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山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类②
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023 枣庄）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a※b＝，例如：3※1＝3﹣1＝2，5※4＝5+4﹣6＝3．根据上面的材料，请完成下列问题：
（1）4※3＝　 　，（﹣1）※（﹣3）＝　 　；
（2）若（3x+2）※（x﹣1）＝5，求x的值．
二．分式的化简求值（共4小题）
2．（2023 聊城）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝+2．
3．（2023 滨州）先化简，再求值：÷（﹣），其中a满足．
4．（2023 枣庄）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组﹣1＜a＜的解集中选取一个合适的整数．
5．（2023 烟台）先化简，再求值：÷（a+2+），其中a是使不等式≤1成立的正整数．
三．一元一次方程的应用（共1小题）
6．（2023 临沂）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金．当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．
（1）这台M型平板电脑价值多少元？
（2）小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？
四．分式方程的应用（共1小题）
7．（2023 烟台）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
（1）求两种图书的单价分别为多少元？
（2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？
五．解一元一次不等式（共1小题）
8．（2023 临沂）（1）解不等式5﹣2x＜，并在数轴上表示解集；
（2）下面是某同学计算﹣a﹣1的解题过程：
解：﹣a﹣1
＝﹣…①
＝…②
＝…③
＝＝1…④
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．
六．一元一次不等式的应用（共1小题）
9．（2023 聊城）今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见如表：
票的种类 A B C
购票人数/人 1～50 51～100 100以上
票价/元 50 45 40
某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团）．在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．
（1）求两个旅游团各有多少人？
（2）一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？
七．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
10．（2023 济宁）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与的图象交于点C，连接AB，AC，求△ABC的面积．

11．（2023 滨州）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线为常数）相交于A（2，a），B（﹣1，2）两点．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）在双曲线上任取两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，试确定y1和y2的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于x的不等式的解集．
八．二次函数的应用（共1小题）
12．（2023 临沂）综合与实践：
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
数据整理：
（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
日销售量（盆） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
模型建立
（2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．
拓广应用
（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
13．（2023 临沂）如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？
（参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cos58°≈0.530，tan58°≈1.6）
一十．条形统计图（共1小题）
14．（2023 滨州）中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”，为了更好地落实文件精神，某县对辖区内部分初中学生就“每天完成书面作业的时间”进行了随机调查，为便于统计学生每天完成书面作业的时间（用t表示，单位h）状况设置了如下四个选项，分别为A：t≤1，B：1＜t≤1.5，C：1.5＜t≤2，D：t＞2，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．
请根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次调查，选项A中的学生人数是多少？
（2）在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小为多少？
（3）如果该县有15000名初中学生，那么请估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有多少人？
（4）请回答你每天完成书面作业的时间属于哪个选项，并对老师的书面作业布置提出合理化建议．
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类②
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023 枣庄）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a※b＝，例如：3※1＝3﹣1＝2，5※4＝5+4﹣6＝3．根据上面的材料，请完成下列问题：
（1）4※3＝　1　，（﹣1）※（﹣3）＝　2　；
（2）若（3x+2）※（x﹣1）＝5，求x的值．
【答案】（1）1；2；
（2）x＝1．
【解答】解：（1）∵4＜2×3，
∴4※3
＝4+3﹣6
＝1；
∵﹣1＞2×（﹣3），
∴（﹣1）※（﹣3）
＝﹣1﹣（﹣3）
＝2；
故答案为：1；2；
（2）由题意，当3x+2≥2（x﹣1）时，
即x≥﹣4时，
原方程为：3x+2﹣（x﹣1）＝5，
解得：x＝1；
当3x+2＜2（x﹣1）时，
即x＜﹣4时，
原方程为：3x+2+x﹣1﹣6＝5，
解得：x＝2.5，
∵2.5＞﹣4，
∴x＝2.5不符合题意，应舍去，
综上，x＝1．
二．分式的化简求值（共4小题）
2．（2023 聊城）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝+2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝[﹣]
＝
＝
＝，
当a＝+2时，
原式＝＝．
3．（2023 滨州）先化简，再求值：÷（﹣），其中a满足．
【答案】a2﹣4a+4，1．
【解答】解：原式＝÷[﹣]
＝÷[﹣]
＝÷
＝
＝（a﹣2）2
＝a2﹣4a+4，
∵，
∴a2﹣4a+3＝0，
∴a2﹣4a＝﹣3，
∴原式＝﹣3+4＝1．
4．（2023 枣庄）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组﹣1＜a＜的解集中选取一个合适的整数．
【答案】．
【解答】解：（a﹣）÷
＝（a﹣）
＝a ﹣
＝﹣1
＝，
∵a2﹣1≠0，a≠0，
∴a≠±1，a≠0，
∴a＝2，
原式＝
＝．
5．（2023 烟台）先化简，再求值：÷（a+2+），其中a是使不等式≤1成立的正整数．
【答案】，﹣．
【解答】解：原式＝÷
＝
＝
＝，
∵≤1，
解得：a≤3，
∵a是使不等式≤1成立的正整数，且a﹣2≠0，a﹣3≠0，
∴a＝1，
∴原式＝＝﹣．
三．一元一次方程的应用（共1小题）
6．（2023 临沂）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金．当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．
（1）这台M型平板电脑价值多少元？
（2）小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？
【答案】（1）这台M型平板电脑价值2100元；
（2）若工作m天，她应获得的报酬为120m元．
【解答】解：（1）设这台M型平板电脑价值x元，
根据题意得：（x+1500）＝x+300，
解得：x＝2100，
∴这台M型平板电脑价值2100元；
（2）由（1）知，一台M型平板电脑价值2100元，
∴工作一个月，她应获得的报酬为2100+1500＝3600（元），
∴若工作m天，她应获得的报酬为＝120m（元）．
四．分式方程的应用（共1小题）
7．（2023 烟台）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
（1）求两种图书的单价分别为多少元？
（2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？
【答案】（1）《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；
（2）当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时，总费用最少．
【解答】解：（1）设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是x元，
根据题意得：﹣＝5，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴x＝×40＝30．
答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；
（2）设购买m本《孙子算经》，则购买（80﹣m）本《周髀算经》，
根据题意得：80﹣m≥m，
解得：m≤．
设购买这两种图书共花费w元，则w＝30×0.8m+40×0.8（80﹣m），
∴w＝﹣8m+2560，
∵﹣8＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤，且m为正整数，
∴当m＝53时，w取得最小值，此时80﹣m＝80﹣53＝27．
答：当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时，总费用最少．
五．解一元一次不等式（共1小题）
8．（2023 临沂）（1）解不等式5﹣2x＜，并在数轴上表示解集；
（2）下面是某同学计算﹣a﹣1的解题过程：
解：﹣a﹣1
＝﹣…①
＝…②
＝…③
＝＝1…④
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．
【答案】（1）x＞3，解集在数轴上表示见解答；
（2）上述解题过程从第①步开始出现错误，正确的解题过程见解答．
【解答】解：（1）5﹣2x＜，
2（5﹣2x）＜1﹣x，
10﹣4x＜1﹣x，
﹣4x+x＜1﹣10，
﹣3x＜﹣9，
x＞3，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
（2）上述解题过程从第①步开始出现错误，
正确的解题过程如下：
﹣a﹣1
＝﹣（a+1）
＝
＝
＝．
六．一元一次不等式的应用（共1小题）
9．（2023 聊城）今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见如表：
票的种类 A B C
购票人数/人 1～50 51～100 100以上
票价/元 50 45 40
某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团）．在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．
（1）求两个旅游团各有多少人？
（2）一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？
【答案】（1）甲旅游团有58人，乙旅游团有44人；
（2）当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．
【解答】解：（1）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，
根据题意得：，
解得：．
答：甲旅游团有58人，乙旅游团有44人；
（2）设游客人数为m人，
根据题意得：50m＞45×51，
解得：m＞45.9，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为46．
答：当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．
七．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
10．（2023 济宁）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与的图象交于点C，连接AB，AC，求△ABC的面积．

【答案】（1）；
（2）3．
【解答】解：（1）把A（m，2）代入 得：
，
解得m＝4，
∴A（4，2），
把A（4，2）代入 得：
，
解得k＝8，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）过点C作CM⊥x轴于M，交AB于点N，如图：
将直线OA向上平移3个单位后，其函数解析式为 ，
当x＝0时，y＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
设直线AB的函数解析式为y＝mx+n，
将A（4，2），B（0，3）代入可得：
，
解得：，
∴直线AB的函数解析式为y＝﹣x+3，
联立解析式得：
解得：，
∴C点坐标为（2，4），
在y＝﹣x+3中，当 x＝2时，，
∴CN＝4﹣＝，
∴S△ABC＝××4＝3；
∴△ABC的面积为3．
11．（2023 滨州）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线为常数）相交于A（2，a），B（﹣1，2）两点．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）在双曲线上任取两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，试确定y1和y2的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）①M、N在双曲线的同一支上，当x1＜x2时，y1＜y2；②M、N在双曲线的不同的一支上，当x1＜x2时，y1＞y2；（3）x＜﹣1或0＜x＜2．
【解答】解：（1）由题意，将B点代入双曲线解析式y＝，
∴2＝．
∴m＝﹣2．
∴双曲线为y＝﹣．
又A（2，a）在双曲线上，
∴a＝﹣1．
∴A（2，﹣1）．
将A、B代入一次函数解析式得，
∴．
∴直线y＝kx+b的解析式为y＝﹣x+1．
（2）由题意，可分成两种情形．
①M、N在双曲线的同一支上，
由双曲线y＝﹣，在同一支上时函数值随x的增大而增大，
∴当x1＜x2时，y1＜y2．
②M、N在双曲线的不同的一支上，
∵x1＜x2，
∴x1＜0＜x2．
∴此时由图象可得y1＞0＞y2，
即此时当x1＜x2时，y1＞y2．
（3）依据图象，即一次函数值大于反比例函数值，
∵A（2，﹣1），B（﹣1，2），
∴不等式的解集为：x＜﹣1或0＜x＜2．
八．二次函数的应用（共1小题）
12．（2023 临沂）综合与实践：
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
数据整理：
（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆） 　18　 　20　 　22　 　26　 　30　
日销售量（盆） 　54　 　50　 　46　 　38　 　30　
模型建立
（2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．
拓广应用
（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
【答案】（1）18，54；20，50；22，46；26，38；30，30；
（2）y＝﹣2x+90；
（3）①要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元；
②售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元．
【解答】解：（1）根据销售单价从小到大排列得下表：
售价（元/盆） 18 20 22 26 30
日销售量（盆） 54 50 46 38 30
故答案为：18，54；20，50；22，46；26，38；30，30；
（2）观察表格可知销售量是售价的一次函数；
设销售量为y盆，售价为x元，y＝kx+b，
把（18，54），（20，50）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣2x+90；
（3）①∵每天获得400元的利润，
∴（x﹣15）（﹣2x+90）＝400，
解得x＝25或x＝35，
∴要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元；
②设每天获得的利润为w元，
根据题意得：w＝（x﹣15）（﹣2x+90）＝﹣2x2+120x﹣1350＝﹣2（x﹣30）2+450，
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w取最大值450，
∴售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元．
九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
13．（2023 临沂）如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？
（参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cos58°≈0.530，tan58°≈1.6）
【答案】如果船不改变航线继续向西航行，没有触礁危险．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
设AD＝x海里，
由题意得，∠ABD＝32°，∠ACD＝45°，BC＝6海里，
在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD＝x海里，
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，
∴BD＝≈＝6+x，
解得，x＝10，
∵10＞9，
∴如果船不改变航线继续向西航行，没有触礁危险．
一十．条形统计图（共1小题）
14．（2023 滨州）中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”，为了更好地落实文件精神，某县对辖区内部分初中学生就“每天完成书面作业的时间”进行了随机调查，为便于统计学生每天完成书面作业的时间（用t表示，单位h）状况设置了如下四个选项，分别为A：t≤1，B：1＜t≤1.5，C：1.5＜t≤2，D：t＞2，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．
请根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次调查，选项A中的学生人数是多少？
（2）在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小为多少？
（3）如果该县有15000名初中学生，那么请估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有多少人？
（4）请回答你每天完成书面作业的时间属于哪个选项，并对老师的书面作业布置提出合理化建议．
【答案】（1）8人；
（2）43.2°；
（3）9600人；
（4）建议减少作业量，根据学生的能力分层布置作业（答案不唯一，合理即可）．
【解答】解：（1）24÷24%﹣56﹣24﹣12＝8（人），
答：此次调查，选项A中的学生人数是8人；
（2）360°×＝43.2°，
答：在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小为43.2°；
（3）15000×＝9600（人），
答：该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有9600人；
（4）建议减少作业量，根据学生的能力分层布置作业（答案不唯一，合理即可）．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类④
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2023 济宁）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
2．（2023 聊城）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y＝的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，求n的值．
三．反比例函数综合题（共1小题）
3．（2023 枣庄）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象交于A（m，1），B（﹣2，n）两点．
（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式kx+b＜的解集；
（3）设直线AB与x轴交于点C，若P（0，a）为y轴上的一动点，连接AP，CP，当△APC的面积为时，求点P的坐标．
四．二次函数综合题（共1小题）
4．（2023 济宁）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？
（3）若，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

五．全等三角形的判定与性质（共1小题）
5．（2023 聊城）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．
（1）求证：∠EAD＝∠EDA；
（2）若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．
六．菱形的性质（共1小题）
6．（2023 滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐标为（2，2），点D是边OC上的动点，过点D作DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF，设OD＝x，△DEF的面积为S．
（1）求S关于x的函数解析式；
（2）当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．
七．切线的判定与性质（共1小题）
7．（2023 聊城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CD＝12，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．
八．圆的综合题（共1小题）
8．（2023 滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与△ABC的外接圆
交于点D．
（1）求证：S△ABF：S△ACF＝AB：AC；
（2）求证：AB：AC＝BF：CF；
（3）求证：AF2＝AB AC﹣BF CF；
（4）猜想：线段DF，DE，DA三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
九．作图—复杂作图（共1小题）
9．（2023 滨州）（1）已知线段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明）
一十．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
10．（2023 聊城）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1200m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向（点A，B，C，P四点在同一平面内），求明珠大剧院到龙堤BC的距离．（结果精确到1m，参考数据：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）
一十一．频数（率）分布直方图（共1小题）
11．（2023 聊城）某中学把开展课外经典阅读活动作为一项引领学生明是非、知荣辱、立志向、修言行的德育举措．为了调查活动开展情况，需要了解全校2000名学生一周的课外经典阅读时间．从本校学生中随机抽取100名进行调查，将调查的一周课外经典阅读的平均时间x（h）分为5组：①1≤x＜2；②2≤x＜3；③3≤x＜4；④4≤x＜5；⑤5≤x＜6，并将调查结果用如图所示的统计图描述．根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一周课外经典阅读的平均时间的众数和中位数分别落在第 　 　组和第 　 　组（填序号）；一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为 　 　；估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有 　 　人；
（2）若把各组阅读时间的下限与上限的中间值近似看作该组的平均阅读时间，估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间是多少？
（3）若把一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比超过40%，作为衡量此次开展活动成功的标准，请你评价此次活动，并提出合理化的建议．
一十二．列表法与树状图法（共1小题）
12．（2023 枣庄）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群；A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 　 　名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有 　 　名，“D烹饪与营养”的男生有 　 　名；
（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类④
参考答案与试题解析
一．分式方程的应用（共1小题）
1．（2023 济宁）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，根据题意得＝，解得x＝0.9，经检验x＝0.9是原方程的解，x+0.3＝1.2．
答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元；
（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（25﹣m）个，
根据题意，得：，
解得：≤m≤．
∵m为整数，
∴m＝14，15，16．
∴该停车场有3种购买机床方案，方案一：购买14个A型充电桩、11个B型充电桩；方案二：购买15个A型充电桩、10个B型充电桩；方案三：购买16个A型充电桩、9个B型充电桩．
∵A型机床的单价低于B型机床的单价，
∴购买方案三总费用最少，最少费用＝16×0.9+1.2×9＝25.2（万元）．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
2．（2023 聊城）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ∥AP，交y＝的图象于点Q，连接PQ．当BQ＝AP时，求n的值．
【答案】（1）反比例函数为y＝﹣，B（4，﹣1），一次函数为y＝﹣x+3；
（2）n＝﹣．
【解答】解：（1）反比例函数y＝的图象过A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点，
∴m＝﹣1×4＝a （﹣1），
∴m＝﹣4，a＝4，
∴反比例函数为y＝﹣，B（4，﹣1），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数为y＝﹣x+3；
（2）∵A（﹣1，4），B（4，﹣1），P（n，0），BQ∥AP，BQ＝AP，
∴四边形APQB是平行四边形，
∴点A向左平移﹣1﹣n个单位，向下平移4个单位得到P，
∴点B（4，﹣1）向左平移﹣1﹣n个单位，向下平移4个单位得到Q（5+n，﹣5），
∵点Q在y＝﹣上，
∴5+n＝，
解得n＝﹣．
三．反比例函数综合题（共1小题）
3．（2023 枣庄）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象交于A（m，1），B（﹣2，n）两点．
（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式kx+b＜的解集；
（3）设直线AB与x轴交于点C，若P（0，a）为y轴上的一动点，连接AP，CP，当△APC的面积为时，求点P的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为y＝x﹣1，该函数的图象见解答；
（2）x＜﹣2或0＜x＜4；
（3）点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过A（m，1），B（﹣2，n）两点，
∴1＝，n＝＝﹣2，
解得：m＝4，
∴A（4，1），B（﹣2，﹣2），
将A（4，1），B（﹣2，﹣2）代入y＝kx+b，得，
解得：，
∴一次函数的表达式为y＝x﹣1，该函数的图象如图所示：
（2）由图可得，不等式kx+b﹣＜0的解集范围是x＜﹣2或0＜x＜4；
（3）设直线AB交x轴于C，交y轴于D，
在y＝x﹣1中，
当x＝0时，y＝﹣1，
∴D（0，﹣1），
当y＝0时，得x﹣1＝0，
解得：x＝2，
∴C（2，0），
∴OC＝2，
∵P（0，a），A（4，1），
∴PD＝|a+1|，
∵S△APC＝，
∴|a+1| （4﹣2）＝，
解得：a＝或﹣，
∴点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．
四．二次函数综合题（共1小题）
4．（2023 济宁）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？
（3）若，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；
（2）当m为时，四边形CDNP是平行四边形；
（3）存在这样的m值，使MN＝2ME，此时m的值为或．
【解答】解：（1）在直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，
∴点B（4，0），点C（0，4），
设抛物线的解析式为，
把点B（4，0），点C（0，4）代入可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为 y＝＝﹣x2+3x+4；
（2）由题意，P（m，﹣m2+3m+4），
∴PN＝﹣m2+3m+4，
当四边形CDNP是平行四边形时，PN＝CD，
∴OD＝﹣m2+3m+4﹣4＝﹣m2+3m，
∴D（0，m2﹣3m） N（m，0），
设直线MN的解析式为 ，
把 N（m，0）代入可得 ，
解得：k1＝3﹣m，
∴直线MN的解析式为 y＝（3﹣m）x+m2﹣3m，
又∵过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，且抛物线对称轴为 ，
∴M（3﹣m，﹣m2+3m+4），
∴（3﹣m）2+m2﹣3m＝﹣m2+3m+4，
解得m1＝ （不合题意，舍去），m2＝；
∴当m为时，四边形CDNP是平行四边形；
（3）存在，理由如下：
∵对称轴为x＝，
设P点坐标为（m，﹣m2+3m+4），
∴M点横坐标为：×2﹣m＝3﹣m，
∴N（m，0），M（3﹣m，﹣m2+3m+4），
①如图1，
∵MN＝2ME，即E是MN的中点，点E在对称轴x＝上，
∴E（，），
又点E在直线BC：y＝﹣x+4，代入得：
＝﹣+4，
解得：m＝或（舍去），
故此时m的值为．
②如图2，设E点坐标为（n，﹣n+4），N（m，0），M（3﹣m，﹣m2+3m+4），
∵MN＝2ME，
∴0﹣（﹣m2+3m+4）＝2（﹣m2+3m+4+n﹣4）①，
∴3﹣m﹣m＝2（n﹣3+m）②，
联立①②并解得：m＝（舍去）或，
综上所述，m的值为或．
五．全等三角形的判定与性质（共1小题）
5．（2023 聊城）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．
（1）求证：∠EAD＝∠EDA；
（2）若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）．
【解答】（1）证明：∵∠B＝∠AED＝∠C，∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AED+∠CED，
∴∠BAE＝∠CED，
在△ABE和△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴AE＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）解：∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED，
∴△AED为等边三角形，
∴AE＝AD＝ED＝4，
过A点作AF⊥ED于F，
∴EF＝ED＝2，
∴AF＝，
∴S△AED＝ED AF＝．
六．菱形的性质（共1小题）
6．（2023 滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐标为（2，2），点D是边OC上的动点，过点D作DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF，设OD＝x，△DEF的面积为S．
（1）求S关于x的函数解析式；
（2）当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．
【答案】（1）S＝（0≤x≤4），
（2）当x＝2时，S有最大值，最大值为2．
【解答】解：（1）如图，过点A作AG⊥OC于点G，连接AC，
∵顶点A的坐标为（2，2），
∴OA＝，OG＝2，AG＝2，
∴cos∠AOG＝＝，
∴∠AOG＝60°，
∵四边形OABC是菱形，
∴∠BOC＝∠AOB＝30°，AC⊥OB，AO＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO＝60°，
∵DE⊥OB，
∴DE∥AC，
∴∠EDO＝∠ACO＝60°，
∴△EOD是等边三角形，
∴ED＝OD＝x，
∵DF∥OB，
∴△CDF∽△COB，
∴，
∵A（2，2），AO＝4，则B（6，2），
∴OB＝，
∴＝，
∴DF＝（4﹣x），
∴S＝＝，
∴S＝（0≤x≤4），
（2）∵S＝＝（0≤x≤4），
∴当x＝2时，S有最大值，最大值为2．
七．切线的判定与性质（共1小题）
7．（2023 聊城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CD＝12，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；
（2）15﹣3．
【解答】（1）证明：连接OE，∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ODE，
∴∠OED＝∠CDE，
∴OE∥CD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AEO＝90°，
∴OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：过D作DF⊥AB，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CD＝DF，
∵CD＝12，tan∠ABC＝，
∴BF＝＝16，
∴BD＝＝20，
∴BC＝CD+BD＝32，
∴AC＝BC tan∠ABC＝24，
∴＝12，
∵OE∥CD，
∴△AEO∽△ACD，
∴，
∴，
解得EO＝15﹣3，
∴⊙O的半径为15﹣3．
八．圆的综合题（共1小题）
8．（2023 滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与△ABC的外接圆
交于点D．
（1）求证：S△ABF：S△ACF＝AB：AC；
（2）求证：AB：AC＝BF：CF；
（3）求证：AF2＝AB AC﹣BF CF；
（4）猜想：线段DF，DE，DA三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
【答案】见解答．
【解答】（1）解：过点F作FH⊥AC，FG⊥AB，垂足分别为H、G，如图：
∵点E是△ABC的内心，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵FH⊥AC，FG⊥AB，
∴FG＝FH，
∵S△ABF，S△ACF，
∴S△ABF：S△ACF＝AB：AC．
（2）证明：过点A作AM⊥BC于点M，如图，
∵S△ABF＝，S△ACF＝，
∴S△ABF：S△ACF＝BF：FC，
由（1）可得S△ABF：S△ACF＝AB：AC．
∴AB：AC＝BF：FC，
（3）证明：连接DB、DC，如图，
∵，，
∴∠ACF＝∠BDF，∠FAC＝∠FBD，
∴△BFD∽△AFC，
∴BF CF＝AF DF，
∵，
∴∠FBA＝∠ADC，
又∠BAD＝∠DAC，
∴△ABF∽△ADC，
∴，
∴AB AC＝AD AF，
∴AB AC＝（AF+DF） AF＝AF2+AF DF，
∴AF2＝AB AC﹣BF CF．
（4）连接BE，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵∠CAB＝∠CAD＝∠BAD，∠ADB＝∠BDF，
∴△ABD∽△BFD，
∴，
∴DB2＝DA DF，
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE＝+，
∠DBE＝∠DBC+∠FBE＝∠DAC+∠FBE＝+，
∴∠BED＝∠DBE，
∴DB＝DE，
∴DE2＝DA DF，
九．作图—复杂作图（共1小题）
9．（2023 滨州）（1）已知线段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明）
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【解答】解：（1）如图：Rt△ABC即为所求；
（2）已知：Rt△ABC，∠ACB＝90°，CE是AB边上的中线，
求证：CE＝AB，
证明：延长CE到D，使得DE＝CE，
∵CD是AB边上的中线，
∴BE＝AE，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵∠BCA＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∴CE＝CD＝AB．
一十．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
10．（2023 聊城）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1200m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向（点A，B，C，P四点在同一平面内），求明珠大剧院到龙堤BC的距离．（结果精确到1m，参考数据：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）
【答案】明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1320m．
【解答】解：如图，过P作PE⊥BC于E，过A作AD⊥PE于D，
则四边形ADEB是矩形，
∴DE＝AB＝520m，
设PD＝xm，
在Rt△APD中，∵∠PAD＝68.2°，
∴AD＝≈m，
∴BE＝AD＝m，
∴PE＝PD+DE＝（x+520）m，CE＝BC﹣BE＝（1200﹣）m，
在Rt△PCE中，tanC＝tan56.31°＝，
解得x＝800，
∴PD＝800m，
∴PE＝PD+DE＝800+520＝1320（m），
答：明珠大剧院到龙堤BC的距离约为1320m．
一十一．频数（率）分布直方图（共1小题）
11．（2023 聊城）某中学把开展课外经典阅读活动作为一项引领学生明是非、知荣辱、立志向、修言行的德育举措．为了调查活动开展情况，需要了解全校2000名学生一周的课外经典阅读时间．从本校学生中随机抽取100名进行调查，将调查的一周课外经典阅读的平均时间x（h）分为5组：①1≤x＜2；②2≤x＜3；③3≤x＜4；④4≤x＜5；⑤5≤x＜6，并将调查结果用如图所示的统计图描述．根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一周课外经典阅读的平均时间的众数和中位数分别落在第 　③　组和第 　③　组（填序号）；一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为 　28%　；估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有 　560　人；
（2）若把各组阅读时间的下限与上限的中间值近似看作该组的平均阅读时间，估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间是多少？
（3）若把一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比超过40%，作为衡量此次开展活动成功的标准，请你评价此次活动，并提出合理化的建议．
【答案】（1）③，③，28%，560；
（2）估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间为3.4小时；
（3）①学校多举办经典阅读活动；②开设经典阅读知识竞赛，提高学生阅读兴趣（答案不唯一）．
【解答】解：（1）∵第③组的人数最多，
∴一周课外经典阅读的平均时间的众数落在第③组；
∵抽取100名进行调查，第50名、51名学生均在第③组，
∴一周课外经典阅读的平均时间的中位数落在第③组；
由题意得：（20+8）÷100×100%＝28%，
∴一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为28%；
2000×28%＝560（人），
即估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有560人；
故答案为：③，③，28%，560；
（2）由题意可知，每组的平均阅读时间分别为1.5小时，2.5小时，3.5小时，4.5小时，5.5小时，
∴＝3.4（小时），
答：估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间为3.4小时；
（3）一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生的人数的百分比为28%，
∵28%＜40%，
∴此次开展活动不成功；
建议：①学校多举办经典阅读活动；
②开设经典阅读知识竞赛，提高学生阅读兴趣（答案不唯一）．
一十二．列表法与树状图法（共1小题）
12．（2023 枣庄）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群；A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 　20　名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有 　2　名，“D烹饪与营养”的男生有 　1　名；
（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）20；2；1；
（2）见解答；
（3）．
【解答】解：（1）3÷15%＝20（名），
所以本次调查中，一共调查了20名学生，
“C家用器具使用与维护”的女生数为25%×20﹣3＝2（名），
“D烹饪与营养”的男生数为20﹣3﹣10﹣5﹣1＝1（名）；
故答案为：20；2；1；
（2）选择“D烹饪与营养”的人数所占的百分比为：×100%＝10%，
补全上面的条形统计图和扇形统计图为：
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数为12，
所以所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率＝＝．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类⑤
一．反比例函数综合题（共1小题）
1．（2023 淄博）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝相交于点A（2，3），B（n，1）．
（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；
（2）将直线AB向下平移至CD处，其中点C（﹣2，0），点D在y轴上．连接AD，BD，求△ABD的面积；
（3）请直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集．
二．二次函数综合题（共2小题）
2．（2023 烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．
（1）求直线AD及抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+PA的最小值．
3．（2023 青岛）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．OC＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．
（1）求抛物线的表达式；
（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S2＝S1，求m的值．
三．等腰三角形的性质（共1小题）
4．（2023 烟台）如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE．
（1）如图1，求证：DE＝BF；
（2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．
四．四边形综合题（共3小题）
5．（2023 烟台）【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q．
【问题提出】
在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，求线段CQ的长；
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长；
