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黑龙江省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（基础题）知识点分类
一．实数的性质（共1小题）
1．（2023 大庆）实数2023的相反数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
二．规律型：数字的变化类（共1小题）
2．（2023 牡丹江）观察下面两行数：
1，5，11，19，29，…；
1，3，6，10，15，…．
取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（　　）
A．92 B．87 C．83 D．78
三．完全平方公式（共1小题）
3．（2023 牡丹江）下列计算正确的是（　　）
A．a2 a4＝a8 B．3a3﹣a3＝2a
C．（ab2）3＝a3b6 D．（a+b）2＝a2+b2
四．二元一次方程的应用（共2小题）
4．（2023 齐齐哈尔）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150cm的导线，将其全部截成10cm和20cm两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（　　）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
5．（2023 黑龙江）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（　　）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
五．一元二次方程的应用（共1小题）
6．（2023 黑龙江）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（　　）
A．5m B．70m C．5m或70m D．10m
六．函数自变量的取值范围（共1小题）
7．（2023 牡丹江）函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≤1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞1
七．函数的图象（共1小题）
8．（2023 哈尔滨）一条小船沿直线从A码头向B码头匀速前进，到达B码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回A码头，在整个过程中，这条小船与B码头的距离s（单位：m）与所用时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则这条小船从A码头到B码头的速度和从B码头返回A码头的速度分别为（　　）
A．15m/min，25m/min B．25m/min，15m/min
C．25m/min，30m/min D．30m/min，25m/min
八．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）
9．（2023 牡丹江）如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y＝的图象经过点C和AD的中点E，若AB＝2，则k的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2023 绥化）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，BC＝2，点D在AC上，且其横坐标为1，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，D，则k的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
九．平行线的性质（共1小题）
11．（2023 绥化）将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3的度数为（　　）
A．55° B．65° C．70° D．75°
一十．圆周角定理（共1小题）
12．（2023 牡丹江）如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的度数是（　　）
A．20° B．18° C．15° D．12°
一十一．圆锥的计算（共1小题）
13．（2023 牡丹江）用一个圆心角为90°，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
一十二．命题与定理（共1小题）
14．（2023 绥化）下列命题中叙述正确的是（　　）
A．若方差s甲2＞s乙2，则甲组数据的波动较小
B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
C．三角形三条中线的交点叫做三角形的内心
D．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
一十三．中心对称图形（共1小题）
15．（2023 黑龙江）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
一十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
16．（2023 哈尔滨）如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
一十五．由三视图判断几何体（共2小题）
17．（2023 牡丹江）由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
18．（2023 黑龙江）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
一十六．众数（共2小题）
19．（2023 大庆）某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数、中位数、平均数分别为（　　）
A．9，9，8.4 B．9，9，8.6 C．8，8，8.6 D．9，8，8.4
20．（2023 牡丹江）一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
黑龙江省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．实数的性质（共1小题）
1．（2023 大庆）实数2023的相反数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意得，
实数2023的相反数是﹣2023，
故选：B．
二．规律型：数字的变化类（共1小题）
2．（2023 牡丹江）观察下面两行数：
1，5，11，19，29，…；
1，3，6，10，15，…．
取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（　　）
A．92 B．87 C．83 D．78
【答案】C
【解答】解：观察第2行数可知，第7个数为：1+2+3+4+5+6+7＝28，
第1行的第7个数为28×2﹣1＝55，
∵28+55＝83，
∴取每行数的第7个数，这两个数的和是83；
故选：C．
三．完全平方公式（共1小题）
3．（2023 牡丹江）下列计算正确的是（　　）
A．a2 a4＝a8 B．3a3﹣a3＝2a
C．（ab2）3＝a3b6 D．（a+b）2＝a2+b2
【答案】C
【解答】解：∵a2 a4＝a6，
∴A选项的运算不正确，不符合题意；
∵3a3﹣a3＝2a3，
∴B选项的运算不正确，不符合题意；
∵（ab2）3＝a3b6，
∴C选项的运算正确，符合题意；
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴D选项的运算不正确，不符合题意．
故选：C．
四．二元一次方程的应用（共2小题）
4．（2023 齐齐哈尔）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150cm的导线，将其全部截成10cm和20cm两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（　　）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
【答案】C
【解答】解：设截成10cm的导线x根，截成20cm的导线y根，
根据题意得10x+20y＝150，
∴x＝15﹣2y，
∵15﹣2y＞0，
∴y＜7.5，
∵y是正整数，
∴y的值为1，2，3，4，5，6，7，
即截取方案共有7种．
故选：C．
5．（2023 黑龙江）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（　　）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
【答案】B
【解答】解：当购买5本A种图书时，设购买x本B种图书，y本C种图书，
根据题意得：30×5+25x+20y＝500，
∴x＝14﹣y，
又∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴当购买5本A种图书时，有3种采购方案；
当购买6本A种图书时，设购买m本B种图书，n本C种图书，
根据题意得：30×6+25m+20n＝500，
∴n＝16﹣m，
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴当购买6本A种图书时，有3种采购方案．
∴此次采购的方案有3+3＝6（种）．
故选：B．
五．一元二次方程的应用（共1小题）
6．（2023 黑龙江）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（　　）
A．5m B．70m C．5m或70m D．10m
【答案】A
【解答】解：设小路的宽是xm，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，
根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600，
整理得：x2﹣75x+350＝0，
解得：x1＝5，x2＝70（不符合题意，舍去），
∴小路的宽是5m．
故选：A．
六．函数自变量的取值范围（共1小题）
7．（2023 牡丹江）函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≤1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞1
【答案】B
【解答】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故选：B．
七．函数的图象（共1小题）
8．（2023 哈尔滨）一条小船沿直线从A码头向B码头匀速前进，到达B码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回A码头，在整个过程中，这条小船与B码头的距离s（单位：m）与所用时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则这条小船从A码头到B码头的速度和从B码头返回A码头的速度分别为（　　）
A．15m/min，25m/min B．25m/min，15m/min
C．25m/min，30m/min D．30m/min，25m/min
【答案】D
【解答】解：这条小船从A码头到B码头的速度为：1500÷50＝30（m/min），
从B码头返回A码头的速度为：1500÷（160﹣100）＝25（m/min）．
故选：D．
八．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）
9．（2023 牡丹江）如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y＝的图象经过点C和AD的中点E，若AB＝2，则k的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：由题意可得：设C（2，a），则E（1，a+2），
可得：2a＝1×（a+2），
解得：a＝2，
故C（2，2），
则k＝2×2＝4．
故选：B．
10．（2023 绥化）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，BC＝2，点D在AC上，且其横坐标为1，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，D，则k的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【解答】解：∵点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC＝2，点D在AC上，且横坐标为1，
∴设B（3，a），则D（1，a+2），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，D，
∴3a＝a+2，解得a＝1，
∴B（3，1），
∴k＝3×1＝3．
故选：C．
九．平行线的性质（共1小题）
11．（2023 绥化）将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3的度数为（　　）
A．55° B．65° C．70° D．75°
【答案】C
【解答】解：如图，
由题意可得：∠CAE＝90°，∠ACF＝45°，
∵∠1＝25°，
∴∠BAC＝∠1+∠CAE＝115°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝180°﹣∠BAC＝65°，
∴∠3＝180°﹣∠ACD﹣∠ACF＝70°．
故选：C．
一十．圆周角定理（共1小题）
12．（2023 牡丹江）如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，则∠BAC的度数是（　　）
A．20° B．18° C．15° D．12°
【答案】C
【解答】解：∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵∠AOB＝4∠BOC，
∴∠BOC＝30°，
∴∠BAC＝∠BOC＝15°．
故选：C．
一十一．圆锥的计算（共1小题）
13．（2023 牡丹江）用一个圆心角为90°，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解答】解：扇形的弧长＝＝4π，
设圆锥的底面直径为d，则πd＝4π，
所以d＝4．
故选：C．
一十二．命题与定理（共1小题）
14．（2023 绥化）下列命题中叙述正确的是（　　）
A．若方差s甲2＞s乙2，则甲组数据的波动较小
B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
C．三角形三条中线的交点叫做三角形的内心
D．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
【答案】D
【解答】解：A．若方差s甲2＞s乙2，则乙组数据的波动较小，故此选项不合题意；
B．直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离，故此选项不合题意；
C．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，故此选项不合题意；
D．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故此选项符合题意．
故选：D．
一十三．中心对称图形（共1小题）
15．（2023 黑龙江）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意；
B、D，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B、D不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故C不符合题意．
故选：A．
一十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
16．（2023 哈尔滨）如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解答】解：∵AB∥DC，
∴△CDO∽△ABO，
∴，
∵DO：OB＝1：2，
∴＝，
∴OC＝OA，
∵AC＝OA+OC＝12，
∴OA+OA＝12，
∴OA＝8，
∵MN∥AC，M是AB的中点，
∴MN为△AOB的中位线，
∴MN＝OA＝＝4．
故选：B．
一十五．由三视图判断几何体（共2小题）
17．（2023 牡丹江）由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解答】解：根据主视图和左视图可得：
这个几何体有2层，3列，最底层最多有3×2＝6个正方体，第二层有1个正方体，
则搭成这个几何体的小正方体的个数最多是6+1＝7个；
故选：B．
18．（2023 黑龙江）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解答】解：从俯视图可得最底层有4个小正方体，由左视图可得第二层最少有1个小正方体，最多有3个小正方体，
所以组成该几何体所需小正方体的个数最少是5个．
故选：B．
一十六．众数（共2小题）
19．（2023 大庆）某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数、中位数、平均数分别为（　　）
A．9，9，8.4 B．9，9，8.6 C．8，8，8.6 D．9，8，8.4
【答案】B
【解答】解：该同学五项评价得分从小到大排列分别为7，8，9，9，10，
出现次数最多的数是9，所以众数为9，
位于中间位置的数是8，所以中位数是9，
平均数为（7+8+9+9+10）＝8.6
故选：B．
20．（2023 牡丹江）一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解答】解：∵一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，
∴x＝7，
∴平均数是（1+5+7+7）÷4＝5，
故选：B．黑龙江省各地市2023-中考数学真题分类汇编-02填空题（提升题）知识点分类
一．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
1．（2023 齐齐哈尔）中国经济韧性强、潜力大、活力足．据文化和旅游部统计，2023年春节假期全国国内旅游出游达到308000000人次，同比增长了23.1%．将308000000用科学记数法表示为 　 　．
二．规律型：图形的变化类（共1小题）
2．（2023 绥化）在求1+2+3+…+100的值时，发现：1+100＝101，2+99＝101…，从而得到1+2+3+…+100＝101×50＝5050．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作a1＝1；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作a2＝5；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作a3＝9；按此方法继续下去，则a1+a2+a3+…+an＝　 　.（结果用含n的代数式表示）
三．根与系数的关系（共1小题）
3．（2023 绥化）已知一元二次方程x2+x＝5x+6的两根为x1与x2，则+的值为 　 　．
四．一元一次不等式组的整数解（共2小题）
4．（2023 大庆）若关于x的不等式组有三个整数解，则实数a的取值范围为 　 　．
5．（2023 黑龙江）关于x的不等式组有3个整数解，则实数m的取值范围是 　 　．
五．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
6．（2023 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在直线l1：y＝x上，顶点B在x轴上，AB垂直x轴，且OB＝2，顶点C在直线l2：y＝x上，BC⊥l2；过点A作直线l2的垂线，垂足为C1，交x轴于B1，过点B1作A1B1垂直x轴，交l1于点A1，连接A1C1，得到第一个△A1B1C1；过点A1作直线l2的垂线，垂足为C2，交x轴于B2，过点B2作A2B2垂直x轴，交l1于点A2，连接A2C2，得到第二个△A2B2C2；如此下去，…，则△A2023B2023C2023的面积是 　 　．
六．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
7．（2023 齐齐哈尔）如图，点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数y＝﹣图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实数k的值为 　 　．

七．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
8．（2023 哈尔滨）抛物线y＝﹣（x+2）2+6与y轴的交点坐标是 　 　．
八．三角形综合题（共1小题）
9．（2023 大庆）如图，在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′（0°＜α＜180°，0°＜β＜180°），得到△AB′C′，使∠BAC+∠B′AC′＝180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形“，△AB′C′的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 　 　．
①△ABC与△AB′C′面积相同；
②BC＝2AD；
③若AB＝AC，连接BB′和CC′，则∠B′BC+∠CC′B′＝180°；
④若AB＝AC，AB＝4，BC＝6，则B′C′＝10．
九．菱形的性质（共1小题）
10．（2023 牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB＝2，A（1，0），∠DAB＝60°，将菱形ABCD绕点A旋转90°后，得到菱形AB1C1D1，则点C1的坐标是 　 　．
一十．菱形的判定（共1小题）
11．（2023 齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：　 　，使四边形ABCD成为菱形．

一十一．矩形的性质（共1小题）
12．（2023 哈尔滨）矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F在矩形ABCD边上，连接OF．若∠ADB＝38°，∠BOF＝30°，则∠AOF＝　 　．
一十二．正方形的性质（共1小题）
13．（2023 哈尔滨）如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，连接AE，BE，F为BE的中点，连接CF，若 CF＝，＝，则AE的长为 　 　．
一十三．正方形的判定（共1小题）
14．（2023 黑龙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件 　 　，使得矩形ABCD为正方形．
一十四．切线的性质（共1小题）
15．（2023 黑龙江）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠B＝28°，则∠P＝　 　°．
一十五．弧长的计算（共1小题）
16．（2023 哈尔滨）一个扇形的圆心角是150°，弧长是πcm，则扇形的半径是 　 　cm．
一十六．翻折变换（折叠问题）（共2小题）
17．（2023 齐齐哈尔）矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5，点M在AD边所在的直线上，且DM＝1，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，则线段EF的长度为 　 　．
18．（2023 黑龙江）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，若△ADE是直角三角形，则点E到直线BC的距离是 　 　．
一十七．旋转的性质（共3小题）
19．（2023 黑龙江）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是 　 　．
20．（2023 绥化）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是 　 　．
21．（2023 绥化）已知等腰△ABC，∠A＝120°，AB＝2．现将△ABC以点B为旋转中心旋转45°，得到△A′BC′，延长C′A′交直线BC于点D．则A′D的长度为 　 　．
一十八．相似三角形的判定（共1小题）
22．（2023 大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 　 　．
一十九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
23．（2023 牡丹江）如图，在正方形ABCD中，E在边CD上，BE交对角线AC于点F，CM⊥BE于M，∠CME的平分线所在直线分别交CD，AC于点N，P，连接FN．
下列结论：①S△NPF：S△NPC＝FM：MC；②CM＝PN；③EN CD＝EC CF；④若EM＝1，MB＝4，则PM＝．其中正确的是 　 　．
二十．位似变换（共1小题）
24．（2023 绥化）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1：2，点A是位似中心，已知点A（2，0），点C（a，b），∠C＝90°．则点C′的坐标为 　 　.（结果用含a，b的式子表示）
二十一．解直角三角形（共1小题）
25．（2023 牡丹江）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm，若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为 　 　cm．
二十二．全面调查与抽样调查（共1小题）
26．（2023 大庆）为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是 　 　（填“普查”或“抽样调查”）．
二十三．列表法与树状图法（共2小题）
27．（2023 黑龙江）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是 　 　．
28．（2023 绥化）在4张完全相同的卡片上，分别标出1，2，3，4．从中随机抽取1张后，放回再混合在一起．再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是 　 　．
黑龙江省各地市2023-中考数学真题分类汇编-02填空题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
1．（2023 齐齐哈尔）中国经济韧性强、潜力大、活力足．据文化和旅游部统计，2023年春节假期全国国内旅游出游达到308000000人次，同比增长了23.1%．将308000000用科学记数法表示为 　3.08×108　．
【答案】3.08×108．
【解答】解：308000000＝3.08×108，
故答案为：3.08×108．
二．规律型：图形的变化类（共1小题）
2．（2023 绥化）在求1+2+3+…+100的值时，发现：1+100＝101，2+99＝101…，从而得到1+2+3+…+100＝101×50＝5050．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作a1＝1；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作a2＝5；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作a3＝9；按此方法继续下去，则a1+a2+a3+…+an＝　2n2﹣n　.（结果用含n的代数式表示）
【答案】2n2﹣n．
【解答】解：∵图（1）有1个三角形，记作a1＝1；
图（2）有5个三角形，记作a2＝5＝1+4＝1+4×1；
图（3）有9个三角形，记作a3＝9＝1+4+4＝1+4×2；
…，
∴图（n）中三角形的个数为：an＝1+4（n﹣1）＝4n﹣3，
∴a1+a2+a3+…+an
＝1+5+9+…+（4n﹣3）
＝
＝2n2﹣n．
故答案为：2n2﹣n．
三．根与系数的关系（共1小题）
3．（2023 绥化）已知一元二次方程x2+x＝5x+6的两根为x1与x2，则+的值为 　﹣　．
【答案】﹣．
【解答】解：一元二次方程x2+x＝5x+6整理得，
x2﹣4x﹣6＝0．
根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣6，
所以原式＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
四．一元一次不等式组的整数解（共2小题）
4．（2023 大庆）若关于x的不等式组有三个整数解，则实数a的取值范围为 　﹣3≤a＜﹣2　．
【答案】﹣3≤a＜﹣2．
【解答】解：解不等式3（x﹣1）＞x﹣6，得：x＞﹣1.5，
解不等式8﹣2x+2a≥0，得：x≤a+4，
∵不等式组有三个整数解，
∴不等式组的整数解为﹣1，0、1，
则1≤a+4＜2，
解得﹣3≤a＜﹣2．
故答案为：﹣3≤a＜﹣2．
5．（2023 黑龙江）关于x的不等式组有3个整数解，则实数m的取值范围是 　﹣3≤m＜﹣2　．
【答案】﹣3≤m＜﹣2．
【解答】解：解不等式x+5＞0，得：x＞﹣5，
解不等式x﹣m≤1，得：x≤m+1，
∵不等式组有3个整数解，
∴不等式组的3个整数解为﹣4、﹣3、﹣2，
∴﹣2≤m+1＜﹣1，
∴﹣3≤m＜﹣2．
故答案为：﹣3≤m＜﹣2．
五．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
6．（2023 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在直线l1：y＝x上，顶点B在x轴上，AB垂直x轴，且OB＝2，顶点C在直线l2：y＝x上，BC⊥l2；过点A作直线l2的垂线，垂足为C1，交x轴于B1，过点B1作A1B1垂直x轴，交l1于点A1，连接A1C1，得到第一个△A1B1C1；过点A1作直线l2的垂线，垂足为C2，交x轴于B2，过点B2作A2B2垂直x轴，交l1于点A2，连接A2C2，得到第二个△A2B2C2；如此下去，…，则△A2023B2023C2023的面积是 　24046　．
【答案】24046．
【解答】解：∵OB＝2，
∴B（2，0），
∵AB⊥x轴，
∴点A的横坐标为2，
∵直线l1：y＝x，
∴点A的纵坐标为＝，
∴∠AOB＝，
∴∠AOB＝30°，
∵直线l2：y＝x，
∴C（xC，），
∴＝，
∴∠BOC＝60°，
∴OC＝，
∴C点的横坐标为：＝，
∴S△ABC＝＝，
∵BC⊥l2，B1C1⊥l2，B2C2⊥l2，
∴BC∥B1C1∥B2C2，
∴∠C1B1O＝∠C2B2O＝∠CBO＝30°，
∴∠C1B1O＝∠C2B2O＝∠CBO＝∠AOB，
∴AO＝AB1，A1O＝A1B2，
∵AB⊥x轴，A1B1⊥x轴，
∴OB＝，OB1＝，
∵AB⊥x轴，A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，
∴AB∥A1B1∥A2B2，
∴，，
∵BC∥B1C1∥B2C2，
∴，，
∴，
∵∠ABC＝∠A1B1C1＝90°﹣30°＝60°，
∴△ABC∽△A1B1C1，
同理△ABC∽△A2B2C2，
∴＝4S△ABC，＝42 S△ABC＝（22）2 S△ABC，
∴＝（2n）2S△ABC＝22nS△ABC，
＝22×2023×＝24046．
故答案为：24046．
六．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
7．（2023 齐齐哈尔）如图，点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数y＝﹣图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实数k的值为 　﹣6　．

