，求 x + y 的最小值．
10. 图中阴影部分用集合符号可以表示为 ( )
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19. 已知集合 A={x|x2- 3x+ 2= 0}，B={x|x2- ax+ (a- 1) = 0}，C={x|x2-mx+ 2= 0}． 22. 已知二次函数 y= ax2+ bx+ c．
(1)命题 p：“ x∈ B，都有 x∈ A”，若命题 p为真命题，求 a的值； (1)若 y> 0的解集为 {x| -3< x< 4}，解关于 x的不等式 bx2+ 2ax- (c+ 3b)< 0；
2 2
(2)若“x∈ A”是“x∈C” a + c的必要条件，求m的取值范围． (2)若对任意 x∈ R，b= 2，a> c且不等式 y≥ 0 恒成立，并且存在 x 20∈ R，使得 ax0+ 2x0+ c= 0 成立，求 a- c
的最小值；
(3) a+ 2b+ 4c若对任意 x∈ R，若 a< b且不等式 y≥ 0恒成立，求 b- a 的最小值．
20. 已知命题“关于 x的方程 x2+mx+ 2m+ 5= 0有两个不相等的实数根”是假命题．
(1)求实数m的取值集合 A；
(2)设集合 B={x|1- 2a≤ x≤ a- 1}，若 x∈ A是 x∈ B的充分不必要条件，求实数 a的取值范围．
21. 全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号．太原市某社区响应市委号召，在全面
开展“创城”的基础上，对一块空闲地进行改造，计划建一面积为 4000m2 矩形休闲广场．要求既要占地最少，又
要美观实用．初步决定在休闲广场的东西边缘都留有宽为 2m的草坪，南北边缘都留有 5m的空地栽植花木．
(1)设占用空地的面积为 S(单位：m2)，矩形休闲广场东西距离为 x(单位：m，x> 0)，试用 x表示为 S的函数；
(2)当 x为多少时，用占用空地的面积最少？并求最小值．
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2023年 10月高一月考数学—淄博第七中学 对于D：若 2x+ 1= 2y+ 1，则 x= y，所以 p为 q的充要条件，故D错误．故选：BC．
参考答案 10. AD解：图中阴影部分用集合符号可以表示为：
1. A解：选项 B：因为集合N中没有负数，故 B错误， A∩ (B∪C)或 (A∩ B) ∪ (A∩C)．
选项 A：因为集合N *中的元素是所有正整数，故 A正确，
选项C：因为集合Q表示所有有理数，故C错误，
选项D 2：R为实数集，5 是实数，故D错误，故选：A．
2. C解：∵ A={x| -1< x≤ 2}，B={-1，0，1}，
∴ A∩ B={x| -1< x≤ 2}∩ {-1，0，1}= {0，1}．故选：C．
3. D解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
故选：AD．
命题 p：“ x≥ 0，x2- x+ 1≥ 0”，
2 1
则它的否定为： x≥ 0，x2- x+ 1< 0．故选：D． 11. BCD解：不等式 ax + bx+ c> 0的解集为 - 2 ，2 ，
4. B解：当 x、y、z都是正数时，m= 4； - 1所以 2 和 2是方程 ax
2+ bx+ c= 0的实数解，且 a< 0；
当 x、y、z都是负数时，m=-4；
- 1 + 2=- b
当 x、y、z中有一个是正数时，另外两个是负数或有两个是正数，另一个是负数时，m= 0； 由根与系数的关系知， 2 a1 c ，
故该集合中有 3个元素，则其子集个数为 23= 8．故选：B． - 2 × 2= a
5. D解：∵ 0< x< 4，0< y< 6， 所以 b=- 3 a> 0，且 c=-a> 0；
∴ 0< 2x< 8，-6<-y< 0 2， 1