方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ的长．请你任选其中一种方案求线段CQ的长．
6．（2023 青岛）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝10cm，BD＝4cm．动点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s．以AP，AQ为邻边的平行四边形APMQ的边PM与AC交于点E．设运动时间为t（s）（0＜t≤5），解答下列问题：
（1）当点M在BD上时，求t的值；
（2）连接BE．设△PEB的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式和S的最大值；
（3）是否存在某一时刻t，使点B在∠PEC的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
7．（2023 枣庄）问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝30，AD是BC边上的中线．如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF，GH折叠后均与点D重合，折痕分别交AB，AC，BC于点E，F，G，H．
猜想证明：（1）如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由；
问题解决：（2）如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交AB，BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点K，求四边形MKGA的面积．
五．切线的判定与性质（共2小题）
8．（2023 临沂）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝75°，BC＝2，求的长．
9．（2023 烟台）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，⊙O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG＝GD．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5：8，求tan∠ADB的值．
六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
10．（2023 烟台）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度．（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）
七．频数（率）分布直方图（共1小题）
11．（2023 临沂）某中学九年级共有600名学生，从中随机抽取了20名学生进行信息技术操作测试，测试成绩（单位：分）如下：
81 90 82 89 99 95 91 83 92 93
87 92 94 88 92 87 100 86 85 96
（1）请按组距为5将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图；
频数分布表
成绩分组 　 　 　 　 　 　 　 　
划记 　 　 　 　 　 　 　 　
频数 　 　 　 　 　 　 　 　
（2）①这组数据的中位数是 　 　；
②分析数据分布的情况（写出一条即可） 　 　；
（3）若85分以上（不含85分）成绩为优秀等次，请预估该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数．
八．列表法与树状图法（共1小题）
12．（2023 烟台）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为 　 　；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有 　 　人；
（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类⑤
参考答案与试题解析
一．反比例函数综合题（共1小题）
1．（2023 淄博）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝相交于点A（2，3），B（n，1）．
（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；
（2）将直线AB向下平移至CD处，其中点C（﹣2，0），点D在y轴上．连接AD，BD，求△ABD的面积；
（3）请直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集．
【答案】（1）y＝，y＝﹣x+4；
（2）10；
（3）2＜x＜6或x＜0．
【解答】解：（1）将A（2，3）代入双曲线y＝，
∴m＝6，
∴双曲线的解析式为y＝，
将点B（n，1）代入y＝，
∴n＝6，
∴B（6，1），
将A（2，3），B（6，1）代入y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线解析式为y＝﹣x+4；
（2）∵直线AB向下平移至CD，
∴AB∥CD，
设直线CD的解析式为y＝﹣x+n，
将点C（﹣2，0）代入y＝﹣x+n，
∴1+n＝0，
解得n＝﹣1，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x﹣1，
∴D（0，﹣1），
过点D作DG⊥AB交于G，
设直线AB与y轴的交点为H，与x轴的交点为F，
∴H（0，4），F（8，0），
∵∠HFO+∠OHF＝90°，∠OHG+∠HDG＝90°，
∴∠HDG＝∠HFO，
∵OH＝4，OF＝8，
∴HB＝4，
∴cos∠HFO＝，
∵DH＝5，
∴DG＝DH＝2，
∵AB＝2，
∴△ABD的面积＝2×2＝10；
方法2：S△ABD＝S△HBD﹣S△HAD
＝HD（xB﹣xA）
＝5×4
＝10；
（3）由图可知2＜x＜6或x＜0时，﹣x﹣1＞．
二．二次函数综合题（共2小题）
2．（2023 烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．
（1）求直线AD及抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+PA的最小值．
【答案】（1）直线AD的解析式为y＝x﹣1；抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）存在，点M的坐标为（4，﹣3）或（0，5）或（5，0）；
（3）．
【解答】（1）解：∵抛物线的对称轴x＝3，AB＝4，
∴A（1，0），B（5，0），
将A（1，0）代入直线y＝kx﹣1，得k﹣1＝0，
解得k＝1，
∴直线AD的解析式为y＝x﹣1；
将A（1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，得
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）存在点M，
∵直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线对称轴x＝3与x轴交于点E，
∴当x＝3时，y＝x﹣1＝2，
∴D（3，2），
①当∠DAM＝90°时，
设直线AM的解析式为y＝﹣x+c，将点A坐标代入，
得﹣1+c＝0，
解得c＝1，
∴直线AM的解析式为y＝﹣x+1，
解方程组，得或，
∴点M的坐标为（4，﹣3）；
②当∠ADM＝90°时，
设直线DM的解析式为y＝﹣x+d，将D（3，2）代入，
得﹣3+d＝2，
解得d＝5，
∴直线DM的解析式为y＝﹣x+5，
解方程组，解得或，
∴点M的坐标为（0，5）或（5，0），
综上，点M的坐标为（4，﹣3）或（0，5）或（5，0）；
（3）如图，在AB上取点F，使BF＝1，连接CF，
∵PB＝2，
∴，
∵，
∴，
又∵∠PBF＝∠ABP，
∴△PBF∽△ABP，
∴，即PF＝PA，
∴PC+PA＝PC+PF≥CF，
∴当点C、P、F三点共线时，PC+PA的值最小，即为线段CF的长，
∵OC＝5，OF＝OB﹣1＝5﹣1＝4，
∴CF＝，
∴PC+PA的最小值为．
3．（2023 青岛）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．OC＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．
（1）求抛物线的表达式；
（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S2＝S1，求m的值．
【答案】（1）y＝﹣0.1x2+1；
（2）10；
（3）m＝2或4．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝ax2+c，
由题意得，点A的坐标为：（2，0.6）、点C（0，1），
则，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣0.1x2+1①；
（2）由点A的坐标得，直线OA的表达式为：y＝0.3x②，
联立①②得：0.3x＝﹣0.1x2+1，
解得：x＝2（舍去）或﹣5，
即点F（﹣5，﹣1.5），
则EF＝5×2＝10；
（3）平移后的抛物线表达式为：y＝﹣0.1（x﹣m）2+1，
令x＝0，则y＝﹣0.1m2+1，此时抛物线与y轴的交点为D（0，﹣0.1m2+1），
∵平移前后抛物线和x轴交点间的距离不变，若S2＝S1，
则OD＝OC，
即|﹣0.1m2+1|＝×1，
解得：m＝±2或±4（舍去负值），
即m＝2或4．
三．等腰三角形的性质（共1小题）
4．（2023 烟台）如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE．
（1）如图1，求证：DE＝BF；
（2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．
【答案】（1）见解答；
（2）BE的长为2+2．
【解答】（1）证明：∵△ACD、△BCE分别是以AC，BC为底边的等腰三角形，
∴∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE，
∵∠A＝∠CBE，
∴∠A＝∠ECB，∠ADC＝∠CEB，
∴AD∥CE，
∴∠ADC＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠CEB，
∵EF＝AD，CE＝BE，
∴△DCE≌△FEB（SAS），
∴DE＝BF；
（2）解：∵∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE，
∵∠DCA＝∠CBE，
∴∠A＝∠ECB，
∴DC∥BE，
作GH∥CD，交CE于H，
∵DG＝EG，GH∥CD，
∴CH＝EH，
∵AD＝2，AD＝CD，
∴CD＝2，
∴GH＝，
设CE＝BE＝m，
∴EH＝，
∵EF＝AD＝2，
∴FH＝，
∵GH∥BE，
∴△GHF∽△BEF，
∴，即，
解得m＝2+2或m＝2﹣2（舍去），
∴BE的长为2+2．
四．四边形综合题（共3小题）
5．（2023 烟台）【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q．
【问题提出】
在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，求线段CQ的长；
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长；
方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ的长．请你任选其中一种方案求线段CQ的长．
【答案】．
【解答】解：方案一：连接OQ，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，
由作图知BO＝OC＝BC＝2.5，
由翻折的不变性，知AP＝AB＝3，OP＝OB＝2.5，∠APO＝∠B＝90°，
∴OP＝OC＝2.5，∠QPO＝∠C＝90°，又OQ＝OQ，
∴△QPO≌△QCO（HL），
∴PQ＝CQ，
设PQ＝CQ＝x，则AQ＝3+x，DQ＝3﹣x，
在Rt△ADQ中，AD2+QD2＝AQ2.即52+（3﹣x）2＝（3+x）2，
解得x＝，
∴线段CQ的长为；
方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，
由作图知BO＝OC＝BC＝2.5，
由旋转的不变性，知CR＝AB＝3，∠BAO＝∠R，∠B＝∠OCR＝90°，
则∠OCR+∠OCD＝90°+90°＝180°，
∴D、C、R共线，
由翻折的不变性，知∠BAO＝∠OAQ，
∴∠OAQ＝∠R，
∴QA＝QR，
设CQ＝x，则QA＝QR＝3+x，DQ＝3﹣x，
在Rt△ADQ中，AD2+QD2＝AQ2，即52+（3﹣x）2＝（3+x）2，
解得x＝，
∴线段CQ的长为．
6．（2023 青岛）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝10cm，BD＝4cm．动点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，动点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s．以AP，AQ为邻边的平行四边形APMQ的边PM与AC交于点E．设运动时间为t（s）（0＜t≤5），解答下列问题：
（1）当点M在BD上时，求t的值；
（2）连接BE．设△PEB的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式和S的最大值；
（3）是否存在某一时刻t，使点B在∠PEC的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）t＝；
（2）S＝﹣t2+4t（0＜t≤5），S的最大值为10；
（3）存在，t＝．
【解答】解：（1）由题意得：DQ＝10﹣2t，PM＝2t，PB＝10﹣t，QM＝AP＝t，
如下图，点M在BD上时，
∵QM∥PB，PM∥QD，
∴∠DQM＝∠DAB＝∠MPQ，∠DMQ＝∠MBP，
∴△DQM∽△MPB，则，
即，
解得：t＝；
（2）如上图，
∵AD∥PM，
∴∠AEP＝∠EAQ，
∵四边形ABCD是菱形，
则∠QAE＝∠EAP，
∴∠AEP＝∠EAP，
∴△APE为等腰三角形，则PE＝AP＝t，
过点D作DH⊥AB于点H，
则S△ABD＝AB DH＝AO DB，
即10 DH＝×4，
解得：DH＝8，
则sin∠DAH＝＝＝，
设△PEB中PB边上的高为h，
则S＝PB h＝（10﹣t）×sin∠DAH×AE＝（10﹣t）×＝﹣t2+4t（0＜t≤5），
∵﹣＜0，故S有最大值，
当t＝5时，S的最大值为10；
（3）存在，理由：
如下图，过点B作BR⊥PE于点R，
当点B在∠PEC的平分线上时，则BR＝OB＝2，
在Rt△PBR中，sin∠EPB＝sin∠DAB＝＝＝，
解得：t＝．
7．（2023 枣庄）问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝30，AD是BC边上的中线．如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF，GH折叠后均与点D重合，折痕分别交AB，AC，BC于点E，F，G，H．
猜想证明：（1）如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由；
问题解决：（2）如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交AB，BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点K，求四边形MKGA的面积．
【答案】（1）四边形AEDG是菱形，理由见解答；
（2）四边形MKGA的面积是30．
【解答】解：（1）四边形AEDG是菱形，
理由：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD＝BC，AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
由折叠得BF＝DF＝BD，CH＝DH＝CD，EF⊥BD，GH⊥CD，
∴EF∥GH∥AD，
∴＝＝1，＝＝1，
∴BE＝AE，CG＝AG，
∴DE＝AE＝AB，GD＝AG＝AC，
∵AB＝AC，
∴DE＝AE＝GD＝AG，
∴四边形AEDG是菱形．
（2）如图3，作KI⊥DH于点I，则∠KIH＝90°，
∵AB＝AC＝17，BC＝30，
∴BD＝CD＝BC＝×30＝15，
∴AD＝＝＝8，CH＝DH＝CD＝×15＝，
∴GH＝AD＝×8＝4，BH＝BC﹣CH＝30﹣＝，
由折叠得BN＝HN＝BH＝×＝，MN⊥BH，
∴MN∥AD，
∴△MBN∽△ABD，
∴＝＝＝，
∴MN＝AD＝×8＝6，
∵∠KHD＝∠B，∠KDH＝∠C，且∠B＝∠C，
∴∠KHD＝∠KDH，
∴KD＝KH，
∴DI＝HI＝DH＝×＝，
∵∠KHI＝∠B＝∠C，
∴＝tan∠KHI＝tanC＝＝，
∴KI＝HI＝×＝2，
∴S四边形MKGA＝A△ABC﹣S△MBH﹣S△GDC+S△KDH，
∴S四边形MKGA＝×30×8﹣××6﹣×15×4+××2＝30，
∴四边形MKGA的面积是30．
五．切线的判定与性质（共2小题）
8．（2023 临沂）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝75°，BC＝2，求的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）的长是．
【解答】（1）证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA＝，∠OAC＝∠OCA＝，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOC＝2∠ABC，
∴∠AOB＝∠AOC，
∴＝，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴AF⊥BC，
∵AE∥BC，
∴∠OAE＝∠AFB＝90°，
∴OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ACB＝∠ABC＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
∴△BOC是等边三角形，∠COD＝180°﹣∠BOC＝120°，
∴OC＝BC＝2，
∴＝＝，
∴的长是．
9．（2023 烟台）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，⊙O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG＝GD．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5：8，求tan∠ADB的值．
【答案】（1）证明见解答；
（2）tan∠ADB的值是2．
【解答】（1）证明：连接OA，则OF＝OA，
∴∠OAF＝∠OFA，
∵AG＝GD，
∴OF⊥AD，
∴∠AGF＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠OAB＝∠OAF+∠BAE＝∠OFA+∠DAE＝90°，
∴OA是⊙O半径，且AB⊥OA，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：∵＝，AD＝2AG，
∴＝，
∴＝，
设AG＝4m，则OA＝5m，
∴OF＝OA＝5m，
∵∠AGO＝90°，
∴OG＝＝＝3m，
∴FG＝OF﹣OG＝5m﹣3m＝2m，
∵∠AED＝∠AGF＝90°，
∴∠ADB＝∠AFG＝90°﹣∠DAE，
∴tan∠ADB＝tan∠AFG＝＝＝2，
∴tan∠ADB的值是2．
六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
10．（2023 烟台）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度．（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）
【答案】该风力发电机塔杆PD的高度约为32米．
【解答】解：延长PD交AC于点F，延长DP交BE于点G，
由题意得：PF⊥AF，DG⊥BE，AB＝FG＝53米，AF＝BG，
设AF＝BG＝x米，
在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CD＝16米，
∴DF＝CD＝8（米），
在Rt△PAF中，∠PAF＝45°，
∴PF＝AF tan45°＝x（米），
在Rt△BPG中，∠GBP＝18°，
∴GP＝BG tan18°≈0.325x（米），
∴FG＝PF+PG＝x+0.325x＝1.325x（米），
∴1.325x＝53，
解得：x＝40，
∴PF＝40米，
∴PD＝PF﹣DF＝40﹣8＝32（米），
∴该风力发电机塔杆PD的高度约为32米．
七．频数（率）分布直方图（共1小题）
11．（2023 临沂）某中学九年级共有600名学生，从中随机抽取了20名学生进行信息技术操作测试，测试成绩（单位：分）如下：
81 90 82 89 99 95 91 83 92 93
87 92 94 88 92 87 100 86 85 96
（1）请按组距为5将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图；
频数分布表
成绩分组 　80＜x≤85　 　85＜x≤90　 　90＜x≤95　 　95＜x≤100　
划记 　　 　　 　　 　　
频数 　4　 　6　 　7　 　3　
（2）①这组数据的中位数是 　90.5　；
②分析数据分布的情况（写出一条即可） 　成绩在90＜x≤95的人数最多　；
（3）若85分以上（不含85分）成绩为优秀等次，请预估该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数．
【答案】（1）详见解答；
（2）①90.5；②成绩在90≤x＜95的人数最多；
（3）480．
【解答】解：（1）画出频数分布直方图如下：
（2）①将这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝90.5，因此中位数是90.5，
故答案为：90.5；
②从频数分布直方图可知：成绩在90≤x＜95的人数最多，
故答案为：成绩在90＜x≤95的人数最多；
（3）600×＝480（人），
答：该校九年级600名学生中，测试成绩达到优秀等次的人数大约为480人．
八．列表法与树状图法（共1小题）
12．（2023 烟台）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为 　14.4°　；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有 　200　人；
（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
【答案】（1）补全的条形统计图见解答；
（2）14.4°，200；
（3）．
【解答】解：（1）本次抽取的学生有：14÷28%＝50（人），
其中选择B的学生有：50﹣10﹣14﹣2﹣8＝16（人），
补全的条形统计图如图所示；
（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为：360°×＝14.4°，
该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有：1000×＝200（人），
故答案为：14.4°，200；
（3）树状图如下所示：
由上可得，一共有9种等可能性，其中两人恰好选取同一所大学的可能性有3种，
∴两人恰好选取同一所大学的概率为＝．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-02填空题（基础题）知识点分类
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023 菏泽）计算：|﹣2|+2sin60°﹣20230＝　 　．
二．规律型：数字的变化类（共2小题）
2．（2023 聊城）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：（3，5）；（7，10）；（13，17）；（21，26）；（31，37）…如果单独把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：　 　．
3．（2023 临沂）观察下列式子：
1×3+1＝22；
2×4+1＝32；
3×5+1＝42；
…
按照上述规律，　 　＝n2．
三．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）
4．（2023 菏泽）因式分解：m3﹣4m＝　 　．
四．因式分解的应用（共1小题）
5．（2023 济宁）已知实数m满足m2﹣m﹣1＝0，则2m3﹣3m2﹣m+9＝　 　．
五．二次根式的混合运算（共1小题）
6．（2023 潍坊）从﹣，，中任意选择两个数，分别填在算式 （□+〇）2÷里面的“□”与“〇”中，计算该算式的结果是 　 　．（只需写出一种结果）
六．一元二次方程的解（共1小题）
7．（2023 枣庄）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为 　 　．
七．解一元一次不等式组（共2小题）
8．（2023 聊城）若不等式组的解集为x≥m，则m的取值范围是 　 　．
9．（2023 滨州）不等式组的解集为 　 　．
八．点的坐标（共1小题）
10．（2023 东营）如图，一束光线从点A（﹣2，5）出发，经过y轴上的点B（0，1）反射后经过点C（m，n），则2m﹣n的值是 　 　．
九．一次函数的应用（共1小题）
11．（2023 威海）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示．当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x；当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为 　 　．
一十．二次函数的应用（共1小题）
12．（2023 滨州）某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水平距离也为3m，那么水管的设计高度应为 　 　．
一十一．平行线的性质（共1小题）
13．（2023 威海）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与POQ平行的方向射出．若∠AOB＝150°，∠OBD＝90°，则∠OAC＝　 　°．
一十二．平行四边形的性质（共1小题）
14．（2023 聊城）如图，在 ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为 　 　．
一十三．切线的性质（共1小题）
15．（2023 泰安）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝4cm，则这张光盘的半径是 　 　cm．（精确到0.1cm．参考数据：≈1.73）
一十四．正多边形和圆（共1小题）
16．（2023 济南）如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为 　 　（结果保留π）．
一十五．轴对称的性质（共1小题）
17．（2023 泰安）如图，在△ABC中，AC＝BC＝16，点D在AB上，点E在BC上，点B关于直线DE的轴对称点为点B′，连接DB′，EB′，分别与AC相交于F点，G点，若AF＝8，DF＝7，B′F＝4，则CG的长度为 　 　．
一十六．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
18．（2023 济南）如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P．若∠ABC＝30°，AP＝2，则PE的长等于 　 　．
一十七．坐标与图形变化-平移（共1小题）
19．（2023 滨州）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点坐标分别为A（6，3），B（6，0），O（0，0），若将△ABO向左平移3个单位长度得到△CDE，则点A的对应点C的坐标是 　 　．
一十八．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
20．（2023 枣庄）银杏是著名的活化石植物， 其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为（﹣3，2），（4，3），将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后，叶柄上点A对应点的坐标为 　 　．
一十九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
21．（2023 淄博）如图，与斜坡CE垂直的太阳光线照射立柱AB（与水平地面BF垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若BC＝2米，CD＝8.48米，斜坡的坡角∠ECF＝32°，则立柱AB的高为 　 　米（结果精确到0.1米）．
科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）
0.530
0.848
0.625
二十．列表法与树状图法（共1小题）
22．（2023 滨州）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子点数之和等于7的概率是 　 　．
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-02填空题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023 菏泽）计算：|﹣2|+2sin60°﹣20230＝　1　．
【答案】1．
【解答】解：|﹣2|+2sin60°﹣20230
＝2﹣+2×﹣1
＝2﹣+﹣1
＝1．
故答案为：1．
二．规律型：数字的变化类（共2小题）
2．（2023 聊城）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：（3，5）；（7，10）；（13，17）；（21，26）；（31，37）…如果单独把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：　（n2+n+1，n2+2n+2）　．
【答案】（n2+n+1，n2+2n+2）．
【解答】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，．．．，
即1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，5×6+1，..．，
则第n个数对的第一个数为n2+n+1，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，..．，
即22+1，32+1，42+1，52+1，．．．，
则第n个数对的第二个数为（n+1）2+1＝n2+2n+2，
∴第n个数对为（n2+n+1，n2+2n+2）．
故答案为：（n2+n+1，n2+2n+2）．
3．（2023 临沂）观察下列式子：
1×3+1＝22；
2×4+1＝32；
3×5+1＝42；
…
按照上述规律，　（n﹣1）（n+1）+1　＝n2．
【答案】（n﹣1）（n+1）+1．
【解答】解：观察下列式子：
1×3+1＝22；
2×4+1＝32；
3×5+1＝42；
…；
按照上述规律，（n﹣1）（n+1）+1＝n2．
故答案为：（n﹣1）（n+1）+1．
三．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）
4．（2023 菏泽）因式分解：m3﹣4m＝　m（m+2）（m﹣2）　．
【答案】m（m+2）（m﹣2）
【解答】解：原式＝m（m2﹣4）＝m（m+2）（m﹣2），
故答案为：m（m+2）（m﹣2）
四．因式分解的应用（共1小题）
5．（2023 济宁）已知实数m满足m2﹣m﹣1＝0，则2m3﹣3m2﹣m+9＝　8　．
【答案】8．
【解答】解：∵m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴2m3﹣3m2﹣m+9
＝（2m3﹣2m2）﹣m2﹣m+9
＝2m（m2﹣m）﹣m2﹣m+9
＝2m﹣m2﹣m+9
＝﹣m2+m+9
＝﹣（m2﹣m）+9
＝﹣1+9
＝8，
故答案为：8．
五．二次根式的混合运算（共1小题）
6．（2023 潍坊）从﹣，，中任意选择两个数，分别填在算式 （□+〇）2÷里面的“□”与“〇”中，计算该算式的结果是 　﹣2（答案不唯一）　．（只需写出一种结果）
【答案】﹣2（答案不唯一）．
【解答】解：若“□”是﹣，“〇”是，则 （﹣+）2÷＝（5﹣2）÷＝﹣2；
若“□”是﹣，“〇”是，则 （﹣+）2÷＝（8﹣2）÷＝4﹣2；
若“□”是，“〇”是，则 （+）2÷＝（9+2）÷＝+6；
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
六．一元二次方程的解（共1小题）
7．（2023 枣庄）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为 　2019　．
【答案】2019．
【解答】解：把x＝3代入方程得：9a﹣3b＝6，即3a﹣b＝2，
则原式＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣4＝2019．
故答案为：2019．
七．解一元一次不等式组（共2小题）
8．（2023 聊城）若不等式组的解集为x≥m，则m的取值范围是 　m≥﹣1　．
【答案】m≥﹣1．
【解答】解：∵不等式组，解得，
∵x≥m，
∴m≥﹣1．
故答案为：m≥﹣1．
9．（2023 滨州）不等式组的解集为 　3≤x＜5　．
【答案】3≤x＜5．
【解答】解：解不等式2x﹣4≥2，得x≥3，
解不等式3x﹣7＜8，得x＜5，
故不等式组的解集为3≤x＜5．
故答案为：3≤x＜5．
八．点的坐标（共1小题）
10．（2023 东营）如图，一束光线从点A（﹣2，5）出发，经过y轴上的点B（0，1）反射后经过点C（m，n），则2m﹣n的值是 　﹣1　．
【答案】﹣1．
【解答】解：∵点A（﹣2，5）关于y轴的对称点为A′（2，5），
∴反射光线所在直线过点B（0，1）和A′（2，5），
设A'B的解析式为：y＝kx+1，过点A′（2，5），
∴5＝2k+1，
∴k＝2，
∴A'B的解析式为：y＝2x+1，
∵反射后经过点C（m，n），
∴2m+1＝n，
∴2m﹣n＝﹣1．
故答案为：﹣1．
九．一次函数的应用（共1小题）
11．（2023 威海）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示．当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x；当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为 　y＝80x﹣10　．
【答案】y＝80x﹣10．
【解答】解：∵当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x，
∴当x＝0.5时，y＝30，
设当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，
把（0.5，30），（2，150）代入得：
，
解得，
故答案为：y＝80x﹣10．
一十．二次函数的应用（共1小题）
12．（2023 滨州）某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水平距离也为3m，那么水管的设计高度应为 　m　．
【答案】m．
【解答】解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，
∴设这段抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3．
∵该抛物线过点（3，0），
∴0＝a（3﹣1）2+3，
解得：a＝﹣．
∴y＝﹣（x﹣1）2+3．
∵当x＝0时，y＝﹣×（0﹣1）2+3＝﹣+3＝，
∴水管的设计高度应为m．
故答案为：m．
一十一．平行线的性质（共1小题）
13．（2023 威海）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与POQ平行的方向射出．若∠AOB＝150°，∠OBD＝90°，则∠OAC＝　60　°．
【答案】60．
【解答】解：∵BD∥PQ，
∴∠POB＝∠OBD＝90°，
∵∠AOB＝150°，
∴∠AOP＝∠AOB﹣∠POB＝150°﹣90°＝60°，
∵AC∥PQ，
∴∠OAC＝∠AOP＝60°．
故答案为：60．
一十二．平行四边形的性质（共1小题）
14．（2023 聊城）如图，在 ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为 　24　．
【答案】24．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝8，
∴AD＝BC＝8，
∵由EF是线段BC的垂直平分线，
∴EF⊥BC，OB＝OC＝BC＝4，
∵CE＝5，
∴OE＝＝＝3．
∵CF∥BE，
∴∠OCF＝∠OBE，
在△OCF与△OBE中，
，
∴△OCF≌△OBE（ASA），
∴OE＝OF＝3，
∴S四边形BFCE＝S△BCE+S△BFC
＝BC OE+BC OF
＝×8×3+×8×3
＝12+12
＝24．
故答案为：24．
一十三．切线的性质（共1小题）
15．（2023 泰安）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝4cm，则这张光盘的半径是 　6.9　cm．（精确到0.1cm．参考数据：≈1.73）
【答案】6.9．
【解答】解：设光盘的圆心为O，由题意可知：AB，AC切⊙O于C、B，
连接OC，OB，OA，
如图所示：
∵AC，AB分别为圆O的切线，
∴AO为∠CAB的平分线，OC⊥AC，OB⊥AB，又∠CAD＝60°，
∴∠OAC＝∠OAB＝∠CAB＝60°，
在Rt△AOB中，∠OAB＝60°，AB＝4cm，
∴tan∠OAB＝，
∴OB＝tan∠OAB×AB＝＝4≈6.9（cm），
∴这张光盘的半径为6.9cm．
故答案为：6.9．
一十四．正多边形和圆（共1小题）
16．（2023 济南）如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为 　　（结果保留π）．
【答案】．
【解答】解：∠BAE＝＝108°，
∴阴影部分的面积为＝，
故答案为：．
一十五．轴对称的性质（共1小题）
17．（2023 泰安）如图，在△ABC中，AC＝BC＝16，点D在AB上，点E在BC上，点B关于直线DE的轴对称点为点B′，连接DB′，EB′，分别与AC相交于F点，G点，若AF＝8，DF＝7，B′F＝4，则CG的长度为 　　．
【答案】．
【解答】解：∵△BDE与△B′DE关于DE对称，
∴∠B＝∠B′，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠A，
∴∠A＝∠B'，
又∵∠AFD＝∠B′FG，
∴△ADF∽△B′GF，
∴＝，
即＝，
∴GF＝，
∴CG＝AC﹣AF﹣GF
＝16﹣8﹣
＝，
故答案为：．
一十六．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
18．（2023 济南）如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P．若∠ABC＝30°，AP＝2，则PE的长等于 　+　．
【答案】+．
【解答】解：过点A作AF⊥PE于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D＝∠ABC＝30°，AD＝CD，
∴∠DAC＝＝75°，
由折叠可知：∠E＝∠D＝30°，
∴∠APE＝∠DAC﹣∠AEP＝45°，
在Rt△APF中，PF＝AP cos∠APE，
∴PF＝AF＝2×cos45°＝，
在Rt△AEF中，tan∠AEP＝，
∴EF＝＝＝，
∴PE＝PF+EF＝+，
故答案为：+．
一十七．坐标与图形变化-平移（共1小题）
19．（2023 滨州）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点坐标分别为A（6，3），B（6，0），O（0，0），若将△ABO向左平移3个单位长度得到△CDE，则点A的对应点C的坐标是 　（3，3）　．
【答案】（3，3）．
【解答】解：∵A（6，3）向左平移3个单位长度得到C，
∴点A的对应点C的坐标是（6﹣3，3），即（3，3）．
故答案为：（3，3）．
一十八．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
20．（2023 枣庄）银杏是著名的活化石植物， 其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为（﹣3，2），（4，3），将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后，叶柄上点A对应点的坐标为 　（﹣3，1）　．
【答案】（﹣3，1）．
【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，那么点A的坐标为（﹣1，﹣3），
作出点A绕原点O顺时针旋转90°所得的对应点A′，
则点A′的坐标为（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
一十九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
21．（2023 淄博）如图，与斜坡CE垂直的太阳光线照射立柱AB（与水平地面BF垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若BC＝2米，CD＝8.48米，斜坡的坡角∠ECF＝32°，则立柱AB的高为 　19.2　米（结果精确到0.1米）．
科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）
0.530
0.848
0.625
【答案】19.2．
【解答】解：如图，延长AD交BF于点H，
在Rt△CDH中，CD＝8.48米，∠DCH＝32°，
∵cos∠DCH＝，
∴CH＝≈＝10（米），
∴BH＝CH+BC＝10+2＝12（米），
∵∠CDH＝90°，∠DCH＝32°，
∴∠DHC＝90°﹣32°＝58°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAH＝90°﹣58°＝32°，
在Rt△ABH中，tan∠BAH＝，
∴AB＝≈＝19.2（米），
故答案为：19.2．
二十．列表法与树状图法（共1小题）
22．（2023 滨州）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子点数之和等于7的概率是 　　．
【答案】．
【解答】解：列表如下：
和 第1枚第2枚 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
一共有36种等可能，其中和等于7的有6种可能，
∴P（和等于7）＝．
故答案为：．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类②
一．分式的化简求值（共2小题）
1．（2023 威海）先化简（a﹣）÷，再从﹣3＜a＜3的范围内选择一个合适的数代入求值．
2．（2023 东营）（1）计算：tan45°﹣（2023﹣π）0+|2﹣2|+（）﹣1﹣；
（2）先化简，再求值：÷（﹣），化简后，从﹣2＜x＜3的范围内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值．
二．一次函数综合题（共1小题）
3．（2023 潍坊）【材料阅读】
用数形结合的方法，可以探究q+q2+q3+ +qn+ 的值，其中0＜q＜1．
例 求 …的值．
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
…的结果等于该正方形的面积，即
．
方法2：借助函数 和y＝x的图象，观察图②可知
…的结果等于a1，a2，a3，…，an，…等各条竖直线段的长度之和，即两个函数图象的交点到x轴的距离．
因为两个函数图象的交点（1，1）到x轴的距离为1，
所以，．
【实践应用】
任多一 完善 …的求值过程．
方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知
＝　 　．
方法2：借助函数 和y＝x的图象，观察图④可知，
因为两个函数图象的交点的坐标为　 　，
所以 ＝　 　．
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求 +…的值．
任务三 用方法2，求 q+q2+q3+ +qn+…的值（结果用q表示）．
【迁移拓展】
长宽之比为 的矩形是黄金矩形，将黄金1矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
观察图⑤，直接写出 + 的值．
三．反比例函数综合题（共1小题）
4．（2023 泰安）如图，一次函数y1＝﹣2x+2的图象与反比例函数y2＝的图象分别交于点A，点B，与y轴，x轴分别交于点C，点D，作AE⊥y轴，垂足为点E，OE＝4．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在第二象限内，当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（3）点P在x轴负半轴上，连接PA，且PA⊥AB，求点P坐标．
四．抛物线与x轴的交点（共1小题）
5．（2023 威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L1交x轴于点A（1，0），C（5，0），顶点坐标为E（m1，k）．抛物线L2交x轴于点B（2，0），D（10，0），顶点坐标为F（m2，k）．
（1）连接EF，求线段EF的长；
（2）点M（﹣7，d1）在抛物线L1上，点N（16，d2）在抛物线L2上．比较大小：d1　 　d2；
（3）若点P（n+3，f1），Q（2n﹣1，f2）在抛物线L1上，f1＜f2，求n的取值范围．
五．二次函数的应用（共3小题）
6．（2023 潍坊）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（0≤x≤20），并分别绘制在直角坐标系中，如图所示．

（1）从y＝ax+21（a≠0），y＝（k≠0），y＝﹣0.04x2+bx+c中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下y随x变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
7．（2023 潍坊）工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，AB∥DE，AB与DE之间的距离为2米，AB＝3米，AF＝BC＝1米，∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠F＝135°．MH，HG，GN是工匠师傅画出的裁剪虚线．当MH的长度为多少时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是多少？

8．（2023 威海）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置OA的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内．当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩．防水罩的一端固定在喷水装置上的点M处，另一端与路面的垂直高度NC为1.8米，且与喷泉水流的水平距离ND为0.3米．点C到水池外壁的水平距离CE＝0.6米，求步行通道的宽OE．（结果精确到0.1米）