【答案】﹣6
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为9，
∴AD＝BC＝AB＝3，
∴A（，3），B（，3），
∴AB＝，
解得k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
七．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
8．（2023 哈尔滨）抛物线y＝﹣（x+2）2+6与y轴的交点坐标是 　（0，2）　．
【答案】（0，2）．
【解答】解：在抛物线y＝﹣（x+2）2+6中，令x＝0，
即y＝﹣4+6＝2，
则抛物线y＝﹣（x+2）2+6与y轴的交点坐标是（0，2），
故答案为：（0，2）．
八．三角形综合题（共1小题）
9．（2023 大庆）如图，在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′（0°＜α＜180°，0°＜β＜180°），得到△AB′C′，使∠BAC+∠B′AC′＝180°，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形“，△AB′C′的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 　①②③　．
①△ABC与△AB′C′面积相同；
②BC＝2AD；
③若AB＝AC，连接BB′和CC′，则∠B′BC+∠CC′B′＝180°；
④若AB＝AC，AB＝4，BC＝6，则B′C′＝10．
【答案】①②③．
【解答】证明：延长AD至E，使DE＝AD，连接B'E，C'E，
∵AD是中线，
∴B'D＝C'D，
∴四边形AC'EB'是平行四边形，
∴B'E∥AC'，B'E＝AC'，S△B'C'A＝S B'EC'A＝S△AB'E，
∴∠B′AC′+∠AB′E＝180°，
∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴∠BAC＝∠AB′E，
∵将AB绕点A顺时针旋转α至AB′，将AC绕点A逆时针旋转β至AC′，
∴AB＝AB'，AC＝AC'＝B'E，
在△BAC和△AB′E中，
，
∴△BAC≌△AB′E（SAS），
∴BC＝AE，S△ABC＝S△AB'E，
∴S△ABC＝S△B'C'A，故①正确；
∵AE＝2AD，
∴BC＝2AD，故②正确；
∵AB＝AC，
∴AB'＝AC'＝AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，∠ABB'＝∠AB'B，∠ACC'＝∠AC'C，∠AB'C'＝∠AC'B'，
∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，
∴α+β＝180°，∠B'C'A+∠ABC＝90°，
∴∠ABB'+∠AC'C＝90°，
∴∠B′BC+∠CC′B′＝180°；故③正确；
∵BC＝6，
∴AD＝3，
∵AB'＝AC'＝AB＝AC＝4，
∴平行四边形AC'EB'是菱形，
∴B'C'⊥AE，B'D＝C'D，
∴B'D＝＝＝，
∴B'C'＝2，故④错误，
故答案为：①②③．
九．菱形的性质（共1小题）
10．（2023 牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB＝2，A（1，0），∠DAB＝60°，将菱形ABCD绕点A旋转90°后，得到菱形AB1C1D1，则点C1的坐标是 　（1﹣，3）或（1+，﹣3）　．
【答案】（1﹣，3）或（1+，﹣3）．
【解答】解：如图所示：
∵菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB＝2，A（1，0），∠DAB＝60°，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝2，AB边的高是，
∴点C1的纵坐标为±3，横坐标为1±，
∴点C1的坐标为（1﹣，3）或（1+，﹣3），
故答案为：（1﹣，3）或（1+，﹣3）．
一十．菱形的判定（共1小题）
11．（2023 齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：　AD∥BC（AB＝CD或 OB＝OD 或∠ADB＝∠CBD 等）　，使四边形ABCD成为菱形．