∴-6< 2x- y< 8，故选：D． 又 1∈ - 2 ，2 ，所以 a+ b+ c> 0；
6. D解：∵集合 A={x|x<-4或 x> 2}， 综上知，正确的结论是 BCD．故选：BCD．
B={x|x< a}，A∪ B= R，∴ a> 2， 12. ABC解：对于 A：若正实数 x，y满足 x+ 2y= 1，
∴实数 a的取值范围是 (2, +∞)．故选：D． 当且仅当 a= b时等号成立恒成立，故 A错误；
7. A解：对于 A，若 a2> b2，ab> 0，取 a=-4，b=-2 1 1 1，则 a > b ，故 A错误； 对于 B：存在实数 a= 1，使得不等式 a+ a ≤ 2成立，故 B正确；
a b 1
对于 B，若 2 > 2 ，则 > 0，所以 a> b，故 B正确； C a b
b a
c c c2 对于 ：若 、 为正实数，则 a + b ≥ 2
b
a
a
b ≥ 2，
对于C，若 b> a> 0，m> 0，则 b- a> 0， b当且仅当 a =
a
b 时，等号成立，故C正确；
a+m - a = m(b- a) > 0 a+m a则 b+m b ( + ，所以 > ，故C正确；b b m) b+m b 对于D：当 a≥ 0和 b≥ 0时，不等式 a+ b≥ 2 ab，
4y
D 4y对于 ，若 a> b，c< d，则-c>-d，所以 a- c> b- d，故D正确．故选：A． 2 1 2 1 x则 x + y = (x+ 2y) + = + xx y x y + 4≥ 2 x y + 4= 8，
8. C解：∵ a+ b= 2， 4y x 1 1
∴ a+ b- 1= 1 当且仅当 x = y，即 x= 2 ,y= 4 时等号成立，故 A正确．故选：ABC．，
∴ 4 + 1 (a+ b- 1) = 4+ 4 b- 1 aa b- 1 a + b- 1 + 1 13. >
解：∵ b> a> 0，m> 0，∴ b- a> 0，
≥ 5+ 2 2= 9( b- 1 a当且仅当 4 a = b- 1 时取“=” )， ∴ b - b+m = b(a+m) - a(b+m) m(b- a)
∴ 4 + 1 9 a a+m
= > 0，
的最小值为 ， a(a+m) a(a+m)a b- 1 b b+m
4 1 ∴ > ，故答案为：>．
则由不等式 2 a a+ma + b- 1 >m + 8m恒成立， 14. 30
得：m2+ 8m< 9，即 (m+ 9) (m- 1)< 0， 600 900
解得：-99. BC解：对于 A：若 x2> y2，则 x> y，所以 p为 q既不充分也不必要条件，故 A错误； 当且仅当 x= 30时取等号．故答案为：30．
对于 B：若 x> 5，则 x> 10，所以 p为 q的必要条件，故 B正确； 15. (-∞,-1)
对于C：若 ac= bc，则 a= b，所以 p为 q的必要条件，故C正确； 解：若“x<-1”是“x≤ a”的必要不充分条件，
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则 (-∞，a] (-∞,-1)， 2
③C={2}时，此时， △=m - 8= 0 m= 4 ，此时方程组无解，m的值不存在．则 a<-1，
即实数 a的取值范围是 (-∞,-1)，故答案为：(-∞,-1) ④C= ，此时△=m
2- 8< 0，解得-2 216. [2，3] 综上可知：m的取值范围是 {m|m= 3，或-2 2解：对m分类讨论：若m= 0，不等式化为：x+ 4> 0，解得 x>-4．∴ A= (-4, +∞)．此时满足 A∩ Z= B 20. 解：(1)若命题“关于 x的方程 x
2+mx+ 2m+ 5= 0有两个不相等的实数根”是真命题，
所以△=m2的 B有无数个元素． - 4(2m+ 5)> 0，解得m> 10或m<-2，故 A={m| -2≤m≤ 10}．