参考数据：≈1.41．
六．二次函数综合题（共1小题）
9．（2023 泰安）如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A（﹣4，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．

（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△BCP面积为5，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，小明经过探究发现：位于x轴下方的抛物线上，存在一点D，使∠DAB与∠ACB互为余角；你认为他探究出的结论是否正确？若正确，求出点D的坐标；若不正确，请说明理由．
七．正多边形和圆（共1小题）
10．（2023 潍坊）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在上取一点E，连接AE，DE，过点A作AG⊥AE，交⊙O于点G，交DE于点F，连接CG，DG．
（1）求证：△AFD≌△CGD；
（2）若AB＝2，∠BAE＝30°，求阴影部分的面积．
八．解直角三角形的应用（共1小题）
11．（2023 威海）如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳篷．已知苗圃的（南北）宽AB＝6.5米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是∠DAE＝76.5°，最小夹角是∠DBE＝29.5°．求遮阳蓬的宽CD和到地面的距离CB．
参考数据：sin29.5°≈，cos29.5°≈，tan29.5°≈，sin76.5°≈，cos76.5°≈，tan76.5°≈．
九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
12．（2023 潍坊）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东60°方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶，沿线堪测石油资源，堪测发现位于码头A北偏东15°方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）
一十．列表法与树状图法（共1小题）
13．（2023 泰安）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开．为激励青少年争做党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为优秀奖．并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据相关信息解答下列问题：
（1）本次竞赛共有 　 　名选手获奖，扇形统计图中扇形C的圆心角度数是 　 　度；
（2）补全条形统计图；
（3）若该党史馆有一个入口，三个出口．请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类②
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共2小题）
1．（2023 威海）先化简（a﹣）÷，再从﹣3＜a＜3的范围内选择一个合适的数代入求值．
【答案】，．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
要使分式有意义，a≠0且a﹣1≠0且a+1≠0，
所以a不能为0，1，﹣1，
取a＝2，
当a＝2时，原式＝＝．
2．（2023 东营）（1）计算：tan45°﹣（2023﹣π）0+|2﹣2|+（）﹣1﹣；
（2）先化简，再求值：÷（﹣），化简后，从﹣2＜x＜3的范围内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值．
【答案】（1）1；
（2），．
【解答】解：（1）原式＝×1﹣1+2﹣2+4﹣3
＝﹣1+2﹣2+4﹣3
＝1；
（2）原式＝÷
＝
＝，
∵x≠﹣1，x≠0，x≠1，
∴当x＝2时，
原式＝．
二．一次函数综合题（共1小题）
3．（2023 潍坊）【材料阅读】
用数形结合的方法，可以探究q+q2+q3+ +qn+ 的值，其中0＜q＜1．
例 求 …的值．
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
…的结果等于该正方形的面积，即
．
方法2：借助函数 和y＝x的图象，观察图②可知
…的结果等于a1，a2，a3，…，an，…等各条竖直线段的长度之和，即两个函数图象的交点到x轴的距离．
因为两个函数图象的交点（1，1）到x轴的距离为1，
所以，．
【实践应用】
任多一 完善 …的求值过程．
方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知
＝　2　．
方法2：借助函数 和y＝x的图象，观察图④可知，
因为两个函数图象的交点的坐标为　（2，2）　，
所以 ＝　2　．
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求 +…的值．
任务三 用方法2，求 q+q2+q3+ +qn+…的值（结果用q表示）．
【迁移拓展】
长宽之比为 的矩形是黄金矩形，将黄金1矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
观察图⑤，直接写出 + 的值．
【答案】【实践应用】任务一：2；（2，2）；2．
任务二：3；
任务三：；
【迁移拓展】．
【解答】解：【实践应用】任务一：2；（2，2）；2．
任务二：求 +…的值．
方法1：借助面积为3的正方形，观察图可知，
+…＝3．
方法2：借助函数y＝x+和y＝x的图象，观察图可知，
因为两个函数图象的交点的坐标为 （3，3），
所以 +…＝3．
任务三：借助函数y＝qx+q和y＝x的图象，观察图可知，
因为两个函数图象的交点的坐标为 （，），
所以q+q2+q3+ +qn+…＝．
【迁移拓展】+…＝﹣1＝．
三．反比例函数综合题（共1小题）
4．（2023 泰安）如图，一次函数y1＝﹣2x+2的图象与反比例函数y2＝的图象分别交于点A，点B，与y轴，x轴分别交于点C，点D，作AE⊥y轴，垂足为点E，OE＝4．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在第二象限内，当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（3）点P在x轴负半轴上，连接PA，且PA⊥AB，求点P坐标．
【答案】（1）反比例函数的关系式为y2＝﹣；
（2）﹣1＜x＜0；
（3）（﹣9，0）．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝﹣2x+2的图象与y轴，x轴分别交于点C，点D，
∴点C（0，2），点D（1，0），
∵OE＝4，
∴OC＝CE＝2，
∵∠AEC＝∠DOC＝90°，∠ACE＝∠DCO，
∴△AEC≌△DOC（ASA），
∴AE＝OD＝1，
∴点A（﹣1，4），
∵点A在反比例函数y2＝的图象上，
∴k＝﹣1×4＝﹣4，
∴反比例函数的关系式为y2＝﹣；
（2）方程组的解为，，
∵点A（﹣1，4），
∴点B（2，﹣2），
由于是在第二象限，当y1＜y2时，x的取值范围为﹣1＜x＜0；
（3）由于直线PA⊥AB，可设直线PA的关系式为y＝x+b，
把点A（﹣1，4）代入得，4＝﹣+b，
解得b＝，
∴直线PA的关系式为y＝x+，
当y＝0时，x＝﹣9，
∴点P的坐标为（﹣9，0）．
四．抛物线与x轴的交点（共1小题）
5．（2023 威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L1交x轴于点A（1，0），C（5，0），顶点坐标为E（m1，k）．抛物线L2交x轴于点B（2，0），D（10，0），顶点坐标为F（m2，k）．
（1）连接EF，求线段EF的长；
（2）点M（﹣7，d1）在抛物线L1上，点N（16，d2）在抛物线L2上．比较大小：d1　＞　d2；
（3）若点P（n+3，f1），Q（2n﹣1，f2）在抛物线L1上，f1＜f2，求n的取值范围．
【答案】（1）EF＝3；
（2）＞；
（3）n＜或n＞4．
【解答】解：（1）由题意可得：m1＝，m2＝＝6，
∴EF＝6﹣3＝3；
（2）由题意得：设抛物线L1：y1＝a1（x﹣1）（x﹣5），抛物线L2：y2＝a2（x﹣2）（x﹣10），
由（1）得：E（3，k），F（6，k），
∴a1（3﹣1）（3﹣5）＝a2（6﹣2）（6﹣10），
∴a1＝4a2，
∴y1＝4a2（x﹣1）（x﹣5），
把x＝﹣7代入抛物线L1得：d1＝4a2（x﹣1）（x﹣5）＝384a2，
把x＝16代入物线L2得：d2＝a2（x﹣2）（x﹣10）＝84a2，
∵a2＞0，
∴d1＞d2；
故答案为：＞；
（3）∵f1＜f2，
∴点P离对称轴更近，
∴|n+3﹣3|＜|2n﹣1﹣3|，
∴（n+3﹣3）2﹣（2n﹣1﹣3）2＜0，
∴（n+2n﹣4）（n﹣2n+4）＜0；
∴或，
∴n＜或n＞4．
五．二次函数的应用（共3小题）
6．（2023 潍坊）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（0≤x≤20），并分别绘制在直角坐标系中，如图所示．

（1）从y＝ax+21（a≠0），y＝（k≠0），y＝﹣0.04x2+bx+c中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下y随x变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
【答案】（1）场景A的函数表达式为y＝﹣0.04x2﹣0.1x+21，场景B的函数表达式为y＝﹣x+21；
（2）化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长．
【解答】解：（1）观察两种场景可知，场景A为y＝﹣0.04x2+bx+c，场景B为y＝ax+21（a≠0），
把（10，16），（20，3）代入y＝﹣0.04x2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝﹣0.04x2﹣0.1x+21，
把（5，16）代入y＝ax+21得：
5a+21＝16，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣x+21；
答：场景A的函数表达式为y＝﹣0.04x2﹣0.1x+21，场景B的函数表达式为y＝﹣x+21；
（2）当y＝3时，
场景A中，x＝20，
场景B中，3＝﹣x+21，
解得x＝18，
答：化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长．
7．（2023 潍坊）工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，AB∥DE，AB与DE之间的距离为2米，AB＝3米，AF＝BC＝1米，∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠F＝135°．MH，HG，GN是工匠师傅画出的裁剪虚线．当MH的长度为多少时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是多少？

【答案】MH＝米时，面积最大为平方米．
【解答】解：连接CF，如图，
∵AF＝BC＝1米，∠A＝∠B＝90°，
∴CF∥AB，
∴∠AFC＝∠BCF＝90°，
∴四边形ABCF是矩形，
∵四边形MNGH是矩形，
∴∠HMN＝∠MNG＝90°，MH＝NG，
∴∠HQF＝∠GPC＝90°，MQ＝AF＝NP＝BC＝1米，
∵∠BCG＝∠AFH＝135°，
∴∠HFQ＝∠GCP＝45°，
∴FQ＝HQ，CP＝GP，
∴FQ＝HQ＝MH﹣MQ＝MH﹣1，
同理得：CP＝MH﹣1，
∴AM＝NB＝MH﹣1，
∴MN＝AB﹣AM﹣NB＝3﹣（MH﹣1）﹣（MH﹣1）＝5﹣2MH，
∴S矩形MNGH＝MN MH
＝（5﹣2MH） MH
＝5MH﹣2MH2
＝﹣2（MH2﹣MH）
＝﹣2（MH﹣）2+，
∴当MH＝米时，铁皮的面积最大，最大值为：平方米．
8．（2023 威海）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置OA的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内．当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩．防水罩的一端固定在喷水装置上的点M处，另一端与路面的垂直高度NC为1.8米，且与喷泉水流的水平距离ND为0.3米．点C到水池外壁的水平距离CE＝0.6米，求步行通道的宽OE．（结果精确到0.1米）
参考数据：≈1.41．
【答案】3.2米．
【解答】解：如图，以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
由题意知：A（0，2），B（2，3.6），
∵抛物线的最高点为B，
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2+3.6，
把A（0，2）代入得：4a+3.6＝2，
解得a＝﹣0.4，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣0.4（x﹣2）2+3.6，
当y＝1.8时，﹣0.4（x﹣2）2+3.6＝1.8，
解得：x＝2±，
∵D（2+，1.8），
∴OE＝xD﹣DN﹣CE≈2+﹣0.3﹣0.6≈3.2（米）．
答：步行通道的宽OE的长约为3.2米．
六．二次函数综合题（共1小题）
9．（2023 泰安）如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A（﹣4，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．

（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△BCP面积为5，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，小明经过探究发现：位于x轴下方的抛物线上，存在一点D，使∠DAB与∠ACB互为余角；你认为他探究出的结论是否正确？若正确，求出点D的坐标；若不正确，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2+5x+4；
（2）P（﹣，4）或（﹣，﹣16）；
（3）D（﹣）．
【解答】解：（1）由题意得：C（0，4），
设抛物线的解析式为：y＝a（x+4）（x+1），
∴4＝a 4×1，
∴a＝1，
∴y＝（x+4）（x+1）＝x2+5x+4；
（2）如图1，
过点P作PT∥BC，交x轴于点T，作BQ⊥PT于Q，
∴∠QTB＝∠CBO，∠TQB＝∠BOC＝90°，
∴△TBQ∽△BCO，
∴，
∴TB OC＝BC BQ，
∵B（﹣1，0），C（0，4），A（﹣4，0），
∴OC＝4，OB＝1，直线BC的解析式为：y＝4x+4，抛物线的对称轴为：x＝﹣，
∴kPT＝kBC＝4，
由S△PBC＝5得，
BQ＝5，
∴BC BQ＝10，
∴4TB＝10，
∴TB＝，
∴OA＝OB+TB＝1+，
∴T（﹣，0），
∴直线PT的解析式为y＝4x+14，
当x＝﹣时，y＝4×（﹣）+14＝4，
∴P1（﹣，4），
同理可得：直线T′Q′DE解析式为：y＝4x﹣6，
∴当x＝﹣时，y＝﹣16，
∴P2（﹣，﹣16），
∴P（﹣，4）或（﹣，﹣16）；
（3）如图2，
存在D（﹣，﹣），使∠DAB+∠ACB＝90°，理由如下：
作BF⊥AC于F，设AD与y轴交于点E，
∴∠BFA＝∠BFC＝90°，
∴∠ACB+∠CBF＝90°，
∵∠ACB+∠DAB＝90°，
∴∠DAB＝∠CBF，
∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝4，
∴∠CAO＝45°，AC＝4，
∵AB＝3，
∴AF＝BF＝AB sin45°＝AB＝，
∴CF＝AC﹣AF＝4＝，
∴tan∠DAB＝tan∠CBF＝，
∴，
∴，
∴OE＝，
∴E（0，﹣），
∴直线AD的解析式为：y＝﹣x﹣，
由得，
（舍去），，
∴D（﹣）．
七．正多边形和圆（共1小题）
10．（2023 潍坊）如图，正方形ABCD内接于⊙O，在上取一点E，连接AE，DE，过点A作AG⊥AE，交⊙O于点G，交DE于点F，连接CG，DG．
（1）求证：△AFD≌△CGD；
（2）若AB＝2，∠BAE＝30°，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵AG⊥AE，
∴∠EAG＝90°，
∴∠EDG＝∠EAG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∵∠ADF+∠FDC＝∠CDG+∠FDC＝90°，
∠ADF＝∠CDG，
在△ADF和△CDG中，
，
∴△ADF≌△CDG（ASA），
（2）解：过点D作DH⊥AG于点H，连接OA，OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠AGD＝∠AOD＝×90°＝45°，
∴∠DAG+∠BAG＝∠BAE+∠BAG＝90°，
∴∠DAG＝∠BAE＝30°，
∵DH⊥AG，
∴∠DHG＝90°，
∴△HDG和△DFG都是等腰直角三角形，
在Rt△ADH中，∠DAG＝30°，
∴DH＝AD＝×2＝1，
AH＝＝，
∴AG＝AH+HG＝+1，
DF＝DG＝DH＝，
∴S△ADF＝S△ADG﹣S△DFG＝×（+1）×1﹣××＝，
∵OA＝OD，∠AOD＝90°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴OA＝AD＝，
∴S弓形AD＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣＝﹣1，
∴S阴影＝S△ADF+S弓形AD＝+﹣1＝．
八．解直角三角形的应用（共1小题）
11．（2023 威海）如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳篷．已知苗圃的（南北）宽AB＝6.5米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是∠DAE＝76.5°，最小夹角是∠DBE＝29.5°．求遮阳蓬的宽CD和到地面的距离CB．
参考数据：sin29.5°≈，cos29.5°≈，tan29.5°≈，sin76.5°≈，cos76.5°≈，tan76.5°≈．
【答案】遮阳蓬的宽CD约为7.5m；遮阳蓬的高度约为4.2m．
【解答】解：如图，过点D作DM⊥BE于点M，
设DM＝xm，则BC＝xm，
在Rt△ADM中，
∵tan76.5°＝，
∴AM＝，
同理BM＝，
∵BM﹣AM＝AB＝6.5m，
∴﹣＝6.5，
解得DM≈4.2（m），
即遮阳蓬到地面的高度CB约为4.2m，
∵tan76.5°＝，DM＝4.2m，
∴AM＝≈1（m），
∴CD＝BM＝AB+AM
＝6.5+1
＝7.5（m），
即遮阳蓬的宽CD约为7.5m．
九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
12．（2023 潍坊）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C位于码头A北偏东60°方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西30°方向往灯塔B行驶，沿线堪测石油资源，堪测发现位于码头A北偏东15°方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）
【答案】输油管道的最短长度是（6﹣6）千米．
【解答】解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
由题意得：∠BAD＝15°，∠BAC＝60°，∠BCF＝30°，AB∥FG，
∴∠ACG＝∠BAC＝60°，∠BCF＝∠ABC＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACG﹣∠BCF＝90°，
∵AB＝24千米，
∴AC＝AB＝12（千米），BC＝AC＝12（千米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝45°，
∴CD＝AC tan45°＝12（千米），
∴BD＝BC﹣CD＝（12﹣12）千米，
在Rt△BDE中，∠ABC＝30°，
∴DE＝BD＝（6﹣6）千米，
∴输油管道的最短长度是（6﹣6）千米．
一十．列表法与树状图法（共1小题）
13．（2023 泰安）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开．为激励青少年争做党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为优秀奖．并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据相关信息解答下列问题：
（1）本次竞赛共有 　200　名选手获奖，扇形统计图中扇形C的圆心角度数是 　108　度；
（2）补全条形统计图；
（3）若该党史馆有一个入口，三个出口．请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．
【答案】（1）200、108；
（2）见解答；
（3）．
【解答】解：（1）本次竞赛获奖选手共有80÷＝200（名），
则B等级人数为200×25%＝50（名），
∴C等级人数为200﹣（80+50+10）＝60（名），
∴扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°×＝108°，
故答案为：200、108；
（2）补全图形如下：
（3）将三个出口分别记作A、B、C，列表如下：
A B C
A （A，A） （B，A） （C，A）
B （A，B） （B，B） （C，B）
C （A，C） （B，C） （C，C）
由表知，共有9种等可能结果，其中小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的有3种结果，
所以小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率为＝．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类①
一．平方根（共1小题）
1．（2023 淄博）若实数m，n分别满足下列条件：
（1）2（m﹣1）2﹣7＝﹣5；
（2）n﹣3＞0．
试判断点P（2m﹣3，）所在的象限．
二．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
2．（2023 淄博）先化简，再求值：（x﹣2y）2+x（5y﹣x）﹣4y2，其中x＝，y＝．
三．分式方程的应用（共1小题）
3．（2023 济南）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
四．一元一次不等式的应用（共1小题）
4．（2023 淄博）某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表：
购票人数m（人） 10≤m≤50 51≤m≤100 m＞100
每人门票价（元） 60 50 40
*题中的团队人数均不少于10人．
现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人．
（1）如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？
（2）如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，问甲团队最少多少人？
五．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
5．（2023 济南）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C（2，3），D（﹣1，3）．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于点E（﹣2，0）和点F．
（1）如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标；
（3）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围．
六．等腰三角形的判定与性质（共1小题）
6．（2023 潍坊）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为点E，过点E作EF∥BC，交AC于点F，G为BC的中点，连接FG．求证：FG＝AB．
七．平行四边形的性质（共1小题）
7．（2023 青岛）如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠DCB的平分线交AD于点F，点G，H分别是AE和CF的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接EF．若EF＝AF，请判断四边形GEHF的形状，并证明你的结论．
八．切线的性质（共1小题）
8．（2023 济南）如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC＝2∠BCP，点E是的中点，弦CE，BD相交于点F．
（1）求∠OCB的度数；
（2）若EF＝3，求⊙O直径的长．
九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
9．（2023 济南）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°．
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
10．（2023 青岛）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为AB，点O是AB的中点，OC是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，DE＝1.5m，EC＝5m．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为37°，在E处测得电池板边缘点B的仰角为45°．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽AB的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.41）
一十一．频数（率）分布直方图（共2小题）
11．（2023 淄博）举世瞩目的中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月在北京成功召开．为弘扬党的二十大精神，某学校举办了“学习二十大，奋进新征程”的知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩（满分：100分），分为A，B，C，D四组，绘制了如下不完整的统计图表：
组别 成绩（x：分） 频数
A 80＜x≤85 20
B 85＜x≤90 m
C 90＜x≤95 60
D 95＜x≤100 n
根据以上信息，解答以下问题：
（1）直接写出统计表中的m＝　 　，n＝　 　；
（2）学生成绩数据的中位数落在 　 　组内；在学生成绩扇形统计图中，B组对应的扇形圆心角α是 　 　度；
（3）将上面的学生成绩频数分布直方图补充完整；
（4）若全校有1500名学生参加了这次竞赛，请估计成绩高于90分的学生人数．
12．（2023 青岛）今年4月15日是我国第八个“全民国家安全教育日”．为增强学生国家安全意识，夯实国家安全教育基础、某市举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分．小明将自己所在班级学生的成绩（用x表示）分为四组：A组（60≤x＜70），B组（70≤x＜80），C组（80≤x＜90），D组（90≤x≤100），绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数为 　 　°；
（3）把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如A组：60≤x＜70的中间值为65）来代替，试估计小明班级的平均成绩；
（4）小明根据本班成绩，估计全市参加竞赛的所有8000名学生中会有800名学生成绩低于70分，实际只有446名学生的成绩低于70分．请你分析小明估计不准确的原因．
一十二．列表法与树状图法（共1小题）
13．（2023 青岛）为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》（依次用A、B、C表示）三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果．并求抽取两本书中有《九章算术》的概率．
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类①
参考答案与试题解析
一．平方根（共1小题）
1．（2023 淄博）若实数m，n分别满足下列条件：
（1）2（m﹣1）2﹣7＝﹣5；
（2）n﹣3＞0．
试判断点P（2m﹣3，）所在的象限．
【答案】点P（2m﹣3，）在第一象限或第二象限．
【解答】解：由（1）得：（m﹣1）2＝1，
∴m1＝0，m2＝2，
由（2）得：n＞3，
∴当m＝0，n＞3时，
2m﹣3＝2×0﹣3＝﹣3＜0，
＞＞0，
∴点P（2m﹣3，）在第二象限；
当m＝2，n＞3时，
2m﹣3＝2×2﹣3＝1＞0，
＞＞0，
∴点P（2m﹣3，）在第一象限；
综上所述，点P（2m﹣3，）在第一象限或第二象限．
二．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
2．（2023 淄博）先化简，再求值：（x﹣2y）2+x（5y﹣x）﹣4y2，其中x＝，y＝．
【答案】xy，1．
【解答】解：原式＝x2+4y2﹣4xy﹣x2+5xy﹣4y2
＝xy，
当x＝，y＝时，
原式＝xy＝×＝＝1．
三．分式方程的应用（共1小题）
3．（2023 济南）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元；
（2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【解答】解：（1）设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是 （x﹣200）元．
根据题意：，
解这个方程，得：x＝500，
经检验，x＝500是原方程的根，
∴x﹣200＝300，
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元；
（2）设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型 （40﹣m）台，
购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，
由题意得：40﹣m≤3m，
解得：m≥10，
w＝500×0.8 m+300×0.8（40﹣m），
即：w＝160m+9600，
∵160＞0
∴w随m的减小而减小．
当m＝10时，w取得最小值11200，
∴40﹣m＝30
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
四．一元一次不等式的应用（共1小题）
4．（2023 淄博）某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表：
购票人数m（人） 10≤m≤50 51≤m≤100 m＞100
每人门票价（元） 60 50 40
*题中的团队人数均不少于10人．
现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人．
（1）如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？
（2）如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，问甲团队最少多少人？
【答案】（1）甲48人，乙54人；
（2）18人；
【解答】解：（1）设甲人数x人，乙人数（102﹣x）人；
∵当乙大于100人时，此时甲人数只能是1人，共花的价格不够5580元；
∴乙人数在51到100之间，甲人数在10到50之间；
∴列方程得：60x+（102﹣x）50＝5580；
解之得：x＝48，102﹣x＝54；
∴甲48人，乙54人；
答：甲团队48人，乙团队54人．
（2）设甲人数x人，乙人数（102﹣x）人；
甲乙一起买价格：102×40＝4080（元）；
甲乙分开买价格：60x+（102﹣x）50；
∴60x+（102﹣x）50﹣4080≥1200；
解之得：x≥18．
∴甲最少18人；
答：甲团队最少18人．
五．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
5．（2023 济南）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C（2，3），D（﹣1，3）．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于点E（﹣2，0）和点F．
（1）如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标；
（3）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围．
【答案】（1），F（4，0）；（2）（﹣4，﹣6）；（3） 或 ．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2﹣2ax+c 过点C（2，3），E（﹣2，0），
得 ，
解得，
∴抛物线表达式为 ，
当 y＝0 时，，
解得 x1＝﹣2 （舍去），x2＝4，
∴F（4，0）；
（2）设直线CE的表达式为 y＝kx+b，
∵直线过点C（2，3），E（﹣2，0），
得 ，
解得 ，
∴直线CE的表达式为 ，
设点 ，则点Q向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点 ，
将 代入 ，
解得 t1＝﹣4，t2＝4 （舍去），
∴Q点坐标为（﹣4，﹣6）；
（3）将 E（﹣2，0）代入 y＝ax2﹣2ax+c 得c＝﹣8a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣8a＝a（x﹣1）2﹣9a，
∴顶点坐标为 （1，﹣9a），
①当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，
∴0＜﹣9a＜3，
解得 ，
②当抛物线与直线BC交点在点C上方，且与直线AD交点在点D下方时，与正方形有两个交点，
，
解得
综上所述，a的取值范围为 或 ．
六．等腰三角形的判定与性质（共1小题）
6．（2023 潍坊）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为点E，过点E作EF∥BC，交AC于点F，G为BC的中点，连接FG．求证：FG＝AB．
【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠FEC，
∴EF＝CF，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠EAC+∠ACD＝90°，∠AEF+∠FEC＝90°，
∴∠EAC＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴AF＝CF，
∵G是BC的中点，
∴GF是△ABC的中位线，
∴FG＝AB．
七．平行四边形的性质（共1小题）
7．（2023 青岛）如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠DCB的平分线交AD于点F，点G，H分别是AE和CF的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接EF．若EF＝AF，请判断四边形GEHF的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）见解答；
（2）四边形FGEH是矩形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，∠DAE＝∠AEB，∠DFC＝∠BCF，
∵∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠DCF＝∠DCB，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△BAE和△DCF中，
，
∴△BAE≌△DCF（ASA）．
（2）证明：∵△BAE≌△DCF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，
∴∠AEB＝∠BCF，
∴AE∥CF，
∵点G、H分别为AE、CF的中点，
∴GE∥FH，GE＝FH，
∴四边形FGEH是平行四边形
∵EF＝AF，G为AE的中点，
∴GF⊥AE，
∴四边形FGEH是矩形．
八．切线的性质（共1小题）
8．（2023 济南）如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC＝2∠BCP，点E是的中点，弦CE，BD相交于点F．
（1）求∠OCB的度数；
（2）若EF＝3，求⊙O直径的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）6．
【解答】解：（1）∵PC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PC，
∴∠OCB+∠BCP＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠OCB＝2∠BCP，
∴3∠BCP＝90°，
∴∠BCP＝30°，
∴∠OCB＝60°．
（2）连接DE，
∵CD是直径，
∴∠DEC＝90°，
∵点E是的中点，
∴，
∴∠DCE＝∠FDE＝∠ECB＝∠DCB＝30°，
∵∠E＝90°，EF＝3，∠FDE＝30°，
∴DE＝FE＝3，
∵∠E＝90°，∠DCE＝30°，
∴，
∴⊙O的直径的长为．
九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
9．（2023 济南）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°．
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）
【答案】（1）车后盖最高点B′到地面的距离为2.15m；
（2）没有危险，详见解析．
【解答】解：（1）如图，作B′E⊥AD，垂足为点E，
在Rt△AB′E中，
∵∠B′AD＝27°，AB′＝AB＝1m，
∴sin27°＝，
∴B′E＝AB′sin27°≈1×0.454＝0.454m，
∵平行线间的距离处处相等，
∴B′E+AO＝0.454+1.7＝2.154≈2.15m，
答：车后盖最高点B′到地面的距离为2.15m．
（2）没有危险，理由如下：
如图，过C′作C′F⊥B′E，垂足为点F，
∵∠B′AD＝27°，∠B′EA＝90°，
∴∠AB′E＝63°，
∵∠AB′C′＝∠ABC＝123°，
∴∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，
在Rt△B′FC′中，B′C′＝BC＝0.6m，
∴B′F＝B′C′ cos60°＝0.3m．
∵平行线间的距离处处相等，
∴C′到地面的距离为2.15﹣0.3＝1.85m．
∵1.85＞1.8，
∴没有危险．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
10．（2023 青岛）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为AB，点O是AB的中点，OC是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，DE＝1.5m，EC＝5m．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为37°，在E处测得电池板边缘点B的仰角为45°．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽AB的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.41）
【答案】1.4m．
【解答】解：过点B作BH⊥DC于点H，过点B作BF⊥OC于点F，如图，
依题意得：OC⊥DC，∠BDH＝37°，∠BEH＝45°，
又BH⊥DC
∴△BEH和△OEC均为等腰直角三角形，
∴EH＝BH，EC＝OC，
∵DE＝1.5m，EC＝5m，
∴OC＝EC＝5m，
∵BH⊥DC，BF⊥OC，OC⊥DC，
∴四边形BHCF为矩形，
∴BF＝CH，BH＝CF，BF∥CH，
∴∠OBF＝∠NEH＝45°，
∴△OBF为等腰直角三角形，
∴BF＝OF＝CH，
设BF＝xm，则OF＝CH＝xm，
∴EH＝BH＝EC﹣CH＝（5﹣x） m，
∴DH＝DE+EH＝1.5+5﹣x＝（6.5﹣x） m，
在Rt△BDH中，tan∠BDH＝，
即：tan37°＝，
∴，
解得：x＝0.5，
检验后知道x＝0.5是原方程得根．
∴BF＝OF＝0.5（m），
在等腰Rt△OBF中，由勾股定理得：OB＝≈0.5×≈0.5×1.41＝0.705（m），
∵点O为AB的中点，
∴AB＝2OB≈2×0.705≈1.4（m），
答：太阳能电池板宽AB的长度约为1.4m．
一十一．频数（率）分布直方图（共2小题）
11．（2023 淄博）举世瞩目的中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月在北京成功召开．为弘扬党的二十大精神，某学校举办了“学习二十大，奋进新征程”的知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩（满分：100分），分为A，B，C，D四组，绘制了如下不完整的统计图表：
组别 成绩（x：分） 频数
A 80＜x≤85 20
B 85＜x≤90 m
C 90＜x≤95 60
D 95＜x≤100 n
根据以上信息，解答以下问题：
（1）直接写出统计表中的m＝　40　，n＝　80　；
（2）学生成绩数据的中位数落在 　C　组内；在学生成绩扇形统计图中，B组对应的扇形圆心角α是 　72　度；
（3）将上面的学生成绩频数分布直方图补充完整；
（4）若全校有1500名学生参加了这次竞赛，请估计成绩高于90分的学生人数．
【答案】（1）40，80；
（2）C，72；
（3）见解答过程；
（4）1050人．
【解答】解：（1）由频数分布直方图可知：C组60人，
由扇形统计图可知：C组占30%，
∴抽查的学生总数为：60÷30%＝200（人），
由扇形统计图可知：D组占40%，
∴D组人数是：200×40%＝80（人），
即：n＝80，
∴m＝200﹣20﹣60﹣80＝40（人），
故答案为：40，80．
（2）∵A组20人，B组40人，C组60人，D组80人，
∴中位数落在C组；
∵B组有40人，总人数为200人，
∴B组所占的比例为：40÷200＝20%，
∴B组对应的扇形圆心角α＝360°×20%＝72°；
故答案为：C，72．
（3）补全频数分布直方图如图所示：
（4）∵成绩高于90分的是C组和D组，所占的比例为：40%+30%＝70%，
∴全校有1500名学生参加了这次竞赛，估计成绩高于90分的学生人数是：1500×70%＝1050（人）．
答：若全校有1500名学生参加了这次竞赛，估计成绩高于90分的学生人数是1050人．
12．（2023 青岛）今年4月15日是我国第八个“全民国家安全教育日”．为增强学生国家安全意识，夯实国家安全教育基础、某市举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分．小明将自己所在班级学生的成绩（用x表示）分为四组：A组（60≤x＜70），B组（70≤x＜80），C组（80≤x＜90），D组（90≤x≤100），绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数为 　36　°；
（3）把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如A组：60≤x＜70的中间值为65）来代替，试估计小明班级的平均成绩；
（4）小明根据本班成绩，估计全市参加竞赛的所有8000名学生中会有800名学生成绩低于70分，实际只有446名学生的成绩低于70分．请你分析小明估计不准确的原因．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）36；
（3）85.5；
（4）小明班级的这个样本只能代表小明学校，可以用来估计小明学校的学生成绩，不能用来估计全市所有学校学生的成绩，因此小明的估计不准确（答案不唯一，只要合理即可）．
【解答】解：（1）由频数分布直方图可知：C组是10人，
由扇形统计图可知：C组占班级人数的20%，
∴班级人数为：10÷25%＝40（人），
∴B组的人数为：40﹣4﹣10﹣18＝8（人），
∴补全频数分布直方图如图所示：
（2）由频数分布直方图可知：C组是4人，
∴A组人数占班级人数的百分比为：4÷40＝10%，
∴A组所对应的圆心角的度数为：360°×10%＝36°．
故答案为：36．
（3）∵A组中间值为65分，A组有4人，B组中间值为75分，B组有8人，C组中间值为85分，C组有10人，D组中间值为95分，D组有18人，
∴班级的平均成绩为：（65×4+75×8+85×10+95×18）÷40＝85.5（分），
答：估计小明班级的平均成绩为85.5分．
（4）∵小明班级低于70分的人数占班级人数的10%，
∴8000×10%＝800（人），
因此小明估计全市低于70分的人数有800人．
其实这样估计是不准确，其原因是：小明班级的这个样本只能代表小明学校，可以用来估计小明学校的学生成绩，不能用来估计全市所有学校学生的成绩，因此小明的估计不准确（答案不唯一，只要合理即可）．
一十二．列表法与树状图法（共1小题）
13．（2023 青岛）为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》（依次用A、B、C表示）三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果．并求抽取两本书中有《九章算术》的概率．
【答案】．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中抽取两本书中有《九章算术》的结果数为4种，
所以抽取两本书中有《九章算术》的概率＝＝．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-02填空题（容易题）知识点分类
一．有理数的减法（共1小题）
1．（2023 滨州）计算2﹣|﹣3|的结果为 　 　．
二．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
2．（2023 烟台）“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为 　 　．
三．科学记数法与有效数字（共1小题）
3．（2023 东营）我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003.0.0000003用科学记数法表示为 　 　．
四．平方根（共1小题）
4．（2023 淄博）实数25的平方根是 　 　．
五．算术平方根（共1小题）
5．（2023 滨州）一块面积为5m2的正方形桌布，其边长为 　 　．
六．实数的运算（共1小题）
6．（2023 威海）计算：﹣1）0+（﹣）﹣2＝　 　．
七．整式的除法（共1小题）
7．（2023 青岛）计算：8x3y÷（2x）2＝　 　．
八．因式分解-运用公式法（共1小题）
8．（2023 济南）因式分解：m2﹣16＝　 　．