【答案】AD∥BC（或AB＝CD或OB＝OD 或ADB＝∠CBD 等）．
【解答】解：当添加“AD∥BC”时，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
当添加：“AB＝CD”时，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
当添加“OB＝OD”时，
∵AD＝BC，AC⊥BD，
∴Rt△ADO≌Rt△CBO（HL），
∴AO＝CO，DO＝BO，
∴四边形ABCD是菱形；
当添加：“∠ADB＝∠CBD”时，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：AD∥BC（或AB＝CD或OB＝OD 或ADB＝∠CBD等 ）．
一十一．矩形的性质（共1小题）
12．（2023 哈尔滨）矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F在矩形ABCD边上，连接OF．若∠ADB＝38°，∠BOF＝30°，则∠AOF＝　46°或106°　．
【答案】46°或106°．
【解答】当F在AB上时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OA，
∠OAD＝∠ODA＝38°，
∴∠AOB＝∠ADO+∠DAO＝76°，
∵∠BOF＝30°，
∴∠AOF＝∠AOB﹣∠BOF＝46°；
当F在BC上时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OA，
∠OAD＝∠ODA＝38°，
∴∠AOB＝∠ADO+DAO＝76°，
∵∠BOF＝30°，
∴∠AOF＝∠AOB+∠BOF＝106°，
∴∠AOF＝46°或106°．
故答案为：46°或106°．
一十二．正方形的性质（共1小题）
13．（2023 哈尔滨）如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，连接AE，BE，F为BE的中点，连接CF，若 CF＝，＝，则AE的长为 　　．
【答案】．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝DC＝AD，
∵F为BE的中点，CF＝，
∴BE＝2CF＝，
设DE＝3x，EC＝2x，则DC＝BC＝5x，
在Rt△BCE中，（5x）2+（2x）2＝（）2，
解得x＝1或﹣1（舍去），
∴CE＝2，DE＝3，BC＝AD＝DC＝5，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，
即AE＝＝．
故答案为：．
一十三．正方形的判定（共1小题）
14．（2023 黑龙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件 　AB＝AD（答案不唯一）　，使得矩形ABCD为正方形．
【答案】AB＝AD（答案不唯一）．
【解答】解：AB＝AD．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
或∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．
一十四．切线的性质（共1小题）
15．（2023 黑龙江）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠B＝28°，则∠P＝　34　°．
【答案】34．
【解答】解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠B＝28°，
∴∠AOC＝2∠B＝56°，
∴∠P＝90°﹣∠AOC＝34°，
故答案为：34．
一十五．弧长的计算（共1小题）
16．（2023 哈尔滨）一个扇形的圆心角是150°，弧长是πcm，则扇形的半径是 　3　cm．
【答案】3．
【解答】解：设扇形的半径是Rcm，
则＝π，
解得：R＝3，
∴扇形的半径是3cm．
故答案为：3．
一十六．翻折变换（折叠问题）（共2小题）
17．（2023 齐齐哈尔）矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5，点M在AD边所在的直线上，且DM＝1，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，则线段EF的长度为 　或　．
【答案】或．
【解答】解：设BM，EF交于点O，
∵将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，
∴OM＝OB，EF⊥BM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠M＝∠OBF，∠MEO＝∠BFO，
又OM＝OB，
∴△OEM≌△OFB（AAS），
∴OE＝OF，
①当M点在D点的右侧时，如图所示，
∵BC＝5，DM＝1，
∴AM＝AD+DM＝BC+DM＝6，
Rt△ABM中，
BM＝＝＝3，
∴OM＝BM＝，
∵tanM＝＝，
∴＝，
∴EO＝，
∴EF＝2EO＝；
当M点在D点的左侧时，如图所示，
∵AB＝3，BC＝5，DM＝1，
∴BM＝＝＝5，
∴OM＝BM＝，
∵tan∠EMO＝＝，
∴＝，
∴EO＝，
∴EF＝2EO＝，
综上所述，EF的长为或．
故答案为：或．
18．（2023 黑龙江）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，若△ADE是直角三角形，则点E到直线BC的距离是 　6或3+2或3﹣2　．
【答案】6或3+2或3﹣2．
【解答】解：由题意矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处，
可知点E在以点A为圆心，AB长为半径的圆上运动，
如图1，延长BA交OA的另一侧于点E，则此时△ADE是直角三角形，
点E到直线BC的距离为BE的长度，即BE＝2AB＝6；
当过点D的直线与圆相切于点E时，△ADE是直角三角形，分两种情况：
①如图2，过点E作EH⊥BC交BC于点H，交AD于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EG⊥AD，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH＝AB＝3，
∵AE＝AB＝3，AE⊥DE，AD＝9，
由勾股定理可得DE＝＝6，
∵S△AED＝AE DE＝AD EG，
∴EG＝2，
∴E到直线BC的距离EH＝EG+GH＝3+2；
②如图3，过点E作EN⊥BC交BC于点N，交AD于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴NM⊥AD，
∴四边形ABNM是矩形，
∴MN＝AB＝3，
∵AE＝AB＝3，AE⊥DE，AD＝9，
由勾股定理可得DE＝＝6，
∵S△AED＝AE DE＝AD EM，
∴EM＝2，
∴E到直线BC的距离EN＝MN﹣GN＝3﹣2；
综上，点E到直线BC的距离是6或3+2或3﹣2，
故答案为：6或3+2或3﹣2．
一十七．旋转的性质（共3小题）
19．（2023 黑龙江）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是 　4+　．
【答案】．
【解答】解：∵线段CE为定值，
∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值．
在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，E是AB的中点，
∴AB＝2BC＝4，CE＝AE＝AB＝2，AC＝AB cos30°＝2，
∴∠ECA＝∠BAC＝30°，
过点A作AG⊥CE交CE的延长线于点G，
∴AG＝AC＝，
∵点F的在以A为圆心，AB长为半径的圆上，
∴AF＝AB＝4，
∴点F到CE的距离最大值为4+，
∴，
故答案为：．
20．（2023 绥化）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是 　3+3　．
【答案】3+3．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BCA＝60°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠BCE＝60°﹣∠ECA＝∠ACF，
∵CE＝CF，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴∠CAF＝∠CBE，
∵△ABC是等边三角形，BD是高，
∴∠CBE＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝3，
过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH＝CG，连接AH，DH，DH与AG交于点I，连接CI，FH，
则∠ACG＝60°，CG＝GH＝AC＝3，
∴CH＝AC＝6，
∴△ACH为等边三角形，
∴DH＝CD tan60°＝，
AG垂直平分CH，
∴CI＝HI，CF＝FH，
∴CI+DI＝HI+DI＝DH＝3，
CF+DF＝HF+DF≥DH，
∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF＝DH＝3，
∴△CDF的周长的最小值为3+3．
故答案为：3+3．
21．（2023 绥化）已知等腰△ABC，∠A＝120°，AB＝2．现将△ABC以点B为旋转中心旋转45°，得到△A′BC′，延长C′A′交直线BC于点D．则A′D的长度为 　或　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵将△ABC绕点B旋转45°得到△A′BC′，
∴有以下两种情况：
①当△ABC绕点B逆时针旋转45°得到△A′BC′，
过点B作BE⊥A'D于E，作BD的垂直平分线HF交DB于H，交A'D于F，连接BF，
∵△ABC为等腰三角形，∠A＝120°，AB＝2，
∴∠BA'C'＝∠A＝120°，A'B＝AB＝2，∠ABC＝30°，
∴∠DA'B＝60°，
由旋转的性质得：∠A'BA＝45°，
∴∠A'BC＝∠A'BA+∠ABC＝75°，
又∵∠A'BC＝∠DA'B+∠D，
即75°＝60°+∠D＝15°，
在Rt△A'BE中，∠DA'B＝60°，A'B＝2，
∴∠A'BE＝30°，
∴，
由勾股定理得：，
∵HF为BD的垂直平分线，
∴DF＝BF，
∴∠D＝∠FBD＝15°，
∴∠EFB＝∠D+∠FBD＝30°，
∴，故：，
由勾股定理得：，
∴；
②当△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△A′BC′，
过点D作DM⊥A'D于M，作AD的垂直平分线PQ交A'B于Q，
由旋转的性质得：∠ABA'＝45°，∠BA'C'＝∠A＝120°，A'B＝AB＝2，
∴∠A'BD＝∠ABA'﹣∠ABC＝15°，∠BA'D＝60°，
∵DM⊥A'D，
∴∠A'DM＝30°，
在Rt△A'DM中，∠A'DM＝30°，设A'M＝x，
则A'D＝2A'M＝2x，
由勾股定理得：，
∵PQ为BD的垂直平分线，
∴BQ＝DQ，
∴∠A'BD＝∠QDB＝15°，
∴∠DQM＝∠A'BD+∠QDB＝30°，
∴，
由勾股定理得：，
∵A'M+QM+BQ＝A'B，
∴，
∴，
即．
综上所述：A′D的长度为或．
故答案为：或．
一十八．相似三角形的判定（共1小题）
22．（2023 大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 　△MCB　．
【答案】△MCB．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠DNM+∠DMN＝90°，由折叠的性质可知，∠BMN＝∠A＝90°，
∴∠DMN+∠CBM＝90°，
∴∠DNM＝∠CMB，
∴△NDM∽△MCB，
故答案为：△MCB．
一十九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
23．（2023 牡丹江）如图，在正方形ABCD中，E在边CD上，BE交对角线AC于点F，CM⊥BE于M，∠CME的平分线所在直线分别交CD，AC于点N，P，连接FN．
下列结论：①S△NPF：S△NPC＝FM：MC；②CM＝PN；③EN CD＝EC CF；④若EM＝1，MB＝4，则PM＝．其中正确的是 　①④　．
【答案】①④．
【解答】解：记N到PC的距离为h，
∴＝＝，
∵CM⊥BE，四边形ABCD是正方形，
∴∠CME＝90°，∠PCN＝45°，
∵MN平分∠CME，
∴∠CMN＝∠EMN＝∠PMF＝45°＝∠PCN，
∵∠MPF＝∠NPC，
∴△PMF∽△PCN，
∴，∠PFM＝∠PNC，
∴，
同理可得：△NCM∽△NPC，
∴，
∴，
∴＝，
∴＝，故①正确；
∵∠PMF＝45°＝∠PCE，
∴∠PCE+∠FMN＝180°，
∴M，F，C，N四点共圆，
∴∠FNC＝∠FMC＝90°，
∴FN∥BC，
∴△EFN∽△EBC，
∴，
∴EN CD＝EC FN，故③不正确；
∵EM＝1，BM＝4，
∴BE＝5，
∵正方形ABCD，CM⊥BE，
∴∠BCD＝∠BMC＝∠EMC＝90°，
∴∠MEC+∠MCE＝90°＝∠MCE+∠BCM，
∴∠MEC＝∠BCM，
∴△CME∽△BMC，
∴，即CM2＝BM EM＝4，
∴CM＝2，（负根舍去），
∴，BC＝＝2＝AB，
同理可得：△CEF∽△ABF，
∴＝＝，
∴EF＝BF，
∴EF＝BE＝，BF＝，
∴FM＝BM﹣BF＝4﹣＝，
∵∠PMF＝∠ACB＝45°，∠PFM＝∠BFC，
∴△PMF∽△BCF，
∴，
∵△EFN∽△EBC，
∴，
∴EN＝EC＝，
∴CN＝EC﹣EN＝，
∴CF＝CN＝，
∴＝，
∴PM＝，故④正确；
同理可得：△EMN∽△ECF，
∴，即＝，
∴MN＝，
∴PN＝PM+MN＝+＝，
而CM＝2，
∴CM≠PN，故②不正确；
综上所述：正确的有①④，
故答案为：①④．
二十．位似变换（共1小题）
24．（2023 绥化）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1：2，点A是位似中心，已知点A（2，0），点C（a，b），∠C＝90°．则点C′的坐标为 　（6﹣2a，﹣2b）　.（结果用含a，b的式子表示）
【答案】（6﹣2a，﹣2b）．
【解答】解：过C作CM⊥AB于M，过C′⊥AB′于N，
则∠ANC′＝∠AMC＝90°，
∵△ABC与△AB′C′的相似比为1：2，
∴，
∵∠NAC′＝∠CAM，
∴△ACM∽△AC′N，
∴，
∵点A（2，0），点C（a，b），
∴OA＝2，OM＝a，CM＝b，
∴AM＝a﹣2，
∴，
∴AN＝2a﹣4，C′N＝2b，
∴ON＝AN﹣OA＝2a﹣6，
∴点C′的坐标为（6﹣2a，﹣2b），
故答案为：（6﹣2a，﹣2b）．
二十一．解直角三角形（共1小题）
25．（2023 牡丹江）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm，若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为 　（2+2）　cm．
【答案】（2+2）．
【解答】解：∵∠AOB＝45°，∠AOC＝22.5°，
∴∠BOC＝∠AOC，
∵BC∥OA，
∴∠BCO＝∠AOC，
∴∠BCO＝∠BOC，
∴BC＝OB，
∵△ODB是等腰直角三角形，
∴OB＝BD＝2cm，
∴CD＝BC+BD＝（2+2）cm．
∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为（2+2）cm．
故答案为：（2+2）．
二十二．全面调查与抽样调查（共1小题）
26．（2023 大庆）为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是 　抽样调查　（填“普查”或“抽样调查”）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：调查某品牌护眼灯的使用寿命，具有破坏性，适合采用的调查方式是抽样调查．
故答案为：抽样调查．
二十三．列表法与树状图法（共2小题）
27．（2023 黑龙江）一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是 　　．
【答案】．
【解答】解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好是一红一白的结果有12种，
∴恰好是一红一白的概率是＝，
故答案为：．
28．（2023 绥化）在4张完全相同的卡片上，分别标出1，2，3，4．从中随机抽取1张后，放回再混合在一起．再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是 　　．
【答案】．
【解答】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的结果有8种，
∴第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是＝，
故答案为：．黑龙江省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023 大庆）计算：|1﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．
二．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）
2．（2023 齐齐哈尔）（1）计算：；
（2）分解因式：2a3﹣12a2+18a．
三．分式的化简求值（共2小题）
3．（2023 哈尔滨）先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中x＝2cos45°﹣1．
4．（2023 牡丹江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝sin30°．
四．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
5．（2023 齐齐哈尔）解方程：x2﹣3x+2＝0．
五．分式方程的应用（共1小题）
6．（2023 大庆）为营造良好体育运动氛围，某学校用800元购买了一批足球，又用1560元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的2倍，但单价降了2元，请问该学校两批共购买了多少个足球？
六．一元一次不等式的应用（共1小题）
7．（2023 哈尔滨）佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米．
（1）求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米；
（2）该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？
七．一次函数的应用（共2小题）
8．（2023 齐齐哈尔）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离是 　 　千米，a＝　 　；
（2）求线段FG所在直线的函数解析式；
（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）
9．（2023 绥化）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元．若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人．
（1）每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？
（2）若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
（3）在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．如图是两车离开学校的路程s（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，t为何值时两车相距25千米．
八．等腰三角形的性质（共1小题）
10．（2023 大庆）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AF：BF＝3：4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF＝x米，BE＝y米．
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
九．条形统计图（共2小题）
11．（2023 牡丹江）第二十二届中国绿色食品博览会上，我省采用多种形式，全方位展示“寒地黑土”“绿色有机”金字招牌，大力推介以下绿色优质农产品：A．“龙江奶”；B．“龙江肉”；C．“龙江米”；D．“龙江杂粮”；E．“龙江菜”；F．“龙江山珍”等，为了更好地了解某社区对以上六类绿色优质农产品的关注程度，某校学生对社区居民进行了抽样调查（每位居民只选最关注的一项），根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整统计图．请根据两幅统计图中的信息，解答下列问题：
（1）本次参与调查的居民有多少人？
（2）补全条形统计图，在扇形统计图中C类的百分比是 　 　；
（3）如果该社区有4000人，估计关注“龙江杂粮”的居民有多少人？
12．（2023 黑龙江）某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按A：优秀，B：良好，C：合格，D：不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）这次学校抽查的学生人数是 　 　；
（2）将条形图补充完整；
（3）扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是 　 　°；
（4）如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数．
黑龙江省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023 大庆）计算：|1﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．
【答案】1．
【解答】解：|1﹣|﹣2cos45°+（）﹣1
＝﹣1﹣2×+2
＝﹣1﹣+2
＝1．
二．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）
2．（2023 齐齐哈尔）（1）计算：；
（2）分解因式：2a3﹣12a2+18a．
【答案】（1）；
（2）2a（a﹣3）2．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣4×+2+1
＝﹣1﹣2+2+1
＝；
（2）原式＝2a（a2﹣6a+9）
＝2a（a﹣3）2．
三．分式的化简求值（共2小题）
3．（2023 哈尔滨）先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中x＝2cos45°﹣1．
【答案】，．
【解答】解：（﹣）÷
＝
＝
＝
＝，
∵x＝2cos45°﹣1＝，
∴原式＝
＝．
4．（2023 牡丹江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝sin30°．
【答案】x+1，原式＝．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝x+1，
当x＝sin30°＝时，原式＝+1＝．
四．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
5．（2023 齐齐哈尔）解方程：x2﹣3x+2＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝2．
五．分式方程的应用（共1小题）
6．（2023 大庆）为营造良好体育运动氛围，某学校用800元购买了一批足球，又用1560元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的2倍，但单价降了2元，请问该学校两批共购买了多少个足球？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设第一批足球单价为x元，则第二批足球的单价为（x﹣2）元，
由题意得：×2＝，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
则x﹣2＝78，
+＝30，
答：该学校两批共购买了30个足球．
六．一元一次不等式的应用（共1小题）
7．（2023 哈尔滨）佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米．
（1）求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米；
（2）该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？
【答案】（1）每套A款服装需用布料1.8米，每套B款服装需用布料1.6米；
（2）该服装厂最少需要生产60套B款服装．
【解答】解：（1）设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米，
根据题意得：，
解得：．
答：每套A款服装需用布料1.8米，每套B款服装需用布料1.6米；
（2）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需要生产（100﹣m）套A款服装，
根据题意得：1.8（100﹣m）+1.6m≤168，
解得：m≥60，
∴m的最小值为60．
答：该服装厂最少需要生产60套B款服装．
七．一次函数的应用（共2小题）
8．（2023 齐齐哈尔）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离是 　60　千米，a＝　1　；
（2）求线段FG所在直线的函数解析式；
（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）
【答案】（1）60，1；
（2）线段FG所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+120（1≤x≤2）；
（3）货车出发小时或 小时或小时，两车相距15千米．
【解答】解：（1）∵80×＝60（千米），
∴A，B两地之间的距离是60千米；
∵货车到达B地填装货物耗时15分钟，
∴a＝+＝1，
故答案为：60，1；
（2）设线段FG所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），将F（1，60），G（2，0）代入得：
，
解得 ，
∴线段FG所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+120（1≤x≤2）；
（3）巡逻车速度为60÷（2+）＝25（千米/小时），
∴线段CD的解析式为y＝25x+25×＝25x+10（0≤x≤2），
当货车第一次追上巡逻车后，80x﹣（25x+10）＝15，
解得x＝；
当货车返回与巡逻车未相遇时，（﹣60x+120）﹣（25x+10）＝15，
解得x＝；
当货车返回与巡逻车相遇后，（25x+10）﹣（﹣60x+120）＝15，
解得x＝；
综上所述，货车出发小时或 小时或小时，两车相距15千米．
9．（2023 绥化）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元．若5辆A型和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人．
（1）每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？
（2）若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
（3）在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．如图是两车离开学校的路程s（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，t为何值时两车相距25千米．
【答案】（1）每辆A型车坐满后载客40人，每辆B型车坐满后载客55人；
（2）共有4种方案，租用A型车8辆，租用B型车2辆最省钱；
（3）在甲乙两车第一次相遇后，当t＝3小时或小时时，两车相距25千米．
【解答】解：（1）设每辆A型车坐满后载客x人，每辆B型车坐满后载客y人，
根据题意得：，
解得：，
∴每辆A型车坐满后载客40人，每辆B型车坐满后载客55人；
（2）设租用A型车m辆，则租用B型车（10﹣m）辆，
由题意得：，
解得：5≤m≤8，
∵m是正整数，
∴m可取5，6，7，8
∴共有4种方案，
设总租金为w元，
根据题意得w＝500m+600（10﹣m）＝﹣100m+6000，
∵﹣100＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴m＝8时，w最小为﹣100×8+6000＝5200（元）；
∴租用A型车8辆，租用B型车2辆最省钱；
（3）设s甲＝kt，把（4，300）代入得：
300＝4k，
解得k＝75，
∴s甲＝75t，
设s乙＝kt+b，把（0.5，0），（3.5，300）代入得：
，
解得，
∴s乙＝100t﹣50，
∵两车第一次相遇后，相距25千米，
∴100t﹣50﹣75t＝25或300﹣75t＝25，
解得t＝3或t＝，
∴在甲乙两车第一次相遇后，当t＝3小时或小时时，两车相距25千米．
八．等腰三角形的性质（共1小题）
10．（2023 大庆）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AF：BF＝3：4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF＝x米，BE＝y米．
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
【答案】（1）；；
（2）米时，窗户透过的光线最多，窗户的最大面积为平方米．
【解答】解：（1）∵△ABC是等腰三角形，F是BC的中点，
∴BF＝CF，AF⊥BC，AB＝AC，
∵BF＝x米，
∴CF＝x米，BC＝2BF＝2x米，
∵AF：BF＝3：4，
∴米，
在Rt△AFB中，由勾股定理得米，
∴米，
∵点G、H分别是边AB、AC的中点，∠AFB＝∠AFC＝90°，
∴米，米，
∵四边形BCDE是矩形，
∴ED＝BC＝2x米，BE＝CD＝y米，
∵BE∥IJ∥MN∥CD，
∴BE＝IJ＝MN＝CD＝y米，
∵制造窗户框的材料总长为16米，
∴AB+AC+FG+FH+AF+BC+ED+BE+IJ+MN+CD＝16米，
∴，
整理得；
由题意得，
解得；
（2）∵，，
设窗户的面积为W平方米，
则W＝S△ABC+S矩形BCDE
＝
＝
＝，
∵，
∴W有最大值，
当米时，W最大，最大值为平方米．
九．条形统计图（共2小题）
11．（2023 牡丹江）第二十二届中国绿色食品博览会上，我省采用多种形式，全方位展示“寒地黑土”“绿色有机”金字招牌，大力推介以下绿色优质农产品：A．“龙江奶”；B．“龙江肉”；C．“龙江米”；D．“龙江杂粮”；E．“龙江菜”；F．“龙江山珍”等，为了更好地了解某社区对以上六类绿色优质农产品的关注程度，某校学生对社区居民进行了抽样调查（每位居民只选最关注的一项），根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整统计图．请根据两幅统计图中的信息，解答下列问题：
（1）本次参与调查的居民有多少人？
（2）补全条形统计图，在扇形统计图中C类的百分比是 　30%　；
（3）如果该社区有4000人，估计关注“龙江杂粮”的居民有多少人？
【答案】（1）200；
（2）30%；
（3）920．
【解答】解：（1）34÷17%＝200（人），
答：本次参与调查的居民有200人；
（2）选择B．“龙江肉”的学生人数为：200×15%＝30（人）；
选择C．“龙江米”的学生人数为：200﹣18﹣46﹣34﹣12﹣30＝60（人），
补全条形统计图如图所示：
扇形统计图中C类的百分比是60÷200×100%＝30%，
故答案为：30%；
（3）4000×＝920（人），
答：该社区有4000人，估计关注“龙江杂粮”的居民约为920人．
12．（2023 黑龙江）某中学开展主题为“垃圾分类，绿色生活”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校团委在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按A：优秀，B：良好，C：合格，D：不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）这次学校抽查的学生人数是 　40人　；
（2）将条形图补充完整；
（3）扇形统计图中C组对应的扇形圆心角度数是 　90　°；
（4）如果该校共有2200人，请估计该校不合格的人数．
【答案】（1）40人；
（2）见解答；
（3）90；
（4）220人．
【解答】解：（1）这次学校抽查的学生人数是：12÷30%＝40（人），
故答案为：40人；
（2）C等级的人数为：40﹣12﹣14﹣4＝10（人），
补全条形图如下：
（3）360°×＝90°，
故答案为：90；
（4）2200×＝220（人），
答：估计该校不合格的人数约220人．黑龙江省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（提升题）知识点分类
一．列代数式（共1小题）
1．（2023 大庆）端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（　　）
A．20% B．25% C．75% D．80%
二．平方差公式（共1小题）
2．（2023 黑龙江）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣2a）2＝﹣4a2 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣m+2）（﹣m﹣2）＝m2﹣4 D．（a5）2＝a7
三．零指数幂（共1小题）
3．（2023 绥化）计算|﹣5|+20的结果是（　　）
A．﹣3 B．7 C．﹣4 D．6
四．分式方程的解（共2小题）
4．（2023 牡丹江）若分式方程＝1﹣的解为负数，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1且a≠﹣2 B．a＜0且a≠﹣2 C．a＜﹣2且a≠﹣3 D．a＜﹣1且a≠﹣3
5．（2023 黑龙江）已知关于x的分式方程+1＝的解是非负数．则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠﹣2 D．m＜2且m≠﹣2
五．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
6．（2023 绥化）某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的．在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物天，运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（　　）
A．+＝1 B．+（+）＝1
C．（1+）+＝1 D．+（+）＝1
六．动点问题的函数图象（共3小题）
7．（2023 大庆）如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，已知点P在边AB上，以1m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以m/s的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处，此时两点都停止运动．图2是△BPQ的面积y（m2）与点P的运动时间t（s）之间的函数关系图象（点M为图象的最高点），则平行四边形ABCD的面积为（　　）
A．12m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2
8．（2023 齐齐哈尔）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND．设点M
运动的路程为x（0≤x≤4），△DMN的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
9．（2023 绥化）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
七．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
10．（2023 黑龙江）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D．若S△BCD＝12，则k的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣12 C．﹣ D．﹣9
八．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
11．（2023 齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①abc＞0；
②b＝2a；
③3a+c＝0；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
⑤若点（m，y1）（﹣m+2，y2）均在该二次函数图象上，则y1＝y2．
其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
九．抛物线与x轴的交点（共1小题）
12．（2023 牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．下列结论：
①＞0；②c＝2b；③若抛物线上有点（，y1），（﹣3，y2），（﹣，y3），则y2＜y1＜y3；④方程cx2+bx+a＝0的解为x1＝，x2＝﹣．其中正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
一十．平行线的性质（共1小题）
13．（2023 齐齐哈尔）如图，直线l1∥l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝45°，则∠2的度数是（　　）