m2+ 6 m2+ 6 (2)因为 A={m| -2≤m≤ 10}，x∈ A是 x∈ B的充分不必要条件，所以 A B．
若m< 0，不等式化为： x- m (x+ 4) > 0，无论 m 与-4 的大小关系如何，此时满足 A∩ Z= B 1- 2a≤-2即 ，解得 a≥ 11，所以实数 a的取值范围为 [11，+∞)．
的 B有无数个元素． a- 1≥ 10
2
m> 0 x- m + 6
2 2 4000
若 ，不等式化为： m (x+ 4) < 0，解得-4< x<
m + 6
m ，此时满足 A∩ Z= B的 B有有限个
21. 解：(1)因为广场面积须为 4000m ，所以矩形广场的南北距离为 x m，
m2+ 6 6 m2- 6 S= (x+ 4) 4000所以 + 10 (x> 0)；
元素．由 f (m) = m ，f ′ (m) = 1- = ，
x
m2 m2
m2+ 6 (2) (1) S= 4040+
16000
由 知 + 10x≥ 4040+ 2 16000 10x= 4040+ 800= 4840，
可得m= 6 时，f (m)取得极小值即最小值，此时 B中只含有 8 个元素，令 m = 5，解得m= 2，3．∴ 2
x x
当且仅当 x= 40时，等号成立．
≤m≤ 3．
所以当休闲广场东西距离为 40m时，用地最小值为 4840m2．
综上可得：使得集合 B中元素个数最少时m取值范围是 [2，3]．故答案为：[2，3]．
22. 解：(1)ax2+ bx+ c> 0的解集为 {x| -3< x< 4}，
17. 解：(1) ∵ A={x|2≤ x< 5}，B={x|3≤ x≤ 7}，
可得 a< 0，-3，4是方程 ax2+ bx+ c= 0的两根，
∴ A∪ B=[2，7]； b c
(2) ∵U= R， 则-3+ 4=- a ，-3× 4= a ，即有 b=-a，c=-12a，
∴ UA={x|x< 2或 x≥ 5}， UB={x|x< 3或 x> 7}， 关于 x的不等式 bx2+ 2ax- (c+ 3b)< 0即为-ax2+ 2ax- (-15)a< 0，
∴ ( 2UA) ∪ ( UB) = {x|x< 3或 x≥ 5}． 化为 x - 2x- 15< 0，解得-3< x< 5，
1 1 1 2x+ (1- 2x) 218. 解：(1) 1 则所求不等式的解集为 (-3,5)；因为 0< x< 2 ，所以 1- 2x> 0，所以 y= 4 2x(1- 2x) ≤

4 2 = 16 ，当且仅当 2x (2)若对任意 x∈ R，b= 2，a> c且不等式 ax2+ 2x+ c≥ 0恒成立，
= 1- 2x x= 14 时取“=”
1
，则函数的最大值为 16 ． 可得 a> 0，△≤ 0，即 4- 4ac≤ 0，即 ac≥ 1．
4 4 并且存在 x ∈ R，使得 ax
2+ 2x + c= 0成立，
(2)因为 x< 3，3- x> 0，f (x) =- 3- x + (3- x) + 3≤-2 3- x (3- x) + 3=-1
4 0 0 0
，当且仅当 3- x = 则 4- 4ac≥ 0，即 ac≤ 1，
3- x x= 1时取“=”，则函数的最大值为-1． 所以 ac= 1，a> c> 0，
(3) 1 3 1 y因为 x，y∈ R+，且，所以 x + y = 4 (x+ y) 1 3 1 3x 1
y 3x 2 2 (a- c)2+ 2ac
x + y = 4 4+ x + y ≥ 4 4+ 2 x y = 1+ a + c则 a- c = a- c = (a- c) + 2a- c ≥ 2 2，
y
3 = 3x x= 2( 3- 1) 3 a- c= 2，当且仅当 x y 时取“=”，则函数的最小值为 1+ ． 当且仅当 a- c，即 a- c= 2，又 ac= 1 a= 6+ 2，即有 2 ，c= 6- 22 时，取得等号．2 x+ y= 4 y= 2(3- 3 ) 2 a2+ c2