九．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）
9．（2023 淄博）分解因式：2a2﹣8b2＝　 　．
10．（2023 东营）因式分解：3ma2﹣6mab+3mb2＝　 　．
11．（2023 日照）分解因式：a3b﹣ab＝　 　．
一十．二次根式的混合运算（共1小题）
12．（2023 聊城）计算：（﹣3）÷＝　 　．
一十一．根的判别式（共1小题）
13．（2023 济南）关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有实数根，则a的值可以是 　 　（写出一个即可）．
一十二．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
14．（2023 青岛）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为 　 　．
一十三．解一元一次不等式组（共1小题）
15．（2023 日照）若点M（m+3，m﹣1）在第四象限，则m的取值范围是 　 　．
一十四．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
16．（2023 烟台）如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为 　 　．
一十五．二次函数的最值（共1小题）
17．（2023 泰安）二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是 　 　．
一十六．平行线的性质（共1小题）
18．（2023 烟台）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝102°，则∠2的度数为 　 　．
一十七．多边形内角与外角（共1小题）
19．（2023 济宁）一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 　 　边形．
一十八．切线的性质（共1小题）
20．（2023 青岛）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），P（﹣1，0），⊙P过原点O，且与x轴交于另一点D，AB为⊙P的切线，B为切点，BC是⊙P的直径，则∠BCD的度数为 　 　°．
一十九．极差（共1小题）
21．（2023 青岛）小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分（单位：分）如下：7，8，7，9，8，10．这六个分数的极差是 　 　分．
二十．概率公式（共1小题）
22．（2023 济南）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是 　 　个．
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-02填空题（容易题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．有理数的减法（共1小题）
1．（2023 滨州）计算2﹣|﹣3|的结果为 　﹣1　．
【答案】﹣1．
【解答】解：原式＝2﹣3
＝﹣（3﹣2）
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
二．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
2．（2023 烟台）“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为 　3.6×1011　．
【答案】3.6×1011．
【解答】解：将3600亿用科学记数法表示为3.6×1011．
故答案为：3.6×1011．
三．科学记数法与有效数字（共1小题）
3．（2023 东营）我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003.0.0000003用科学记数法表示为 　3×10﹣7　．
【答案】3×10﹣7．
【解答】解：0.0000003＝3×10﹣7，
故答案为：3×10﹣7．
四．平方根（共1小题）
4．（2023 淄博）实数25的平方根是 　±5　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵（±5）2＝25，
∴25的平方根是±5．
故答案为：±5．
五．算术平方根（共1小题）
5．（2023 滨州）一块面积为5m2的正方形桌布，其边长为 　m　．
【答案】m．
【解答】解：设正方形桌布的边长为am（a＞0），
则a2＝5，
那么a＝，
即正方形桌布的边长为m，
故答案为：m．
六．实数的运算（共1小题）
6．（2023 威海）计算：﹣1）0+（﹣）﹣2＝　8　．
【答案】8．
【解答】解：原式＝1+9﹣2
＝8．
故答案为：8．
七．整式的除法（共1小题）
7．（2023 青岛）计算：8x3y÷（2x）2＝　2xy　．
【答案】2xy．
【解答】解：原式＝8x3y÷4x2
＝2xy，
故答案为：2xy．
八．因式分解-运用公式法（共1小题）
8．（2023 济南）因式分解：m2﹣16＝　（m+4）（m﹣4）　．
【答案】（m+4）（m﹣4）．
【解答】解：根据平方差公式：m2﹣16＝（m+4）（m﹣4），
故答案为：（m+4）（m﹣4）．
九．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）
9．（2023 淄博）分解因式：2a2﹣8b2＝　2（a﹣2b）（a+2b）　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：2a2﹣8b2，
＝2（a2﹣4b2），
＝2（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：2（a+2b）（a﹣2b）．
10．（2023 东营）因式分解：3ma2﹣6mab+3mb2＝　3m（a﹣b）2　．
【答案】3m（a﹣b）2．
【解答】解：3ma2﹣6mab+3mb2
＝3m（a2﹣2ab+b2）
＝3m（a﹣b）2，
故答案为：3m（a﹣b）2．
11．（2023 日照）分解因式：a3b﹣ab＝　ab（a+1）（a﹣1）　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1）．
故答案为：ab（a+1）（a﹣1）．
一十．二次根式的混合运算（共1小题）
12．（2023 聊城）计算：（﹣3）÷＝　3　．
【答案】3．
【解答】解：原式＝（4﹣3×）÷
＝（4﹣）÷
＝3÷
＝3．
故答案为：3．
一十一．根的判别式（共1小题）
13．（2023 济南）关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有实数根，则a的值可以是 　1　（写出一个即可）．
【答案】1．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a＝0有实数根，
∴Δ＝16﹣8a≥0，
解得：a≤2，
则a的值可以是1．
故答案为：1．
一十二．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
14．（2023 青岛）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为 　＝2×　．
【答案】＝2×．
【解答】解：∵乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了4元，且甲种劳动工具单价为x元，
∴乙种劳动工具单价为（x+4）元．
根据题意得：＝2×．
故答案为：＝2×．
一十三．解一元一次不等式组（共1小题）
15．（2023 日照）若点M（m+3，m﹣1）在第四象限，则m的取值范围是 　﹣3＜m＜1　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵点M（m+3，m﹣1）在第四象限，
∴，
解不等式①得：m＞﹣3，
解不等式②得：m＜1，
∴原不等式组的解集为：﹣3＜m＜1，
故答案为：﹣3＜m＜1．
一十四．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
16．（2023 烟台）如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为 　24　．
【答案】24．
【解答】解：过点A作AE⊥y轴于点E，
设⊙A的半径为r，
∵⊙A与x轴相切于点B，
∴AC＝AB＝r，BC＝2r，
设AE＝a，
则点C的坐标为（a，2r），
∴k＝2ar，
∵，
∴，
即：ar＝12，
∴k＝2ar＝24．
故答案为：24．
一十五．二次函数的最值（共1小题）
17．（2023 泰安）二次函数y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是 　　．
【答案】．
【解答】解：y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+．
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝﹣时，y取得最大值，最大值＝．
故答案为：．
一十六．平行线的性质（共1小题）
18．（2023 烟台）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝102°，则∠2的度数为 　78°　．
【答案】78°．
【解答】解：如图，
由题意得：AB∥CD，
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝102°，
∴∠BCD＝78°，
∴∠2＝78°，
故答案为：78°．
一十七．多边形内角与外角（共1小题）
19．（2023 济宁）一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 　五　边形．
【答案】五．
【解答】解：设此多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°＝540°，
解得：n＝5，
即此多边形为五边形，
故答案为：五．
一十八．切线的性质（共1小题）
20．（2023 青岛）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），P（﹣1，0），⊙P过原点O，且与x轴交于另一点D，AB为⊙P的切线，B为切点，BC是⊙P的直径，则∠BCD的度数为 　60　°．
【答案】60．
【解答】解：∵点A（1，0），P（﹣1，0），
∴OP＝OA＝1，
∴AP＝OP+OA＝2
∵⊙P过原点O，
∴OP为⊙P的半径，
∵AB为⊙P的切线，
∴PB⊥AB，PB＝OP＝1，
在Rt△ABP中，BP＝1，AP＝2，sinA＝PB/AP＝1/2，
∴∠BAP＝30°，
∴∠BPA＝60°，
∴∠CPD＝60°，
又∵PC＝PD，
∴三角形CPD为等边三角形，
∴∠PCD＝60°，
即∠BCD的度数为60°．
故答案为：60．
一十九．极差（共1小题）
21．（2023 青岛）小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分（单位：分）如下：7，8，7，9，8，10．这六个分数的极差是 　3　分．
【答案】3．
【解答】解：∵这组数据的最大值是10，最小值是7，
∴这六个分数的极差是：10﹣7＝3（分），
故答案为：3．
二十．概率公式（共1小题）
22．（2023 济南）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是 　12　个．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意：3÷＝12（个），
故答案为：12．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（提升题）知识点分类①
一．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
1．（2023 威海）常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据．1″的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是1°．1°＝60′＝3600″．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是1″．太阳到地球的平均距离大约为1.5×108千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为1″的等腰三角形底边长为（　　）
A．24.24千米 B．72.72千米 C．242.4千米 D．727.2千米
二．实数与数轴（共1小题）
2．（2023 济南）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．ab＞0 B．a+b＞0 C．a+3＜b+3 D．﹣3a＜﹣3b
三．整式的混合运算（共1小题）
3．（2023 淄博）下列计算结果正确的是（　　）
A．3a+2a＝5a B．3a﹣2a＝1
C．3a 2a＝6a D．（3a）÷（2a）＝a
四．分式方程的解（共1小题）
4．（2023 日照）若关于x的方程﹣2＝的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣ B．m＜ C．m＞﹣且m≠0 D．m＜且m≠
五．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
5．（2023 淄博）为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树900棵与初二植树1200棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树350棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
六．规律型：点的坐标（共1小题）
6．（2023 日照）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1+2+3+4+ +100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+ +100＝．人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+ +n＝（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点Ai（xi，yi），其中i＝1，2，3， ，n， ，且xi，yi是整数．记an＝xn+yn，如A1（0，0），即a1＝0，A2（1，0），即a2＝1，A3（1，﹣1），即a3＝0， ，以此类推．则下列结论正确的是（　　）
A．a2023＝40 B．a2024＝43
C．＝2n﹣6 D．＝2n﹣4
七．函数的图象（共1小题）
7．（2023 淄博）下列函数图象中，能反映y的值始终随x值的增大而增大的是（　　）
A． B．
C． D．
八．反比例函数的图象（共1小题）
8．（2023 泰安）一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
九．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
9．（2023 日照）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a≠0），满足，已知点（﹣3，m），（2，n），（4，t）在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（　　）
A．t＜n＜m B．m＜t＜n C．n＜t＜m D．n＜m＜t
10．（2023 东营）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1．若点A的坐标为（﹣4，0），则下列结论正确的是（　　）
A．2a+b＝0
B．4a﹣2b+c＞0
C．x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根
D．点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，当x1＞x2＞﹣1时，y1＜y2＜0
一十．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
11．（2023 济南）定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（1，0），有下列结论：
①点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”；
②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）；
③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P1的“倍增点”；
④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是；
其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
一十一．展开图折叠成几何体（共1小题）
12．（2023 威海）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
一十二．同位角、内错角、同旁内角（共1小题）
13．（2023 淄博）将含30°角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若∠1＝70°，则∠2等于（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°
一十三．勾股定理（共1小题）
14．（2023 日照）已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则（　　）
A．S1＞S2 B．S1＜S2
C．S1＝S2 D．S1，S2大小无法确定
一十四．菱形的性质（共1小题）
15．（2023 东营）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，点B在x轴的正半轴上，且∠AOC＝60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA′B′C′（点A′与点C重合），则点B′的坐标是（　　）
A．（3，3） B．（3，3） C．（3，6） D．（6，3）
一十五．三角形的外接圆与外心（共1小题）
16．（2023 淄博）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接AD并延长交⊙O于点E．若AD＝2，DE＝3，则⊙O的半径为（　　）
A． B． C． D．
一十六．三角形的内切圆与内心（共1小题）
17．（2023 威海）在△ABC中，BC＝3，AC＝4，下列说法错误的是（　　）
A．1＜AB＜7
B．S△ABC≤6
C．△ABC内切圆的半径r＜1
D．当AB＝时，△ABC是直角三角形
一十七．黄金分割（共2小题）
18．（2023 济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（　　）
A．∠BCE＝36° B．BC＝AE
C． D．
19．（2023 泰安）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于FG的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①∠AED＝∠ABC；②BC＝AE；③ED＝BC；④当AC＝2时，AD＝﹣1．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
一十八．相似多边形的性质（共1小题）
20．（2023 威海）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（　　）
A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+1
一十九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
21．（2023 日照）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3m，则灯塔的高度AD大约是（　　）（结果精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）
A．31m B．36m C．42m D．53m
二十．列表法与树状图法（共2小题）
22．（2023 淄博）“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从A，B，C三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（　　）
A． B． C． D．
23．（2023 威海）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球，每个球除颜色外都相同．晓君同学从袋中任意摸出1个球（不放回）后，晓静同学再从袋中任意摸出1个球．两人都摸到红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（提升题）知识点分类①
参考答案与试题解析
一．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
1．（2023 威海）常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据．1″的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是1°．1°＝60′＝3600″．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是1″．太阳到地球的平均距离大约为1.5×108千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为1″的等腰三角形底边长为（　　）
A．24.24千米 B．72.72千米 C．242.4千米 D．727.2千米
【答案】D
【解答】解：设等腰三角形底边长为x毫米，由题意得，
＝，
解得x＝7.272×108，
7.272×108毫米＝727.2千米，
故选：D．
二．实数与数轴（共1小题）
2．（2023 济南）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．ab＞0 B．a+b＞0 C．a+3＜b+3 D．﹣3a＜﹣3b
【答案】D
【解答】解：从图中得出：a＝2，﹣3＜b＜﹣2．（1）a和b相乘是负数，所以ab＜0，故A选项错误；
（2）a和b相加是负数，所以a+b＜0，故B选项错误；
（3）因为a＞b，所以a+3＞b+3，故C选项错误；
（4）因为a是正数，所以﹣3a＜0，又因为b是负数，所以﹣3b＞0，即﹣3a＜﹣3b，故选项D正确，所以选择D；
答案为：D．
三．整式的混合运算（共1小题）
3．（2023 淄博）下列计算结果正确的是（　　）
A．3a+2a＝5a B．3a﹣2a＝1
C．3a 2a＝6a D．（3a）÷（2a）＝a
【答案】A
【解答】解：A、3a+2a＝5a，计算正确，符合题意；
B、3a﹣2a＝a，计算错误，不符合题意；
C、3a 2a＝6a2，计算错误，不符合题意；
D，（3a）÷（2a）＝，计算错误，不符合题意；
故选：A．
四．分式方程的解（共1小题）
4．（2023 日照）若关于x的方程﹣2＝的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣ B．m＜ C．m＞﹣且m≠0 D．m＜且m≠
【答案】D
【解答】解：﹣2＝，
去分母得，2x﹣4（x﹣1）＝3m，
整理得，2x﹣4x+4＝3m，
解得，x＝，
∵分式方程的解为正数，
∴4﹣3m＞0且，
∴m＜且m≠．
故选：D．
五．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
5．（2023 淄博）为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树900棵与初二植树1200棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树350棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：设初一年级平均每小时植树x棵，根据题意可得：
，
故选：D．
六．规律型：点的坐标（共1小题）
6．（2023 日照）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1+2+3+4+ +100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+ +100＝．人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+ +n＝（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点Ai（xi，yi），其中i＝1，2，3， ，n， ，且xi，yi是整数．记an＝xn+yn，如A1（0，0），即a1＝0，A2（1，0），即a2＝1，A3（1，﹣1），即a3＝0， ，以此类推．则下列结论正确的是（　　）
A．a2023＝40 B．a2024＝43
C．＝2n﹣6 D．＝2n﹣4
【答案】B
【解答】解：第1圈有1个点，即A1（0，0），这时a1＝0；
第2圈有8个点，即A2到A9（1，1），这时a9＝1+1＝2；
第3圈有16个点，即A10到A25（2，2），这时a25＝2+2＝4；
……，
依次类推，第n圈，A（2n﹣1）2（n﹣1，n﹣1）；
由规律可知：A2023是在第23圈上，且A2025（22，22），则A2023（20，22），即a2023＝20+22＝42，故A选项不正确；
A2024是在第23圈上，且A2024（21，22），即a2024＝21+22＝43，故选项B正确；
第n圈，A（2n﹣1）2（n﹣1，n﹣1），所以a（2n﹣1）2＝2n﹣2，故C，D选项不正确；
故选：B．
七．函数的图象（共1小题）
7．（2023 淄博）下列函数图象中，能反映y的值始终随x值的增大而增大的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由图可知：
A、图象A函数值具有对称性．在对称轴的左侧y的值随x值的增大而增大，对称轴的右侧y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意；
B、增减性需要限定在各个象限内，该选项不符合题意；
C、图象是函数y的值随x值的增大而增大，该选项符合题意；
D、图象在原点左侧是函数y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意；
故选：C．
八．反比例函数的图象（共1小题）
8．（2023 泰安）一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、三象限，则a＞0，b＞0，所以ab＞0，则反比例y＝应该位于第一、三象限，故本选项不可能；
B、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝应该位于第二、四象限，故本选项不可能；
C、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，则a＞0，b＜0，所以ab＜0，则反比例y＝应该位于第二、四象限，故本选项不可能；
D、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝应该位于第二、四象限，故本选项有可能；
故选：D．
九．二次函数图象与系数的关系（共2小题）
9．（2023 日照）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a≠0），满足，已知点（﹣3，m），（2，n），（4，t）在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（　　）
A．t＜n＜m B．m＜t＜n C．n＜t＜m D．n＜m＜t
【答案】C
【解答】解：∵3a+b＞0，
∴2a+a+b＞0，
∵a+b＜0，
∴2a＞0，
∴a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵﹣3a＜b＜﹣a，
∴＜﹣＜，
∵点（﹣3，m），（2，n），（4，t）在该抛物线上，
∴m，n，t的大小关系为：n＜t＜m．
故选：C．
10．（2023 东营）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1．若点A的坐标为（﹣4，0），则下列结论正确的是（　　）
A．2a+b＝0
B．4a﹣2b+c＞0
C．x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根
D．点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，当x1＞x2＞﹣1时，y1＜y2＜0
【答案】C
【解答】解：∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，故①错误，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴﹣4a﹣（2b﹣c）＜0，
即﹣4a﹣2b+c＜0，故②错误，
∵抛物线与x轴交于（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
∴x＝2是关于x的一元一次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，故③正确，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴当x1＞x2＞﹣1时，y1＞y2，故④错误，
故选：C．
一十．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
11．（2023 济南）定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（1，0），有下列结论：
①点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”；
②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）；
③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P1的“倍增点”；
④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是；
其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：依据题意，由“倍增点”的意义，
∵2（1+3）＝8+0，2（1﹣2）＝﹣2+0，
∴点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”．
∴①正确．
对于②，由题意，可设满足题意得“倍增点”A为（x，x+2），
∴2（x+1）＝x+2+0．
∴x＝0．
∴A（0，2）．
∴②错误．
对于③，可设抛物线上的“倍增点”为（x，x2﹣2x﹣3），
∴2（x+1）＝x2﹣2x﹣3．
∴x＝5或﹣1．
∴此时满足题意的“倍增点”有（5，12），（﹣1，0）两个．
∴③正确．
对于④，设B（x，y），
∴2（x+1）＝y+0．
∴y＝2（x+1）．
∴P1B＝＝＝．
∴当x＝﹣时，P1B有最小值为．
∴④正确．
故选：C．
一十一．展开图折叠成几何体（共1小题）
12．（2023 威海）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】D
【解答】解：把图形围成立方体如图所示：
所以与顶点K距离最远的顶点是D，
故选：D．
一十二．同位角、内错角、同旁内角（共1小题）
13．（2023 淄博）将含30°角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若∠1＝70°，则∠2等于（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】C
【解答】解：如图，
∵直线a∥b∥c，
∴∠3＝∠1＝70°．
∴∠4＝∠3﹣∠B＝70°﹣30°＝40°，
∴∠2＝∠4＝40°．
故选：C．
一十三．勾股定理（共1小题）
14．（2023 日照）已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则（　　）
A．S1＞S2 B．S1＜S2
C．S1＝S2 D．S1，S2大小无法确定
【答案】C
【解答】解：∵直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，
∴该直角三角形的斜边为c，
∴c2＝a2+b2，
∴c2﹣a2﹣b2＝0，
∴S1＝c2﹣a2﹣b2+b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，
∵S2＝b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，
∴S1＝S2，
故选：C．
一十四．菱形的性质（共1小题）
15．（2023 东营）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，点B在x轴的正半轴上，且∠AOC＝60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA′B′C′（点A′与点C重合），则点B′的坐标是（　　）
A．（3，3） B．（3，3） C．（3，6） D．（6，3）
【答案】B
【解答】解：如图，过B′作B′D⊥y轴于D，连接OB′，
∵将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA′B′C′，∠AOC＝60°，菱形OABC的边长为2，
∴OC′＝C′B′＝2，∠C′OB′＝∠C′OC＝60°，B′C′∥OC，
∴∠DC′B′＝∠C′OC＝60°，
∴∠DB′C′＝30°，
∴，DB′＝B′C′＝3，
∴，
∴B′的坐标是（3，3），
故选：B．
一十五．三角形的外接圆与外心（共1小题）
16．（2023 淄博）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接AD并延长交⊙O于点E．若AD＝2，DE＝3，则⊙O的半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：连接OA，OC，CE，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝OA，
∵∠AEC＝∠ACB＝30°，∠CAD＝∠EAC，
∴△ACD∽△AEC，
∴，
∴AC2＝AD AE，
∵AD＝2，DE＝3，
∴AC＝＝＝，
∴OA＝AC＝，
即⊙O的半径为，
故选：A．
一十六．三角形的内切圆与内心（共1小题）
17．（2023 威海）在△ABC中，BC＝3，AC＝4，下列说法错误的是（　　）
A．1＜AB＜7
B．S△ABC≤6
C．△ABC内切圆的半径r＜1
D．当AB＝时，△ABC是直角三角形
【答案】C
【解答】解：A、由三角形三边关系得，4﹣3＜AB＜4+3，即1＜AB＜7，故A正确，不符题意；
B、当BC⊥AC时，S△ABC最大，此时S△ABC＝×3×4＝6，故B正确，不符题意；
C、三角形内切圆半径r＝，由S△ABC最大为6，则此时r＝＝1，所以r＜1错误，故C错误，符合题意；
D、当AB＝时，BC2＝AC2﹣AB2，所以△ABC时直角三角形，故D正确，不符题意．
故选：C．
一十七．黄金分割（共2小题）
18．（2023 济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（　　）
A．∠BCE＝36° B．BC＝AE
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，
由题意得：CP平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝36°，
∴∠A＝∠ACE＝36°，
∴AE＝CE，
∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，
∴∠B＝∠CEB＝72°，
∴CB＝CE，
∴AE＝CE＝CB，
∵△BCE是顶角为36°的等腰三角形，
∴△BCE是黄金三角形，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴＝＝，
故A、B、D不符合题意，C符合题意；
故选：C．
19．（2023 泰安）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于FG的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①∠AED＝∠ABC；②BC＝AE；③ED＝BC；④当AC＝2时，AD＝﹣1．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：由题意可知，BD是∠ABC的平分线，MN是线段BD的中垂线，
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°＝∠A，
∴AD＝BD，
在△BCD中，∠C＝72°，∠CBD＝36°，
∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，
∵MN是BD的中垂线，
∴EB＝ED，
∴∠BDE＝∠ABD＝36°＝∠CBD，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC，
因此①正确，
∴AE＝AD＝BD＝BC，
因此②正确；
由于DE不是△ABC的中位线，
因此③不正确；
∵∠CBD＝∠BAC＝36°，∠BCD＝∠ACB＝72°，
∴△BCD∽△ABC，
∴＝，
即BC2＝AC CD，
设BC＝x，则CD＝2﹣x，
∴x2＝2×（2﹣x），
解得x＝﹣1﹣（舍去）或x＝﹣1，
即BC＝﹣1＝AD，
因此④正确，
综上所述，正确的结论有①②④，共有3个，
故选：C．
一十八．相似多边形的性质（共1小题）
20．（2023 威海）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（　　）
A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+1
【答案】C
【解答】解：设HG＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，
由折叠得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，
∴四边形ADHE是矩形，
∵AD＝DH，
∴四边形ADHE是正方形，
∴AD＝HE＝1，
∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1，
经检验：x＝﹣1或x＝﹣﹣1都是原方程的根，
∵GH＞0，
∴GH＝﹣1，
∴DC＝2+x＝+1，
故选：C．
一十九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
21．（2023 日照）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3m，则灯塔的高度AD大约是（　　）（结果精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）
A．31m B．36m C．42m D．53m
【答案】B
【解答】解：由题意得：AD⊥BD，
设CD＝xm，
∵BC＝15.3m，
∴BD＝BC+CD＝（x+15.3）m，
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴AD＝BD tan45°＝（x+15.3）m，
在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，
∴AD＝CD tan60°＝x（m），
∴x＝（x+15.3），
解得：x≈21.0，
∴AD＝x+15.3≈36（m），
∴灯塔的高度AD大约是36m，
故选：B．
二十．列表法与树状图法（共2小题）
22．（2023 淄博）“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从A，B，C三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3，
∴明明和亮亮两人恰好选择同一场馆的概率＝＝，
故选：B．
23．（2023 威海）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球，每个球除颜色外都相同．晓君同学从袋中任意摸出1个球（不放回）后，晓静同学再从袋中任意摸出1个球．两人都摸到红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：列表如下：
红 红 黄 黄 黄
红 （红，红） （黄，红） （黄，红） （黄，红）
红 （红，红） （黄，红） （黄，红） （黄，红）
黄 （红，黄） （红，黄） （黄，黄） （黄，黄）
黄 （红，黄） （红，黄） （黄，黄） （黄，黄）
黄 （红，黄） （红，黄） （黄，黄） （黄，黄）
由表知，共有20种等可能结果，其中两人都摸到红球的有2种结果，
所以两人都摸到红球的概率为＝，
故选：A．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（容易题）知识点分类①
一．相反数（共1小题）
1．（2023 青岛）的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣7 D．7
二．绝对值（共1小题）
2．（2023 淄博）﹣|﹣3|的运算结果等于（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
三．倒数（共1小题）
3．（2023 泰安）的倒数为（　　）
A． B． C． D．
四．有理数的减法（共1小题）
4．（2023 日照）计算2﹣（﹣3）的结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
五．科学记数法—表示较大的数（共3小题）
5．（2023 青岛）中欧班列是共建“一带一路”的旗舰项目和明星品牌，是亚欧各国深化务实合作的重要载体．中欧班列“青岛号”自胶州开往哈萨克斯坦，全程7900公里．将7900用科学记数法表示为（　　）
A．0.79×103 B．7.9×102 C．7.9×103 D．79×102
6．（2023 济南）2022年我国粮食总产量再创新高，达686530000吨．将数字686530000用科学记数法表示为（　　）
A．0.68653×108 B．6.8653×108
C．6.8653×107 D．68.653×107
7．（2023 泰安）2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是20.3亿年，数据20.3亿年用科学记数法表示为（　　）
A．2.03×108年 B．2.03×109年
C．2.03×1010年 D．20.3×109年
六．科学记数法—表示较小的数（共1小题）
8．（2023 日照）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（　　）
A．1.4×10﹣8 B．14×10﹣7 C．0.14×10﹣6 D．1.4×10﹣9
七．立方根（共1小题）
9．（2023 威海）面积为9的正方形，其边长等于（　　）
A．9的平方根 B．9的算术平方根
C．9的立方根 D．的算术平方根
八．实数大小比较（共1小题）
10．（2023 潍坊）在实数1，﹣1，0，中，最大的数是（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．
九．同底数幂的除法（共1小题）
11．（2023 济南）下列运算正确的是（　　）
A．a2 a4＝a8 B．a4﹣a3＝a C．（a2）3＝a5 D．a4÷a2＝a2
一十．单项式乘单项式（共1小题）
12．（2023 威海）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a2＝2a4 B．（﹣3a2）3＝﹣9a6
C．4a2 a3＝4a5 D．a6÷a2＝a3
一十一．完全平方公式（共2小题）
13．（2023 泰安）下列运算正确的是（　　）
A．2a+3b＝5ab B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（ab2）3＝a3b5 D．3a3 （﹣4a2）＝﹣12a5
14．（2023 日照）下列计算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣2m2）3＝﹣8m6
C．（x+y）2＝x2+y2 D．2ab+3a2b＝5a3b2
一十二．二次根式的混合运算（共1小题）
15．（2023 青岛）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
一十三．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
16．（2023 济南）已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
一十四．平行线的性质（共2小题）
17．（2023 青岛）如图，直线a∥b，∠1＝63°，∠B＝45°，则∠2的度数为（　　）
A．105° B．108° C．117° D．135°
18．（2023 济南）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1＝70°，那么∠2的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．45°
一十五．圆周角定理（共1小题）
19．（2023 泰安）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
一十六．中心对称图形（共5小题）
20．（2023 青岛）生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
21．（2023 济南）如图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
22．（2023 泰安）小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线，得到如图四种图形，则既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
23．（2023 日照）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．下列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
24．（2023 威海）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
一十七．简单几何体的三视图（共1小题）
25．（2023 济南）下列几何体中，主视图是三角形的为（　　）
A． B． C． D．
一十八．简单组合体的三视图（共2小题）
26．（2023 青岛）一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（　　）
A． B． C． D．
27．（2023 日照）如图所示的几何体的俯视图可能是（　　）
A． B．
C． D．
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（容易题）知识点分类①
参考答案与试题解析
一．相反数（共1小题）
1．（2023 青岛）的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣7 D．7