A．135° B．105° C．95° D．75°
一十一．菱形的性质（共1小题）
14．（2023 大庆）将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝（　　）
A．45°+α B．45°+α C．90°﹣α D．90°﹣α
一十二．切线的性质（共1小题）
15．（2023 哈尔滨）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，点C在⊙O上，OC⊥OA，连接BC并延长，交⊙O于点D，连接OD，若∠B＝65°，则∠DOC的度数为（　　）
A．45° B．50° C．65° D．75°
一十三．翻折变换（折叠问题）（共2小题）
16．（2023 牡丹江）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②．
根据以上的操作，若AB＝8，AD＝12，则线段BM的长是（　　）
A．3 B． C．2 D．1
17．（2023 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD＝5．OA：OD＝1：4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，2） D．（1﹣，2）
一十四．中心对称图形（共2小题）
18．（2023 齐齐哈尔）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
19．（2023 绥化）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
一十五．相似三角形的判定与性质（共2小题）
20．（2023 黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的动点，且AF⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM，CM，DM，BM，下列结论正确的是（　　）
①AF＝DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF＝2；⑤EP DH＝2AG BH．
A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
21．（2023 绥化）如图，在正方形ABCD中，点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，连接BD交AE于点G，FH平分∠BFG交BD于点H．则下列结论中，正确的个数为（　　）
①AB2＝BF AE
②S△BGF：S△BAF＝2：3
③当AB＝a时，BD2﹣BD HD＝a2
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
一十六．频数（率）分布直方图（共1小题）
22．（2023 绥化）绥化市举办了2023年半程马拉松比赛，赛后随机抽取了部分参赛者的成绩（单位：分钟），并制作了如下的参赛者成绩组别表、扇形统计图和频数分布直方图．则下列说法正确的是（　　）
组别 参赛者成绩
A 70≤x＜80
B 80≤x＜90
C 90≤x＜100
D 100≤x＜110
E 110≤x＜120
A．该组数据的样本容量是50人
B．该组数据的中位数落在90～100这一组
C．90～100这组数据的组中值是96
D．110～120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为51°
一十七．众数（共1小题）
23．（2023 黑龙江）已知一组数据1，0，﹣3，5，x，2，﹣3的平均数是1，则这组数据的众数是（　　）
A．﹣3 B．5 C．﹣3和5 D．1和3
一十八．标准差（共1小题）
24．（2023 大庆）下列说法正确的是（　　）
A．一个函数是一次函数就一定是正比例函数
B．有一组对角相等的四边形一定是平行四边形
C．两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等
D．一组数据的方差一定大于标准差
一十九．列表法与树状图法（共1小题）
25．（2023 齐齐哈尔）某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（　　）
A． B． C． D．
黑龙江省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．列代数式（共1小题）
1．（2023 大庆）端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（　　）
A．20% B．25% C．75% D．80%
【答案】A
【解答】解：设成本为m，标价为（1+25%）m，
设降价幅度为x，
∴粽子降价出售的售价为：（1+25%）m（1﹣x），
为了不亏本，即售价大于等于成本，
（1+25%）m（1﹣x）≥m，
解得x≤20%，
故选：A．
二．平方差公式（共1小题）
2．（2023 黑龙江）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣2a）2＝﹣4a2 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣m+2）（﹣m﹣2）＝m2﹣4 D．（a5）2＝a7
【答案】C
【解答】解：（﹣2a）2＝4a2，所以A错误；
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，所以B错误；
（﹣m+2）（﹣m﹣2）＝m2﹣4，所以C正确；
（a5）2＝a10，所以D错误．
故选：C．
三．零指数幂（共1小题）
3．（2023 绥化）计算|﹣5|+20的结果是（　　）
A．﹣3 B．7 C．﹣4 D．6
【答案】D
【解答】解：|﹣5|+20＝5+1＝6．
故答案为：D．
四．分式方程的解（共2小题）
4．（2023 牡丹江）若分式方程＝1﹣的解为负数，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1且a≠﹣2 B．a＜0且a≠﹣2 C．a＜﹣2且a≠﹣3 D．a＜﹣1且a≠﹣3
【答案】D
【解答】解：方程两侧同乘（x+2）得，a＝x+2﹣3，
∴x＝a+1，
∵解为负数，
∴a+1＜0，
即a＜﹣1，
要是分式有意义，x≠﹣2，即a+1≠﹣2，
∴a≠﹣3．
故选：D．
5．（2023 黑龙江）已知关于x的分式方程+1＝的解是非负数．则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠﹣2 D．m＜2且m≠﹣2
【答案】C
【解答】解：分式方程去分母得：m+x﹣2＝﹣x，
解得：x＝，
由分式方程的解是非负数，得到≥0，且﹣2≠0，
解得：m≤2且m≠﹣2，
故选：C．
五．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
6．（2023 绥化）某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的．在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物天，运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（　　）
A．+＝1 B．+（+）＝1
C．（1+）+＝1 D．+（+）＝1
【答案】B
【解答】解：由题意可得，
+（+）＝1，
故选：B．
六．动点问题的函数图象（共3小题）
7．（2023 大庆）如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，已知点P在边AB上，以1m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以m/s的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处，此时两点都停止运动．图2是△BPQ的面积y（m2）与点P的运动时间t（s）之间的函数关系图象（点M为图象的最高点），则平行四边形ABCD的面积为（　　）
A．12m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2
【答案】C
【解答】解：由题意可知：AB：BC＝1：，设AB＝a，则BC＝，
如图，过点P作PE垂直于CB的延长线于点E，
∵PA＝t，则PB＝a﹣t，BQ＝，
在Rt△PBE中，∠PBE＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴PE＝，
则y＝，化简得：y＝．
由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为3，
∴＝＝3，
∴a2＝16，
∵a为正数，
∴a＝4，
∴AB＝4，则BC＝，
如图，过点A作AF垂直于CB的延长线于点F，
在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，
∴AF＝＝，
∴S ABCD＝BC×AF＝＝24 m2．
故答案为：C．
8．（2023 齐齐哈尔）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND．设点M
运动的路程为x（0≤x≤4），△DMN的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：0≤x≤4时，M在AB上，N在BC上，依题意可知：
设AM＝BN＝x，
∴CN＝4﹣x，
S＝S正方形ABCD﹣S△AMD﹣S△BMN﹣S△DNC
＝4×4﹣×4x﹣×（4﹣x）x﹣×4×（4﹣x）
＝（x﹣2）2+6；
∴该二次函数图象开口向上，
当x＝2时，二次函数的最小值为6；
当x＝0或4时，二次函数的最大值为8；
故选：A．
9．（2023 绥化）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：连接BD，过B作BE⊥AD于E，当0≤x＜2时，点M在AB上，
在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，
∴AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AE＝ED＝AD＝2，BE＝AE＝2，
∵AM＝2x，AN＝x，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ABE，
∴∠ANM＝∠AEB＝90°，
∴＝x，
∴y＝x×x＝x2，
当2≤x≤4时，点M在BC上，
y＝，
综上所述，当 0≤x＜2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2≤x≤4时，函数图象是直线的一部分，
故选：A．
七．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
10．（2023 黑龙江）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D．若S△BCD＝12，则k的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣12 C．﹣ D．﹣9
【答案】C
【解答】解：设BC与y轴的交点为F，B（b，），则A（﹣b，﹣），b＞0，由题意知，
AO＝BO，即O是线段AB的中点，过A作AE⊥BC于点E，
∵AC＝AB，AE⊥BC，
∴BE＝CE，AE∥y轴，
∴CF＝3BF＝3b，
∴C（﹣3b，），
∴D（﹣3b，），
∴CD＝，BC＝4b，
∴S△BCD＝，
∴k＝﹣．
故选：C．
八．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
11．（2023 齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①abc＞0；
②b＝2a；
③3a+c＝0；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
⑤若点（m，y1）（﹣m+2，y2）均在该二次函数图象上，则y1＝y2．
其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，故②错误，
∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，故③正确，
方程ax2+bx+c+k2＝0（a≠0）的解可看做y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝﹣k2的交点，
∵﹣k2≤0，
∴当y＝﹣k2过抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点时，两函数只有一个交点，即方程ax2+bx+c+k2＝0有两个相等的实数根，故④错误，
∵点（m，y1）（﹣m+2，y2）关于直线x＝1对称，
∴y1＝y2，故⑤正确．
故选：B．
九．抛物线与x轴的交点（共1小题）
12．（2023 牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．下列结论：
①＞0；②c＝2b；③若抛物线上有点（，y1），（﹣3，y2），（﹣，y3），则y2＜y1＜y3；④方程cx2+bx+a＝0的解为x1＝，x2＝﹣．其中正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解答】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，
∵a＜0，b＞0，c＞0，
∴①错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．
∴对称轴为直线x＝，即﹣＝，
∴b＝﹣a，
∴a＝﹣b，
把（﹣2，0）代入解析式得4a﹣2b+c＝0，把a＝﹣b，
∴﹣4b﹣2b+c＝0，
∴c＝6b，故②错误；
∵抛物线开口向下，
∴越靠近对称轴的点的函数值越大，
∴y2＜y1＜y3，故③正确；
a＝﹣b，c＝6b，选项④可变成6bx2+bx﹣b＝0，即6x2+x﹣1＝0；即可求出两根，x2＝，
故④错误．
故选：D．
一十．平行线的性质（共1小题）
13．（2023 齐齐哈尔）如图，直线l1∥l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝45°，则∠2的度数是（　　）

A．135° B．105° C．95° D．75°
【答案】B
【解答】解：如图，∵l1∥l2，
∴∠1＝∠3＝45°，
又∵∠4＝30°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
故选：B．
一十一．菱形的性质（共1小题）
14．（2023 大庆）将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝（　　）
A．45°+α B．45°+α C．90°﹣α D．90°﹣α
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形BGHF是完全相同的菱形，
∴∠DBE＝∠BAD＝α，AB＝AD，∠ABD＝∠CBD＝∠CBE+∠DBE＝β+α，
∴∠ADB＝∠ABD＝β+α，
∵∠BAD+∠ADB+∠ABD＝180°，
∴α+β+α+β+α＝180°，
∴β＝90°﹣α，
故选：D．
一十二．切线的性质（共1小题）
15．（2023 哈尔滨）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，点C在⊙O上，OC⊥OA，连接BC并延长，交⊙O于点D，连接OD，若∠B＝65°，则∠DOC的度数为（　　）
A．45° B．50° C．65° D．75°
【答案】B
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AB，
∵OC⊥OA，
∴AB∥OC，
∴∠OCD＝∠B＝65°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝65°，
∴∠DOC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：B．
一十三．翻折变换（折叠问题）（共2小题）
16．（2023 牡丹江）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②．
根据以上的操作，若AB＝8，AD＝12，则线段BM的长是（　　）
A．3 B． C．2 D．1
【答案】C
【解答】解：如图①，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝12，
∴DC＝AB＝8，BC＝AD＝12，∠BAD＝∠B＝90°，
由折叠得∠AFE＝∠B＝90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AF＝AB＝8，
∴四边形ABEF是正方形，
∴BE＝EF＝AB＝8，∠BEF＝90°，
如图②，由折叠得FM＝CM，
∵EM2+EF2＝FM2，且EM＝8﹣BM，FM＝CM＝12﹣BM，
∴（8﹣BM）2+82＝（12﹣BM）2，
解得BM＝2，
故选：C．
17．（2023 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD＝5．OA：OD＝1：4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，2） D．（1﹣，2）
【答案】D
【解答】解：∵矩形ABCD的边AD＝5．OA：OD＝1：4，
∴OA＝1，OD＝4，BC＝5，
∵AB∥OC1，
∴∠ABO＝∠D1OC1，
∵∠BAO＝∠OD1C1＝90°，
∴△AOB∽△D1C1O，
∴，
∵将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，
∴OD1＝OD＝4，D1C1＝DC＝AB，
∴，
∴AB＝2（负值舍去），
∴CD＝2，
连接OC，设BC与OC1交于F，
∴OC＝，
∵∠FOA＝∠OAB＝∠ABF＝90°，
∴四边形OABF是矩形，
∴AB＝OF＝2，∠BFO＝90°＝∠EFC1，OA＝BF＝1，
∴CF＝5﹣1＝4，
由折叠知，OC1＝OC＝2，EC1＝EC＝CF﹣EF＝4﹣EF，
∴FC1＝OC1＝2﹣2，
∵EF2+C1F2＝，
∴，
解得EF＝﹣1，
∴E（1﹣，2），
故选：D．
一十四．中心对称图形（共2小题）
18．（2023 齐齐哈尔）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，所以不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，所以符合题意．
故选：D．
19．（2023 绥化）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故C符合题意；
D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D不符合题意；
故选：C．
一十五．相似三角形的判定与性质（共2小题）
20．（2023 黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的动点，且AF⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM，CM，DM，BM，下列结论正确的是（　　）
①AF＝DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF＝2；⑤EP DH＝2AG BH．
A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝∠ABF＝90°，DA＝AB，
∵AF⊥DE，
∴∠BAF+∠AED＝90°，
∵∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠AED＝∠BFA，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF＝DE．
故①正确；
∵将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，
∴BM⊥AF，
∵AF⊥DE，
∴BM∥DE．
故②正确；
当CM⊥FM时，∠CMF＝90°，
∵∠AMF＝∠ABF＝90°，
∴∠AMF+∠CMF＝180°，即A，M，C在同一直线上，
∴∠MCF＝45°，
∴∠MFC＝90°﹣∠MCF＝45°，
由翻折的性质可得：∠HBF＝∠HMF＝45°，BF＝MF，
∴∠HMF＝∠MFC，∠HBC＝∠MFC，
∴BC∥MH，HB∥MF，
∴四边形BHMF是平行四边形，
∵BF＝MF，
∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确；
当点E运动到AB的中点，如图，
设正方形ABCD的边长为2a，则AE＝BF＝a，
在Rt△AED中，
，
∵∠AHD＝∠FHB，∠ADH＝∠FBH＝45°，
∴△AHD∽△FHB，
∴，
∴．
∵∠AGE＝∠ABF＝90°，∠EAG＝∠FAB，
∴△AGE∽△ABF，
∴，
∴，，
∴，．
∵∠BHF＝∠DHA，
∴在Rt△DGH中，
，
故④错误；
由题意得：△ABF≌△AMF，
∴∠EAG＝∠PAG，
在△EAG和PAG中，
，
∴△EAG≌PAG（ASA），
∴EG＝PG，
∴EG＝EP．
∵AD∥BC，
∴△AHD∽△FHB，
∴．
∵AD＝AB，
∴．
∵∠AGE＝∠ABF＝90°，∠EAG＝∠FAB，
∴△EAG∽△FAB，
∴，
∴，
∴EG DH＝AG BH，
∴EP DH＝AG BH，
∴EP DH＝2AG BH，
故⑤正确．
综上分析可知，正确的是①②③⑤．
故选：B．
21．（2023 绥化）如图，在正方形ABCD中，点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，连接BD交AE于点G，FH平分∠BFG交BD于点H．则下列结论中，正确的个数为（　　）
①AB2＝BF AE
②S△BGF：S△BAF＝2：3
③当AB＝a时，BD2﹣BD HD＝a2
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADE＝90°，AB＝AD，
∵BF⊥AE，
∴∠ABF＝90°﹣∠BAF＝∠DAE，
∴cos∠ABF＝cos∠EAD，
即 ，
又AB＝AD，
∴AB2＝BF AE．
故①正确；
设正方形的边长为a，
∵点E为边CD的中点，
∴，
∴．
在Rt△ABE中，
，
∴．
在Rt△ADE中，
，
∴．
∵AB∥DE，
∴△GAB∽△GED，
∴＝2，
∴，
∴，
∴，
∴S△BGF：S△ABF＝2：3．
故②正确；
∵AB＝a，
∴AD＝AB＝a，
∴BD2＝AB2+AD2＝2a2，
如图所示，过点H分别作BF，AE的垂线，垂足分别为M，N，如图，
又∵BF⊥AE，HM⊥BF，HN⊥AE，
∴四边形FMHN是矩形，
∵FH是∠BFG的角平分线，
∴HM＝HN，
∴四边形FMHN是正方形，
∴FN＝HM＝HN，
∴，，
∴．
设MH＝b，则BF＝BM+FM＝BM+MH＝3b+b＝4b，
在Rt△BMH中，
．
∵，
∴，
解得：．
∴，
∴BD2﹣BD HD＝2a2﹣a×a＝a2．
故③正确．
故选：D．
一十六．频数（率）分布直方图（共1小题）
22．（2023 绥化）绥化市举办了2023年半程马拉松比赛，赛后随机抽取了部分参赛者的成绩（单位：分钟），并制作了如下的参赛者成绩组别表、扇形统计图和频数分布直方图．则下列说法正确的是（　　）
组别 参赛者成绩
A 70≤x＜80
B 80≤x＜90
C 90≤x＜100
D 100≤x＜110
E 110≤x＜120
A．该组数据的样本容量是50人
B．该组数据的中位数落在90～100这一组
C．90～100这组数据的组中值是96
D．110～120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为51°
【答案】B
【解答】解：A．该组数据的样本容量是：12÷24%＝50，样本容量没有单位，原说法错误，故本选项不符合题意；
B．80～90这一组数据有：50﹣4﹣7﹣12×2＝15（人），所以该组数据的中位数落在90～100这一组，原说法正确，故本选项符合题意；
C．90～100这组数据的组中值是95，原说法错误，故本选项不符合题意；
D．110～120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为：360°×＝50.4°，原说法错误，故本选项不符合题意．
故选：B．
一十七．众数（共1小题）
23．（2023 黑龙江）已知一组数据1，0，﹣3，5，x，2，﹣3的平均数是1，则这组数据的众数是（　　）
A．﹣3 B．5 C．﹣3和5 D．1和3
【答案】C
【解答】解：∵数据1，0，﹣3，5，x，2，﹣3的平均数是1，
∴1+0﹣3+5+x+2﹣3＝7×1，
解得x＝5，
则这组数据为1，0，﹣3，5，5，2，﹣3，
∴这组数据的众数为﹣3和5，
故选：C．
一十八．标准差（共1小题）
24．（2023 大庆）下列说法正确的是（　　）
A．一个函数是一次函数就一定是正比例函数
B．有一组对角相等的四边形一定是平行四边形
C．两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等
D．一组数据的方差一定大于标准差
【答案】C
【解答】解：A、一个函数是一次函数不一定是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、有两组对角相等的四边形一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等，故本选项符合题意；
D、一组数据的方差不一定大于这组数据的标准差，故本选项不符合题意；
故选：C．
一十九．列表法与树状图法（共1小题）
25．（2023 齐齐哈尔）某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一名男同学和一名女同学的结果有6种，
∴刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是＝，
故选：A．黑龙江省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类①
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023 大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．
二．分式方程的应用（共1小题）
2．（2023 牡丹江）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：
（1）这两种家电每件的进价分别是多少元？
（2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．
三．一次函数的应用（共1小题）
3．（2023 牡丹江）在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息1h后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发1.5h后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程ykm与甲车行驶时间xh之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是 　 　km/h，乙车行驶的速度是 　 　km/h；
（2）求图中线段MN所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是160km？请直接写出答案．
四．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
4．（2023 大庆）一次函数y＝﹣x+m与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，2）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）过动点T（t，0）作x轴的垂线l，l与一次函数y＝﹣x+m和反比例函数y＝的图象分别交于M，N两点，当M在N的上方时，请直接写出t的取值范围．
五．抛物线与x轴的交点（共1小题）
5．（2023 牡丹江）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；
（2）求△BCP的面积．
注：注抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（，）．
六．平行四边形的性质（共1小题）
6．（2023 哈尔滨）已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE，EF，DE＝BF，BE＝BC．
（1）如图①，求证△AED≌△EFB；
（2）如图②，若AB＝AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（∠BAE除外），使写出的每个角都与∠BAE相等．
七．矩形的判定与性质（共1小题）
7．（2023 大庆）如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．
（1）求证：四边形ACFD是矩形；
（2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．
八．切线的判定与性质（共1小题）
8．（2023 齐齐哈尔）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F，连接DF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD＝5，，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