2 所以 a- c 的最小值是 2 2；19. 解：(1)由 x - 3x+ 2= 0，解得 x= 1，2，∴集合 A={1，2}，B={x|[x- (a- 1)] (x- 1) = 0}，
命题 p：“ x∈ B，都有 x∈ A”，若命题 p为真命题，则 B A． (3)若对任意 x∈ R，若 a< b且不等式 y≥ 0恒成立，
2
①若 B={1}，则 a- 1= 1，解得 a= 2． b可得 a> 0，且 b2- 4ac≤ 0，即有 c≥ 4a，
②若 B={1，2}，则 a- 1= 2，解得 a= 3． b2
a+ 2b+ 4c a+ 2b+ a a2∴ a的值为 2或 3． + 2ab+ b
2
所以 b- a ≥ b- a = ，
(2)若“x∈ A是“x∈C” ∴C A a(b- a)的必要条件， ． 2
2 t= b > 1 a + 2ab+ b
2 t2= + 2t+ 1 4令 ，则 4
①C= A △=m - 8> 0时，此时， ，解得m= 3． a a(b- a) t- 1
= (t- 1) + t- 1 + 4≥ 2 (t- 1) t- 1 + 4= 8，
m= 1+ 2
△=m2- 8= 0 当且仅当 t- 1= 2，即 t= 3，b= 3a c=
9
， 4 a时，等号成立．
②C={1}时，此时， m= 3 ，此时方程组无解，m的值不存在． a+ 2b+ 4c所以 b- a 的最小值为 8．
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2023年 10月高一月考数学—淄博市名校 7. 下列说法中，错误的是 ( A )
2 2
（考试时间：120分钟满分 150分） A. 若 a > b ，ab> 0
1 1 a b
，则 a < b B. 若 2 > 2 ，则 a> bc c
a+m a
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 C. 若 b> a> 0，m> 0，则 b+m > b D. 若 a> b，c< d，则 a- c> b- d
1. 下列元素与集合的关系中，正确的是 ( A ) 【解答】解：对于 A，若 a2> b2，ab> 0，取 a=-4，b=-2 1，则 a >
1
b ，故 A错误；
* 对于 B
a b 1
，若 > ，则 > 0，所以 a> b，故 B正确；
A. 0 N B. - 1∈N C. 3 ∈Q D. 2 R c2 c2 c25 对于C，若 b> a> 0，m> 0，则 b- a> 0，
【解答】解：选项 B：因为集合N中没有负数，故 B错误， a+m - a则 b+m b =
m(b- a) > 0 a+m a( + ) ，所以 b+m > b ，故C正确；b b m
选项 A：因为集合N *中的元素是所有正整数，故 A正确， 对于D，若 a> b，c< d，则-c>-d，所以 a- c> b- d，故D正确．故选：A．
选项C：因为集合Q表示所有有理数，故C错误，
4 1
2 2
选项D：R为实数集，5 是实数，故D错误，故选：A．
8. 设 a> 0，b> 1，若 a+ b= 2，且不等式 a + b- 1 >m + 8m恒成立，则m的取值范围是 ( C )
A. m> 9或m<-1 B. m> 1或m<-9 C. - 92. 已知集合 A={x| -1< x≤ 2}，B={-1，0，1}，则 A∩ B= ( C )
【解答】解：∵ a+ b= 2，
A. {-1，0，1} B. {-1，0} C. {0，1} D. {0，1，2}
∴ a+ b- 1= 1，
【解答】解：∵ A={x| -1< x≤ 2}，B={-1，0，1}， ∴ 4 1a + b- 1 (a+ b- 1) = 4+ 4
b- 1
a +
a
b- 1 + 1
∴ A∩ B={x| -1< x≤ 2}∩ {-1，0，1}= {0，1}．故选：C． ≥ 5+ 2 2= 9(当且仅当 4 b- 1 aa = b- 1 时取“=” )，