【答案】A
【解答】解：的相反数是﹣，
故选：A．
二．绝对值（共1小题）
2．（2023 淄博）﹣|﹣3|的运算结果等于（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
【答案】B
【解答】解：﹣|﹣3|＝﹣3，
故选：B．
三．倒数（共1小题）
3．（2023 泰安）的倒数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：的倒数为．
故选：A．
四．有理数的减法（共1小题）
4．（2023 日照）计算2﹣（﹣3）的结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【答案】D
【解答】解：2﹣（﹣3）
＝2+3
＝5．
故选：D．
五．科学记数法—表示较大的数（共3小题）
5．（2023 青岛）中欧班列是共建“一带一路”的旗舰项目和明星品牌，是亚欧各国深化务实合作的重要载体．中欧班列“青岛号”自胶州开往哈萨克斯坦，全程7900公里．将7900用科学记数法表示为（　　）
A．0.79×103 B．7.9×102 C．7.9×103 D．79×102
【答案】C
【解答】解：7900＝7.9×103，
故选：C．
6．（2023 济南）2022年我国粮食总产量再创新高，达686530000吨．将数字686530000用科学记数法表示为（　　）
A．0.68653×108 B．6.8653×108
C．6.8653×107 D．68.653×107
【答案】B
【解答】解：686530000＝6.8653×108．
故选：B．
7．（2023 泰安）2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是20.3亿年，数据20.3亿年用科学记数法表示为（　　）
A．2.03×108年 B．2.03×109年
C．2.03×1010年 D．20.3×109年
【答案】B
【解答】解：20.3亿年＝2030000000年＝2.03×109年，
故选：B．
六．科学记数法—表示较小的数（共1小题）
8．（2023 日照）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（　　）
A．1.4×10﹣8 B．14×10﹣7 C．0.14×10﹣6 D．1.4×10﹣9
【答案】A
【解答】解：0.000000014＝1.4×10﹣8．
故选：A．
七．立方根（共1小题）
9．（2023 威海）面积为9的正方形，其边长等于（　　）
A．9的平方根 B．9的算术平方根
C．9的立方根 D．的算术平方根
【答案】B
【解答】解：∵正方形的面积为9，
∴其边长＝．
故选：B．
八．实数大小比较（共1小题）
10．（2023 潍坊）在实数1，﹣1，0，中，最大的数是（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．
【答案】D
【解答】解：∵﹣1＜0＜1＜，
∴在实数1，﹣1，0，中，最大的数是，
故选：D．
九．同底数幂的除法（共1小题）
11．（2023 济南）下列运算正确的是（　　）
A．a2 a4＝a8 B．a4﹣a3＝a C．（a2）3＝a5 D．a4÷a2＝a2
【答案】D
【解答】解：A、a2 a4＝a6，原式计算错误，故A不符合题意；
B、a4与a3不是同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、（a2）3＝a6，原式计算错误，故C不符合题意；
D、a4÷a2＝a2，原式计算正确，故D符合题意．
故选：D．
一十．单项式乘单项式（共1小题）
12．（2023 威海）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a2＝2a4 B．（﹣3a2）3＝﹣9a6
C．4a2 a3＝4a5 D．a6÷a2＝a3
【答案】C
【解答】解：A．a2+a2＝2a2，
则A不符合题意；
B．（﹣3a2）3＝﹣27a6，
则B不符合题意；
C．4a2 a3＝4a2+3＝4a5，
则C符合题意；
D．a6÷a2＝a4，
则D不符合题意；
故选：C．
一十一．完全平方公式（共2小题）
13．（2023 泰安）下列运算正确的是（　　）
A．2a+3b＝5ab B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（ab2）3＝a3b5 D．3a3 （﹣4a2）＝﹣12a5
【答案】D
【解答】解：A、2a与3b不是同类项，没法合并，故选项A不正确；
B、由完全平方公式得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项B不正确；
C、由积的乘方和幂的乘方得，（ab2）3＝a3（b2）3＝a3b6，故选项C不正确；
D、单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式，故选项D正确．
故选：D．
14．（2023 日照）下列计算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣2m2）3＝﹣8m6
C．（x+y）2＝x2+y2 D．2ab+3a2b＝5a3b2
【答案】B
【解答】解：A．a2 a3＝a2+3＝a5，所以A运算错误；
B．（﹣2m2）3＝（﹣2）3m6＝﹣8m6，所以B运算正确；
C．（x+y）2＝x2+2xy+y2，所以C运算错误；
D．2ab与3a2b不是同类项，所以不能合并计算，所以D运算错误．
故选：B．
一十二．二次根式的混合运算（共1小题）
15．（2023 青岛）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：与无法合并，则A不符合题意；
2﹣＝，则B不符合题意；
×＝＝，则C符合题意；
÷3＝＝，则D不符合题意；
故选：C．
一十三．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
16．（2023 济南）已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【答案】C
【解答】解：∵，k＜0，
∴函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，
又∵点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3），
∴点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，
∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，
又∵﹣4＜﹣2，
∴y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2．
故选：C．
一十四．平行线的性质（共2小题）
17．（2023 青岛）如图，直线a∥b，∠1＝63°，∠B＝45°，则∠2的度数为（　　）
A．105° B．108° C．117° D．135°
【答案】B
【解答】解：∵a∥b，∠1＝63°，
∴∠DCB＝∠1＝63°，
又∵∠B＝45°，
∴∠2＝∠DCB+∠B＝63°+45°＝108°．
故选：B．
18．（2023 济南）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果∠1＝70°，那么∠2的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．45°
【答案】A
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝70°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
故选：A．
一十五．圆周角定理（共1小题）
19．（2023 泰安）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】A
【解答】解：如图，连接OC，
∵∠ADC＝115°，
∴优弧所对的圆心角为2×115°＝230°，
∴∠BOC＝230°﹣180°＝50°，
∴∠BAC＝∠BOC＝25°，
故选：A．
一十六．中心对称图形（共5小题）
20．（2023 青岛）生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，但不是是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
21．（2023 济南）如图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
22．（2023 泰安）小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线，得到如图四种图形，则既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
23．（2023 日照）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．下列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意原；
B、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
24．（2023 威海）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
一十七．简单几何体的三视图（共1小题）
25．（2023 济南）下列几何体中，主视图是三角形的为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意；
B、球的主视图是圆，故此选项不符合题意；
C、立方体的主视图是正方形，故此选项不符合题意；
D、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条虚线，故此选项不符合题意；
故选：A．
一十八．简单组合体的三视图（共2小题）
26．（2023 青岛）一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、选项不符合三种视图，不符合题意；
B、选项是主视图，不符合题意；
C、选项是右视图，不符合题意；
D、选项是左视图，符合题意；
故选：D．
27．（2023 日照）如图所示的几何体的俯视图可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：从上面看得该几何体的俯视图是：
．
故选：C．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（容易题）知识点分类
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023 济南）计算：|﹣|+（）﹣1+（π+1）0﹣tan60°．
二．列代数式（共1小题）
2．（2023 青岛）如图①，正方形ABCD的面积为1．
（1）如图②，延长AB到A1，使A1B＝BA，延长BC到B1，使B1C＝CB，则四边形AA1B1D的面积为 　 　；
（2）如图③，延长AB到A2，使A2B＝2BA，延长BC到B2，使B2C＝2CB，则四边形AA2B2D的面积为 　 　；
（3）延长AB到An，使AnB＝nBA，延长BC到Bn，使BnC＝nCB，则四边形AAnBnD的面积为 　 　．
三．规律型：图形的变化类（共1小题）
3．（2023 枣庄）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：　 　，　 　；
（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．
四．分式的混合运算（共2小题）
4．（2023 青岛）（1）解不等式组：；
（2）计算：（m﹣） ．
5．（2023 泰安）（1）化简：（2﹣）÷；
（2）解不等式组：．
五．分式的化简求值（共2小题）
6．（2023 日照）（1）化简：﹣|1﹣|+2﹣2﹣2sin45°；
（2）先化简，再求值：（﹣x）÷，其中x＝﹣．
7．（2023 菏泽）先化简，再求值：（+）÷，其中x，y满足2x+y﹣3＝0．
六．分式方程的应用（共1小题）
8．（2023 泰安）为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？
七．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
9．（2023 济南）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
八．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
10．（2023 东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a＜0）与反比例函数y＝（k≠0）交于A（﹣m，3m），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式＜ax+b的解集．
九．平行四边形的性质（共1小题）
11．（2023 济南）已知：如图，点O为 ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．求证：DE＝BF．
一十．作图—复杂作图（共1小题）
12．（2023 青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：△ABC．
求作：点P，使PA＝PC，且点P在△ABC边AB的高上．
一十一．频数（率）分布直方图（共1小题）
13．（2023 济南）2023年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲．某社团对30个地区“五一”假期的出游人数进行了调查，获得了它们“五一”假期出游人数（出游人数用m表示，单位：百万）的数据，并对数据进行统计整理．数据分成5组：A组：1≤m＜12；B组：12≤m＜23；C组：23≤m＜34；D组：34≤m＜45；E组：45≤m＜56．下面给出了部分信息：
a．B组的数据：12，13，15，16，17，17，18，20．
b．不完整的“五一”假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如图：
请根据以上信息完成下列问题：
（1）统计图中E组对应扇形的圆心角为 　 　度；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是 　 　百万；
（4）各组“五一”假期的平均出游人数如表：
组别 A1≤m＜12 B12≤m＜23 C23≤m＜34 D34≤m＜45 E45≤m＜56
平均出游人数（百万） 5.5 16 32.5 42 50
求这30个地区“五一”假期的平均出游人数．
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（容易题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023 济南）计算：|﹣|+（）﹣1+（π+1）0﹣tan60°．
【答案】3．
【解答】解：|﹣|+（）﹣1+（π+1）0﹣tan60°
＝
＝3．
二．列代数式（共1小题）
2．（2023 青岛）如图①，正方形ABCD的面积为1．
（1）如图②，延长AB到A1，使A1B＝BA，延长BC到B1，使B1C＝CB，则四边形AA1B1D的面积为 　2.5　；
（2）如图③，延长AB到A2，使A2B＝2BA，延长BC到B2，使B2C＝2CB，则四边形AA2B2D的面积为 　5　；
（3）延长AB到An，使AnB＝nBA，延长BC到Bn，使BnC＝nCB，则四边形AAnBnD的面积为 　（n2+2n+2）　．
【答案】（1）2.5；
（2）5；
（3）（n2+2n+2）．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的面积为1，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，
∵A1B＝BA，B1C＝CB，
∴BB1＝BC+CB1＝2，A1B＝1，
∵A1B⊥BB1，
∴S△ABB1＝A1B×BB1＝×1×2＝1，
∵AD⊥AB，
∴S梯形ABB1D＝（BB1+AD）×AB＝（2+1）×1＝，
∵S四边形AA1B1D＝S△ABB1+S梯形ABB2D，
∴S四边形AA1B1D＝1+＝2.5，
故答案为：2.5；
（2））∵正方形ABCD的面积为1，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，
∵A2B＝2BA＝2，B2C＝2CB＝2，
∴BB2＝BC+CB2＝2+1＝3，A2B＝2，
∵A2B⊥BB2，
∴＝A2B×BB2＝×2×（2+1）＝×2×（2+1）＝3，
∵AD⊥AB，
∴＝（BB2+AD）×AB＝（2+1+1）×1＝2，
∵＝+，
∴＝3+2＝5，
故答案为：5；
（3）∵正方形ABCD的面积为1，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，
∵AnB＝nBA＝n，BnC＝nCB＝n，
∴BBn＝BC+CBn＝n+1，AnB＝n，
∵AnB⊥BBn，
∴＝AnB×BBn＝×n×（n+1）＝n（n+1），
∵AD⊥AB，
∴＝（BBn+AD）×AB＝（n+1+1）×1＝（n+2），
∵＝+，
∴＝n（n+1）+（n+2）＝（n2+2n+2），
故答案为：（n2+2n+2）．
三．规律型：图形的变化类（共1小题）
3．（2023 枣庄）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：　轴对称图形　，　面积相等　；
（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．
【答案】（1）轴对称图形，面积相等．
（2）见解析．
【解答】解：（1）观察图形可知：三个图形都为轴对称图形且面积相等，
故答案为：轴对称图形，面积相等．
（2）如图：（答案不唯一）
四．分式的混合运算（共2小题）
4．（2023 青岛）（1）解不等式组：；
（2）计算：（m﹣） ．
【答案】（1）1≤x＜3；
（2）m+1．
【解答】解：（1）解第一个不等式得：x＜3，
解第二个不等式得：x≥1，
故原不等式组的解集为：1≤x＜3；
（2）原式＝
＝
＝m+1．
5．（2023 泰安）（1）化简：（2﹣）÷；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；
（2）﹣2＜x＜5．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝
＝；
（2），
解①得：x＞﹣2；
解②得：x＜5，
故不等式组的解集为：﹣2＜x＜5．
五．分式的化简求值（共2小题）
6．（2023 日照）（1）化简：﹣|1﹣|+2﹣2﹣2sin45°；
（2）先化简，再求值：（﹣x）÷，其中x＝﹣．
【答案】（1）；
（2）2x﹣4，原式＝﹣5．
【解答】解：（1）﹣|1﹣|+2﹣2﹣2sin45°
＝2﹣（﹣1）+﹣2×
＝2﹣+1+﹣
＝；
（2）（﹣x）÷
＝
＝
＝
＝2（x﹣2）
＝2x﹣4，
当x＝﹣时，原式＝2×（﹣）﹣4
＝﹣1﹣4
＝﹣5．
7．（2023 菏泽）先化简，再求值：（+）÷，其中x，y满足2x+y﹣3＝0．
【答案】2（2x+y），6．
【解答】解：（+）÷
＝
＝
＝2（2x+y），
∵2x+y﹣3＝0，
∴2x+y＝3，
∴原式＝2×3＝6．
六．分式方程的应用（共1小题）
8．（2023 泰安）为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？
【答案】300人．
【解答】解：设这个学校九年级学生有x人，
根据题意得：×50＝×60，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意．
答：这个学校九年级学生有300人．
七．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
9．（2023 济南）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】0，1，2．
【解答】解：解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x＜3，
在数轴上表示不等式①②的解集如下：
∴原不等式组的解集是﹣1＜x＜3，
∴它的所有整数解有：0，1，2．
八．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
10．（2023 东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a＜0）与反比例函数y＝（k≠0）交于A（﹣m，3m），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式＜ax+b的解集．
【答案】（1）反比例函数的表达式为 y＝﹣，一次函数的表达式为y＝﹣；（2）9；（3）x＜﹣2或0＜x＜4．
【解答】解：（1）∵点B（4，﹣3）在反比例函数 的图象上，
∴．
∴k＝﹣12．
∴反比例函数的表达式为 y＝﹣．
∵A（﹣m，3m）在反比例函数 y＝﹣ 的图象上，
∴．
∴m1＝2，m2＝﹣2 （舍去）．
∴点A的坐标为（﹣2，6）．
∵点A，B在一次函数y＝ax+b的图象上，把点 A（﹣2，6），B（4，﹣3）分别代入，得 ，
∴．
∴一次函数的表达式为y＝﹣．
（2）∵点C为直线AB与y轴的交点，
∴OC＝3．
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC
＝ OC |xA|+ OC |xB|
＝×3×2+×3×4
＝9．
（3）由题意得，x＜﹣2或0＜x＜4．
九．平行四边形的性质（共1小题）
11．（2023 济南）已知：如图，点O为 ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．求证：DE＝BF．
【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC，
∵点O为对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
∴DE＝BF．
一十．作图—复杂作图（共1小题）
12．（2023 青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：△ABC．
求作：点P，使PA＝PC，且点P在△ABC边AB的高上．
【答案】见解答．
【解答】解：如图，点P为所作．
一十一．频数（率）分布直方图（共1小题）
13．（2023 济南）2023年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲．某社团对30个地区“五一”假期的出游人数进行了调查，获得了它们“五一”假期出游人数（出游人数用m表示，单位：百万）的数据，并对数据进行统计整理．数据分成5组：A组：1≤m＜12；B组：12≤m＜23；C组：23≤m＜34；D组：34≤m＜45；E组：45≤m＜56．下面给出了部分信息：
a．B组的数据：12，13，15，16，17，17，18，20．
b．不完整的“五一”假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如图：
请根据以上信息完成下列问题：
（1）统计图中E组对应扇形的圆心角为 　36　度；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是 　15.5　百万；
（4）各组“五一”假期的平均出游人数如表：
组别 A1≤m＜12 B12≤m＜23 C23≤m＜34 D34≤m＜45 E45≤m＜56
平均出游人数（百万） 5.5 16 32.5 42 50
求这30个地区“五一”假期的平均出游人数．
【答案】（1）36；
（2）见解答；
（3）15.5；
（4）20百万．
【解答】解：（1）统计图中E组对应扇形的圆心角为360°×＝36°，
故答案为：36；
（2）D组个数为30×10%＝3（个），
所以C组地区个数为30﹣（12+8+3+3）＝4（个），
补全图形如下：
（3）这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是＝15.5（百万），
故答案为：15.5；
（4） （百万），
答：这30个地区“五一”假期的平均出游人数是20百万．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-02填空题（提升题）知识点分类①
一．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）
1．（2023 威海）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组：　 　．
二．估算一元二次方程的近似解（共1小题）
2．（2023 潍坊）用与教材中相同型号的计算器，依次按键，显示结果为2.236067977．借助显示结果，可以将一元二次方程x2+x﹣1＝0的正数解近似表示为 　 　．（精确到0.001）
三．根的判别式（共1小题）
3．（2023 泰安）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　 　．
四．规律型：点的坐标（共1小题）
4．（2023 泰安）已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2023的坐标是 　 　．
五．一次函数的应用（共1小题）
5．（2023 济南）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s（km）和时间t（h）的关系，则出发 　 　h后两人相遇．
六．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
6．（2023 淄博）如图，在直线l：y＝x﹣4上方的双曲线y＝（x＞0）上有一个动点P，过点P作x轴的垂线，交直线l于点Q，连接OP，OQ，则△POQ面积的最大值是 　 　．
七．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
7．（2023 威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．点A的坐标为（m，2）．连接OA，OB，AB．若OA＝AB，∠OAB＝90°，则k的值为 　 　．
八．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
8．（2023 青岛）反比例函数y＝的图象经过点A（m，），则反比例函数的表达式为 　 　．
九．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
9．（2023 日照）已知反比例函数y＝（k＞1且k≠2）的图象与一次函数y＝﹣7x+b的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积x1 x2＞0，请写出一个满足条件的k值 　 　．
一十．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
10．（2023 青岛）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：①abc＜0；②3b+2c＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝kx的两根为x1＝﹣3，x2＝2；④k＝a．其中正确的是 　 　.（只填写序号）
一十一．勾股定理的应用（共1小题）
11．（2023 东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 　 　km．
一十二．垂径定理的应用（共1小题）
12．（2023 东营）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为 　 　寸．
一十三．作图—基本作图（共2小题）
13．（2023 威海）如图，在正方形ABCD中，分别以点A，B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE，则∠CDE＝　 　°．
14．（2023 东营）如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，BC于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线CF交AB于点G．若AC＝9，BC＝6，△BCG的面积为8，则△ACG的面积为 　 　．
一十四．利用平移设计图案（共1小题）
15．（2023 淄博）在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 　 　．
一十五．相似三角形的判定与性质（共1小题）
16．（2023 日照）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：
①EM＝EN；
②四边形MBND的面积不变；
③当AM：MD＝1：2时，S△MPE＝；
④BM+MN+ND的最小值是20．
其中所有正确结论的序号是 　 　．
一十六．相似三角形的应用（共1小题）
17．（2023 潍坊）在《数书九章》（宋 秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 　 　米．
一十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
18．（2023 泰安）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为50°，后退60m（CD＝60m）到D处有一平台，在高2m（DE＝2m）的平台上的E处，测得B的仰角为26.6°．则该电视发射塔的高度AB为 　 　m．（精确到1m．参考数据：tan50°≈1.2，tan26.6°≈0.5）
一十八．方差（共1小题）
19．（2023 东营）为备战东营市第十二届运动会，某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环2）如表所示：
甲 乙 丙 丁
9.6 8.9 9.6 9.6
S2 1.4 0.8 2.3 0.8
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 　 　．
一十九．列表法与树状图法（共1小题）
20．（2023 潍坊）投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率是 　 　．
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-02填空题（提升题）知识点分类①
参考答案与试题解析
一．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）
1．（2023 威海）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组：　　．
【答案】．
【解答】解：若设有x人，物品价值y元，根据题意，可列方程组为，
故答案为：．
二．估算一元二次方程的近似解（共1小题）
2．（2023 潍坊）用与教材中相同型号的计算器，依次按键，显示结果为2.236067977．借助显示结果，可以将一元二次方程x2+x﹣1＝0的正数解近似表示为 　0.618　．（精确到0.001）
【答案】0.618．
【解答】解：∵x2+x﹣1＝0，
∴a＝1，b＝1，c＝﹣1，
Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，
∴x＝＝，
∴x1＝≈﹣1.618，x2＝≈0.618，
故答案为：0.618．
三．根的判别式（共1小题）
3．（2023 泰安）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　a＞﹣4　．
【答案】a＞﹣4．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣a）＞0，
解得a＞﹣4．
故答案为：a＞﹣4．
四．规律型：点的坐标（共1小题）
4．（2023 泰安）已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2023的坐标是 　（2023，）　．
【答案】（2023，）．
【解答】解：如图，过点A1，A4，A7，A10，A13，……A2023分别作x轴的垂线，
∵△A1A2O是边长为2正三角形，
∴OB＝BA2＝1，A1B＝＝，
∴点A1横坐标为1，
由题意可得，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为4，…
因此点A2023横坐标为2023，
∵2023÷3＝674……1，而674是偶数，
∴点A2023在第一象限，
∴点A2023的纵坐标为，
即点A2023（2023，），
故答案为：（2023，）．
五．一次函数的应用（共1小题）
5．（2023 济南）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s（km）和时间t（h）的关系，则出发 　0.35　h后两人相遇．
【答案】0.35．
【解答】解：设l1的函数解析式为y1＝kx+b，
则，
解得，
∴l1的函数解析式为S1＝5t+3.5；
设l2的函数解析式为S2＝mt，
则0.4m＝6，
解得m＝15，
∴l2的函数解析式为S2＝15t；
令S1＝S2，即5t+3.5＝15t，
解得t＝0.35，
∴出发0.35小时后两人相遇．
故答案为：0.35．
六．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
6．（2023 淄博）如图，在直线l：y＝x﹣4上方的双曲线y＝（x＞0）上有一个动点P，过点P作x轴的垂线，交直线l于点Q，连接OP，OQ，则△POQ面积的最大值是 　3　．
【答案】3．
【解答】解：设P（x，），则Q（x，x﹣4），
线段PQ＝﹣x+4，
∴S△POQ＝×x×（﹣x+4）＝1﹣x2+2x＝﹣（x2﹣4x﹣2）＝﹣（x﹣2）2+3，
∵﹣＜0，二次函数开口向下，有最大值，
∴当x＝2时，S△POQ有最大值，最大值是3．
故答案为：3．
七．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
7．（2023 威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．点A的坐标为（m，2）．连接OA，OB，AB．若OA＝AB，∠OAB＝90°，则k的值为 　2﹣2　．
【答案】2﹣2．
【解答】解：过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交MA的延长线于点N．
∵∠MOA+∠MAO＝90°，∠NAB+∠MAO＝90°，
∴∠MOA＝∠NAB，
∵∠AMO＝∠ANB＝90°，AO＝AB．
∴△AMO≌△BNA（AAS），
∴AM＝NB＝m，MO＝AN＝2．
∴A（m，2），B（m+2，2﹣m），
∵点A、B都在反比例函数上，
∴2m＝（m+2）（2﹣m），
解得：m1＝﹣1+，m2＝﹣1﹣（舍去），
∴点A的坐标为（﹣1+，2），
∴k＝xy＝2（﹣1）＝2﹣2．
八．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
8．（2023 青岛）反比例函数y＝的图象经过点A（m，），则反比例函数的表达式为 　y＝　．
【答案】y＝．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（m，），
∴＝m．
∴m＝8，
∴反比例函数解析式为：y＝．
九．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
9．（2023 日照）已知反比例函数y＝（k＞1且k≠2）的图象与一次函数y＝﹣7x+b的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积x1 x2＞0，请写出一个满足条件的k值 　1.5（答案不唯一）　．
【答案】1.5（答案不唯一）．
【解答】解：令＝﹣7x+b，
整理得7x2﹣bx+（6﹣3k）＝0，
∵反比例函数y＝（k＞1且k≠2）的图象与一次函数y＝﹣7x+b的图象两个交点横坐标为x1、x2，
∴x1 x2＝，
∵x1 x2＞0，
∴＞0，
∴k＜2，
∴满足条件的k值为1.5（答案不唯一），
故答案为：1.5（答案不唯一）．
一十．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
10．（2023 青岛）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：①abc＜0；②3b+2c＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝kx的两根为x1＝﹣3，x2＝2；④k＝a．其中正确的是 　①③　.（只填写序号）
【答案】①③．
【解答】解：由图象可得，a＞0，c＜0，又﹣＝﹣1，
∴b＞0．
∴abc＜0．
∴①正确．
由题意，令ax2+bx+c＝kx，
∴ax2+（b﹣k）x+c＝0．
又二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，
∴ax2+（b﹣k）x+c＝0的两根之和为﹣3+2＝﹣1，两根之积为﹣3×2＝﹣6．
∴﹣＝﹣1，＝﹣6．
∴6a+c＝0．
又b＝2a，
∴3b+c＝0．
∴3b+2c＝c＜0．
∴②错误，③正确．
∵﹣＝﹣1，b＝2a，
∴k＝a．
∴④错误．
故答案为：①③．
一十一．勾股定理的应用（共1小题）
11．（2023 东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 　50　km．
【答案】50．
【解答】解：如图：
由题意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，
∴∠DAB＝∠ABE＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km，
AC＝＝＝50（km），
∴A，C两港之间的距离为50km，
故答案为：50．
一十二．垂径定理的应用（共1小题）
12．（2023 东营）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为 　26　寸．
【答案】26．
【解答】解：连接OA，
设⊙O的半径是r寸，
∵直径CD⊥AB，
∴AE＝AB＝×10＝5寸，
∵CE＝1寸，
∴OE＝（r﹣1）寸，
∵OA2＝OE2+AE2，
∴r2＝（r﹣1）2+52，
∴r＝13，
∴直径CD的长度为2r＝26寸．
故答案为：26．
一十三．作图—基本作图（共2小题）
13．（2023 威海）如图，在正方形ABCD中，分别以点A，B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE，则∠CDE＝　15　°．
【答案】15．
【解答】解：连接AE、BE，
∵AE＝BE＝AB，
∴△ABE是等边三角形．
∴∠EAB＝60°，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ADC＝∠DAB＝90°，
∵AE＝AD，∠DAE＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝15°，
故答案为：15．
14．（2023 东营）如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，BC于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线CF交AB于点G．若AC＝9，BC＝6，△BCG的面积为8，则△ACG的面积为 　12　．
【答案】12．
【解答】解：如图，过点G作GM⊥AC于点M，GN⊥BC于点N．
由作图可知CG平分∠ACB，
∵GM⊥AC，GN⊥BC，
∴GM＝GN，
∵S△BCG＝ BC GN＝8，BC＝6，
∴GN＝，
∴GN＝GM＝，
∴S△AGC＝ AC GM＝×9×＝12，
故答案为：12．
一十四．利用平移设计图案（共1小题）
15．（2023 淄博）在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是 　6　．
【答案】6．
【解答】解：右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是6，
故答案为：6．
一十五．相似三角形的判定与性质（共1小题）
16．（2023 日照）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：
①EM＝EN；
②四边形MBND的面积不变；
③当AM：MD＝1：2时，S△MPE＝；
④BM+MN+ND的最小值是20．
其中所有正确结论的序号是 　②③④　．
【答案】②③④．
【解答】解：①∵MN⊥BD，要使EM＝EN，需要MP＝NP，而P不一定是MN的中点，
故①是错误的；
②如图1：延长ME交BC于F，
在矩形ABCD中，BD＝10，
∵ME⊥AD，MN⊥BD，
∴∠EMN+∠DMN＝∠EMN+∠MED＝90°，
∴∠DMN＝∠MED，
∵∠MFN＝∠A＝90°，
∴△MFN∽△DAB，
∴，即：，
解得：FN＝4.5，MN＝7.5，
∴四边形MBND的面积为：×BD×NM＝×10×7.5＝37.5，
故②是正确的；
③∵AB∥ME，
∴△ABD∽△MED，
∴，
∴ME＝4，
∵∠ADB＝∠EMN，∠MPB＝∠A＝90°，
∴△MEP∽△DBA，
∴＝（）2＝，
∵S△ABD＝24，
∴S△MPE＝，
故③是正确的；
④∵BM+MN+ND＝BM+ND+7.5，
当BM+ND最小时，BM+MN+ND的值最小，
作B、D关于AD、BC的对称点B′，D′，如图2：
把图2的CD′移到图3的C′D′，使得CD′＝4.5，连接B′D′，
则B′D′就是BM+ND的最小值，
∴B′D′＝＝12.5，
即BM+MN+ND的最小值是12.5+7.5＝20，
故④是正确的，
故答案为：②③④．
一十六．相似三角形的应用（共1小题）
17．（2023 潍坊）在《数书九章》（宋 秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 　18.2　米．
【答案】18.2．
【解答】解：过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长FG交AB于点H，
由题意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，
∴∠DGF＝∠BHF＝90°，
∵CD＝7米，
∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），
∵∠DFG＝∠BFH，
∴△FDG∽△FBH，
∴＝，
∴＝，
∴BH＝16.8，
∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），
∴塔的高度为18.2米，
故答案为：18.2．
一十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
18．（2023 泰安）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为50°，后退60m（CD＝60m）到D处有一平台，在高2m（DE＝2m）的平台上的E处，测得B的仰角为26.6°．则该电视发射塔的高度AB为 　55　m．（精确到1m．参考数据：tan50°≈1.2，tan26.6°≈0.5）
【答案】55．
【解答】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，
由题意得：AF＝DE＝2m，EF＝AD，BA⊥DA，
设AC＝xm，
∵CD＝60m，
∴EF＝AD＝AC+CD＝（x+60）m，
在Rt△ABC中，∠BCA＝50°，
∴AB＝AC tan50°≈1.2x（m），
在Rt△FBE中，∠BEF＝26.6°，
∴BF＝EF tan26.6°≈0.5（x+60）m，
∴AB＝BF+AF＝[2+0.5（x+60）]m，
∴1.2x＝2+0.5（x+60），
解得：x＝，
∴AB＝1.2x≈55（m），
∴该电视发射塔的高度AB约为55m，
故答案为：55．
一十八．方差（共1小题）
19．（2023 东营）为备战东营市第十二届运动会，某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环2）如表所示：
甲 乙 丙 丁
9.6 8.9 9.6 9.6
S2 1.4 0.8 2.3 0.8
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 　丁　．
【答案】丁．
【解答】解：由表格知，甲、丙、丁，平均成绩较好，
而丁成绩的方差小，成绩更稳定，
所以要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丁．
故答案为：丁．
一十九．列表法与树状图法（共1小题）
20．（2023 潍坊）投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率是 　　．
【答案】．
【解答】解：列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
由表可知共有36种等可能的情况，其中朝上一面的点数之和为7的结果有6种，
∴投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率为＝，
故答案为：．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（基础题）知识点分类②
一．绝对值（共1小题）
1．（2023 临沂）在实数a，b，c中，若a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，则下列结论：①|a|＞|b|，②a＞0，③b＜0，④c＜0，正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．合并同类项（共1小题）
2．（2023 枣庄）下列运算结果正确的是（　　）
A．x4+x4＝2x8 B．（﹣2x2）3＝﹣6x6
C．x6÷x3＝x3 D．x2 x3＝x6
三．完全平方公式（共1小题）
3．（2023 菏泽）下列运算正确的是（　　）
A．a6÷a3＝a2 B．a2 a3＝a5
C．（2a3）2＝2a6 D．（a+b）2＝a2+b2
四．整式的混合运算（共1小题）
4．（2023 临沂）下列运算正确的是（　　）
A．3a﹣2a＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（a5）2＝a7 D．3a3 2a2＝6a5
五．分式的混合运算（共1小题）
5．（2023 济宁）已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2＝，a3＝，，，若a1＝2，则a2023的值是（　　）
A．﹣ B． C．﹣3 D．2
六．二次根式有意义的条件（共1小题）
6．（2023 济宁）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠2
七．根的判别式（共1小题）
7．（2023 滨州）一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
八．根与系数的关系（共1小题）
8．（2023 菏泽）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则的值为（　　）
A． B．﹣3 C．3 D．
九．分式方程的解（共1小题）
9．（2023 聊城）若关于x的分式方程+1＝的解为非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≤1且m≠﹣1 B．m≥﹣1且m≠1 C．m＜1且m≠﹣1 D．m＞﹣1且m≠1
一十．解一元一次不等式组（共1小题）
10．（2023 烟台）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
一十一．一次函数的性质（共1小题）
11．（2023 临沂）对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（　　）