九．圆的综合题（共1小题）
9．（2023 大庆）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC交于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AF AC＝AE AH；
（3）若sin∠DEA＝，求的值．
一十．作图—复杂作图（共1小题）
10．（2023 牡丹江）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，D为AB的中点，以CD为直角边作含30°角的Rt△CDE，∠DCE＝90°，且点E与点A在CD的同侧，请用尺规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段AE的长．
一十一．作图-平移变换（共1小题）
11．（2023 哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出△ABE，且AB＝BE，∠ABE为钝角（点E在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中将线段CD向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到线段MN（点C的对应点是点M，点D的对应点是点N）．连接EN，请直接写出线段EN的长．
一十二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
12．（2023 大庆）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点B后到达山顶P，其中AB＝400米，BP＝200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为15°，BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC．（结果精确到1米，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268）
一十三．扇形统计图（共1小题）
13．（2023 大庆）为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图．若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为 　 　，扇形统计图中的m＝　 　；
（2）求所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数；
（3）学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，请估计我校获“志愿者勋章”的学生人数．
一十四．条形统计图（共2小题）
14．（2023 哈尔滨）军乐中学开展以“我最喜欢的劳动实践课”为主题的调查活动，围绕“在园艺课、泥塑课、纺织课、烹饪课四门劳动实践课中，你最喜欢哪一门课？（必选且只选一门）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢泥塑课的学生人数占所调查人数的20%，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若军乐中学共有1200名学生，请你估计该中学最喜欢烹饪课的学生共有多少名．
15．（2023 齐齐哈尔）为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组：A组“0＜t≤45”；B组“45＜t≤60”；C组“60＜t≤75”；D组“75＜t≤90”；E组“t＞90”．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 　 　，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是 　 　°，本次调查数据的中位数落在 　 　组内；
（3）若该中学有2000名学生，请你估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有多少人？
黑龙江省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类①
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023 大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝﹣+
＝
＝
＝
＝，
当x＝1时，原式＝＝．
二．分式方程的应用（共1小题）
2．（2023 牡丹江）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：
（1）这两种家电每件的进价分别是多少元？
（2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．
【答案】（1）A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元；
（2）该商场共有3种购买方案，
方案1：购进A种家电65件，B种家电35件；
方案2：购进A种家电66件，B种家电34件；
方案3：购进A种家电67件，B种家电33件；
（3）这10件家电中包含4件B种家电．
【解答】解：（1）设A种家电每件进价为x元，则B种家电每件进价为（x+100）元，
根据题意得：，
解得：x＝500，
经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意，
∴x+100＝500+100＝600．
答：A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元；
（2）设购进A种家电a件，则购进B种家电（100﹣a）件，
根据题意得：，
解得：65≤a≤67，
又∵a为正整数，
∴a可以为65，66，67，
∴该商场共有3种购买方案，
方案1：购进A种家电65件，B种家电35件；
方案2：购进A种家电66件，B种家电34件；
方案3：购进A种家电67件，B种家电33件；
（3）设这10件家电中包含m件B种家电，则包含（10﹣m）件A种家电，
当a＝65时，600×[65﹣（10﹣m）]+750（35﹣m）﹣500×65﹣600×35＝5050，
解得：m＝，
∵m为正整数，
∴m＝不符合题意，舍去；
当a＝66时，600×[66﹣（10﹣m）]+750（34﹣m）﹣500×66﹣600×34＝5050，
解得：m＝，
∵m为正整数，
∴m＝不符合题意，舍去；
当a＝67时，600×[67﹣（10﹣m）]+750（33﹣m）﹣500×67﹣600×33＝5050，
解得：m＝4．
答：这10件家电中包含4件B种家电．
三．一次函数的应用（共1小题）
3．（2023 牡丹江）在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息1h后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发1.5h后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程ykm与甲车行驶时间xh之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是 　120　km/h，乙车行驶的速度是 　80　km/h；
（2）求图中线段MN所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是160km？请直接写出答案．
【答案】（1）120，80；
（2）y＝﹣80x+480（1.5≤x≤6）；
（3）乙车出发2.5h或4.1h，两车距各自出发地路程的差是160km．
【解答】解：（1）由图可得D（3，360），即甲出发3时后与A地相距360km，
∴甲车行驶速度为＝120（km/h），
由题意可得，乙车出发1.5h行驶120km，
∴乙车行驶速度为 ＝80（km/h），
故答案为：120，80；
（2）设线段MN所在直线的解析式为 y＝kx+b（k≠0），
将（1.5，360），（3，240）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴线段MN所在直线的解析式为y＝﹣80x+480（1.5≤x≤6）；
（3）由题意可得，当y＝0时，x＝6，
∴N（6，0），
∵两车同时到达目的地，
∴乙到达目的地时，甲距离A地的距离为360﹣120×（6﹣3﹣1）＝120（km），
∴F（6，120），E（4，360），
设乙车出发t时，两车距各自出发地路程的差是160km，
当0＜t≤1.5时，此时甲在到达C地前，则|80t﹣120×（t+1.5）|＝160，
解得t为负数，不合题意；
当1.5＜t≤2.5时，此时甲在C地休息，则|80t﹣360|＝160，
解得t1＝2.5，t2＝6.5（不合题意，舍去）；
当2.5＜t≤4.5时，此时甲在C地休息，则|80t﹣[2×360﹣120×（t+1.5﹣1）]|＝160，
解得t1＝2.5（不合题意，舍去），t2＝4.1；
综上，乙车出发2.5h或4.1h，两车距各自出发地路程的差是160km．
四．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
4．（2023 大庆）一次函数y＝﹣x+m与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，2）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）过动点T（t，0）作x轴的垂线l，l与一次函数y＝﹣x+m和反比例函数y＝的图象分别交于M，N两点，当M在N的上方时，请直接写出t的取值范围．
【答案】（1）一次函数表达式为y＝﹣x+3，反比例函数的表达式为y＝；
（2）；
（3）t＜0或1＜t＜2．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+m与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，2），
∴2＝﹣1+m，2＝，
∴m＝3，k＝2，
∴一次函数表达式为y＝﹣x+3，反比例函数的表达式为y＝；
（2）由，解得或，
∴B（2，1），
设一次函数y＝﹣x+3与x轴的交点为C，则C（3，0），
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝﹣＝；
（3）观察图象，当M在N的上方时，t的取值范围是t＜0或1＜t＜2．
五．抛物线与x轴的交点（共1小题）
5．（2023 牡丹江）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；
（2）求△BCP的面积．
注：注抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（，）．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4，点P（，﹣）；
（2）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4，
∴P（，﹣）；
（2）连接OP，
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4），P（，﹣）；
∴S△OPC＝＝3，
S△BOP＝＝，
S△BOC＝＝8，
∴S△BPC＝S△OPC+S△BOP﹣S△BOC＝3+﹣8＝．
六．平行四边形的性质（共1小题）
6．（2023 哈尔滨）已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE，EF，DE＝BF，BE＝BC．
（1）如图①，求证△AED≌△EFB；
（2）如图②，若AB＝AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（∠BAE除外），使写出的每个角都与∠BAE相等．
【答案】（1）证明见解析；
（2）∠AEB，∠DHC，∠EFC，∠DCH．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠EBF，
∵BC＝BE，
∴AD＝BE，
在△AED和△EFB中，
，
∴△AED≌△EFB（SAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，
∵AB＝AD，
∴AB＝BC，
∵BE＝BC，
∴AB＝BE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∵CH∥AE，
∴∠DHC＝∠BEA，
∵AB∥CD，
∴∠CDH＝∠ABE，
∴∠DCH＝∠BAE，
∵△AED≌△EFB（SAS），
∴∠AED＝∠EFB，
∴∠EFC＝∠AEB，
∴与∠BAE相等角是∠AEB，∠DHC，∠EFC，∠DCH．
七．矩形的判定与性质（共1小题）
7．（2023 大庆）如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．
（1）求证：四边形ACFD是矩形；
（2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）45．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，
∵E为线段CD的中点，
∴DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AE＝FE，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∵∠ACF＝90°，
∴四边形ACFD是矩形；
（2）解：∵四边形ACFD是矩形，
∴∠CFD＝90°，AC＝DF，
∵CD＝13，CF＝5，
∴DF＝＝＝12，
∵△ADE≌△FCE，
∵△CEF的面积＝△ACF的面积＝5×12＝15，
平行四边形ABCD的面积＝BC AC＝5×12＝60，
∴四边形ABCE的面积＝平行四边形ABCD的面积﹣△CEF的面积＝60﹣15＝45．
八．切线的判定与性质（共1小题）
8．（2023 齐齐哈尔）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F，连接DF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD＝5，，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠BAD，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴OD∥AB，
∴∠ODC＝∠B＝90°，
∴半径OD⊥BC于点D，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接 OF，DE，
∵∠B＝90°，tan∠ADB＝，
∴∠ADB＝60°，∠BAD＝30°，
∵BD＝5，
∴AD＝2BD＝10，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠BAD＝30°，
在 Rt△ADE 中，AD＝10，
∵cos∠DAE＝＝，
∴AE＝，
∴OA＝AE＝，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF 是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∵OD∥AB，
∴S△ADF＝S△AOF，
∴S阴影＝S扇形OAF＝＝．
九．圆的综合题（共1小题）
9．（2023 大庆）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC交于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AF AC＝AE AH；
（3）若sin∠DEA＝，求的值．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答；
（3）．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵∠OCA＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥AD，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
又∵CD⊥AD，FG⊥AB，
∴∠AGF＝∠D＝90°，
∴∠AFG+∠DAG＝90°，∠E+∠DAE＝90°，
∴∠AFG＝∠DEA，
∴△AHF∽△ACE，
∴，
即AF AC＝AE AH；
（3）过H作HM⊥AD，如图：
由（2）知∠AFG＝∠DEA，
∴sin∠DEA＝＝sin∠AFG＝，
设AG＝4x，AF＝5x，则FG＝3x，
∵AC平分∠DAB，
∴MH＝GH，AG＝AM＝4x，
∴MF＝x，
设GH＝MH＝a，
∴tan∠AFG＝，
∴，
∴a＝x，
∴FH＝3x﹣x＝x，
AH＝＝＝，
∴＝＝．
一十．作图—复杂作图（共1小题）
10．（2023 牡丹江）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，D为AB的中点，以CD为直角边作含30°角的Rt△CDE，∠DCE＝90°，且点E与点A在CD的同侧，请用尺规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段AE的长．
【答案】2或．
【解答】解：如图1：Rt△CDE即为所求；
∵∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴AC＝2，
∵△ACE是等边三角形，
∴AE＝AC＝2．
如图2：∵∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴AB＝4，
∵D为AB的中点，
∴BD＝AD＝AB＝2，
∵∠DCE＝90°．∠EDC＝30°，
∴DE＝CD÷cos30°＝，
∴AE＝＝．
一十一．作图-平移变换（共1小题）
11．（2023 哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出△ABE，且AB＝BE，∠ABE为钝角（点E在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中将线段CD向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到线段MN（点C的对应点是点M，点D的对应点是点N）．连接EN，请直接写出线段EN的长．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）作图见解析部分，．
【解答】解：（1）如图，△ABE即为所求；
（2）如图，线段MN即为所求，EN＝＝．
一十二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
12．（2023 大庆）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点B后到达山顶P，其中AB＝400米，BP＝200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为15°，BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC．（结果精确到1米，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268）
【答案】垂直高度PC约为204米．
【解答】解：过点B作BD⊥PC，垂足为D，过点B作BE⊥AC，垂足为E，
由题意得：CD＝BE，
在Rt△ABE中，∠A＝15°，AB＝400米，
∴BE＝AB sin15°≈400×0.259＝103.6（米），
∴CD＝BE＝103.6米，
在Rt△BDP中，∠PBD＝30°，BP＝200米，
∴DP＝BP＝100（米），
∴PC＝PD+DC≈204（米），
∴垂直高度PC约为204米．
一十三．扇形统计图（共1小题）
13．（2023 大庆）为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图．若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为 　40　，扇形统计图中的m＝　25　；
（2）求所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数；
（3）学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，请估计我校获“志愿者勋章”的学生人数．
【答案】（1）40，25；
（2）7次；
（3）700名．
【解答】解：（1）4÷10%＝40（人），
10÷40×100%＝25%，即m＝25，
故答案为：40，25；
（2）＝7（次），
故所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为7次；
（3）1000×（37.5%+25%+7.5%）＝700（名），
答：估计我校获“志愿者勋章”的学生人数大约有700名．
一十四．条形统计图（共2小题）
14．（2023 哈尔滨）军乐中学开展以“我最喜欢的劳动实践课”为主题的调查活动，围绕“在园艺课、泥塑课、纺织课、烹饪课四门劳动实践课中，你最喜欢哪一门课？（必选且只选一门）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢泥塑课的学生人数占所调查人数的20%，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若军乐中学共有1200名学生，请你估计该中学最喜欢烹饪课的学生共有多少名．
【答案】（1）50；
（2）见解析；
（3）480名．
【解答】解：（1）10÷20%＝50（名），
答：在这次调查中，一共抽取了50名学生；
（2）喜欢纺织课的人数为：50﹣15﹣10﹣20＝5（名），
补全条形统计图如下：
（3）1200×＝480（名），
答：估计该中学最喜欢烹饪课的学生共有480名．
15．（2023 齐齐哈尔）为了解学生完成书面作业所用时间的情况，进一步优化作业管理，某中学从全校学生中随机抽取部分学生，对他们一周平均每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）进行调查．将调查数据进行整理后分为五组：A组“0＜t≤45”；B组“45＜t≤60”；C组“60＜t≤75”；D组“75＜t≤90”；E组“t＞90”．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 　50　，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，A组对应的圆心角的度数是 　36　°，本次调查数据的中位数落在 　C　组内；
（3）若该中学有2000名学生，请你估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有多少人？
【答案】（1）50；补全条形统计图见解答；
（2）36；C；
（3）1920人．
【解答】解：（1）这次调查的样本容量是：13÷26%＝50；
B组的人数为：50﹣5﹣13﹣20﹣2＝10（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：50；
（2）A组对应的圆心角的度数是：360°×＝36°；
本次调查数据的中位数落在C组，
故答案为：36；C；
（3）（人），
答：估计该中学一周平均每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1920人．黑龙江省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类②
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023 黑龙江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中m＝tan60°﹣1．
二．分式方程的应用（共1小题）
2．（2023 黑龙江）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
三．一次函数的应用（共1小题）
3．（2023 黑龙江）已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车继续出发h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中a的值是 　 　；
（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；
（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km．
四．一次函数综合题（共2小题）
4．（2023 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，∠AOC＝60°，OC的长是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求直线AD的解析式；
（2）连接MN，求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式；
（3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
5．（2023 牡丹江）如图，在平面直角坐标系中， ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根（OB＞OC．请解答下列问题：
（1）求点B的坐标；
（2）若OD：OC＝2：1，直线y＝﹣x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求tan∠MND的值；
（3）在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
五．抛物线与x轴的交点（共1小题）
6．（2023 黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC＝S△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
六．二次函数综合题（共4小题）
7．（2023 大庆）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，且自变量x的部分取值与对应函数值y如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 …
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于P，Q两点（P在Q左边），R为二次函数y＝ax2+bx+c的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m+时，求tan∠RPQ的值；
（3）若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数y＝（ax2+bx+c）的图象只有一个交点，其中t为常数，请直接写出t的取值范围．
8．（2023 齐齐哈尔）综合与探究：
如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c上的点A，C坐标分别为（0，2），（4，0），抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2，连接AC，CM．
（1）求点M的坐标及抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP，当S△PAC＝S△ACM时，求点P的坐标；
（3）点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，请直接写出点Q的坐标；
（4）将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，在抛物线平移过程中，当 MA'+MC'的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 　 　，MA′+MC′的最小值为 　 　．

9．（2023 绥化）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，6）三点，且一次函数y＝kx+6的图象经过点B．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）将抛物线y1＝ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为m．过点P作PD⊥NC于点D，求m为何值时，CD+PD有最大值，最大值是多少？
10．（2023 哈尔滨）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣6，0），B（8，0），与y轴交于点C．

（1）求a，b的值；
（2）如图①，E是第二象限抛物线上的一个动点，连接OE，CE，设点E的横坐标为t，△OCE的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图②，在（2）的条件下，当S＝6时，连接BE交y轴于点R，点F在y轴负半轴上，连接BF，点D在BF上，连接ED，点L在线段RB上（点L不与点B重合），过点L作BR的垂线与过点B且平行于ED的直线交于点G，M为LG的延长线上一点，连接BM，EG，使∠GBM＝∠BEG，P是x轴上一点，且在点B的右侧，∠PBM﹣∠GBM＝∠FRB+∠DEG，过点M作MN⊥BG，交BG的延长线于点N，点V在BG上，连接MV，使BL﹣NV＝BV，若∠EBF＝∠VMN，求直线BF的解析式．
七．四边形综合题（共2小题）
11．（2023 牡丹江） ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接BF．
（1）当点E在线段BC上，∠ABC＝45°时，如图①，求证：AE+EC＝BF；
（2）当点E在线段BC延长线上，∠ABC＝45°时，如图②；当点E在线段CB延长线上，∠ABC＝135°时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
（3）在（1）、（2）的条件下，若BE＝3，DE＝5，则CE＝　 　．
12．（2023 绥化）已知：四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，点F是BC延长线上的一个动点（点F不与点C重合）．连接AF交CD于点G．
（1）如图一，当点G为CD的中点时，求证：△ADG≌△FCG；
（2）如图二，过点C作CE⊥AF，垂足为E．连接BE，设BF＝x，CE＝y．求y关于x的函数关系式；
（3）如图三，在（2）的条件下，过点B作BM⊥BE，交FA的延长线于点M．当CF＝1时，求线段BM的长．
八．圆周角定理（共1小题）
13．（2023 齐齐哈尔）综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：　 　，∠BDC＝　 　°；
（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：　 　；
（4）实践应用：正方形ABCD中，AB＝2，若平面内存在点P满足∠BPD＝90°，PD＝1，则S△ABP＝　 　．
九．圆的综合题（共2小题）
14．（2023 绥化）如图，MN为⊙O的直径，且MN＝15，MC与ND为圆内的一组平行弦，弦AB交MC于点H．点A在上，点B在上，∠OND+∠AHM＝90°．
（1）求证：MH CH＝AH BH；
（2）求证：＝；
（3）在⊙O中，沿弦ND所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径MN于点G．若sin∠CMN＝，求NG的长．
15．（2023 哈尔滨）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，N为的中点，连接ON交AC于点H．