4 1
3. 已知命题 p：“ x≥ 0，x2- x+ 1≥ 0” ∴ + 的最小值为 9，，则它的否定为 ( D ) a b- 1
4 + 1则由不等式 >m2+ 8m恒成立，
A. x< 0，x2- x+ 1< 0 a b- 1B. x< 0，x2- x+ 1< 0
得：m2+ 8m< 9，即 (m+ 9) (m- 1)< 0，
C. x≥ 0，x2- x+ 1< 0 D. x≥ 0，x2- x+ 1< 0
解得：-9【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
2 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部命题 p：“ x≥ 0，x - x+ 1≥ 0”，
选对的得 5分，部分选对得 2分，有选错的得 0分。
则它的否定为： x≥ 0，x2- x+ 1< 0．故选：D．
x y z xyz 9. 下列“若 p，则 q”形式的命题中，p是 q的必要条件的是 ( BC )4. 已知集合M={m|m= | | + | | + | | + | |，x、y、z为非零实数}，则M的子集个数是 ( B )x y z xyz A. 若 x2> y2，则 x> y B. 若 x> 5，则 x> 10
A. 2 B. 8 C. 4 D. 16 C. 若 ac= bc，则 a= b D. 若 2x+ 1= 2y+ 1，则 x= y
【解答】解：当 x、y、z都是正数时，m= 4；
【解答】解：对于 A：若 x2> y2，则 x> y，所以 p为 q既不充分也不必要条件，故 A错误；
当 x、y、z都是负数时，m=-4；
对于 B：若 x> 5，则 x> 10，所以 p为 q的必要条件，故 B正确；
当 x、y、z中有一个是正数时，另外两个是负数或有两个是正数，另一个是负数时，m= 0；
对于C：若 ac= bc，则 a= b，所以 p为 q的必要条件，故C正确；
故该集合中有 3个元素，则其子集个数为 23= 8．故选：B．
对于D：若 2x+ 1= 2y+ 1，则 x= y，所以 p为 q的充要条件，故D错误．故选：BC．
5. 已知 0< x< 4，0< y< 6，则 2x- y的取值范围是 ( D ) 10. 图中阴影部分用集合符号可以表示为 ( AD )
A. - 2< 2x- y< 0 B. 0< 2x- y< 2 C. - 8< 2x- y< 6 D. - 6< 2x- y< 8
【解答】解：∵ 0< x< 4，0< y< 6，
∴ 0< 2x< 8，-6<-y< 0，
∴-6< 2x- y< 8，故选：D．
6. 已知集合 A={x|x<-4或 x> 2}，B={x|x< a}，若 A∪ B= R，则实数 a的取值范围为 ( D )
A. a|a≥ 4 B. a|a> 4 C. a|a≥ 2 D. a|a> 2 A. A∩ (B∪C) B. A∪ (B∩C) C. A∩ U(B∩C) D. (A∩ B) ∪ (A∩C)
【解答】解：∵集合 A={x|x<-4或 x> 2}，
【解答】解：图中阴影部分用集合符号可以表示为：
B={x|x< a}，A∪ B= R，∴ a> 2，
A∩ (B∪C)或 (A∩ B) ∪ (A∩C)．
∴实数 a的取值范围是 (2, +∞)．故选：D．
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所在学校：_______________________________________ 姓名：____________ 准考证号：___________________
在 密 封 线 内 答 题 无 效
则 (-∞，a] (-∞,-1)，
则 a<-1，
即实数 a的取值范围是 (-∞,-1)，故答案为：(-∞,-1)