A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k＝﹣b
一十二．垂线（共1小题）
12．（2023 临沂）在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是（　　）
A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定
一十三．平行线的性质（共2小题）
13．（2023 菏泽）一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝20°，则∠2＝（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
14．（2023 枣庄）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝44°，则∠2的度数为（　　）
A．14° B．16° C．24° D．26°
一十四．勾股定理的逆定理（共1小题）
15．（2023 济宁）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（　　）
A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α
一十五．三角形的内切圆与内心（共1小题）
16．（2023 聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（　　）
A．15° B．17.5° C．20° D．25°
一十六．扇形面积的计算（共1小题）
17．（2023 滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙O1，⊙O2，⊙O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（　　）
A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm2
一十七．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）
18．（2023 聊城）如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），则点A2坐标为（　　）
A．（1，5） B．（1，3） C．（5，3） D．（5，5）
一十八．旋转的性质（共1小题）
19．（2023 聊城）如图，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AB＝，点C是矩形ECGF与△ABC的公共顶点，且CE＝1，CG＝3；点D是CB延长线上一点，且CD＝2．连接BG，DF，在矩形ECGF绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段DF对应的长度分别为m和n，则的值为（　　）
A．2 B．3 C． D．
一十九．由三视图判断几何体（共1小题）
20．（2023 临沂）如图是我国某一古建筑的主视图，最符合视图特点的建筑物的图片是（　　）
A．
B．
C．
D．
二十．条形统计图（共1小题）
21．（2023 济宁）为检测学生体育锻炼效果，从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示，对于这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法中错误的是（　　）
A．中位数是5 B．众数是5
C．平均数是5.2 D．方差是2
二十一．折线统计图（共1小题）
22．（2023 烟台）长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（　　）
A．甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数
B．甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数
C．甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差
D．甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差
二十二．众数（共1小题）
23．（2023 枣庄）4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数 6 7 10 7
课外书数量（本） 6 7 9 12
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（　　）
A．8，9 B．10，9 C．7，12 D．9，9
二十三．方差（共1小题）
24．（2023 滨州）在某次射击训练过程中，小明打靶10次的成绩（环）如表所示：则小明射击成绩的众数和方差分别为（　　）
靶次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次
成绩（环） 8 9 9 10 10 7 8 9 10 10
A．10和0.1 B．9和0.1 C．10和1 D．9和1
二十四．几何概率（共1小题）
25．（2023 烟台）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为P1，停在空白部分的概率为P2，则P1与P2的大小关系为（　　）
A．P1＜P2 B．P1＝P2 C．P1＞P2 D．无法判断
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（基础题）知识点分类②
参考答案与试题解析
一．绝对值（共1小题）
1．（2023 临沂）在实数a，b，c中，若a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，则下列结论：①|a|＞|b|，②a＞0，③b＜0，④c＜0，正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解答】解：∵a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，
∴2c＜a+b＝0，
∴c＜0．
∵c﹣a＞0，
∴c＞a，
∴a＜0，
∵a+b＝0，
∴b＝﹣a＞0，
∴a，b互为相反数，
∴|a|＝|b|，
综上，正确的结论有：④，
∴正确的个数有一个．
故选：A．
二．合并同类项（共1小题）
2．（2023 枣庄）下列运算结果正确的是（　　）
A．x4+x4＝2x8 B．（﹣2x2）3＝﹣6x6
C．x6÷x3＝x3 D．x2 x3＝x6
【答案】C
【解答】解：A．x4+x4＝2x4，故此选项不合题意；
B．（﹣2x2）3＝﹣8x6，故此选项不合题意；
C．x6÷x3＝x3，故此选项符合题意；
D．x2 x3＝x5，故此选项不合题意．
故选：C．
三．完全平方公式（共1小题）
3．（2023 菏泽）下列运算正确的是（　　）
A．a6÷a3＝a2 B．a2 a3＝a5
C．（2a3）2＝2a6 D．（a+b）2＝a2+b2
【答案】B
【解答】解：A、原式＝a3，故本选项计算错误，不符合题意；
B、原式＝a5，故本选项计算正确，符合题意；
C、原式＝4a6，故本选项计算错误，不符合题意；
D、原式＝a2+2ab+b2，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
四．整式的混合运算（共1小题）
4．（2023 临沂）下列运算正确的是（　　）
A．3a﹣2a＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（a5）2＝a7 D．3a3 2a2＝6a5
【答案】D
【解答】解：A、3a﹣2a＝a，故A不符合题意；
B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故B不符合题意；
C、（a5）2＝a10，故C不符合题意；
D、3a3 2a2＝6a5，故D符合题意；
故选：D．
五．分式的混合运算（共1小题）
5．（2023 济宁）已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2＝，a3＝，，，若a1＝2，则a2023的值是（　　）
A．﹣ B． C．﹣3 D．2
【答案】A
【解答】解：由题意得，
a1＝2，
a2＝＝＝﹣3，
a3＝＝＝﹣，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝2，
……，
∴an的值按照2，﹣3，﹣，，……4次一个循环周期的规律出现，
∵2023÷4＝505……3，
∴a2023的值是﹣，
故选：A．
六．二次根式有意义的条件（共1小题）
6．（2023 济宁）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠2
【答案】D
【解答】解：由题意得x≥0且x﹣2≠0，
解得x≥0且x≠2，
故选：D．
七．根的判别式（共1小题）
7．（2023 滨州）一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
【答案】A
【解答】解：由题意得，Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
八．根与系数的关系（共1小题）
8．（2023 菏泽）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则的值为（　　）
A． B．﹣3 C．3 D．
【答案】C
【解答】解：∵一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣3；x1x2＝﹣1．
∴
＝
＝
＝3．
故选：C．
九．分式方程的解（共1小题）
9．（2023 聊城）若关于x的分式方程+1＝的解为非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≤1且m≠﹣1 B．m≥﹣1且m≠1 C．m＜1且m≠﹣1 D．m＞﹣1且m≠1
【答案】A
【解答】解：+1＝，
两边同乘（x﹣1），去分母得：x+x﹣1＝﹣m，
移项，合并同类项得：2x＝1﹣m，
系数化为1得：x＝，
∵原分式方程的解为非负数，
∴≥0，且≠1
解得：m≤1且m≠﹣1，
故选：A．
一十．解一元一次不等式组（共1小题）
10．（2023 烟台）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：，
解不等式①得：m≥1，
解不等式②得：m＜﹣1，
故不等式组的解集为：无解．
在数轴上表示为：．
故选：A．
一十一．一次函数的性质（共1小题）
11．（2023 临沂）对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（　　）
A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k＝﹣b
【答案】C
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第二象限，
∴b≤0，
又∵函数图象经过点（2，0），
∴图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，k＝﹣b，
∴kb＜0，
∴k+b＝b＜0，
∴错误的是k+b＞0．
故选：C．
一十二．垂线（共1小题）
12．（2023 临沂）在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是（　　）
A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定
【答案】C
【解答】解：∵l⊥m，n⊥m，
∴l∥n．
故选：C．
一十三．平行线的性质（共2小题）
13．（2023 菏泽）一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠1＝20°，则∠2＝（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解答】解：如图，
由题意得：∠CAD＝60°，
∵AB∥DE，∠1＝20°，
∴∠3＝∠1＝20°，
∴∠2＝∠CAD﹣∠3＝40°．
故选：B．
14．（2023 枣庄）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝44°，则∠2的度数为（　　）
A．14° B．16° C．24° D．26°
【答案】B
【解答】解：如图，
∵太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，
∴∠BCD＝360°÷6＝60°，EF∥BD，∠ABC＝120°，
∴∠BDC＝∠1＝44°，
∵∠3是△BCD的外角，
∴∠3＝∠BDC+∠BCD＝104°，
∴∠2＝∠ABC﹣∠3＝16°．
故选：B．
一十四．勾股定理的逆定理（共1小题）
15．（2023 济宁）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（　　）
A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α
【答案】C
【解答】解：如图，过B点作BG∥CD，连接EG，
∵BG∥CD，
∴∠ABG＝∠CFB＝α．
∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34，
∴BG2+BE2＝EG2，
∴△BEG是直角三角形，
∴∠GBE＝90°，
∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．
故选：C．
一十五．三角形的内切圆与内心（共1小题）
16．（2023 聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（　　）
A．15° B．17.5° C．20° D．25°
【答案】C
【解答】解：连接OC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI＝35°，
∴∠BAC＝2∠CAI＝70°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴，
故选：C．
一十六．扇形面积的计算（共1小题）
17．（2023 滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙O1，⊙O2，⊙O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（　　）
A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm2
【答案】C
【解答】解：如图，连接O1A，O2A，O1B，O3B，O2C，O3C，O1O2，O1O3，O2O3，则△O1AO2，△O1BO3，△O2CO3，△O1O2O3是边长为1的正三角形，
所以，S阴影部分＝3
＝3×
＝（cm2），
故选：C．
一十七．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）
18．（2023 聊城）如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），则点A2坐标为（　　）
A．（1，5） B．（1，3） C．（5，3） D．（5，5）
【答案】B
【解答】解：∵A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（﹣4，4）关于x轴对称的点的坐标为A1（﹣2，﹣1），B1（﹣1，﹣3），C1（﹣4，﹣4），
又∵B2（2，1），
∴平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，
∴点A2坐标为（﹣2+3，﹣1+4），即（1，3）．
故选：B．
一十八．旋转的性质（共1小题）
19．（2023 聊城）如图，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AB＝，点C是矩形ECGF与△ABC的公共顶点，且CE＝1，CG＝3；点D是CB延长线上一点，且CD＝2．连接BG，DF，在矩形ECGF绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段DF对应的长度分别为m和n，则的值为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解答】解：在等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AB＝，
∴AC＝BC＝1，
在△BCG中，CG﹣BC＜BG＜CG+BC，
即2＜BG＜4，
如图，当点G在线段BC的延长线时时，GB有最大值，
∴DG＝DC+CG＝5，GF＝1，
∴DF＝＝＝＝m，
当点G在线段CB的延长线上时，GB有最小值，
∴DG＝CG﹣DC＝1，FG＝1，
∴DF＝＝＝＝n，
∴＝，
故选：D．
一十九．由三视图判断几何体（共1小题）
20．（2023 临沂）如图是我国某一古建筑的主视图，最符合视图特点的建筑物的图片是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：根据圆锥的主视图是等腰三角形，圆台的主视图是等腰梯形，可知最符合视图特点的建筑物的图片是B．
故选：B．
二十．条形统计图（共1小题）
21．（2023 济宁）为检测学生体育锻炼效果，从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示，对于这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法中错误的是（　　）
A．中位数是5 B．众数是5
C．平均数是5.2 D．方差是2
【答案】D
【解答】解：把这10名学生的定时定点投篮进球数从小到大排列，排在第5和第6个数是5，所以中位数是5，故选项A不符合题意；
这10名学生的定时定点投篮进球数出现最多的数是5，所以众数是5，故选项B不符合题意；
平均数是：（3+4×2+5×3+6×2+7×2）＝5.2，故选项C不符合题意；
方差是：[（3﹣5.2）2+2×（4﹣5.2）2+3×（5﹣5.2）2+2×（6﹣5.2）2+2×（7﹣5.2）2]＝1.56，故选项D符合题意．
故选：D．
二十一．折线统计图（共1小题）
22．（2023 烟台）长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（　　）
A．甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数
B．甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数
C．甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差
D．甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差
【答案】D
【解答】解：A．甲班视力值的平均数为：＝4.7，
乙班视力值的平均数为：＝4.7，
所以甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数，故选项A说法错误，不符合题意；
B．甲班视力值的中位数为＝4.7，乙班视力值的中位数为＝4.7，
所以甲班视力值的中位数等于乙班视力值的中位数，故选项B说法错误，不符合题意；
C．甲班视力值的极差为5.0﹣4.4＝0.6，乙班视力值的极差为5.0﹣4.4＝0.6，
所以甲班视力值的极差等于乙班视力值的极差，故选项C说法错误，不符合题意；
D．甲班视力值的方差为×[（4.4﹣4.7）2+（4.6﹣4.7）2+4×（4.7﹣4.7）2+（4.8﹣4.7）2+（5.0﹣4.7）2]＝0.025，
乙班视力值的方差为×[（4.4﹣4.7）2+（4.5﹣4.7）2+（4.6﹣4.7）2+2×（4.7﹣4.7）2+（4.8﹣4.7）2+（4.9﹣4.7）2+（5.0﹣4.7）2]＝0.035，
所以甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
二十二．众数（共1小题）
23．（2023 枣庄）4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数 6 7 10 7
课外书数量（本） 6 7 9 12
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（　　）
A．8，9 B．10，9 C．7，12 D．9，9
【答案】D
【解答】解：中位数为第15个和第16个的平均数＝9，众数为9．
故选：D．
二十三．方差（共1小题）
24．（2023 滨州）在某次射击训练过程中，小明打靶10次的成绩（环）如表所示：则小明射击成绩的众数和方差分别为（　　）
靶次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次
成绩（环） 8 9 9 10 10 7 8 9 10 10
A．10和0.1 B．9和0.1 C．10和1 D．9和1
【答案】C
【解答】解：由题意可知，10环出现的次数最多，为4次，故众数为10；
这10次的成绩的平均数为：（7+2×8+3×9+4×10）＝9，
故方差为：[（7﹣9）2+2×（8﹣9）2+3×（9﹣9）2+4×（10﹣9）2]＝1．
故选：C．
二十四．几何概率（共1小题）
25．（2023 烟台）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为P1，停在空白部分的概率为P2，则P1与P2的大小关系为（　　）
A．P1＜P2 B．P1＝P2 C．P1＞P2 D．无法判断
【答案】B
【解答】解：如图，令正方形的边长为2a，
则空白部分的面积为2××π a2+2（a2﹣×π a2）＝πa2+2a2﹣＝2a2，
则阴影部分的面积为（2a）2﹣2a2＝4a2﹣2a2＝2a2，
所以小球停在阴影部分的概率P1＝停在空白部分的概率P2，
故选：B．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-02填空题（提升题）知识点分类②
一．计算器—基础知识（共1小题）
1．（2023 烟台）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
①按键的结果为4；
②按键的结果为8；
③按键的结果为0.5；
④按键的结果为25．
以上说法正确的序号是 　 　．
二．实数的运算（共1小题）
2．（2023 枣庄）计算＝　 　．
三．规律型：点的坐标（共1小题）
3．（2023 东营）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣与x轴交于点A1，以OA1为边作正方形A1B1C1O，点C1在y轴上，延长C1B1交直线l于点A2，以C1A2为边作正方形A2B2C2C1，点C2在y轴上，以同样的方式依次作正方形A3B3C3C2， ，正方形A2023B2023C2023C2022，则点B2023的横坐标是 　 　．
四．函数值（共1小题）
4．（2023 临沂）小明利用学习函数获得的经验研究函数y＝x2+的性质，得到如下结论：
①当x＜﹣1时，x越小，函数值越小；
②当﹣1＜x＜0时，x越大，函数值越小；
③当0＜x＜1时，x越小，函数值越大；
④当x＞1时，x越大，函数值越大．
其中正确的是 　 　（只填写序号）．
五．动点问题的函数图象（共1小题）
5．（2023 烟台）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长为 　 　．
六．一次函数的性质（共1小题）
6．（2023 济宁）一个函数过点（1，3），且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式 　 　．
七．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
7．（2023 枣庄）如图，在反比例函数（x＞0）的图象上有P1，P2，P3，…P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2023，则S1+S2+S3+…+S2023＝　 　．
八．全等三角形的判定与性质（共1小题）
8．（2023 济宁）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，，则BD＝　 　．

九．勾股定理（共1小题）
9．（2023 菏泽）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为 　 　．
一十．菱形的性质（共1小题）
10．（2023 临沂）若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 　 　．
一十一．矩形的性质（共1小题）
11．（2023 滨州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OB，OA上的点，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，则BF的长为 　 　．
一十二．正方形的性质（共1小题）
12．（2023 枣庄）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为 　 　．
一十三．圆周角定理（共1小题）
13．（2023 烟台）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为 　 　．
一十四．切线的性质（共1小题）
14．（2023 滨州）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为 　 　．
一十五．正多边形和圆（共1小题）
15．（2023 菏泽）如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 　 　（结果保留π）．
一十六．剪纸问题（共1小题）
16．（2023 临沂）如图，三角形纸片ABC中，AC＝6，BC＝9，分别沿与BC，AC平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 　 　．
一十七．旋转的性质（共1小题）
17．（2023 菏泽）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF．若∠ABE＝55°，则∠EGC＝　 　度．
一十八．解直角三角形的应用（共1小题）
18．（2023 枣庄）如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为 　 　米．（结果保留根号）
一十九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
19．（2023 济宁）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB＝30m，用高1m（AC＝1m）的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是 　 　．
二十．列表法与树状图法（共2小题）
20．（2023 菏泽）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为 　 　．
21．（2023 聊城）在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字，，0，2，π的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为 　 　．
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-02填空题（提升题）知识点分类②
参考答案与试题解析
一．计算器—基础知识（共1小题）
1．（2023 烟台）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
①按键的结果为4；
②按键的结果为8；
③按键的结果为0.5；
④按键的结果为25．
以上说法正确的序号是 　①③　．
【答案】①③．
【解答】解：①按键的结果为＝4；故①正确，符合题意；
②按键的结果为4+（﹣2）3＝﹣4；故②不正确，不符合题意；
③按键的结果为sin（45°﹣15° ）＝sin30°＝0.5；故③正确，符合题意；④按键的结果为（3﹣）×22＝10；故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①③．
故答案为：①③．
二．实数的运算（共1小题）
2．（2023 枣庄）计算＝　3　．
【答案】3．
【解答】解：
＝1+2
＝3
故答案为：3．
三．规律型：点的坐标（共1小题）
3．（2023 东营）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣与x轴交于点A1，以OA1为边作正方形A1B1C1O，点C1在y轴上，延长C1B1交直线l于点A2，以C1A2为边作正方形A2B2C2C1，点C2在y轴上，以同样的方式依次作正方形A3B3C3C2， ，正方形A2023B2023C2023C2022，则点B2023的横坐标是 　（1+）2022　．
【答案】（1+）2022．
【解答】解：当y＝0时，有x﹣1＝0，
解得：x＝1，
∴点A1的坐标为（1，0）．
∵四边形A1B1C1O为正方形，
∴OA1＝A1B1＝OC1＝1，
∴点B1（1，1），
B1的横坐标为1；
∴y＝1时，1＝x﹣，
解得：x＝，
∴点A2的坐标为（，1），
A2B2C2C1是正方形，
∴A2B2＝C2C1＝A2C1＝，
∴点B2（，2+），
即B2的横坐标为；
当y＝2+时，2+＝x﹣，
解得：x＝（），
∴点A3（（），2+），
∵A3B3C3C2是正方形，
∴A3B3＝C3C2＝A3C2＝（），
∴点B3的横坐标为（）＝（1+）2，
……，
以此类推，则点B2023的横坐标是（1+）2022．
故答案为：（1+）2022．
四．函数值（共1小题）
4．（2023 临沂）小明利用学习函数获得的经验研究函数y＝x2+的性质，得到如下结论：
①当x＜﹣1时，x越小，函数值越小；
②当﹣1＜x＜0时，x越大，函数值越小；
③当0＜x＜1时，x越小，函数值越大；
④当x＞1时，x越大，函数值越大．
其中正确的是 　②③④　（只填写序号）．
【答案】②③④．
【解答】解：如图所示，
∴当x＜﹣1时，x越小，函数值越大，故①错误．
当﹣1＜x＜0时，x越大，函数值越小，故②正确．
当0＜x＜1时，x越小，函数值越大，故③正确．
当x＞1时，x越大，函数值越大，故④正确．
故答案为：②③④．
五．动点问题的函数图象（共1小题）
5．（2023 烟台）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长为 　　．
【答案】．
【解答】解：如图过点A作AQ⊥BC于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当AB+BQ＝12时，点P到达点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小，
∴BC＝7，BQ＝4，QC＝3，
在Rt△ABQ中，AB＝8，BQ＝4，
∴AQ＝，
∵S△ABC＝AB×CG＝AQ×BC，
∴CG＝．
故答案为：．
六．一次函数的性质（共1小题）
6．（2023 济宁）一个函数过点（1，3），且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式 　y＝x+2（答案不唯一）　．
【答案】y＝x+2（答案不唯一）．
【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3），
∴3＝k+b，
又∵函数值y随自变量x的增大而增大，
∴k＞0，
∴k＝1，b＝2符合题意，
∴符合上述条件的函数解析式可以为y＝x+2．
故答案为：y＝x+2（答案不唯一）．
七．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
7．（2023 枣庄）如图，在反比例函数（x＞0）的图象上有P1，P2，P3，…P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2023，则S1+S2+S3+…+S2023＝　　．
【答案】．
【解答】解：∵P1，P2，P3，…P2024的横坐标依次为1，2，3，…，2024，
∴阴影矩形的一边长都为1，
将除第一个矩形外的所有矩形向左平移至y轴，
∴S1+S2+S3+…+S2023＝，
把x＝2024代入关系式得，y＝，即OA＝，
∴S矩形OABC＝OA OC＝，
由几何意义得，＝8，
∴＝8﹣＝．
故答案为：．
八．全等三角形的判定与性质（共1小题）
8．（2023 济宁）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，，则BD＝　3﹣　．

【答案】3﹣．
【解答】解：过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°，
∵AH⊥BC，
∴，
∴∠BAD+∠DAH＝30°，
∵∠DAE＝30°，
∴∠BAD+∠EAC＝30°，
∴∠DAH＝∠EAC，
∴tan∠DAH＝tan∠EAC＝，
∵BH＝AB＝3，
∵AH＝ABsin60°＝6×＝3，
∴，
∴DH＝，
∴BD＝BH﹣DH＝3﹣，
故答案为：3﹣．
九．勾股定理（共1小题）
9．（2023 菏泽）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为 　﹣2　．
【答案】﹣2．
【解答】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，
∵∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠ADF＝∠BAE，
∴∠DFA＝∠ABE＝90°，
∴点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，
∵AD＝4，
∴，
∴，
∴线段BF的最小值为﹣2，
故答案为：﹣2．
一十．菱形的性质（共1小题）
10．（2023 临沂）若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 　24　．
【答案】24．
【解答】解：如图：菱形ABCD中AC＝8，BD＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△DAC的面积＝AC OD，△BAC的面积＝AC OB，
∴菱形ABCD的面积＝△DAC的面积+△BAC的面积＝AC （OD+OB）＝AC BD＝×8×6＝24．
故答案为：24．
一十一．矩形的性质（共1小题）
11．（2023 滨州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OB，OA上的点，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，则BF的长为 　　．
【答案】．
【解答】解：过A作AN⊥BD于N，过B作BM⊥AC于M，
∴∠ANO＝∠ANB＝∠BMO＝∠BMA＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝BD，OA＝AC，AC＝BD，
∴OB＝OA，
∵S△AOB＝OB AN＝OA BM，
∴AN＝BM，
∵AE＝BF，
∴Rt△ANE≌△Rt△BMF（HL），
∴FM＝EN，
设FM＝EN＝x，
∵AF＝1，BE＝3，
∴BN＝3﹣x，AM＝1+x，
∴3﹣x＝1+x，
∴x＝1，
∴FM＝1，
∴AM＝2，
∵AB＝5，
∴，
∴BF＝＝＝，
故答案为：．
一十二．正方形的性质（共1小题）
12．（2023 枣庄）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为 　　．
【答案】．
【解答】解：在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠BCD＝90°，O是中点，
∵F为DE的中点，
∴CF＝EF＝DF，
∵△CEF的周长为32，CE＝7，
∴CF+EF＝25，即DE＝25，
在Rt△CDE中，根据勾股定理可得CD＝24＝BC，
∴BE＝24﹣7＝17，
根据三角形的中位线可得OF＝BE＝．
故答案为：．
一十三．圆周角定理（共1小题）
13．（2023 烟台）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为 　52.5°　．
【答案】52.5°．
【解答】解：设量角器的圆心是O，连接OD，OB，
∵∠BOD＝130°﹣25°＝105°，
∴∠BAD＝∠BOD＝52.5°．
故答案为：52.5°．
一十四．切线的性质（共1小题）
14．（2023 滨州）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为 　62°或118°　．
【答案】62°或118°．
【解答】解：如图，连接CA，BC，
∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠AOB+∠PAO+∠PBO+∠APB＝360°，
∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣56°＝124°，
由圆周角定理知，∠ACB＝∠AOB＝62°．
当点C在劣弧AB上时，
由圆内接四边形的性质得∠ACB＝118°，
故答案为：62°或118°．
一十五．正多边形和圆（共1小题）
15．（2023 菏泽）如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 　6π　（结果保留π）．
【答案】6π．
【解答】解：由题意得，∠HAB＝＝135°，AH＝AB＝4，
∴S阴影部分＝＝6π，
故答案为：6π．
一十六．剪纸问题（共1小题）
16．（2023 临沂）如图，三角形纸片ABC中，AC＝6，BC＝9，分别沿与BC，AC平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 　14　．
【答案】14．
【解答】解：如图，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF为平行四边形，△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，
∴＝＝，＝＝，
∵AC＝6，BC＝9，
∴DE＝3，DF＝4，
∴平行四边形纸片的周长是2×（3+4）＝14．
故答案为：14．
一十七．旋转的性质（共1小题）
17．（2023 菏泽）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBF．若∠ABE＝55°，则∠EGC＝　80　度．
【答案】80．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABE＝55°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝35°，
由旋转得：BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∵∠EGC是△BEG的一个外角，
∴∠EGC＝∠BEF+∠EBC＝80°，
故答案为：80．
一十八．解直角三角形的应用（共1小题）
18．（2023 枣庄）如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为 　（3+）　米．（结果保留根号）
【答案】（3+）．
【解答】解：过点O作OC⊥BT，垂足为C，
由题意得：BC∥OM，
∴∠AOM＝∠OBC＝45°，
∵AB＝6米，AO：OB＝2：1，
∴AO＝4米，OB＝2米，
在Rt△OBC中，BC＝OB cos45°＝2×＝（米），
∵OM＝3米，
∴此时点B到水平地面EF的距离＝BC+OM＝（3+）米，
故答案为：（3+）．
一十九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
19．（2023 济宁）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB＝30m，用高1m（AC＝1m）的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是 　（15+1）m　．
【答案】（15+1）m．
【解答】解：如图：延长CD交EF于点G，
由题意得：DB＝AC＝FG＝1m，CG⊥EF，DC＝AB＝30m，∠EDG＝60°，∠ECG＝30°，
∵∠EDG是△EDC的一个外角，
∴∠DEC＝∠EDG﹣∠ECG＝30°，
∴∠DEC＝∠ECD＝30°，
∴ED＝CD＝30m，
在Rt△EGD中，EG＝ED sin60°＝30×＝15（m），
∴EF＝EG+FG＝（15+1）m，
∴该建筑物的高是（15+1）m，
故答案为：（15+1）m．
二十．列表法与树状图法（共2小题）
20．（2023 菏泽）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为 　　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中是偶数的结果有5种，
∴是偶数的概率为，
故答案为：．
21．（2023 聊城）在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字，，0，2，π的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为 　　．
【答案】．
【解答】解：根据题意画树状图如下：
共有20个等可能的结果，两球上的数字之积恰好是有理数有8种，
∴两球上的数字之积恰好是有理数的概率为＝．
故答案为：．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（容易题）知识点分类②
一．相反数（共2小题）
1．（2023 东营）﹣2的相反数是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
2．（2023 滨州）﹣3的相反数是（　　）
A． B． C．﹣3 D．3
二．倒数（共1小题）
3．（2023 烟台）﹣的倒数是（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
三．有理数大小比较（共1小题）
4．（2023 枣庄）下列各数中比1大的数是（　　）
A．0 B．2 C．﹣1 D．﹣3
四．有理数的减法（共1小题）
5．（2023 临沂）计算（﹣7）﹣（﹣5）的结果是（　　）
A．﹣12 B．12 C．﹣2 D．2
五．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
6．（2023 枣庄）随着全球新一轮科技革命和产业变革的蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，根据中国乘用车协会的统计数据，2023年第一季度，中国新能源汽车销量为159万辆，同比增长26.2%，其中159万用科学记数法表示为（　　）
A．1.59×106 B．15.9×105 C．159×104 D．1.59×102
六．实数与数轴（共1小题）
7．（2023 菏泽）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（　　）
A．c（b﹣a）＜0 B．b（c﹣a）＜0 C．a（b﹣c）＞0 D．a（c+b）＞0
七．估算无理数的大小（共1小题）
8．（2023 临沂）设m＝5﹣，则实数m所在的范围是（　　）
A．m＜﹣5 B．﹣5＜m＜﹣4 C．﹣4＜m＜﹣3 D．m＞﹣3
八．同底数幂的除法（共2小题）
9．（2023 滨州）下列计算，结果正确的是（　　）
A．a2 a3＝a5 B．（a2）3＝a5 C．（ab）3＝ab3 D．a2÷a3＝a
10．（2023 烟台）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a2＝2a4 B．（2a2）3＝6a6 C．a2 a3＝a5 D．a8÷a2＝a4
九．完全平方公式（共1小题）
11．（2023 济宁）下列各式运算正确的是（　　）
A．x2 x3＝x6 B．x12÷x2＝x6
C．（x+y）2＝x2+y2 D．（x2y）3＝x6y3
一十．平方差公式（共1小题）
12．（2023 东营）下列运算结果正确的是（　　）
A．x3 x3＝x9 B．2x3+3x3＝5x6
C．（2x2）3＝6x6 D．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2
一十一．因式分解-十字相乘法等（共1小题）
13．（2023 济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　）
A．（a+3）2＝a2+6a+9
B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y）
D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
一十二．零指数幂（共1小题）
14．（2023 聊城）（﹣2023）0的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣
一十三．同类二次根式（共1小题）
15．（2023 烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
一十四．根的判别式（共1小题）
16．（2023 聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0
一十五．反比例函数的定义（共1小题）
17．（2023 临沂）正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105m3，设土石方日平均运送量为V（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（　　）
A．反比例函数关系 B．正比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
一十六．角的概念（共1小题）
18．（2023 临沂）如图中用量角器测得∠ABC的度数是（　　）
A．50° B．80° C．130° D．150°
一十七．平行线的性质（共1小题）
19．（2023 东营）如图，AB∥CD，点E在线段BC上（不与点B，C重合），连接DE．若∠D＝40°，∠BED＝60°，则∠B＝（　　）
A．10° B．20° C．40° D．60°
一十八．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）
20．（2023 临沂）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（　　）
A．（6，2） B．（﹣6，﹣2） C．（2，6） D．（2，﹣6）
一十九．中心对称图形（共2小题）
21．（2023 菏泽）剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
22．（2023 烟台）下列四种图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
二十．简单组合体的三视图（共4小题）
23．（2023 菏泽）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
24．（2023 聊城）如图所示几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
25．（2023 滨州）如图所示摆放的水杯，其俯视图为（　　）
A． B． C． D．
26．（2023 枣庄）榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
二十一．由三视图判断几何体（共1小题）
27．（2023 济宁）一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积是 （　　）
A．39π B．45π C．48π D．54π
二十二．总体、个体、样本、样本容量（共1小题）
28．（2023 聊城）4月15日是全民国家安全教育日．某校为了摸清该校1500名师生的国家安全知识掌握情况，从中随机抽取了150名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（　　）