（1）如图①，求证：BC＝2OH；
（2）如图②，点D在⊙O上，连接DB，DO，DC，DC交OH于点E，若DB＝DC，求证OD∥AC；
（3）如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G，DG＝CH，过点F作FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF：DF＝3：2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作TM⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR＝CM，AT＝4，求AB的长．
一十．作图—复杂作图（共1小题）
16．（2023 绥化）已知：点P是⊙O外一点．
（1）尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PE，PF，切点分别为点E、点F．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若点D在⊙O上（点D不与E，F两点重合），且∠EPF＝30°，求∠EDF的度数．
一十一．作图-平移变换（共1小题）
17．（2023 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
一十二．相似三角形的判定与性质（共1小题）
18．（2023 黑龙江）如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点，连接FG，FH．易证：FH＝FG．
若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，如图②；若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，如图③；其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
一十三．解直角三角形的应用（共1小题）
19．（2023 绥化）如图，直线MN和EF为河的两岸，且MN∥EF，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸FE的B点测得∠CBE＝30°，从B点沿河岸FE的方向走40米到达D点，测得∠CDE＝45°．
（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）
（2）若从D点继续沿DE的方向走（12+12）米到达P点．求tan∠CPE的值．
黑龙江省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类②
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2023 黑龙江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中m＝tan60°﹣1．
【答案】；．
【解答】解：原式＝÷
＝×
＝．
当m＝tan60°﹣1＝﹣1时，
原式＝
＝
＝．
二．分式方程的应用（共1小题）
2．（2023 黑龙江）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
【答案】（1）A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）共有6种购买方案；
（3）m＝5．
【解答】解：（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40+10＝50．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300﹣y）件B款文化衫，
根据题意得：，
解得：275≤y≤280，
又∵y为正整数，
∴y可以为275，276，277，278，279，280，
∴共有6种购买方案；
（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，则w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣y）＝（m﹣5）y+300（40﹣m），
∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，
∴w的值与y值无关，
∴m﹣5＝0，
∴m＝5．
答：m的值为5．
三．一次函数的应用（共1小题）
3．（2023 黑龙江）已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车继续出发h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中a的值是 　120　；
（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；
（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km．
【答案】（1）120；
（2）y＝60x；
（3）在出租车返回的行驶过程中，货车出发h或h与出租车相距12km．
【解答】解：（1）由图象知，C（4，480），
设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，480）代入得，480＝4k，
解得k＝120，
∴直线OC的解析式为y＝120x；把（1，a）代入y＝120x，得a＝120，
故答案为：120；
（2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车行驶时间为小时，
∵a＝120（km），
∴货车卸货时与乙地相距120km，
∴出租车距离乙地为120+120＝240（km），
∴出租车距离甲地为480﹣240＝240（km），
把y＝240代入y＝120x得，240＝120x，
解得x＝2，
∴货车装完货物时，x＝2，B（2，120），
根据货车继续出发h后与出租车相遇，
可得×（出租车的速度+货车的速度）＝120，
根据直线OC的解析式为y＝120x（0≤x≤4），
可得出租车的速度为120km/h，
∴相遇时，货车的速度为120﹣120＝60（km/h），
故可设直线BG的解析式为y＝60x+b，
将B（2，120）代入y＝60x+b，可得120＝120+b，
解得b＝0，
∴直线BG的解析式为y＝60x（2≤x≤8），
故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式为y＝60x，
（3）把y＝480代入y＝60x，可得480＝60x，
解得x＝8，
∴G（8，480），
∴F（8，0），
根据出租车到达乙地后立即按原路返回，经过比货车早15分钟到达甲地，可得EF＝，
∴，
∴出租车返回后的速度为480÷（）＝128km/h，
设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km，
此时货车距离乙地为60tkm，出租车距离乙地为128（t﹣4）＝（128t﹣512）km，
①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，可得60t1﹣（128t1﹣512）＝12，
解得t1＝；
②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，可得（128t2﹣512）﹣60t2＝12，
解得t2＝，
故在出租车返回的行驶过程中，货车出发h或h与出租车相距12km．
四．一次函数综合题（共2小题）
4．（2023 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，∠AOC＝60°，OC的长是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求直线AD的解析式；
（2）连接MN，求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式；
（3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝﹣；
（2）S＝；
（3）存在，点Q的坐标是 或（6，4）．
【解答】（1）解：解方程x2﹣4x﹣12＝0得：x1＝6，x2＝﹣2，
∴OC＝6，
∵四边形AOCB是菱形，∠AOC＝60°，
∴OA＝OC＝6，∠BOC＝∠AOC＝30°，
∴CD＝OC tan30°＝6×＝2，
∴D（6，2），
过点A作AH⊥OC于H，
∵∠AOH＝60°，
∴OH＝OA＝3，AH＝OA sin60°＝6×＝3，
∴A（3，3），
设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
代入A（3，3），D（6，2 ）得：，
解得：
，
∴直线AD的解析式为y＝﹣；
（2）解：由（1）知在Rt△COD中，，∠DOC＝30°，
∴，∠EOD＝90°﹣∠DOC＝90°﹣30°＝60°，
∵直线与y轴交于点E，
∴，
∴OE＝OD，
∴△EOD是等边三角形，
∴∠OED＝∠EDO＝∠BDF＝60°，，
∴∠OFE＝30°＝∠DOF，
∴，
①当点N在DF上，即 时，
由题意得：，，
过点N作NP⊥OB于P，
则NP＝DN×sin∠PDN＝DN×sin60°＝（4﹣2t）×＝6﹣t，
∴S＝DM×NP＝（4﹣2t）×（6﹣t）＝t2﹣9t+12；
②当点N在DE上，即 时
由题意得：DM＝OD﹣OM＝，DN＝2t﹣4，
过点N作NT⊥OB于T，
则NT＝DN sin∠NDT＝DN sin60°＝（2t﹣4）×＝，
∴S＝＝；
综上，S＝；
（3）解：存在，分情况讨论：
①如图，当AN是直角边时，则CN⊥EF，过点N作NK⊥CF于K，
∵∠NFC＝30°，，
∴∠NCK＝60°，，
∴CF＝12﹣6＝6，
∴，
∴CK＝CN×cos60°＝3×＝，NK＝CN×sin60°＝3×＝，
∴将点N向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点C，
∴将点A向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点Q，
∵，
∴Q（，）；
②如图，当AN是对角线时，则∠ACN＝90°，过点N作NL⊥CF于L，
∵OA＝OC，∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO＝60°，
∴∠NCF＝180°﹣60°﹣90°＝30°＝∠NFC，
∴CL＝FL＝CF＝3，
∴NL＝CL tan30°＝3×＝，
∴将点C向右平移3个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点N，
∴将点A向右平移3个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点Q，
∵，
∴Q（6，4）；
∴存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标是 或（6，4）．
5．（2023 牡丹江）如图，在平面直角坐标系中， ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2﹣6x+8＝0的两个根（OB＞OC．请解答下列问题：
（1）求点B的坐标；
（2）若OD：OC＝2：1，直线y＝﹣x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求tan∠MND的值；
（3）在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）B（﹣4，0）；
（2）tan∠MND＝；
（3）存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形，共有8个，Q1（﹣4，5），Q2（，）；Q3（4，﹣3），Q4（，）．
【解答】解：（1）由 x2﹣6x+8＝0，得x1＝4，x2＝2，
∵OB＞0C，
∴OB＝4，0C＝2，
∴B（﹣4，0）；
（2）∵OD：OC＝2：1，OC＝2，
∴OD＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝6，
∵M是AD中点，
∴MD＝3，
∴M（﹣3，4），
将M（﹣3，4）代入y＝﹣x+b，得：3+b＝4，
解得：b＝1，
在y＝﹣x+b中，令x＝0得y＝1，令y＝0得x＝1，
∴E（1，0），F（0，1），
∴∠FEO＝45°，
过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K，
∵∠DOC＝∠NKC＝90°，∠DCO＝∠NCK，
∴△DOC∽△NKC，
∴DO：OC＝NK：CK＝2：1，
∴NK＝EK＝2CK，
∵CE＝OC﹣OE＝2﹣1＝1，
∴CK＝1，NK＝2，
∴N（3，﹣2），
∴EN＝2，EH＝＝＝CH，
∴NH＝EN﹣EH＝，
∴tan∠MND＝＝＝；
（3）存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形，理由如下：
由（2）知，N（3，﹣2），
设P（0，m），Q（t，﹣t+1），
∴PN2＝9+（m+2）2，QN2＝2（t﹣3）2，PQ2＝t2+（m+t﹣1）2，
当PN＝5时，9+（m+2）2＝25，解得m＝2或m＝﹣6；
当QN＝5时，2（t﹣3）2，解得t＝；
①如图：
△P'NQ1，△PNQ2，△P'NQ2是腰长为5的等腰三角形，
结合图形可得Q1（﹣4，5），Q2（，）；
②如图：
△P'NQ3，△P'NQ4，△PNQ4是边长为5的等腰三角形，
结合图形可得Q3（4，﹣3），Q4（，）；
③如图：
△PQ5N，△P'Q5N是腰长为5的等腰三角形，此时Q5（，），
综上所述，腰长为5的等腰三角形NPQ共有8个，Q1（﹣4，5），Q2（，）；Q3（4，﹣3），Q4（，）．
五．抛物线与x轴的交点（共1小题）
6．（2023 黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC＝S△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）（﹣2，3）或（3，﹣12）．
【解答】解：（1）由抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，代入抛物线y＝ax2+bx+3得：
，
解得：；
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在，理由如下：
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝4，
抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，
令x＝0，则y＝3，
∴C点坐标为（0，3），OC＝3，
∴S△ABC＝AB OC＝×4×3＝6，
∴S△PBC＝S△ABC＝3；
作PE∥x轴交BC于E，如图：
设BC的解析式为：y＝kx+b，将B、C代入得：
，
解得：，
∴BC的解析式为：y＝﹣3x+3；
设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2﹣2t+3），
则E的横坐标为：﹣3x+3＝﹣t2﹣2t+3，解得：x＝，
∴E（，﹣t2﹣2t+3）；
∴PE＝﹣t＝，
∴S△PBC＝××3＝3，
解得：t＝﹣2或3；
∴P点纵坐标为：﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3；或﹣（3）2﹣2×（3）+3＝﹣12，
∴点P的坐标为（﹣2，3）或（3，﹣12）．
六．二次函数综合题（共4小题）
7．（2023 大庆）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，且自变量x的部分取值与对应函数值y如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 …
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于P，Q两点（P在Q左边），R为二次函数y＝ax2+bx+c的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m+时，求tan∠RPQ的值；
（3）若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数y＝（ax2+bx+c）的图象只有一个交点，其中t为常数，请直接写出t的取值范围．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；
（2）；
（3）t＝﹣或﹣1＜t＜0或0＜t≤．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），（0，﹣3）三个点，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）过R作RT⊥PQ，垂足为T，
∵点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m+，
∴QT＝，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，
∴点P，Q关于直线x＝1对称，
∵Q到x＝1的距离是m﹣1，
∴PQ＝2（m﹣1）＝2m﹣2，
∴PT＝2m﹣2+，
∵yR＝（m+）2﹣2（m+）﹣3，yT＝yQ＝m2﹣2m﹣3，
∴RT＝yR﹣yT＝2m﹣2+2，
∴在Rt△RPT中，tan∠RPQ＝＝＝．
（3）线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段设为A'B'，则A'（0，3），B'（4，3），
二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，对称轴为直线x＝1，二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）与二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）只是开口大小和方向发生了变化，并且||越大，开口越小．若线段A'B'与二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点，分以下三种情况：
①当t＞0时，开口向上，如图，线段A'B'与二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点，当抛物线经过B'（4，3）时开口最大，最小，t最大，把（4，3）代入y＝（x2﹣2x﹣3）得t＝，
∴0＜t≤．
②当t＜0时，开口向下，如图，线段A'B'与二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点（1，3），代入y＝（x2﹣2x﹣3）得t＝﹣．
③当t＜0时，开口向下，如图，线段A'B'与二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点，当抛物线经过A'（0，3）时开口最大，||最小，t最小，把（0，3）代入y＝（x2﹣2x﹣3）得t＝﹣1，
∴﹣1＜t＜0．
综上，t的取值范围是：t＝﹣或﹣1＜t＜0或0＜t≤．
8．（2023 齐齐哈尔）综合与探究：
如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c上的点A，C坐标分别为（0，2），（4，0），抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2，连接AC，CM．
（1）求点M的坐标及抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP，当S△PAC＝S△ACM时，求点P的坐标；
（3）点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，请直接写出点Q的坐标；
（4）将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，在抛物线平移过程中，当 MA'+MC'的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 　（﹣，）　，MA′+MC′的最小值为 　2　．

【答案】（1）M（0，﹣2），y＝﹣x2+x+2；
（2）P（2，5）；
（3），；
（4）（﹣，），2．
【解答】（1）解：∵点M在y轴负半轴且OM＝2，
∴M（0，﹣2），
将A（0，2），C（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过点P作PF⊥x轴于点F，交线段AC于点E，
设直线AC的解析式为y＝kx+m（k≠0），
将A（0，2），C（4，0）代入y＝kx+m，得
，
解得 ，
∴直线AC的解析式为；
设点P的横坐标为p（0＜p＜4），
则 ，，
∴，
∵S△ACM＝8，S△PAC＝PE×OC＝﹣2p2+8p＝8，
解得p1＝p2＝2，
∴P（2，5）；
（3）∵在△COM中，∠COM＝90°，以点Q，N，C为顶点的三角形与△COM相似，
∴以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，
又∵QD⊥x轴，直线QD交直线CM于点N，
∴∠CNQ≠90°，即点N不与点O是对应点，
故分为∠CQN＝90°和∠QCN＝90°两种情况讨论：
①当∠CQN＝90°时，由于QN⊥x轴，
∴CQ⊥y轴，即CQ在x轴上，
又∵点Q在抛物线上，
∴此时点B与点Q重合，
作出图形如下：
此时∠CQN＝∠COM＝90°，
又∵∠QCN＝∠OCM，
∴△CQN∽△COM，即此时符合题意，
令y＝﹣x2+x+2＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝4（舍去），
∴点Q的坐标，即点B的坐标是Q1（﹣，0）；
②当∠QCN＝90°时，作图如下：
∵QD⊥x轴，∠COM＝90°，
∴QD∥OM，
∴∠CNQ＝∠OMC，
∵∠CNQ＝∠OMC，∠QCN＝∠COM＝90°，
∴△QCN∽△COM，即此时符合题意，
∵QCN∽△COM，
∴∠CQN＝∠OCM，即∠DQC＝∠OCM，
∵DQC＝∠OCM，∠QDC＝∠COM，
∴△QDC∽△COM，
∴＝2，QD＝2DC，
设点Q的横坐标为q，则Q（q，﹣q2+q+2），D（q，0），
∴QD＝﹣q2+q+2，CD＝4﹣q，
﹣q2+q+2＝2（4﹣q），
解得：q1＝，q2＝4（舍去），
∴点Q的坐标是Q2（，5），
综比所述：点Q的坐标是，；
（4）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，
将点M向右平移m个单位长度得到点M'，作出图形如下：
由平移的性质可知，MA'＝M'A，MC'＝M'C，
∴MA'+MC'的值最小就是M'A+M'C最小值，
显然点M'在直线y＝﹣2上运动，
作出点C关于直线y＝﹣2对称的对称点C″，连接AC″交直线y＝﹣2于点M'，连接M'C，则此时M'A+M'C取得最小值，即为AC″的长度，
∵点C关于直线y＝﹣2对称的对称的点是点C″，C（4，0），
∴C″（4，﹣4），
∴（MA'+MC'）min＝（M'A+M'C）min＝AC″＝＝2，
设直线AC“的解析式是：y＝k1x+b1，
将点A（0，2），C″（4，﹣4）代入得：，
解得：，
∴直线AC″的解析式是：y＝﹣x+2，
令y＝﹣x+2＝﹣2，解得：x＝，
∴M'＝（，﹣2），
∴平移的距离是m＝，
又∵y＝﹣q2+q+2＝﹣（x﹣）2+，
∴平移前的抛物线的顶点坐标是（，），
∴新抛物线的顶点坐标为（，）即（﹣，），
故答案为：（﹣，），2．
9．（2023 绥化）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，6）三点，且一次函数y＝kx+6的图象经过点B．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）将抛物线y1＝ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为m．过点P作PD⊥NC于点D，求m为何值时，CD+PD有最大值，最大值是多少？
【答案】（1）抛物线的解析式为，一次函数的解析式为y＝3x+6．
（2）E1（﹣8，2），E2（4，﹣2），E3（﹣4，4）．
（3）当时，CD+的最大值为．
【解答】解：（1）∵抛物线y1＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，6）三点，
∴，
解得，
∴，
把B（﹣2，0）代入一次函数y＝kx+6中，
得k＝3，
∴y＝3x+6．
答：抛物线的解析式为，一次函数的解析式为y＝3x+6．
（2）①当BC为正方形的边长时，
分别过B点，C点作E1E2⊥BC，F1F2⊥BC，使E1B＝E2B＝BC，CF1＝CF2＝BC，连接E1F1，E2F2，
过点E1作E1H1⊥x轴于H1，∴△BE1H1≌△CBO（AAS），
∴E1H1＝OB＝2，H1B＝OC＝6，
∴E1（﹣8，2），
同理可得，E2（4，﹣2）．
②以BC为正方形的对角线时，
过BC的中点G作E3F3⊥BC，使E3F3与BC互相平分且相等，
则四边形E3BF3C为正方形，
过点E3作E3N⊥y轴于点N，过点B作BM⊥E3N于点M，
∴△CE3N≌△E3BM（AAS），
∴CN＝E3M，BM＝E3N，
∵，
∴，
∴，
在Rt△E3NC中，，
∴，
解得CN＝2或4，
当CN＝4时，E3（2，2），此时点E在点F右侧，舍去；
当CN＝2时，E3（﹣4，4）．
综上，E1（﹣8，2），E2（4，﹣2），E3（﹣4，4）．
（3）∵抛物线向右平移8个单位长度得到抛物线y2，
∴M（2，0），N（6，0），
∵y2过M，N，C三点，
∴，
在直线CN下方的抛物线y2上任取一点P，作PH⊥x轴交NC于点H，过H作HG⊥y轴于G，
∵N（6，0），C（0，6），
∴ON＝OC，
∴△CON是等腰直角三角形，
∵∠CHG＝45°，∠GHP＝90°，
∴∠PHD＝45°，
∵PD⊥CN，
∴△HPD是等腰直角三角形，
∴，
∵点P在抛物线y2上，且横坐标为m，
∴CG＝GH＝m，
∴，
∵yCN＝﹣x+6，
∴H（m，﹣m+6），
∴，
∴，
∴＝＝，
答：当时，CD+的最大值为．
10．（2023 哈尔滨）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣6，0），B（8，0），与y轴交于点C．