16. 已知关于 x的不等式 (mx-m2- 6) (x+ 4)< 0(其中m∈ R)的解集为 A，若满足 A∩ Z= B(其中 Z为整数集)，则
使得集合 B中元素个数最少时m取值范围是 [2，3] ．
故选：AD． 【解答】解：对m分类讨论：若m= 0，不等式化为：x+ 4> 0，解得 x>-4．∴ A= (-4, +∞)．此时满足 A∩ Z= B的 B有无数个元素．
2
m< 0 x- m + 6
2
1 若 ，不等式化为： m (x+ 4)> 0
m + 6
，无论 m 与-4的大小关系如何，此时满足 A∩ Z= B的 B有无数个元素．11. 已知关于 x的不等式 ax2+ bx+ c> 0的解集为 - 2 ，2 ，则下列结论错误的是 ( BCD ) 2 2 2若 m> 0 m + 6 m + 6 m + 6 6，不等式化为： x- m (x+ 4) < 0，解得-4< x< m ，此时满足 A∩ Z= B的 B有有限个元素．由 f (m) = m ，f ′ (m) = 1- =m2
A. a> 0 B. b> 0 C. c> 0 2D. a+ b+ c> 0 m - 6 ，
m2
2
【解答】解：不等式 ax2+ bx+ c> 0 1的解集为 - ，2 ， 可得m= 6 时，f (m)取得极小值即最小值，此时 B中只含有 8
m + 6
个元素，令 m = 5，解得m= 2，3．∴ 2≤m≤ 3．2
- 1所以 2 和 2是方程 ax
2+ bx+ c= 0的实数解，且 a< 0； 综上可得：使得集合 B中元素个数最少时m取值范围是 [2，3]．故答案为：[2，3]．
- 12 + 2=-
b
a
由根与系数的关系知， 1 c ， 四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。- 2 × 2= a
所以 b=- 3 a> 0，且 c=-a> 0； 17. 已知U= R，A={x∈ R|2≤ x< 5}，B={x∈ R|3≤ x≤ 7}，计算．2
1∈ - 1又 2 ，2 ，所以 a+ b+ c> 0； (1)A∪ B； (2) ( UA) ∪ ( UB)．
综上知，正确的结论是 BCD．故选：BCD．
【解答】解：(1) ∵ A={x|2≤ x< 5}，B={x|3≤ x≤ 7}，
12. 下列选项中正确的是 ( ABC ) ∴ A∪ B=[2，7]；
(2) ∵U= R，
A. 若正实数 x，y满足 x+ 2y= 1 2 1，则 x + y ≥ 8 B.
1
存在实数 a，使得不等式 a+ a ≤ 2成立 ∴ UA={x|x< 2或 x≥ 5}， UB={x|x< 3或 x> 7}，
C. a b b a ∴ ( A) ∪ ( B) = {x|x< 3或 x≥ 5}．若 、 为正实数，则 a + b ≥ 2 D. 不等式 a+ b≥ 2 ab恒成立
U U
【解答】解：对于 A：若正实数 x，y满足 x+ 2y= 1，
18. (1) 1 1已知 0< x<
当且仅当 a= b时等号成立恒成立，故 A错误； 2
，求 y= 2 x(1- 2x)的最大值；
4
1
对于 B：存在实数 a= 1，使得不等式 a+ a ≤ 2
(2)已知 x< 3，求 f (x) = + x的最大值；
成立，故 B正确； x- 3
b + a ≥ b a ≥ (3) x y∈ R+ x+ y= 4 1对于C：若 a、b为正实数，则 a b 2 a b 2， 已知 ， ，且 ，求 x +
3
y 的最小值．
b = a 2当且仅当 a b 时，等号成立，故C正确； 【解答】解：(1)因为 0< x<
1 1- 2x> 0 1 1 2x+ (1- 2x) 1 12 ，所以 ，所以 y= 2x(1- 2x) ≤
4 4 2 = 16 ，当且仅当 2x= 1- 2x x= 4 时取“=”，则函数的最大值为
对于D：当 a≥ 0和 b≥ 0时，不等式 a+ b≥ 2 ab， 1
16 ．
2 + 1 = (x+ 2y) 2 + 1 =