A．1500名师生的国家安全知识掌握情况
B．150
C．从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况
D．从中抽取的150名师生
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（容易题）知识点分类②
参考答案与试题解析
一．相反数（共2小题）
1．（2023 东营）﹣2的相反数是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
【答案】B
【解答】解：﹣2的相反数是2，
故选：B．
2．（2023 滨州）﹣3的相反数是（　　）
A． B． C．﹣3 D．3
【答案】D
【解答】解：﹣3的相反数是3．
故选：D．
二．倒数（共1小题）
3．（2023 烟台）﹣的倒数是（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【答案】D
【解答】解：﹣的倒数是﹣．
故选：D．
三．有理数大小比较（共1小题）
4．（2023 枣庄）下列各数中比1大的数是（　　）
A．0 B．2 C．﹣1 D．﹣3
【答案】B
【解答】解：∵|﹣1|＝1，|﹣3|＝3，1＜3，
∴2＞1＞0＞﹣1＞﹣3，
则比1大的数是2，
故选：B．
四．有理数的减法（共1小题）
5．（2023 临沂）计算（﹣7）﹣（﹣5）的结果是（　　）
A．﹣12 B．12 C．﹣2 D．2
【答案】C
【解答】解：原式＝（﹣7）+5
＝﹣2．
故选：C．
五．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
6．（2023 枣庄）随着全球新一轮科技革命和产业变革的蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，根据中国乘用车协会的统计数据，2023年第一季度，中国新能源汽车销量为159万辆，同比增长26.2%，其中159万用科学记数法表示为（　　）
A．1.59×106 B．15.9×105 C．159×104 D．1.59×102
【答案】A
【解答】解：159万＝1590000＝1.59×106，
故选：A．
六．实数与数轴（共1小题）
7．（2023 菏泽）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（　　）
A．c（b﹣a）＜0 B．b（c﹣a）＜0 C．a（b﹣c）＞0 D．a（c+b）＞0
【答案】C
【解答】解：由数轴可得a＜0＜b＜c，
则b﹣a＞0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，c+b＞0，
那么c（b﹣a）＞0，b（c﹣a）＞0，a（b﹣c）＞0，a（c+b）＜0，
则A，B，D均不符合题意，C符合题意，
故选：C．
七．估算无理数的大小（共1小题）
8．（2023 临沂）设m＝5﹣，则实数m所在的范围是（　　）
A．m＜﹣5 B．﹣5＜m＜﹣4 C．﹣4＜m＜﹣3 D．m＞﹣3
【答案】B
【解答】解：m＝5﹣
＝﹣3
＝﹣3
＝﹣2
＝﹣，
∵16＜20＜25，
∴＜＜，
即4＜＜5，
那么﹣5＜﹣＜﹣4，
则﹣5＜m＜﹣4，
故选：B．
八．同底数幂的除法（共2小题）
9．（2023 滨州）下列计算，结果正确的是（　　）
A．a2 a3＝a5 B．（a2）3＝a5 C．（ab）3＝ab3 D．a2÷a3＝a
【答案】A
【解答】解：A．a2 a3
＝a3+2
＝a5，
则A符合题意；
B．（a2）3
＝a2×3
＝a6，
则B不符合题意；
C．（ab）3＝a3b3，
则C不符合题意；
D．a2÷a3
＝a2﹣3
＝a﹣1，
则D不符合题意；
故选：A．
10．（2023 烟台）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a2＝2a4 B．（2a2）3＝6a6 C．a2 a3＝a5 D．a8÷a2＝a4
【答案】C
【解答】解：A．a2+a2＝2a2，故此选项不合题意；
B．（2a2）3＝8a6，故此选项不合题意；
C．a2 a3＝a5，故此选项符合题意；
D．a8÷a2＝a6，故此选项不合题意．
故选：C．
九．完全平方公式（共1小题）
11．（2023 济宁）下列各式运算正确的是（　　）
A．x2 x3＝x6 B．x12÷x2＝x6
C．（x+y）2＝x2+y2 D．（x2y）3＝x6y3
【答案】D
【解答】解：A：x2 x3＝x2+3＝x5，故选项A错误，
B：x12÷x2＝x12﹣2＝x10，故选项B错误，
C：（x+y）2＝x2+y2+2xy，故选项C错误，
D：（x2y）3＝x2×3y3＝x6y3．
故选：D．
一十．平方差公式（共1小题）
12．（2023 东营）下列运算结果正确的是（　　）
A．x3 x3＝x9 B．2x3+3x3＝5x6
C．（2x2）3＝6x6 D．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2
【答案】D
【解答】解：A．x3 x3＝x6，
则A不符合题意；
B．2x3+3x3＝5x3，
则B不符合题意；
C．（2x2）3＝8x6，
则C不符合题意；
D．（2+3x）（2﹣3x）
＝22﹣（3x）2
＝4﹣9x2，
则D符合题意；
故选：D．
一十一．因式分解-十字相乘法等（共1小题）
13．（2023 济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　）
A．（a+3）2＝a2+6a+9
B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y）
D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
【答案】C
【解答】解：A：（a+3）2＝a2+6a+9是完全平方公式，不是因式分解的形式，故选项A错误，
B：a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，故选项B错误，
C：5ax2﹣5ay2＝5a（x2﹣y2）＝5a（x+y）（x﹣y），故选项C正确，
D：a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4），故选项D错误．
故答案为：C．
一十二．零指数幂（共1小题）
14．（2023 聊城）（﹣2023）0的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣
【答案】B
【解答】解：（﹣2023）0＝1，
故选：B．
一十三．同类二次根式（共1小题）
15．（2023 烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A．＝2，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B．和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C．＝2，和是同类二次根式，故本选项符合题意；
D．＝2，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
一十四．根的判别式（共1小题）
16．（2023 聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0
【答案】D
【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，
∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，
解得：m≤1且m≠0，
故选：D．
一十五．反比例函数的定义（共1小题）
17．（2023 临沂）正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105m3，设土石方日平均运送量为V（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（　　）
A．反比例函数关系 B．正比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
【答案】A
【解答】解：根据题意得：Vt＝105，
∴V＝，V与t满足反比例函数关系；
故选：A．
一十六．角的概念（共1小题）
18．（2023 临沂）如图中用量角器测得∠ABC的度数是（　　）
A．50° B．80° C．130° D．150°
【答案】C
【解答】解：根据∠ABC起始位置BA，另一条边BC可得：∠ABC＝130°．
故选：C．
一十七．平行线的性质（共1小题）
19．（2023 东营）如图，AB∥CD，点E在线段BC上（不与点B，C重合），连接DE．若∠D＝40°，∠BED＝60°，则∠B＝（　　）
A．10° B．20° C．40° D．60°
【答案】B
【解答】解：∵∠C+∠D＝∠BED＝60°，
∴∠C＝60°﹣∠D＝60°﹣40°＝20°．
又∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C＝20°．
故选：B．
一十八．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）
20．（2023 临沂）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（　　）
A．（6，2） B．（﹣6，﹣2） C．（2，6） D．（2，﹣6）
【答案】A
【解答】解：若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（6，2）．
故选：A．
一十九．中心对称图形（共2小题）
21．（2023 菏泽）剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
22．（2023 烟台）下列四种图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．原图是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
二十．简单组合体的三视图（共4小题）
23．（2023 菏泽）如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：从正面看有三列，从左到右小正方形的个数分别为2、1、1．
故选：A．
24．（2023 聊城）如图所示几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意知，该几何体的主视图为，
故选：D．
25．（2023 滨州）如图所示摆放的水杯，其俯视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图所示摆放的水杯，其俯视图为：
．
故选：D．
26．（2023 枣庄）榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：如图所示的几何体的主视图如下：
．
故选：C．
二十一．由三视图判断几何体（共1小题）
27．（2023 济宁）一个几何体的三视图如图，则这个几何体的表面积是 （　　）
A．39π B．45π C．48π D．54π
【答案】B
【解答】解：由三视图可知，原几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成的几何体，其中圆柱底面圆的直径为6，高为4，圆锥底面圆的直径为6，母线长为4，
所以几何体的表面积为：，
故选：B．
二十二．总体、个体、样本、样本容量（共1小题）
28．（2023 聊城）4月15日是全民国家安全教育日．某校为了摸清该校1500名师生的国家安全知识掌握情况，从中随机抽取了150名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（　　）
A．1500名师生的国家安全知识掌握情况
B．150
C．从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况
D．从中抽取的150名师生
【答案】C
【解答】解：样本是所抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况．
故选：C．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（提升题）知识点分类②
一．无理数（共1小题）
1．（2023 济宁）实数，1.5中无理数是（　　）
A．π B．0 C．﹣ D．1.5
二．由实际问题抽象出一元一次方程（共1小题）
2．（2023 枣庄）《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（　　）
A．240x+150x＝150×12 B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12 D．240x﹣150x＝150×12
三．函数的图象（共1小题）
3．（2023 滨州）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH＞7时溶液呈碱性，当pH＜7时溶液呈酸性，若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是（　　）
A． B．
C． D．
四．一次函数的应用（共1小题）
4．（2023 聊城）甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（　　）
A．8：28 B．8：30 C．8：32 D．8：35
五．二次函数的性质（共1小题）
5．（2023 枣庄）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于2且小于3；③若（0，y1），（，y2）是抛物线上的两点，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m（am+b）≥a+b，其中正确结论的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
六．二次函数图象与系数的关系（共3小题）
6．（2023 菏泽）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（　　）
A．﹣≤c＜1 B．﹣4≤c＜﹣3 C．﹣≤c＜6 D．﹣4≤c＜5
7．（2023 聊城）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论：①3a+c＞0；②若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＞y2；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0．其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023 烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（﹣3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
七．几何体的展开图（共1小题）
9．（2023 聊城）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分OO1为，则其侧面展开图的面积为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
八．平行线的性质（共1小题）
10．（2023 济宁）如图，a，b是直尺的两边，a∥b，把三角板的直角顶点放在直尺的b边上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　）
A．65° B．55° C．45° D．35°
九．三角形内角和定理（共1小题）
11．（2023 聊城）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为（　　）
A．65° B．75° C．85° D．95°
一十．等腰三角形的判定（共1小题）
12．（2023 菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
一十一．等边三角形的性质（共1小题）
13．（2023 滨州）已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为（　　）
A．14° B．16° C．24° D．26°
一十二．圆周角定理（共1小题）
14．（2023 枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（　　）
A．32° B．42° C．48° D．52°
一十三．正多边形和圆（共1小题）
15．（2023 临沂）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（　　）
A．60° B．90° C．180° D．360°
一十四．作图—基本作图（共1小题）
16．（2023 枣庄）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是（　　）
A．BE＝DE B．AE＝CE
C．CE＝2BE D．
一十五．中心对称图形（共1小题）
17．（2023 济宁）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
一十六．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
18．（2023 泰安）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为（﹣6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4，∠D＝30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（　　）
A．3 B．6﹣4 C．2﹣2 D．2
一十七．位似变换（共1小题）
19．（2023 烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（　　）
A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）
一十八．解直角三角形的应用（共1小题）
20．（2023 淄博）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则sin∠DGE等于（　　）
A． B． C． D．
一十九．简单组合体的三视图（共1小题）
21．（2023 烟台）如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（　　）
A． B． C． D．
二十．列表法与树状图法（共1小题）
22．（2023 临沂）在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（　　）
A． B． C． D．
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（提升题）知识点分类②
参考答案与试题解析
一．无理数（共1小题）
1．（2023 济宁）实数，1.5中无理数是（　　）
A．π B．0 C．﹣ D．1.5
【答案】A
【解答】解：根据无限不循环小数是无理数可得：π是无理数．
故选：A．
二．由实际问题抽象出一元一次方程（共1小题）
2．（2023 枣庄）《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（　　）
A．240x+150x＝150×12 B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12 D．240x﹣150x＝150×12
【答案】D
【解答】解：依题意得：240x﹣150x＝150×12．
故选：D．
三．函数的图象（共1小题）
3．（2023 滨州）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH＞7时溶液呈碱性，当pH＜7时溶液呈酸性，若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意：将给定的NaOH溶液加水稀释，那么开始pH＞7，随着慢慢加水，溶液碱性越来越弱，pH值逐渐减小．故选：B．
四．一次函数的应用（共1小题）
4．（2023 聊城）甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（　　）
A．8：28 B．8：30 C．8：32 D．8：35
【答案】A
【解答】解：设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，
∵小亮、小莹乘车行驶完全程用的时间分别是小时，小时，
∴小亮、小莹乘车行驶的速度分别是a千米/时，2a千米/时，
由题意得：ax+2a（x﹣）＝a，
∴x＝，
小时＝28分钟，
∴小亮与小莹相遇的时刻为8：28．
故选：A．
五．二次函数的性质（共1小题）
5．（2023 枣庄）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于2且小于3；③若（0，y1），（，y2）是抛物线上的两点，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m（am+b）≥a+b，其中正确结论的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解答】解：①根据图象可知：a＞0，c＜0，
∵对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，即b＝﹣2a．
∴b＜0，
∴abc＞0．
故①错误．
②方程ax2+bx+c＝0，即为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点，
根据图象已知一个交点﹣1＜x1＜0，关于x＝1对称，
∴另一个交点2＜x2＜3．
故②正确．
③∵对称轴是直线x＝1，
∴点（，y2）离对称轴更近，
∴y1＞y2，
故③错误．
④∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
根据图象，令x＝﹣1，
y＝a+2a+c＝3a+c＞0，
∴6a+2c＞0，
∵a＞0，
∴11a+2c＞0，
故④正确．
⑤m（am+b）＝am2+bm＝am2﹣2am≥a﹣2a，
am2﹣2am≥﹣a，
即证：m2﹣2m+1≥0，
m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，
∴m为任意实数，m2﹣2m+1≥0恒成立．
故⑤正确．
综上②④⑤正确，
故选：C．
六．二次函数图象与系数的关系（共3小题）
6．（2023 菏泽）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍点”．在﹣3＜x＜1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（　　）
A．﹣≤c＜1 B．﹣4≤c＜﹣3 C．﹣≤c＜6 D．﹣4≤c＜5
【答案】D
【解答】解：由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，
在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在﹣3＜x＜1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，
令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得，x2+4x﹣c＝0，
则Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，解得c≥﹣4，
把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣6+c，代入y＝3x得y＝﹣9，
∴﹣9＞﹣6+c，解得c＜﹣3；
把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3，
∴3＞﹣2+c，解得c＜5，
综上，c的取值范围为：﹣4≤c＜5．
故选：D．
7．（2023 聊城）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论：①3a+c＞0；②若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＞y2；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0．其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：∵对称轴为直线x＝﹣1．
∴b＝2a，
∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故①错误，
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∵（﹣4，y1）关于直线x＝﹣1对称的点为（2，y1），
又∵2＜3，
∴y1＞y2，故②正确，
方程ax2+bx+c＝﹣1的解可看做抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1的交点，
由图象可知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，故③错误，
不等式ax2+bx+c＞2的解集可看做抛物线y＝ax2+bx+c的图象在直线y＝2上方的部分，
∵（0，2）关于直线x＝﹣1对称的点为（﹣2，2），
∴x的取值范围为﹣2＜x＜0，故④正确．
故选：B．
8．（2023 烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（﹣3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，m），
∴﹣，
∴，即ab＞0，
由图可知，抛物线开口方向向下，即a＜0，
∴b＜0，
当x＝0时，y＝c＞0，
∴abc＞0，
故①正确，符合题意；
②∵直线x＝﹣是抛物线的对称轴，
∴﹣，
∴，
∴a＝b，
由图象可得：当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴2b+c＜0，
故②错误，不符合题意；
③∵直线x＝﹣是抛物线的对称轴，
设（﹣3，y1），（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2，
则，
，
∴d2＞d1，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴y1＞y2，
故③正确，符合题意；
④∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根，
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣3）＜0，
∴b2﹣4ac+12a＜0，
∴b2﹣4ac＜﹣12a，
∴4ac﹣b2＞12a，
∵，
∴m＜3，
故④正确，符合题意．
故选：C．
七．几何体的展开图（共1小题）
9．（2023 聊城）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分OO1为，则其侧面展开图的面积为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
【答案】C
【解答】解：如图示：由题意得：O1B∥OC，
∴△AO1B∽△AOC，
∴＝，
∴，
解得：AO1＝，
∴AB＝＝，AC＝＝2，
∴其侧面展开图的面积为：2×2π﹣1×π＝3π，
故选：C．
八．平行线的性质（共1小题）
10．（2023 济宁）如图，a，b是直尺的两边，a∥b，把三角板的直角顶点放在直尺的b边上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【答案】B
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝35°．
∵∠BEC＝180°﹣∠E﹣∠3＝180°﹣90°﹣35°＝55°，∠2＝∠BEC，
故选：B．
九．三角形内角和定理（共1小题）
11．（2023 聊城）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为（　　）
A．65° B．75° C．85° D．95°
【答案】B
【解答】解：∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠EBC＝80°，
∵∠CAD+∠ADC+∠ACB＝180°，∠CAD＝25°，
∴∠ACB＝180°﹣25°﹣80°＝75°，
故选：B．
一十．等腰三角形的判定（共1小题）
12．（2023 菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【解答】解：由题意得，
解得，
∵a2+b2＝c2，且a＝b，
∴△ABC为等腰直角三角形，
故选：D．
一十一．等边三角形的性质（共1小题）
13．（2023 滨州）已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为（　　）
A．14° B．16° C．24° D．26°
【答案】B
【解答】解：如图，过点P作PD∥AB交AC于点D，过点PE∥AC交AB于点E，
则四边形AEPD为平行四边形，
∴DP＝AE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，
∵PD∥AB，
∴∠CPD＝∠B＝60°，∠CDP＝∠BAC＝60°，
∴△CDP为等边三角形，
∴CP＝DP＝CD，
∴CP＝DP＝AE，
∵PE∥AC，
∴∠BEP＝∠BAC＝60°，∠BPE＝∠C＝60°，
∴△BEP为等边三角形，
∴BP＝EP＝BE，
∴△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形，
∵∠APC＝104°，
∴∠APB＝180°﹣∠APC＝76°，
∴∠APE＝∠APB﹣∠BPE＝16°，
∠PAE＝∠APC﹣∠B＝44°，
∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，
∴以线段AP，BP，CP为边的三角形的三个内角分别为16°、44°、120°，
∴最小内角的大小为16°．
故选：B．
一十二．圆周角定理（共1小题）
14．（2023 枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（　　）
A．32° B．42° C．48° D．52°
【答案】A
【解答】解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，
∴∠C＝80°﹣48°＝32°，
∵，
∴∠B＝∠C＝32°．
故选：A．
一十三．正多边形和圆（共1小题）
15．（2023 临沂）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（　　）
A．60° B．90° C．180° D．360°
【答案】B
【解答】解：由于正六边形的中心角为＝60°，
所以正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角可以为60°或60°的整数倍，即可以为60°，120°，180°，240°，300°，360°，不可能是90°，
故选：B．
一十四．作图—基本作图（共1小题）
16．（2023 枣庄）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是（　　）
A．BE＝DE B．AE＝CE
C．CE＝2BE D．
【答案】D
【解答】解：由作法得AB＝AD，PB＝PD，
∴AP垂直平分BD，
∴BE＝DE，所以A选项不符合题意；
∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝60°，
由作法得AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°，
∴∠CAE＝∠C，
∴AE＝CE，所以B选项不符合题意；
在Rt△ABE中，∵∠BAE＝30°，
∴AE＝2BE，
∴CE＝2BE，所以C选项不符合题意；
在Rt△ABC中，∵∠C＝30°，
∴AC＝2AB，
∵AD＝AB，
∴AD＝CD，
∴S△EDC＝S△ACE，
∵CE＝2BE，
∴CE＝BC，
∴S△ACE＝S△ABC，
∴S△EDC＝×S△ABC＝S△ABC，所以D选项符合题意．
故选：D．
一十五．中心对称图形（共1小题）
17．（2023 济宁）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
B、是中心对称图形，所以符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意．
故选：B．
一十六．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
18．（2023 泰安）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为（﹣6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4，∠D＝30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（　　）
A．3 B．6﹣4 C．2﹣2 D．2
【答案】A
【解答】 解：取OB中点N，连接MN，AN．
在Rt△OCD中，OD＝4，∠D＝30°，
∴OC＝4，
∵M、N分别是BC、OB的中点，
∴MN＝OC＝2，
在△ABN中，AB＝4，BN＝3，
∴AN＝5，
在△AMN中，AM＞AN﹣MN；当M运动到AN上时，AM＝AN﹣MN，
∴AM≥AN﹣MN＝5﹣2＝3，
∴线段AM的最小值是3，
故选：A．
一十七．位似变换（共1小题）
19．（2023 烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（　　）
A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）
【答案】A
【解答】解：由题意可知：点A1（﹣2，1），点A4（﹣1，2），点A7（0，3），
∵1＝3×0+1，4＝3×1+1，7＝3×2+1，……，100＝3×33+1，﹣2＝0﹣2，﹣1＝1﹣2，0＝2﹣2，1＝0+1，2＝1+1，3＝2+1，
∴顶点A100的坐标为（33﹣2，33+1），即（31，34），
故选：A．
一十八．解直角三角形的应用（共1小题）
20．（2023 淄博）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则sin∠DGE等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：过点D作ND⊥GE交GE的延长线于点N，
由题意知，两个正方形之间是4个相等的三角形，
设△ABG的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为x，小正方形的边长为x，
即ED＝BG＝HC＝AF＝b，AG＝BH＝CE＝DF＝a，EG＝b，
由题意得：，解得：，
在△GDE中，EG＝GH＝b，则NE＝ND＝ED＝b＝x，EG＝GH＝（a﹣b）＝x，
则tan∠DGE＝＝＝，
则sin∠DGE＝，
故选：A．
一十九．简单组合体的三视图（共1小题）
21．（2023 烟台）如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：图⑤几何体的俯视图为：
．
故选：A．
二十．列表法与树状图法（共1小题）
22．（2023 临沂）在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．
故选：D．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类①
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023 济宁）计算：．
二．分式的混合运算（共1小题）
2．（2023 潍坊）（1）化简：．
（2）利用数轴，确定不等式组的解集．
三．分式方程的应用（共1小题）
3．（2023 威海）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，一部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度．
四．一次函数的应用（共1小题）
4．（2023 青岛）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
品名 A B
进价（元/件） 45 60
售价（元/件） 66 90
（1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
（2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
五．反比例函数综合题（共1小题）
5．（2023 济南）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数y＝的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和 　 　，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝　 　m，BC＝　 　m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
【类比探究】
（2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值；
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与y＝图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
六．二次函数的应用（共1小题）
6．（2023 菏泽）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．
（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
七．平行四边形的性质（共1小题）
7．（2023 淄博）如图，在 ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连接AE，CF，且AE∥CF．
求证：（1）∠1＝∠2；
（2）△ABE≌△CDF．
八．菱形的判定与性质（共1小题）
8．（2023 日照）如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝10，tan∠BAC＝2，求四边形ABCD的面积．
九．切线的性质（共1小题）
9．（2023 威海）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，⊙P与x轴相切于点C，与y轴相交于点A（0，8），B（0，2）．连接AC，BC．
（1）求点P的坐标；
（2）求cos∠ACB的值．
一十．圆的综合题（共1小题）
10．（2023 威海）已知：射线OP平分∠MON，A为OP上一点，⊙A交射线OM于点B，C，交射线ON于点D，E，连接AB，AC，AD．
（1）如图1，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由；
（2）如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F；过点D作DG⊥ON，交OP于点G．求证：AG＝AF．
一十一．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
11．（2023 泰安）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点F是DC边上的一点，连接AF，将△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，连接AG并延长交DC于点H，连接FG并延长交BC于点M，交AB的延长线于点E，且AC＝AE．
（1）求证：四边形DBEF是平行四边形；
（2）求证：FH＝ME．
一十二．条形统计图（共2小题）
12．（2023 潍坊）某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．
【数据的收集与整理】
分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表．
投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5
七年级频数（人） 7 10 15 12 6
八年级频数（人） 2 10 13 21 4
【数据的描述与分析】
（1）求扇形统计图中圆心角α的度数，并补全频数分布直方图．

（2）根据频数分布表分别计算有关统计量：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
七年级 3 3 x 1.48
八年级 m n 3.3 1.01
直接写出表格中m、n的值，并求出．
【数据的应用与评价】
（3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价．
13．（2023 威海）某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了40名学生进行安全知识测试，测试结果如表1所示（每题1分，共10道题）．专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取40名学生进行测试，根据测试数据制作了如图1、图2所示的统计图（尚不完整）．
表1
分数/分 人数/人
2 4
5 6
6 8
7 8
8 12
9 2
设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2．
表2
平均数/分 众数/分 中位数/分 合格率
第一次 6.4 a 7 35%
第二次 b 8 9 c
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）将图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值；
（2）若全校学生以1200人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数；
（3）从多角度分析本次专项安全教育活动的效果．
一十三．列表法与树状图法（共1小题）
14．（2023 日照）2023年3月22日至28日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量x（m3）分为5组，第一组：5≤x＜7，第二组：7≤x＜9，第三组：9≤x＜11，第四组：11≤x＜13，第五组：13≤x＜15，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：
信息一：
甲小区3月份用水量频数分布表
用水量（x/m3） 频数（户）
5≤x＜7 4
7≤x＜9 9
9≤x＜11 10
11≤x＜13 5
13≤x＜15 2
信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：
甲小区 乙小区
平均数 9.0 9.1
中位数 9.2 a
信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：
9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝　 　；
（2）在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为b1，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为b2，比较b1，b2大小，并说明理由；
（3）若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于13m3的总户数；
（4）因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类①
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2023 济宁）计算：．
【答案】．
【解答】解：
＝2
＝
＝．
二．分式的混合运算（共1小题）
2．（2023 潍坊）（1）化简：．
（2）利用数轴，确定不等式组的解集．
【答案】（1）；
（2）﹣2≤x＜3．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝；
（2），
解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：x＜3，
在数轴上表示不等式①②的解集如图所示：
∴原不等式组的解集为：﹣2≤x＜3．
三．分式方程的应用（共1小题）
3．（2023 威海）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，一部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度．
【答案】大型客车的速度是60km/h．
【解答】解：设大型客车的速度为xkm/h，则小型客车的速度为1.2x km/h，
根据题意得12分钟＝小时．
故列方程为：．
解得：x＝60．
经检验，x＝60是原方程的根．
答：大型客车的速度是60km/h．
四．一次函数的应用（共1小题）
4．（2023 青岛）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
品名 A B
进价（元/件） 45 60
售价（元/件） 66 90
（1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
（2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
【答案】（1）2880元；（2）①W＝﹣4m+3000（150≥m≥50），②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见详解．
【解答】解：（1）设购进AT恤衫x件，购进BT恤衫y件，根据题意列出方程组为：
，
解得，
∴全部售完获利＝（66﹣45）×80+（90﹣60）×40＝1680+1200＝2880（元）．
（2）①设第二次购进A种T恤衫m件，则购进B种T恤衫（150﹣m）件，根据题意150﹣m≤2m，即m≥50，
∴W＝（66﹣45﹣5）m+（90﹣60﹣10）（150﹣m）＝﹣4m+3000（150≥m≥50），
②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：
由①可知，W＝﹣4m+3000（150≥m≥50），
∵﹣4＜0，一次函数W随m的增大而减小，
∴当m＝50时，W取最大值，W大＝﹣4×50+3000＝2800（元），
∵2800＜2880，
∴服装店第二次获利不能超过第一次获利．
五．反比例函数综合题（共1小题）
5．（2023 济南）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数y＝的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和 　（4，2）　，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝　4　m，BC＝　2　m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
【类比探究】
（2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值；
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与y＝图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）（4，2）；4；2；