（1）求a，b的值；
（2）如图①，E是第二象限抛物线上的一个动点，连接OE，CE，设点E的横坐标为t，△OCE的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图②，在（2）的条件下，当S＝6时，连接BE交y轴于点R，点F在y轴负半轴上，连接BF，点D在BF上，连接ED，点L在线段RB上（点L不与点B重合），过点L作BR的垂线与过点B且平行于ED的直线交于点G，M为LG的延长线上一点，连接BM，EG，使∠GBM＝∠BEG，P是x轴上一点，且在点B的右侧，∠PBM﹣∠GBM＝∠FRB+∠DEG，过点M作MN⊥BG，交BG的延长线于点N，点V在BG上，连接MV，使BL﹣NV＝BV，若∠EBF＝∠VMN，求直线BF的解析式．
【答案】（1）a＝﹣，b＝；
（2）S＝﹣3t；
（3）y＝x﹣．
【解答】解：（1）将点A（﹣6，0），B（8，0）代入y＝ax2+bx+6，
，
解得；
（2）由（1）可知抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+6，
当x＝0时，y＝6，
∴C（0，6），
∴OC＝6，
∴S＝（﹣t）×6＝﹣3t；
（3）∵S＝6，
∴﹣3t＝6，
解得t＝﹣2，
∴E（﹣2，5），
如图：以BM为一边作∠MBT＝∠MBN，∠MBT的另一边BT交LM的延长线于点T，
∵ED∥BG，
∴∠DEB＝∠EBG，
∵∠GEB＝2∠GBM，
∴∠GEB＝∠GBT，
∴∠DEB+∠GEB＝∠EBG+∠GBT，
∴∠DEG＝∠EBT，
∵∠PBM﹣∠GBM＝∠FRB+∠DEG，∠PBM﹣∠GBM＝∠TBP，∠ROB＝90°，
∴∠TBP＝90°﹣∠RBO+∠EBT，
∵∠RBO+∠EBT+∠TBP＝180°，
∴∠EBT＝60°，
∵LG⊥EB，
∴∠GLB＝90°，
∴∠T＝30°，
∴LB＝BT，
作MK⊥BT，
∵MN⊥GB，
∴∠MKT＝∠N＝∠MKB＝90°，
∵MB＝MB，
∴△MNB≌△MKB（AAS），
∴NB＝BK，MN＝MK，
∵BL﹣NV＝BV，
∴2BL﹣2NV＝BV，
∴BT﹣NV＝BV+NV＝BN＝BK，
∴BT﹣BK＝NV＝KT，
∴Rt△NMV≌Rt△KMT（HL），
∴∠T＝∠NVM＝30°，
∴∠NMV＝60°，
∵∠EBF＝∠VMN，
∴∠EBF＝60°，
作FS⊥BE交于S点，作EQ⊥x轴交于Q点，
∴∠EQB＝∠RSF＝∠BSF＝90°，
∵B（8，0），
∴OB＝8，
∵E（﹣2，5），
∴EQ＝5，QB＝10，
∵tan∠EBQ＝＝，
∴＝，
解得OR＝4，
∴BR＝＝4，
∵tan∠FRB＝＝＝＝，tan∠FBS＝tan60°＝＝，
∴设FS＝2m，则RS＝3m，BS＝2m，
∴3m+2m＝4，
解得m＝，
∵RF＝＝m＝，
∴OF＝，
∴F（0，﹣），
设直线BF的解析式为y＝kx+c，
∴，
解得，
∴直线BF的解析式为y＝x﹣．
七．四边形综合题（共2小题）
11．（2023 牡丹江） ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接BF．
（1）当点E在线段BC上，∠ABC＝45°时，如图①，求证：AE+EC＝BF；
（2）当点E在线段BC延长线上，∠ABC＝45°时，如图②；当点E在线段CB延长线上，∠ABC＝135°时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
（3）在（1）、（2）的条件下，若BE＝3，DE＝5，则CE＝　1或7　．
【答案】（1）证明见解答；
（2）图②，AE﹣EC＝BF；图③，EC﹣AE＝BF；
（3）1或7．
【解答】（1）证明：如图①，∵AE⊥BC于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAE＝∠ABC＝45°，
∴BE＝AE，
∵将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，
∴∠DEF＝90°，EF＝ED，
∴∠BEF＝∠AED＝90°﹣∠AEF，
∵BE＝AE，∠BEF＝∠AED，EF＝ED，
∴△BEF≌△AED（SAS），
∴BF＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，
∴AE+EC＝BE+EC＝BC＝AD，
∴AE+EC＝BF．
（2）解：图②，AE﹣EC＝BF；图③，EC﹣AE＝BF，
理由：如图②，AE⊥BC交BC的延长线于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAE＝∠ABC＝45°，
∴BE＝AE，
∵将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，
∴∠DEF＝90°，EF＝ED，
∴∠BEF＝∠AED＝90°﹣∠AEF，
∵BE＝AE，∠BEF＝∠AED，EF＝ED，
∴△BEF≌△AED（SAS），
∴BF＝AD，
∵BC＝AD，
∴AE﹣EC＝BE﹣EC＝BC＝AD，
∴AE﹣EC＝BF；
如图③，AE⊥BC交CB的延长线于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝135°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝45°，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，
∴BE＝AE，
∵将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，
∴∠DEF＝90°，EF＝ED，
∴∠BEF＝∠AED＝90°﹣∠BED，
∵BE＝AE，∠BEF＝∠AED，EF＝ED，
∴△BEF≌△AED（SAS），
∴BF＝AD，
∴BC＝AD，
∴EC﹣AE＝EC﹣BE＝BC＝AD，
∴EC﹣AE＝BF．
（3）解：如图①，∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝90°，
∵AE＝BE＝3，DE＝5，
∴AD＝＝＝4，
∴BC＝AD＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣3＝1；
如图②，∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝90°，
∵AE＝BE＝3，DE＝5，
∴AD＝＝＝4，
∴BF＝AD＝4，
∵AE﹣EC＝BF，
∴EC＝AE﹣BF＝3﹣4＝﹣1，即CE＝﹣1，不符合题意，舍去；
如图③，∵AD∥BC，
∴∠DAE＝180°﹣∠AEB＝90°，
∵AE＝BE＝3，DE＝5，
∴AD＝＝＝4，
∴BC＝AD＝4，
∴CE＝BE﹣BC+3+4＝7，
综上所述，CE＝1或CE＝7，
故答案为：1或7．
12．（2023 绥化）已知：四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，点F是BC延长线上的一个动点（点F不与点C重合）．连接AF交CD于点G．
（1）如图一，当点G为CD的中点时，求证：△ADG≌△FCG；
（2）如图二，过点C作CE⊥AF，垂足为E．连接BE，设BF＝x，CE＝y．求y关于x的函数关系式；
（3）如图三，在（2）的条件下，过点B作BM⊥BE，交FA的延长线于点M．当CF＝1时，求线段BM的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）y＝（或者y＝）；
（3）BM＝．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
.∴AD∥BF，
∴∠D＝∠DCF，
∵G为CD中点，
∴DG＝CG，
∵∠AGD＝∠FGC，
∴△ADG≌△FCG（ASA）；
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵CE⊥AF，
∴∠CEF＝90°＝∠ABC，
∵∠F＝∠F，
∴△CEF∽△ABF，
∴＝，
∵AB＝4，BF＝x，
在Rt△ABF中，AF＝＝，
∵CE＝y，
∴＝，
∴y＝（或者y＝）；
（3）解：过点E作EN⊥BF于点N，
∵四边形ABCD为矩形，AD＝3，
∴AD＝BC＝3，
∵AB＝4，CF＝1，
∴AB＝BF，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴∠CFE＝∠BAF＝45°，
∵CE⊥AF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴∠ECF＝45°，
∵EN⊥CF，
∴EN平分CF，
∴CN＝NF＝NE＝，
在Rt△BNE中，根据勾股定理得：
BE2＝BN2+EN2，
∴BE＝＝，
∵∠ECF＝∠BAF＝45°，
∴∠BAM＝∠BCE＝135°，
∵BM⊥BE，
∴∠MBA+∠ABE＝90°，
∠ABE+∠EBC＝90°，
∴∠MBA＝∠EBC，
∴△BAM∽△BCE，
∴＝＝，
∴＝，
∴BM＝．
八．圆周角定理（共1小题）
13．（2023 齐齐哈尔）综合与实践：
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：　BE＝CF　，∠BDC＝　30　°；
（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：　BF＝CF+2AM　；
（4）实践应用：正方形ABCD中，AB＝2，若平面内存在点P满足∠BPD＝90°，PD＝1，则S△ABP＝　或　．
【答案】或．
【解答】解：（1）BE＝CF，∠BDC＝30°，
理由如下：如图1所示：
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，
∴AB＝AC，AE＝AF，
又∵∠BAC＝∠EAF＝30°，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF，
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠AOE＝∠ABE+∠BAC，
∠AOE＝∠ACD+∠BDC，
∴∠BDC＝∠BAC＝30°；
（2）BE＝CF，∠BDC＝60°，
理由如下：如图2所示：
证明：∵∠BAC＝∠EAF＝120°，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，
即∠BAE＝∠CAF，
又∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，
∴AB＝AC，AE＝AF，
∴△BAE≌△CAF（SAS）
∴BE＝CF，
∴∠AEB＝∠AFC，
∵∠EAF＝120°，AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝30°，
∴∠BDC＝∠BEF﹣∠EFD＝∠AEB+30°﹣（∠AFC﹣30°）＝60°；
（3）BF＝CF+2AM，
理由如下：如图3所示：
∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，
∴∠CAB＝∠EAF＝90°，AB＝AC，AE＝AF，
∴∠CAB﹣∠CAE＝∠FAE﹣∠CAE，
即：∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAE（SAS），
∴BE＝CF，
∵AM⊥BF，AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴EF＝2AM，
∵BF＝BE+EF，
∴BF＝CF+2AM；
（4））如图4所示：
连接BD，以BD为直径作圆，
由题意，取满足条件的点P，P′，则PD＝P′D＝1．∠BPD＝∠BP′D＝90°，
∴BD＝2，
∴BP＝＝＝，
连接PA，作AF⊥PB于点F，在BP上截取BE＝PD，
∵∠PDA＝ABE，AD＝AB，
∴△ADP≌△ABE（SAS），
∴AP＝AE，∠BAE＝∠DAP，
∴∠PAE＝90°，
由（3）可得：PB﹣PD＝2AF，
∴AF＝＝，
∴S△PAB＝PB AF＝，
同理可得：S△P′AB＝，
故△ABP的面积为：或．
九．圆的综合题（共2小题）
14．（2023 绥化）如图，MN为⊙O的直径，且MN＝15，MC与ND为圆内的一组平行弦，弦AB交MC于点H．点A在上，点B在上，∠OND+∠AHM＝90°．
（1）求证：MH CH＝AH BH；
（2）求证：＝；
（3）在⊙O中，沿弦ND所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径MN于点G．若sin∠CMN＝，求NG的长．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答；
（3）．
【解答】（1）证明：∵∠ABC 和∠AMC是 所对的圆周角，
∴∠ABC＝∠AMC，
∵∠AHM＝∠CHB，
∴△AMH∽△CBH，
∴，
∴MH CH＝AH BH．
（2）证明：连接OC，交AB于点F，
∵MC与ND为一组平行弦，即：MC∥ND，
∴∠OND＝∠OMC，
∵OM＝OC，
∴∠OMC＝∠OCM，
∵∠OND+∠AHM＝90°，
∴∠OCM+∠AHM＝∠OCM+∠CHB＝90°，
∴∠HFC＝90°，
∴OC⊥AB，
∴OC是AB的垂直平分线，
；
（3）解：连接DM、DG，过点D作DE⊥MN，垂足为E，设点G的对称点 G'，连接G′D、G′N，
∵DG＝DG'，∠G′ND＝∠GND，，DG'＝DM，
∴DG＝DM，
∴△DGM 是等腰三角形，
∵DE⊥MN，
∴GE＝ME，
∵DN∥CM，
∴∠CMN＝∠DNM，
∵MN为直径，
∴∠MDN＝90°，
∴∠MDE+∠EDN＝90°，
∵DE⊥MN，
∴∠DEN＝90°，
∴∠DNM+∠EDN＝90°，
∴，
在Rt△MND中，MN＝15，
∴，
∴MD＝9，
在Rt△MED中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（2023 哈尔滨）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，N为的中点，连接ON交AC于点H．