4y x 4y
则 xx y x y x + y + 4≥ 2 x y + 4= 8， (2)因为 x< 3，3- x> 0，f (x) =- 4 3- x + (3- x) + 3≤-2 43- x (3- x) + 3=-1 4，当且仅当 3- x = 3- x x= 1时取“=”，则函数的最大值为-1．
4y x 1 1
当且仅当 = y 3xx y，即 x= 2 ,y= 4 时等号成立，故 A正确．故选：ABC． y = x= 2( 3- 1)(3)因为 x，y∈ R+ 1 + 3 = 1 (x+ y) 1 3，且，所以 x y 4 x + y = 1 3x 1
y 3x 3 x y
4 4+ x + y ≥ 4 4+ 2 x y = 1+ 2 ，当且仅当 x+ y= 4 时取y= 2(3- 3 )
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 “=”，则函数的最小值为 1+ 32 ．
13. 若实数 a，b，c满足 a> b> 0 b b+m，m> 0，则 a > a+m (用不等号填空)． 19. 已知集合 A={x|x2- 3x+ 2= 0}，B={x|x2- ax+ (a- 1) = 0}，C={x|x2-mx+ 2= 0}．
【解答】解：∵ b> a> 0，m> 0，∴ b- a> 0，
∴ b - b+m = b(a+m) - a(b+m) = m(b- a) > (1)命题 p：“ x∈ B，都有 x∈ A”，若命题 p为真命题，求 a的值；a a+m a(a+m) a(a+m) 0，
∴ b > b+m+ ，故答案为：>． (2)若“x∈ A”是“x∈C”的必要条件，求m的取值范围．a a m
【解答】解：(1)由 x2- 3x+ 2= 0，解得 x= 1，2，∴集合 A={1，2}，B={x|[x- (a- 1)] (x- 1) = 0}，
14. 某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x吨，运费为 6 万元 /次，一年的总存储费用为 4x万元．要使一年的
命题 p：“ x∈ B，都有 x∈ A”，若命题 p为真命题，则 B A．
总运费与总存储费用之和最小，则 x的值是 30 ． ①若 B={1}，则 a- 1= 1，解得 a= 2．
600
【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= x × 6+ 4x≥ 4× 2×
900
x x= 240(万元)． ②若 B={1，2}，则 a- 1= 2，解得 a= 3．
当且仅当 x= 30时取等号．故答案为：30． ∴ a的值为 2或 3．
(2)若“x∈ A是“x∈C”的必要条件，∴C A．
15. 若“x<-1”是“x≤ a”的必要不充分条件，则 a的取值范围是 (-∞,-1) ．
△=m
2- 8> 0
①C= A时，此时， ，解得m= 3．
【解答】解：若“x<-1”是“x≤ a”的必要不充分条件， m= 1+ 2
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在 密 封 线 内 答 题 无 效
好好搞数学 编辑
△=m2- 8= 0
②C={1}时，此时， ，此时方程组无解，m的值不存在． 所以 ac= 1，a> c> 0，m= 3
2 2
△=m - 8= 0 a
2+ c2 = (a- c) + 2ac 2③C={2}时，此时， ，此时方程组无解，m的值不存在． 则 = (a- c) +m= 4 a- c a- c a- c
≥ 2 2，
2 6+ 2 6- 2
④C= ，此时△=m2- 8< 0，解得-2 2a2+ c2
综上可知：m的取值范围是 {m|m= 3，或-2 2(3)若对任意 x∈ R，若 a< b且不等式 y≥ 0恒成立，
2
2 b