（1）如图①，求证：BC＝2OH；
（2）如图②，点D在⊙O上，连接DB，DO，DC，DC交OH于点E，若DB＝DC，求证OD∥AC；
（3）如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G，DG＝CH，过点F作FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF：DF＝3：2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作TM⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR＝CM，AT＝4，求AB的长．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）2．
【解答】（1）证明：如图①，连接OC，
∵N是的中点，
∴＝，
∴∠AON＝∠CON，
∵OA＝OC，
∴AH＝HC，
∵OA＝OB，
∴OH是△ABC的中位线，
∴BC＝2OH；
（2）证明：如图②，设∠BDC＝2α，
∵BD＝CD，DO＝DO，BO＝OC，
∴△DOB≌△DOC（SSS），
∴∠BDO＝∠CDO＝∠BDC＝α，
∵OB＝OD，
∴∠DBO＝∠BDO＝α，
∵∠ACD＝∠ABD＝α，
∴∠CDO＝∠ACD，
∴DO∥AC；
（3）解：如图③，连接AD，延长AE与BC交于W点，延长AC、TM交于L点，
∵FG⊥OD，
∴∠DGF＝90°，
∵∠CHE＝90°，
∴∠DGF＝∠CHE，
∵∠FDG＝∠ECH，DG＝CH，
∴△DGF≌△CHE（AAS），
∴DF＝CE，
∵AH＝CH，
∴OH⊥AC，
∴∠EHC＝∠DGF，
∵AH＝HC，
∴△AEC是等腰三角形，
∴AE＝EC，∠EAC＝∠ECA，
∵∠BDO＝∠ODE＝∠ECA，
∴∠EAH＝∠FDG，
∵DG＝CH，
∴DG＝AH，
∴△DFG≌△AFH（ASA），
∴AE＝DF，
∵∠DEA＝2∠ECA，∠FDE＝2∠ODE，
∴∠FDE＝∠DEA，
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形ADFE是矩形，
∴EF⊥BD，
∵EF：DF＝3：2，
∴tan∠EDF＝，
∵FR⊥CD，FG⊥DO，
∴∠ODE＝∠RFK＝90°，
∵∠ECA＝∠MCL，
∴∠RFK＝∠LCM，
∵CM⊥MT，
∴∠CML＝90°，
∵FR＝CM，
∴△FRK≌△CML（AAS），
∴CL＝FK＝2FG，
∵BC＝2OH，EH＝OH，
∴EH是△AWC的中位线，
∴CW＝2EH，
∵EH＝FG，
∴CL＝FK＝2FG＝CW，
∵∠TCL＝∠CMT＝90°，
∴∠MCL＝∠CTM，
∵∠ACE＝∠ECA＝∠LCM，
∴∠CTM＝∠WAC，
∴△AWC≌△TLC（AAS），
∴AC＝TC，
在Rt△ACT中，AT＝4，
∴AC＝CT＝4，
∵AW∥BD，
∴∠BAW＝∠DBC，
∵∠DBO＝∠BDO，∠EAC＝∠BDO＝∠ODE，
∴∠BAC＝∠BDE，
在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝，
∴BC＝6，
在Rt△ABC中，AB＝＝2．
一十．作图—复杂作图（共1小题）
16．（2023 绥化）已知：点P是⊙O外一点．
（1）尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PE，PF，切点分别为点E、点F．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若点D在⊙O上（点D不与E，F两点重合），且∠EPF＝30°，求∠EDF的度数．
【答案】（1）见解答；
（2）75°或105°．
【解答】解：（1）如图，PE、PF为所作；
（2）连接OE、OF，如图，
∵PE，PF为⊙O的两条切线，
∴OE⊥PE，OF⊥PF，
∴∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴∠EOF＝180°﹣∠EPF＝180°﹣30°＝150°，
当点D在优弧EF上时，∠EDF＝∠EOF＝75°，
当点D′在弧EF上时，∠ED′F＝180°﹣∠EDF＝180°﹣75°＝105°，
综上所述，∠EDF的度数为75°或105°．
一十一．作图-平移变换（共1小题）
17．（2023 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
【答案】（1）图形见解答；
（2）图形见解答；
（3）．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，如图，连接OC3交于D，连接OC2交于E，
∵A2（﹣2，﹣1），B2（﹣1，﹣2），C2（﹣3，﹣3），
∴OA2＝＝，OB2＝＝，OC2＝＝3，
∴OA2＝OB2＝OD＝OE＝，
由旋转得：OA2＝OA3，OB2＝OB3，OC2＝OC3，A2C2＝A3C3，∠C2OC3＝∠DOE＝90°，
∴△OA2C2≌△OA3C3（SSS），
∴＝，
∴线段A2C2在旋转过程中扫过的面积＝S﹣S扇形DOE＝﹣＝．
一十二．相似三角形的判定与性质（共1小题）
18．（2023 黑龙江）如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点，连接FG，FH．易证：FH＝FG．
若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，如图②；若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，如图③；其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
【答案】如图②；FH＝FG，证明见解析；如图③；FH＝FG，证明见解析．
【解答】解：如图②；FH＝FG，
证明：连接AH，CE，AF，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，F，H分别是DE，BC的中点，
∴AH⊥BC，AF⊥DE，，
∴∠CAH＝∠EAF＝45°，
∴∠HAF＝∠EAC，，
∴△AHF∽△ACE，
∴，
∴CE＝FH，
∵点F，G分别是DE，DC的中点，
∴CE＝2FG，
∴FH＝FG；
如图③；FH＝FG，
证明：连接AH，CE，AF，
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴∠AED＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°，
∵点F，H分别是DE，BC的中点，
∴AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH＝∠EAF＝，
∴∠HAF＝∠EAC，，
∴△AHF∽△ACE，
∴＝，
∴CE＝2FH，
∵点F，G分别是DE，DC的中点，
∴CE＝2FG，
∴FH＝FG；
一十三．解直角三角形的应用（共1小题）
19．（2023 绥化）如图，直线MN和EF为河的两岸，且MN∥EF，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸FE的B点测得∠CBE＝30°，从B点沿河岸FE的方向走40米到达D点，测得∠CDE＝45°．
（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）
（2）若从D点继续沿DE的方向走（12+12）米到达P点．求tan∠CPE的值．
【答案】（1）（20+20）米；
（2）．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥EF于点H，
在Rt△CHB中，
∵tan∠CBH＝＝，
∴HB＝CH，
在Rt△CHD中，∠CDH＝45°，
∴CH＝DH，
又∵BH﹣DH＝BD＝40，
∴CH﹣CH＝40，
解得CH＝20+20，
即河两岸之间的距离是（20+20）米；
（2）在Rt△CHP中，HP＝HD＝PD＝20+20﹣（12+12）＝8+8，
∴tan∠CPE＝
＝
＝
＝．黑龙江省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（容易题）知识点分类
一．相反数（共1小题）
1．（2023 齐齐哈尔）﹣9的相反数是（　　）
A．﹣9 B．9 C． D．
二．绝对值（共1小题）
2．（2023 哈尔滨）﹣的绝对值是（　　）
A． B．10 C．﹣ D．﹣10
三．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
3．（2023 大庆）大庆油田发现预测地质储量12.68亿吨的页岩油，这标志着我国页岩油勘探开发取得重大战略突破．数字1268000000用科学记数法表示为（　　）
A．1.268×109 B．1.268×108 C．1.268×107 D．1.268×106
四．科学记数法—表示较小的数（共1小题）
4．（2023 绥化）纳米是非常小的长度单位，1nm＝0.000000001m，把0.000000001用科学记数法表示为（　　）
A．1×10﹣9 B．1×10﹣8 C．1×108 D．1×109
五．幂的乘方与积的乘方（共2小题）
5．（2023 绥化）下列计算中，结果正确的是（　　）
A．（﹣pq）3＝p3q3 B．x x3+x2 x2＝x8
C．＝±5 D．（a2）3＝a6
6．（2023 哈尔滨）下列运算一定正确的是（　　）
A．（﹣ab）2＝﹣a2b2 B．a3 a2＝a6
C．（a3）4＝a7 D．b2+b2＝2b2
六．单项式乘单项式（共1小题）
7．（2023 齐齐哈尔）下列计算正确的是（　　）
A．3b2+b2＝4b4 B．（a4）2＝a6 C．（﹣x2）2＝x4 D．3a 2a＝6a
七．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）
8．（2023 哈尔滨）为了改善居民生活环境，云宁小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x米，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．x（x﹣6）＝720 B．x（x+6）＝720 C．x（x﹣6）＝360 D．x（x+6）＝360
八．分式方程的解（共1小题）
9．（2023 齐齐哈尔）如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2
九．解分式方程（共1小题）
10．（2023 哈尔滨）方程＝的解为（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
一十．点的坐标（共1小题）
11．（2023 大庆）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（　　）
A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b）
一十一．中心对称图形（共3小题）
12．（2023 哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
13．（2023 大庆）搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
14．（2023 牡丹江）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
一十二．简单组合体的三视图（共4小题）
15．（2023 哈尔滨）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
16．（2023 大庆）一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
17．（2023 齐齐哈尔）如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体左视图的面积是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
18．（2023 绥化）如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（　　）
A． B．
C． D．
一十三．概率公式（共1小题）
19．（2023 哈尔滨）将10枚黑棋子、5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率是（　　）
A． B． C． D．
黑龙江省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（容易题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．相反数（共1小题）
1．（2023 齐齐哈尔）﹣9的相反数是（　　）
A．﹣9 B．9 C． D．
【答案】B
【解答】解：﹣9的相反数是9，
故选：B．
二．绝对值（共1小题）
2．（2023 哈尔滨）﹣的绝对值是（　　）
A． B．10 C．﹣ D．﹣10
【答案】A
【解答】解：|﹣|＝﹣（﹣）＝，
故选：A．
三．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
3．（2023 大庆）大庆油田发现预测地质储量12.68亿吨的页岩油，这标志着我国页岩油勘探开发取得重大战略突破．数字1268000000用科学记数法表示为（　　）
A．1.268×109 B．1.268×108 C．1.268×107 D．1.268×106
【答案】A
【解答】解：1268000000＝1.268×109．
故选：A．
四．科学记数法—表示较小的数（共1小题）
4．（2023 绥化）纳米是非常小的长度单位，1nm＝0.000000001m，把0.000000001用科学记数法表示为（　　）
A．1×10﹣9 B．1×10﹣8 C．1×108 D．1×109
【答案】A
【解答】解：0.000000001＝1×10﹣9
故选：A．
五．幂的乘方与积的乘方（共2小题）
5．（2023 绥化）下列计算中，结果正确的是（　　）
A．（﹣pq）3＝p3q3 B．x x3+x2 x2＝x8
C．＝±5 D．（a2）3＝a6
【答案】D
【解答】解：A：（﹣pq）3＝（﹣p）3q3＝﹣p3q3，故选项A错误，
B：x x3+x2 x2＝x4+x4＝2x4，故选项B错误，
C：＝5，故选项C错误，
D：（a2）3＝a2×3＝a6．
故答案为：D．
6．（2023 哈尔滨）下列运算一定正确的是（　　）
A．（﹣ab）2＝﹣a2b2 B．a3 a2＝a6
C．（a3）4＝a7 D．b2+b2＝2b2
【答案】D
【解答】解：A、（﹣ab）2＝a2b2，故A不符合题意；
B、a3 a2＝a5，故B不符合题意；
C、（a3）4＝a12，故C不符合题意；
D、b2+b2＝2b2，故D符合题意；
故选：D．
六．单项式乘单项式（共1小题）
7．（2023 齐齐哈尔）下列计算正确的是（　　）
A．3b2+b2＝4b4 B．（a4）2＝a6 C．（﹣x2）2＝x4 D．3a 2a＝6a
【答案】C
【解答】解：A．3b2+b2＝4b2，
则A不符合题意；
B．（a4）2＝a8，
则B不符合题意；
C．（﹣x2）2＝x2×2＝x4，
则C符合题意；
D．3a 2a＝6a2，
则D不符合题意；
故选：C．
七．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）
8．（2023 哈尔滨）为了改善居民生活环境，云宁小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x米，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．x（x﹣6）＝720 B．x（x+6）＝720 C．x（x﹣6）＝360 D．x（x+6）＝360
【答案】A
【解答】解：设矩形空地的长为x米，则设矩形空地的宽为（x﹣6）米，
由题意可得，x（x﹣6）＝720，
故选：A．
八．分式方程的解（共1小题）
9．（2023 齐齐哈尔）如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2
【答案】D
【解答】解：将分式方程两边同乘（x+1），去分母可得：2x﹣m＝x+1，
移项，合并同类项得：x＝m+1，
∵原分式方程的解是负数，
∴m+1＜0，且m+1+1≠0，
解得：m＜﹣1且m≠﹣2，
故选：D．
九．解分式方程（共1小题）
10．（2023 哈尔滨）方程＝的解为（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
【答案】C
【解答】解：分式方程去分母得：2x+2＝3x，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
故选：C．
一十．点的坐标（共1小题）
11．（2023 大庆）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（　　）
A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b）
【答案】D
【解答】解：∵a+b＞0，ab＞0，
∴a＞0，b＞0，
A、（a，b）在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
B、（﹣a，b）在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
C、（﹣a，﹣b）在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
D、（a，﹣b）在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意．
故选：D．
一十一．中心对称图形（共3小题）
12．（2023 哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A．本选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B．本选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．本选项图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D．本选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
13．（2023 大庆）搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：选项A、B、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
14．（2023 牡丹江）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
一十二．简单组合体的三视图（共4小题）
15．（2023 哈尔滨）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：观察几何体可知，该几何体的俯视图如下：
．
故选：C．
16．（2023 大庆）一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：从上面看，是一个矩形．
故选：A．
17．（2023 齐齐哈尔）如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体左视图的面积是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解答】解：从左边看，共有2层，底层有3个正方形，上层中间有1个正方形，共4个正方形，
因为棱长为1，所以面积为4，
故选：C．
18．（2023 绥化）如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：该几何体的左视图是：
故选：B．
一十三．概率公式（共1小题）
19．（2023 哈尔滨）将10枚黑棋子、5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：从盒子中随机取出一枚棋子有15种等可能结果，其中取出的棋子是黑棋子的有10种结果，
所以其概率为＝，
故选：D．黑龙江省各地市2023-中考数学真题分类汇编-02填空题（基础题）知识点分类
一．科学记数法—表示较大的数（共3小题）
1．（2023 哈尔滨）船闸是我国劳动人民智慧的结晶，三峡船闸的“人”字闸门是目前世界上最大的巨型闸门，重867000千克，用科学记数法表示为 　 　千克．
2．（2023 牡丹江）目前，中国国家版本馆中央总馆入藏版本量共16000000余册．数据16000000用科学记数法表示为 　 　．
3．（2023 黑龙江）据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将5699万用科学记数法表示为 　 　．
二．完全平方公式（共1小题）
4．（2023 大庆）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，（a+b）7展开的多项式中各项系数之和为 　 　．
三．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）
5．（2023 哈尔滨）把多项式xy2﹣16x分解因式的结果是 　 　．
四．因式分解-分组分解法（共1小题）
6．（2023 绥化）因式分解：x2+xy﹣xz﹣yz＝　 　．
五．分式的混合运算（共1小题）
7．（2023 绥化）化简：（﹣）÷＝　 　．
六．零指数幂（共1小题）
8．（2023 大庆）若x满足（x﹣2）x+1＝1，则整数x的值为 　 　．
七．二次根式有意义的条件（共1小题）
9．（2023 绥化）若式子有意义，则x的取值范围是 　 　．
八．二次根式的加减法（共1小题）
10．（2023 哈尔滨）计算的结果是 　 　．
九．一元二次方程的应用（共1小题）
11．（2023 牡丹江）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 　 　．
一十．解一元一次不等式组（共1小题）
12．（2023 哈尔滨）不等式组的解集是 　 　．
一十一．规律型：点的坐标（共1小题）
13．（2023 齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4，连接AB，过点O作OA1⊥AB于点A1，过点A1作A1B1⊥x轴于点B1；过点B1作B1A2⊥AB于点A2，过点A2作A2B2⊥x轴于点B2；过点B2作B2A3⊥AB于点A3，过点A3作A3B3⊥x轴于点B3；…；按照如此规律操作下去，则点A2023的坐标为 　 　．

一十二．函数自变量的取值范围（共3小题）
14．（2023 哈尔滨）在函数中，自变量x的取值范围是 　 　．
15．（2023 齐齐哈尔）在函数 中，自变量x的取值范围是 　 　．
16．（2023 黑龙江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
一十三．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
17．（2023 哈尔滨）已知反比例函数的图象经过点（a，7），则a的值为 　 　．
一十四．二次函数图象与几何变换（共1小题）
18．（2023 牡丹江）将抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度，再向右平移 　 　个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
一十五．全等三角形的判定（共1小题）
19．（2023 牡丹江）如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，请添加一个条件 　 　，使△AOB≌△DOC．（只填一种情况即可）
一十六．扇形面积的计算（共1小题）
20．（2023 绥化）如图，⊙O的半径为2cm，AB为⊙O的弦，点C为上的一点，将沿弦AB翻折，使点C与圆心O重合，则阴影部分的面积为 　 　.（结果保留π与根号）
一十七．圆锥的计算（共2小题）
21．（2023 齐齐哈尔）若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为 　 　cm2．（结果保留π）
22．（2023 黑龙江）已知圆锥的母线长13cm，侧面积65πcm2，则这个圆锥的高是 　 　cm．
一十八．列表法与树状图法（共2小题）
23．（2023 大庆）新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为 　 　．
24．（2023 牡丹江）甲，乙两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是 　 　．
一十九．圆锥的体积（共1小题）
25．（2023 大庆）一个圆锥的底面半径为5，高为12，则它的体积为 　 　．
黑龙江省各地市2023-中考数学真题分类汇编-02填空题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．科学记数法—表示较大的数（共3小题）
1．（2023 哈尔滨）船闸是我国劳动人民智慧的结晶，三峡船闸的“人”字闸门是目前世界上最大的巨型闸门，重867000千克，用科学记数法表示为 　8.67×105　千克．
【答案】8.67×105．
【解答】解：867000＝8.67×105，
故答案为：8.67×105．
2．（2023 牡丹江）目前，中国国家版本馆中央总馆入藏版本量共16000000余册．数据16000000用科学记数法表示为 　1.6×107　．
【答案】1.6×107．
【解答】解：由题意得，
16000000＝1.6×107，
故答案为：1.6×107．
3．（2023 黑龙江）据交通运输部信息显示：2023年“五一”假期第一天，全国营运性客运量约5699万人次，将5699万用科学记数法表示为 　5.699×107　．
【答案】5.699×107．
【解答】解：5699万＝56990000＝5.699×107．
故答案为：5.699×107．
二．完全平方公式（共1小题）
4．（2023 大庆）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，（a+b）7展开的多项式中各项系数之和为 　128　．
【答案】128．
【解答】解：∵（a+b）0＝1，系数之和是20＝1；
（a+b）1＝a+b，系数之和是21＝2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，系数之和是22；
……
（a+b）n，展开各项系数之和是2n．
∴（a+b）7展开各项的系数之和为27＝128．
故答案为：128．
三．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）
5．（2023 哈尔滨）把多项式xy2﹣16x分解因式的结果是 　x（y+4）（y﹣4）　．
【答案】x（y+4）（y﹣4）．
【解答】解：xy2﹣16x
＝x（y2﹣16）
＝x（y+4）（y﹣4），
故答案为：x（y+4）（y﹣4）．
四．因式分解-分组分解法（共1小题）
6．（2023 绥化）因式分解：x2+xy﹣xz﹣yz＝　（x+y）（x﹣z）　．
【答案】（x+y）（x﹣z）．
【解答】解：原式＝（x2+xy）﹣z（x+y）
＝x（x+y）﹣z（x+y）
＝（x+y）（x﹣z），
故答案为：（x+y）（x﹣z）．
五．分式的混合运算（共1小题）
7．（2023 绥化）化简：（﹣）÷＝　　．
【答案】．
【解答】解：（﹣）÷
＝[﹣]
＝[﹣]
＝
＝，
故答案为：．
六．零指数幂（共1小题）
8．（2023 大庆）若x满足（x﹣2）x+1＝1，则整数x的值为 　﹣1或3或1　．
【答案】﹣1或3或1．
【解答】解：由题意得：
①x+1＝0，
解得：x＝﹣1；
②x﹣2＝1，
解得：x＝3；
③x﹣2＝﹣1，x+1为偶数，
解得：x＝1，
故答案为：﹣1或3或1．
七．二次根式有意义的条件（共1小题）
9．（2023 绥化）若式子有意义，则x的取值范围是 　x≥﹣5且x≠0　．
【答案】x≥﹣5且x≠0．
【解答】解：由题意得x+5≥0且x≠0，
解得x≥﹣5且x≠0，
故答案为：x≥﹣5且x≠0．
八．二次根式的加减法（共1小题）
10．（2023 哈尔滨）计算的结果是 　2　．
【答案】2．
【解答】解：原式＝3﹣
＝2，
故答案为：2．
九．一元二次方程的应用（共1小题）
11．（2023 牡丹江）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 　20%　．
【答案】20%．
【解答】解：设每月盈利的平均增长率是x，
根据题意得：5000（1+x）2＝7200，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
∴每月盈利的平均增长率是20%．
故答案为：20%．
一十．解一元一次不等式组（共1小题）
12．（2023 哈尔滨）不等式组的解集是 　x＞　．
【答案】x＞．
【解答】解：，
由①得：x＞，
由②得：x≥﹣，
则不等式组的解集为x＞．
故答案为：x＞．
一十一．规律型：点的坐标（共1小题）
13．（2023 齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4，连接AB，过点O作OA1⊥AB于点A1，过点A1作A1B1⊥x轴于点B1；过点B1作B1A2⊥AB于点A2，过点A2作A2B2⊥x轴于点B2；过点B2作B2A3⊥AB于点A3，过点A3作A3B3⊥x轴于点B3；…；按照如此规律操作下去，则点A2023的坐标为 　（4﹣，）　．

【答案】（4﹣，）．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB＝4，
∴△OAB 是等腰直角三角形，∠OBA＝45°，
∵OA1⊥AB，
∴△OA1B 是等腰直角三角形，
同理可得：△OA1B1，△A1B1B均为等腰直角三角形，
∴A1（2，2），
根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，依次可得：A2（3，1），A3（4﹣，），A4（4﹣，），
由此可推出：点A2023的坐标为（4﹣，），
故答案为：（4﹣，）．
一十二．函数自变量的取值范围（共3小题）
14．（2023 哈尔滨）在函数中，自变量x的取值范围是 　x≠8　．
【答案】x≠8．
【解答】解：由题意得：x﹣8≠0，
解得：x≠8，
故答案为：x≠8．
15．（2023 齐齐哈尔）在函数 中，自变量x的取值范围是 　x＞1且x≠2　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：已知函数为y＝+，
则x﹣1＞0，且x﹣2≠0，
解得：x＞1且x≠2，
故答案为：x＞1且x≠2．
16．（2023 黑龙江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≥﹣3　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
一十三．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
17．（2023 哈尔滨）已知反比例函数的图象经过点（a，7），则a的值为 　2　．
【答案】2．
【解答】解：∵y＝，即k＝xy＝14，
∴14＝7a，
∴a＝2．
故答案为：2．
一十四．二次函数图象与几何变换（共1小题）
18．（2023 牡丹江）将抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度，再向右平移 　2或4　个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
【答案】2或4．
【解答】解：抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度的解析式为y＝（x+3）2﹣1，
设抛物线向右平移h个单位长度后，得到的新抛物线经过原点，则新抛物线的解析式为y＝（x+3﹣h）2﹣1，
∵抛物线经过原点，
∴当x＝0时，y＝0，
∴（3﹣h）2﹣1＝0，
解得h＝2或4．
故答案为：2或4．
一十五．全等三角形的判定（共1小题）
19．（2023 牡丹江）如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，请添加一个条件 　AB＝DC（答案不唯一）　，使△AOB≌△DOC．（只填一种情况即可）
【答案】AB＝DC（答案不唯一）．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴添加一个条件AB＝DC，由ASA即可证明△AOB≌△DOC．
故答案为：AB＝DC（答案不唯一）．
一十六．扇形面积的计算（共1小题）
20．（2023 绥化）如图，⊙O的半径为2cm，AB为⊙O的弦，点C为上的一点，将沿弦AB翻折，使点C与圆心O重合，则阴影部分的面积为 　（π﹣）cm2　.（结果保留π与根号）
【答案】（π﹣）cm2．
【解答】解：如图，连接OA，OC，OC交AB于点M，
由折叠性质可得OA＝AC，AB⊥OC，
∴OA＝OC＝AC＝2cm，
∴OM＝CM＝OC＝1cm，∠AOC＝60°，
∵∠AMO＝90°，
∴AM＝＝＝（cm），
∴S阴影＝S扇形AOC﹣S△AOC
＝﹣×2×
＝（π﹣）（cm2），
故答案为：（π﹣）cm2．
一十七．圆锥的计算（共2小题）
21．（2023 齐齐哈尔）若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为 　6 π　cm2．（结果保留π）
【答案】6π．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×3÷2＝6π （cm2）
故答案为：6π．
22．（2023 黑龙江）已知圆锥的母线长13cm，侧面积65πcm2，则这个圆锥的高是 　12　cm．
【答案】12．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，
根据题意得 2π r 13＝65π，
解得r＝5，
所以圆锥的高＝＝12（cm）．
故答案为：12．
一十八．列表法与树状图法（共2小题）
23．（2023 大庆）新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为 　　．
【答案】．
【解答】解：设思想政治、地理、化学、生物学4门科目分别为A，B，C，D，
画树状图如图所示，
由图可知，共有12种等可能结果，其中该同学恰好选中地理和化学两科的有2种结果，
所以该同学恰好选择地理和化学两科的概率为＝．
故答案为：．
24．（2023 牡丹江）甲，乙两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是 　　．
【答案】．
【解答】解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现的结果，其中甲获胜的有3种，
所以随机出手一次，甲获胜的概率是＝，
故答案为：．
一十九．圆锥的体积（共1小题）
25．（2023 大庆）一个圆锥的底面半径为5，高为12，则它的体积为 　100π　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：底面半径为5，高为12的圆锥的体积＝×52π×12＝100π，
故答案为：100π．

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