20. 已知命题“关于 x的方程 x2+mx+ 2m+ 5= 0 ” 可得 a> 0，且 b - 4ac≤ 0，即有 c≥有两个不相等的实数根 是假命题． 4a，
b2
a+ 2b+ 4c a+ 2b+ a a2+ 2ab+ b2
(1)求实数m的取值集合 A； 所以 b- a ≥ b- a = a(b- ) ，a
2
t= b > 1 a + 2ab+ b
2
= t
2+ 2t+ 1
令 a ，则 ( - ) t- 1 = (t- 1) +
4 4
(2)设集合 B={x|1- 2a≤ x≤ a- 1}，若 x∈ A是 x∈ B的充分不必要条件，求实数 a的取值范围． a b a t- 1
+ 4≥ 2 (t- 1) t- 1 + 4= 8，
当且仅当 t- 1= 2，即 t= 3，b= 3a，c= 9
2 4
a时，等号成立．
【解答】解：(1)若命题“关于 x的方程 x +mx+ 2m+ 5= 0有两个不相等的实数根”是真命题， a+ 2b+ 4c
所以
2 b- a
的最小值为 8．
所以△=m - 4(2m+ 5)> 0，解得m> 10或m<-2，故 A={m| -2≤m≤ 10}．
(2)因为 A={m| -2≤m≤ 10}，x∈ A是 x∈ B的充分不必要条件，所以 A B．
1- 2a≤-2即 ，解得 a≥ 11，所以实数 a的取值范围为 [11，+∞)．a- 1≥ 10
21. 全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号．太原市某社区响应市委号召，在全面
开展“创城”的基础上，对一块空闲地进行改造，计划建一面积为 4000m2 矩形休闲广场．要求既要占地最少，又
要美观实用．初步决定在休闲广场的东西边缘都留有宽为 2m的草坪，南北边缘都留有 5m的空地栽植花木．
(1)设占用空地的面积为 S(单位：m2)，矩形休闲广场东西距离为 x(单位：m，x> 0)，试用 x表示为 S的函数；
(2)当 x为多少时，用占用空地的面积最少？并求最小值．
4000
【解答】解：(1)因为广场面积须为 4000m2，所以矩形广场的南北距离为 x m，
S= (x+ 4) 4000所以 x + 10 (x> 0)；
(2) (1) S= 4040+ 16000由 知 + 10x≥ 4040+ 2 16000x x 10x= 4040+ 800= 4840，
当且仅当 x= 40时，等号成立．
所以当休闲广场东西距离为 40m时，用地最小值为 4840m2．
22. 已知二次函数 y= ax2+ bx+ c．
(1)若 y> 0的解集为 {x| -3< x< 4}，解关于 x的不等式 bx2+ 2ax- (c+ 3b)< 0；
2 2
(2)若对任意 x∈ R，b= 2，a> c且不等式 y≥ 0 恒成立，并且存在 x ∈ R，使得 ax20 0+ 2x0+ c= 0 a + c成立，求 a- c
的最小值；
(3) a+ 2b+ 4c若对任意 x∈ R，若 a< b且不等式 y≥ 0恒成立，求 b- a 的最小值．
【解答】解：(1)ax2+ bx+ c> 0的解集为 {x| -3< x< 4}，
可得 a< 0，-3，4是方程 ax2+ bx+ c= 0的两根，
则-3+ 4=- ba ，-3× 4=
c
a ，即有 b=-a，c=-12a，
关于 x的不等式 bx2+ 2ax- (c+ 3b)< 0即为-ax2+ 2ax- (-15)a< 0，
化为 x2- 2x- 15< 0，解得-3< x< 5，
则所求不等式的解集为 (-3,5)；
(2)若对任意 x∈ R，b= 2，a> c且不等式 ax2+ 2x+ c≥ 0恒成立，
可得 a> 0，△≤ 0，即 4- 4ac≤ 0，即 ac≥ 1．
并且存在 x0∈ R，使得 ax20+ 2x0+ c= 0成立，
则 4- 4ac≥ 0，即 ac≤ 1，
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