（2）不能围出；
（3）a＝8；
（4）8≤a≤17．
【解答】解：（1）将反比例函数y＝与直线l1：y＝﹣2x+10联立得
，
∴＝﹣2x+10，
∴x2﹣5x+4＝0，
∴x1＝1，x2＝4，
∴另一个交点坐标为（4，2），
∵AB为xm，BC为ym，
∴AB＝4，BC＝2．
故答案为：（4，2）；4；2；
（2）不能围出；
y＝﹣2x+6的图象，如答案图中l2所示：
∵l2 与函数 图象没有交点，
∴不能围出面积为 8m2的矩形．
（3）如答案图中直线l3所示：
将点（2，4）代入y＝﹣2x+a，解得a＝8．
（4）∵AB和BC的长均不小于1m，
∴x≥1，y≥1，
∴≥1，
∴x≤8，
∴1≤x≤8，
如图所示，直线y＝﹣2x+a在l3、l4上面或之间移动，
把（8，1）代入y＝﹣2x+a得a＝17，
∴8≤a≤17．
六．二次函数的应用（共1小题）
6．（2023 菏泽）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．
（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
【答案】（1）垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；
（2）最多可以购买1400株牡丹．
【解答】解：（1）设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为（120﹣3x）米，
根据题意得：S＝x（120﹣3x）＝﹣3x2+120x＝﹣3（x﹣20）2+1200，
∵﹣3＜0，
∴当x＝20时，S取最大值1200，
∴120﹣3x＝120﹣3×20＝60，
∴垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；
（2）设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2﹣m＝（2400﹣m）株，
∵学校计划购买费用不超过5万元，
∴25m+15（2400﹣m）≤50000，
解得m≤1400，
∴最多可以购买1400株牡丹．
七．平行四边形的性质（共1小题）
7．（2023 淄博）如图，在 ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连接AE，CF，且AE∥CF．
求证：（1）∠1＝∠2；
（2）△ABE≌△CDF．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥EC，
又∵AE∥CF．
∴四边形AECF是平行四边形．
∴∠1＝∠2（平行四边形对角相等）．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝FC，AF＝CE，
∴BE＝FD，
在△ABE和△CDF中，
∵，
∴△ABE≌△CDF（SSS）．
八．菱形的判定与性质（共1小题）
8．（2023 日照）如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝10，tan∠BAC＝2，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）80．
【解答】（1）证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，
在△BOE与△DOE中，
∴△BOE≌△DOE（SSS），
∴∠BEO＝∠DEO，
在△BAE与△DAE中，
，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：在Rt△ABO中，∵tan∠BAC＝＝2，
∴设AO＝x，BO＝2x，
∴AB＝＝x＝10，
∴x＝2，
∴AO＝2，BO＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO＝4，BD＝2BO＝8，
∴四边形ABCD的面积＝AC BD＝＝80．
九．切线的性质（共1小题）
9．（2023 威海）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，⊙P与x轴相切于点C，与y轴相交于点A（0，8），B（0，2）．连接AC，BC．
（1）求点P的坐标；
（2）求cos∠ACB的值．
【答案】（1）点P的坐标为（4，5）；
（2）．
【解答】解：（1）∵点A（0，8），B（0，2），
∴AB＝6，
过P作PH⊥AB于H，
∴AH＝BH＝3，
∴OH＝5，
连接PC，PB，
∵⊙P与x轴相切于点C，
∴PC⊥x轴，
∴∠PHB＝∠PCO＝∠COH＝90°，
∴四边形PCOH是矩形，
∴PC＝OH＝5，
∵PH＝＝4，
∴点P的坐标为（4，5）；
（2）连接AP并延长交⊙P于M，连接BM，
则∠ABM＝90°，
∴BM＝＝＝8，
∴cos∠ACB＝cos∠AMB＝．
一十．圆的综合题（共1小题）
10．（2023 威海）已知：射线OP平分∠MON，A为OP上一点，⊙A交射线OM于点B，C，交射线ON于点D，E，连接AB，AC，AD．
（1）如图1，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由；
（2）如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F；过点D作DG⊥ON，交OP于点G．求证：AG＝AF．
【答案】（1）四边形OBAD是菱形；理由见解答过程；
（2）证明见解答过程．
【解答】（1）解：四边形OBAD是菱形，理由如下：
如图，作AS⊥DE于点S，作AT⊥BC于点T，
∵OP平分∠MON，
∴AS＝AT，∠AOD＝∠AOB，
在Rt△ASD与Rt△ATB中，
，
∴Rt△ASD≌Rt△ATB（HL），
∴SD＝TB，
在Rt△ASO与Rt△ATO中，
，
∴Rt△ASO≌Rt△ATO（HL），
∴SO＝TO，
∴SO﹣SD＝TO﹣TB，
即OD＝OB，
∵AD∥OM，
∴∠AOB＝∠OAD，
∵∠AOD＝∠AOB，
∴∠AOD＝∠OAD，
∴AD＝OB，
∴四边形OBAD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形OBAD是菱形；
（2）证明：如图，连接FE，
∵AS⊥DE，AT⊥BC，
∴SD＝SE＝DE，TB＝TC＝BC，
∵SD＝TB，
∴DE＝BC，
∵OD＝OB，
∴OD+DE＝OB+BC，
即OE＝OC，
在△OEF与△OCF中，
，
∴△OEF≌△OCF（SAS），
∴∠OEF＝∠OCF，
∵CF⊥OM，
∴∠OEF＝∠OCF＝90°，
∵AS⊥DE，DG⊥ON，
∴∠ODG＝∠OSA＝∠OEF＝90°，
∴DG∥SA∥EF，
∴＝＝1，
∴AG＝AF．
一十一．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
11．（2023 泰安）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点F是DC边上的一点，连接AF，将△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，连接AG并延长交DC于点H，连接FG并延长交BC于点M，交AB的延长线于点E，且AC＝AE．
（1）求证：四边形DBEF是平行四边形；
（2）求证：FH＝ME．
【答案】（1）见解答
（2）见解答
【解答】证明：（1）∵△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，
∴△ADF≌△AGF，
∴AD＝AG，∠AGF＝∠ADF＝90°，
∴∠AGE＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADC和Rt△AGE中：
，
∴Rt△ADC≌Rt△AGE（HL），
∴∠ACD＝∠E，
在矩形ABCD中，对角线互相平分，
∴OA＝OB，
∴∠CAB＝∠ABD，
又∵DC∥AB，
∴∠ACD＝∠CAB，
∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABD＝∠E，
∴DB∥FE，
又∵DF∥BE，
∴四边形DBEF是平行四边形．
（2）∵四边形DBEF是平行四边形，
∴DF＝EB，
又∵DF＝FG，
∴FG＝EB，
∵DC∥AE，
∴∠HFG＝∠E，
在△FGH和△EBM中：
，
∴△FGH≌△EBM（ASA），
∴FH＝ME．
一十二．条形统计图（共2小题）
12．（2023 潍坊）某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．
【数据的收集与整理】
分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表．
投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5
七年级频数（人） 7 10 15 12 6
八年级频数（人） 2 10 13 21 4
【数据的描述与分析】
（1）求扇形统计图中圆心角α的度数，并补全频数分布直方图．

（2）根据频数分布表分别计算有关统计量：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
七年级 3 3 x 1.48
八年级 m n 3.3 1.01
直接写出表格中m、n的值，并求出．
【数据的应用与评价】
（3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价．
【答案】（1）72°；
补全频数分布直方图见解答；
（2）m＝3.5，n＝4，；
（3）从平均数看：八年级平均数高于七年级平均数，所以八班级投稿情况好于七年级；
从方差看：八年级方差小于七年级方差，说明八年级波动较小，所以班级投稿情况好于七年级．
【解答】解：（1）α＝360°×（1﹣14%﹣30%﹣24%﹣12%）＝72°；
补全频数分布直方图如下：
（2）∵八年级投稿篇数数据有小到大排列第25、26个数据分别为3，4，
∴m＝（篇）；
∵八班级投稿篇数4篇是出现最多的，
∴n＝4；
七年级投稿平均数（篇），
故表格中m＝3.5，n＝4，；
（3）从平均数看：八年级平均数高于七年级平均数，所以八班级投稿情况好于七年级；
从方差看：八年级方差小于七年级方差，说明八年级波动较小，所以班级投稿情况好于七年级．
13．（2023 威海）某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了40名学生进行安全知识测试，测试结果如表1所示（每题1分，共10道题）．专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取40名学生进行测试，根据测试数据制作了如图1、图2所示的统计图（尚不完整）．
表1
分数/分 人数/人
2 4
5 6
6 8
7 8
8 12
9 2
设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2．
表2
平均数/分 众数/分 中位数/分 合格率
第一次 6.4 a 7 35%
第二次 b 8 9 c
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）将图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值；
（2）若全校学生以1200人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数；
（3）从多角度分析本次专项安全教育活动的效果．
【答案】（1）补全统计图见解答，a＝8，b＝8.55，c＝87.5%；
（2）1050人；
（3）专项安全教育活动的效果良好．
【解答】解：（1）8分人数为：40×35%＝14（人），
故7分人数为：40﹣2﹣8﹣13﹣14＝3（人），
补全统计图如下：
故众数a＝8，
平均数b＝（2×6+3×7+14×8+13×9+8×10）＝8.55；
合格率c＝＝87.5%；
（2）1200×87.5%＝1050（人），
答：估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数大约为1050人；
（3）专项安全教育活动的效果良好，理由如下：
专项安全教育活动后，学生测试成绩的平均数，中位数以及合格率比开展专项安全教育活动前高得多，所以专项安全教育活动的效果良好．
一十三．列表法与树状图法（共1小题）
14．（2023 日照）2023年3月22日至28日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量x（m3）分为5组，第一组：5≤x＜7，第二组：7≤x＜9，第三组：9≤x＜11，第四组：11≤x＜13，第五组：13≤x＜15，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：
信息一：
甲小区3月份用水量频数分布表
用水量（x/m3） 频数（户）
5≤x＜7 4
7≤x＜9 9
9≤x＜11 10
11≤x＜13 5
13≤x＜15 2
信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：
甲小区 乙小区
平均数 9.0 9.1
中位数 9.2 a
信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：
9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝　9.1　；
（2）在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为b1，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为b2，比较b1，b2大小，并说明理由；
（3）若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于13m3的总户数；
（4）因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．
【答案】（1）9.1；
（2）b1＜b2；理由见解答过程；
（3）两个小区3月份用水量不低于13m3的总户数为90；
（4）所抽取的两名同学都是男生的概率是．
【解答】解：（1）由统计图知，乙小区3月份用水量小于9m3的14户，
∵乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6，
∴第15个数据为9，第16个数据为9.2，
∴a＝＝9.1，
故答案为：9.1；
（2）b1＜b2，理由如下：
∵甲小区平均用水量为9.0m3，低于平均用水量的户数为13户，
∴b1＝，
∵乙小区平均用水量为9.1m3，低于平均用水量的户数为15户，
∴b2＝，
∴b1＜b2；
（3）∵（600+750）×＝90（户），
∴两个小区3月份用水量不低于13m3的总户数为90；
（4）根据题意列表得：
男 男 男 女
男 （男，男） （男，男） （男，男） （女，男）
男 （男，男） （男，男） （男，男） （女，男）
女 （男，女） （男，女） （男，女） （女，女）
女 （男，女） （男，女） （男，女） （女，女）
共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生有6种，
∴所抽取的两名同学都是男生的概率是＝．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2023 日照）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为20cm，20cm，10cm的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为40cm×40cm的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．
（1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒 　 　个；
若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材 　 　张；
（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；
（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为（20﹣a）元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．
二．二次函数综合题（共5小题）
2．（2023 淄博）如图，一条抛物线y＝ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A（3，﹣3），点B在第一象限内，对称轴是直线x＝，且△OAB的面积为18．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023 东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．
4．（2023 枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2023 日照）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0）交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．
（1）求点C，D的坐标；
（2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M（4，0），求点P的坐标；
（3）坐标平面内有两点E（，a+1），F（5，a+1），以线段EF为边向上作正方形EFGH．
①若a＝1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；
②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．
6．（2023 聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．
三．三角形综合题（共1小题）
7．（2023 临沂）如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．
（1）写出AB与BD的数量关系．
（2）延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB．
（3）在（2）的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．
四．四边形综合题（共2小题）
8．（2023 淄博）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
（1）操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．试判断：△ACF的形状为 　 　．
（2）深入探究
小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB＝2，AD＝4．
探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF的面积．
探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．求线段DH长度的最大值和最小值．
9．（2023 东营）（1）用数学的眼光观察
如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．
（2）用数学的思维思考
如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F．
（3）用数学的语言表达
如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．
五．圆的综合题（共3小题）
10．（2023 枣庄）如图，AB为⊙O的直径，点C是的中点，过点C做射线BD的垂线，垂足为E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BE＝3，AB＝4，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．
11．（2023 日照）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：
如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．
（1）求证：A，E，B，D四点共圆；
（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；
（3）已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
12．（2023 济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．
（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；
（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．

六．相似三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2023 泰安）如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，点E在线段AC上，BC，DE相交于点F，连接BE，BD，作EH⊥BD，垂足为点H，交BC与点G．
（1）若点H是BD的中点，求∠BED的度数；
（2）求证：△EFG∽△BFD；
（3）求证：＝．
七．相似形综合题（共2小题）
14．（2023 济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．
（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；
（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；
（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．
15．（2023 菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2023 日照）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为20cm，20cm，10cm的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为40cm×40cm的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．
（1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒 　（200﹣x）　个；
若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材 　（200﹣y）　张；
（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；
（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为（20﹣a）元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】（1）（200﹣x），（200﹣y）；
（2）制作A种木盒100个，B种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板50张；
（3）A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．
【解答】解：（1）∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个，
故制作B种木盒（200﹣x）个；
∵有200张规格为40cm×40cm的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张，
故使用乙种方式切割的木板材（200﹣y）张；
故答案为：（200﹣x），（200﹣y）；
（2）使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出4y个长、宽均为20cm的木板，
使用乙种方式切割的木板材（200﹣y）张，则可切割出8（200﹣y）个长为10cm、宽为20cm的木板；
设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为20cm的木板5x个，
制作B种木盒（200﹣x）个，则需要长、宽均为20cm的木板（200﹣x）个，需要长为10cm、宽为20cm的木板4（200﹣x）个；
故，
解得：，
故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个，
使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张；
（3）∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，
故总成本为150×5+8×50＝1150（元）；
∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元，
∴，
解得：7≤a≤18，
设利润为w元，则w＝100a+100（20﹣a）﹣1150，
整理得：w＝850+50a，
∵50＞0，
∴w随a的增大而增大，
故当a＝18时，有最大值，最大值为850+50×18＝1750（元），
则此时B种木盒的销售单价定为20﹣×18＝11（元），
即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．
二．二次函数综合题（共5小题）
2．（2023 淄博）如图，一条抛物线y＝ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A（3，﹣3），点B在第一象限内，对称轴是直线x＝，且△OAB的面积为18．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣3x；
（2）（6，6）；
（3）存在，P点坐标为（，）或（﹣，﹣）或（+6，+6）或（﹣+6，﹣+6）．
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝，
∴﹣＝，
∴b＝﹣a①，
将点A（3，﹣3）代入y＝ax2+bx，
∴9a+3b＝﹣3②，
联立①②可得，a＝，b＝﹣3，
∴函数的解析式为y＝x2﹣3x；
（2）设B（m，m2﹣3m），
如图1，过A点作EF⊥y轴交于E点，过B点作BF⊥EF交于F点，
∴△OAB的面积＝ m（m2﹣3m+3+3）﹣3×3﹣（m﹣3）（m2﹣3m+3）＝18，
解得m＝6或m＝﹣3（舍），
∴B（6，6）；
（3）存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵A（3，﹣3），B（6，6），
∴C（，），
设直线OB的解析式为y＝kx，
∴6k＝6，
解得k＝1，
∴直线OB的解析式为y＝x，
设P（t，t），
如图2，当BP为平行四边形的对角线时，BC∥A1P，BC＝A1P，
∵AC＝BC，
∴AC＝A1P，
由对称性可知AC＝A1C，AP＝A1P，
∴AP＝AC，
∴＝，
解得t＝，
∴P点坐标为（，）或（﹣，﹣）；
如图3，当BC为平行四边形的对角线时，BP∥A1C，BP＝A1C，
由对称性可知，AC＝A1C，
∴BP＝AC，
∴＝，
解得t＝+6或t＝﹣+6，
∴P（+6，+6）或（﹣+6，﹣+6）；
综上所述：P点坐标为（，）或（﹣，﹣）或（+6，+6）或（﹣+6，﹣+6）．
3．（2023 东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．
【答案】（1）y＝x2﹣x；
（2）当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；
（3）抛物线向右平移的距离是4个单位．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax（x﹣10），
∵当t＝2时，BC＝4，
∴点C的坐标为（2，﹣4），
∴将点C坐标代入解析式得2a（2﹣10）＝﹣4，
解得：a＝，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x；
（2）由抛物线的对称性得AE＝OB＝t，
∴AB＝10﹣2t，
当x＝t时，点C的纵坐标为t2﹣t，
∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）
＝2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）]
＝﹣t2+t+20
＝﹣（t﹣1）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；
（3）如图，连接AC，BD相交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ，
∵t＝2，
∴B（2，0），
∴A（8，0），
∵BC＝4．
∴C（2，﹣4），
∵直线GH平分矩形ABCD的面积，
∴直线GH过点P，
由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，
∴PQ＝CH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴点P是AC的中点，
∴P（5，﹣2），
∴PQ＝OA，
∵OA＝8，CH＝PQ＝OA＝4，
∴抛物线向右平移的距离是4个单位
4．（2023 枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）MH+DH的最小值为；
（3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M（1，4），
设直线AM的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线AM的解析式为y＝2x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴D（0，2），
作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，如图，
则DH＝D′H，
∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，
∵D′M＝＝，
∴MH+DH的最小值为；
（3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．
由（2）得：D（0，2），M（1，4），
∵点P是抛物线上一动点，
∴设P（m，﹣m2+2m+3），
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，
∴设Q（1，n），
当DM、PQ为对角线时，DM、PQ的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（1，3）；
当DP、MQ为对角线时，DP、MQ的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（1，1）；
当DQ、PM为对角线时，DQ、PM的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（1，5）；
综上所述，对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）．
5．（2023 日照）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0）交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．
（1）求点C，D的坐标；
（2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M（4，0），求点P的坐标；
（3）坐标平面内有两点E（，a+1），F（5，a+1），以线段EF为边向上作正方形EFGH．
①若a＝1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；
②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．
【答案】（1）C（0，2），D（5，2）；
（2）；
（3）①（1，6），（4，6），（5，2）；②a＝0.5．
【解答】解：（1）在 y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0）中，当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
∵抛物线解析式为 y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0），
∴抛物线对称轴为直线 ，
∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，
∴C、D关于抛物线对称轴对称，
∴D（5，2）；
（2）当 时，抛物线解析式为 ，
当y＝0时，，
解得 x＝﹣1或 x＝6，
∴A（﹣1，0），
如图，设DP上与点M关于直线AD对称的点为N（m，n），
由轴对称的性质可得：AN＝AM，DN＝DM，
，
∴3m+n＝12，
∴n＝12﹣3m
∴m2+2m+1+144﹣72m+9m2＝25，
∴m2﹣7m+12＝0，
解得m＝3或m＝4（舍去），
∴n＝12﹣3m＝3，
∴N（3，3），
设直线DP的解析式为y＝kx+b1，
∴，
解得，
∴直线DP的解析式为 ，
联立，
解得或，
∴P（，）；
（3）①当a＝1时，抛物线解析式为 y＝﹣x2+5x+2，E（1，2），F（5，2），
∴EH＝EF＝FG＝4，
∴H（1，6），G（5，6），
当x＝1时，y＝﹣12+5×1+2＝6，
∴抛物线 y＝﹣x2+5x+2 恰好经过H（1，6）；
∵抛物线对称轴为直线 ，由对称性可知抛物线经过（4，6），
∴点（4，6）为抛物线与正方形的一个交点，
又∵点F与点D重合，
∴抛物线也经过点F（5，2）；
综上所述，正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标为（1，6），（4，6），（5，2）；
②如图，当抛物线与GH、GF分别交于T、D时，
∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 ，
∴点T的纵坐标为2+2.5＝4.5，
∴，
∴a2+1.5a﹣1＝0，
解得a＝﹣2（舍去）或a＝0.5；
如图，当抛物线与GH、EF分别交于T、S，
∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 ，
∴，
解得a＝0.4（舍去，因为此时点F在点D下方）
如图，当抛物线与EH、EF分别交于T、S，
∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴﹣a（）2+5a +2＝a+1+2.5，
解得 或 （舍去）；
当 时，y＝﹣ax2+5ax+2＝6.25a+2，
当时，6.25a+2＞6+a﹣，
∴ 不符合题意；
综上所述，a＝0.5．
6．（2023 聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．
【答案】（1）y＝；
（2）Q（3，﹣9）或（，9）或（，9）；
（3）当m＝时，△PDE的面积最大值为：．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣6），
∴﹣9＝a 3×（﹣6），
∴a＝，
∴y＝（x+3）（x﹣6）＝；
（2）如图1，
抛物线的对称轴为：直线x＝＝，
由对称性可得Q1（3，﹣9），
当y＝9时，
＝9，
∴x＝，
∴Q2（，9），Q3（，9），
综上所述：Q（3，﹣9）或（，9）或（，9）；
（3）设△PED的面积为S，
由题意得：AP＝m+3，BP＝6﹣m，OB＝6，OC＝9，AB＝9．
∴BC＝＝3，
∵sin∠PBD＝，
∴，
∴PD＝，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，∠EPD＝∠PDB＝90°，
∴，
∴，
∴PE＝，
∴S＝PE PD＝（m+3）（6﹣m）＝﹣，
∴当m＝时，S最大＝，
∴当m＝时，△PDE的面积最大值为：．
三．三角形综合题（共1小题）
7．（2023 临沂）如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．
（1）写出AB与BD的数量关系．
（2）延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB．
（3）在（2）的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．
【答案】（1）结论：AB＝（+1）BD．理由见解析部分；
（2）（3）证明见解析部分．
【解答】（1）解：结论：AB＝（+1）BD．
理由：在BC上取一点T，使得BT＝BD，连接DT，AT．设AB＝AC＝a，则BC＝a．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴∠DBT＝45°，
∵BD＝BT，
∴∠BDT＝∠BTD＝67.5°，
∵BC＝AB+BD＝AC+BD＝BT+AC，
∴CT＝CA＝a，
∴BD＝BT＝BC﹣CT＝a﹣a，
∴＝＝+1，
∴AB＝（+1）BD；
（2）证明：如图2中，
在△BCD和△ECF中，
，
∴△BCD≌△ECF（SAS），
∴∠CBD＝∠E＝45°，BD＝EF，
∴BD∥EF，
∵BD⊥AB，
∴EF⊥AB；
（3）证明：延长CH交EF的延长线于点J．
∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝135°，CH平分∠ACE，
∴∠ACH＝∠ECH＝67.5°，
∵∠ACB＝∠E＝45°，
∴AC∥EJ，
∴∠J＝∠ACH＝∠ECJ＝67.5°，
∴CE＝EJ＝CB，
∵BC＝BD+AB，EJ＝EF+FJ，
∴FJ＝AB＝AC，
∵∠AHC＝∠FHJ，∠ACH＝∠J，
∴△ACH≌△FJH（AAS），
∴AH＝FH．
四．四边形综合题（共2小题）
8．（2023 淄博）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
（1）操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．试判断：△ACF的形状为 　等腰直角三角形　．
（2）深入探究
小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB＝2，AD＝4．
探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF的面积．
探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．求线段DH长度的最大值和最小值．
【答案】（1）等腰直角三角形；
（2）探究一：；
探究二：DH的最大值为+1，最小值为﹣1．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝，
在Rt△CFG中，CF＝，
∵AB＝GF，BC＝CG，
∴AC＝CF，
∴△ACF是等腰三角形，
∵AB＝GF，∠FGC＝∠ABC＝90°．BC＝CG，
∴△ABC≌△FGC（SAS），
∴∠ACG＝∠GFC，
∵∠GCF+∠GFC＝90°，
∴∠ACG+∠GCF＝90°，
∴∠ACF＝90°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）探究一：∵CD＝GF，∠FMG＝∠DMC，∠G＝∠CDF＝90°，
∴△CDM≌△FGM（AAS），
∴CM＝MF，
∵AC＝CF，CD⊥AF，
∴AD＝DF，
∵AB＝CD＝2，AD＝DF＝4，
∴DM＝4﹣CM，
在Rt△CDM中，CM2＝CD2+DM2，
∴CM2＝22+（4﹣CM）2，
解得CM＝，
∴MF＝，
∴△CMF的面积＝2×＝；
探究二：连接DE，取DE的中点P，连接HP，取AD、BC的中点为M、N，连接MN，MH，NH，
∵H是AE的中点，
∴MH∥DE，且MH＝DE，
∵CD＝CE，
∴CP⊥DE，DP＝PE，
∵MH∥DP，且MH＝DP，
∴四边形MHPD是平行四边形，
∴MD＝HP，MD∥HP，
∵AD∥BC，MD＝CN，
∴HP∥CN，HP＝CN，
∴四边形HNCP是平行四边形，
∴NH∥CP，
∴∠MHN＝90°，
∴H点在以MN为直径的圆上，
设MN的中点为T，
∴DT＝＝，
∴DH的最大值为+1，最小值为﹣1．
方法二：设AC的中点为T，连接HT，
∵HT是△ACE的中位线，
∴HT＝CE＝1，
∴H在以T为圆心，1为半径的圆上，
∵DT＝＝，
∴DH的最大值为+1，最小值为﹣1．
9．（2023 东营）（1）用数学的眼光观察
如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．
（2）用数学的思维思考
如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F．
（3）用数学的语言表达
如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）直角三角形，理由见解析．
【解答】（1）证明：∵P是BD的中点，N是DC的中点，
∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN＝BC，PM＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM；
（2）证明：由（1）知，PN是△BDC的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN∥BC，PM∥AD，
∴∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM，
∵∠PNM＝∠PMN，
∴∠AEM＝∠F；
（3）解：△CGD是直角三角形，理由如下：
如图③，取BD的中点P，连接PM、PN，
∵N是CD的中点，M是AB的中点，
∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN∥BC，PN＝BC，PM∥AD，PM＝AD，
∵AD＝BC
∴PM＝PN，
∴∠PNM＝∠PMN，
∵PM∥AD，
∴∠PMN＝∠ANM＝60°，
∴∠PNM＝∠PMN＝60°，
∵PN∥BC，
∴∠CGN＝∠PNM＝60°，
又∵∠CNG＝∠ANM＝60°，
∴△CGN是等边三角形．
∴CN＝GN，
又∵CN＝DN，
∴DN＝GN，
∴∠NDG＝∠NGD＝CNG＝30°，
∴∠CGD＝∠CGN+∠NGD＝90°，
∴△CGD是直角三角形．
五．圆的综合题（共3小题）
10．（2023 枣庄）如图，AB为⊙O的直径，点C是的中点，过点C做射线BD的垂线，垂足为E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BE＝3，AB＝4，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．
【答案】（1）证明见解答．
（2）BC的长为2．
（3）阴影部分的面积为．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵点C是的中点，
∴，
∴∠ABC＝∠EBC，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠EBC＝∠OCB，
∴OC∥BE，
∵BE⊥CE，
∴半径OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线．
（2）解：如图，连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CEB＝90°，
∵∠ABC＝∠EBC，
∴△ACB∽△CEB，
∴，
∴，
∴．
答：BC的长为2．
（3）解：如图，连接OD、CD，
∵AB＝4，
∴OC＝OB＝2，
在Rt△BCE中，，
∴，
∴∠CBE＝30°，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠CDO＝60°，
∴∠CDO＝∠AOC，
∴CD∥AB，
∴S△COD＝S△CBD，
∴．
答：阴影部分的面积为．
11．（2023 日照）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：
如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．
（1）求证：A，E，B，D四点共圆；
（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；
（3）已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析，
（3）．
【解答】（1）证明：由旋转的性质可得 AE＝AD，∠DAE＝α，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，
又∵AB＝AC，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠AEB＝∠ADC，
∵∠ADC+∠ADB＝180°，
∴∠AEB+∠ADB＝180°，
∴A、B、D、E四点共圆；
（2）证明：如图所示，连接OA，OD，
∵AB＝AC，AD＝CD，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠DAC，
∵⊙O是四边形AEBD的外接圆，
∴∠AOD＝2∠ABC，
∴∠AOD＝2∠ABC＝2∠DAC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，
∴2∠DAC+2∠OAD＝180°，
∴∠DAC+∠OAD＝90°，即∠OAC＝90°，
∴OA⊥AC，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（3）解：如图所示，作线段AB的垂直平分线，分别交AB、BC于G、F，连接AM，PM，如图：
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∵点M是边BC的中点，
∴，AM⊥BC，
∴，，
在Rt△BGF中，，
∴FM＝BM﹣BF＝3﹣2＝1，
∵⊙P是四边形AEBD的外接圆，
∴点P一定在AB的垂直平分线上，
∴点P在直线GF上，
∴当MP⊥GF时，PM有最小值，
∴∠PFM＝∠BFG＝90°﹣∠ABC＝60°，
在Rt△MPF中，PM＝MF sin∠PFM＝1×sin60°＝，
∴圆心P与点M距离的最小值为 ．
12．（2023 济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．
（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；
（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）MN＝BM+DN，理由见解答．
【解答】（1）证明：∵CF⊥OE，OC是半径，
∴CF是圆O的切线，
∵BE是圆O的切线，
∴BF＝CF，
∵EF＝2BF，
∴EF＝2CF，
sinE＝＝，
∴∠E＝30°，∠EOB＝60°，
∵CD＝CB，
∴＝，
∴OC⊥BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°＝∠EBO，
∵∠E+∠EBD＝90°，∠ABD+∠EBD＝90°，
∴∠E＝∠ABD＝30°，
∴AD＝BO＝AB，
∴△ABD≌△OEB（AAS）；
（2）解：MN＝BM+DN，理由如下：
延长ND至H使得DH＝BM，连接CH，BD，如图2所示，
∵∠CBM+∠NDC＝180°，∠HDC+∠NDC＝180°，
∴∠HDC＝∠MBC，
∵CD＝CB，DH＝BM，
∴△HDC≌△MBC（SAS），
∴∠BCM＝∠DCH，CM＝CH，
由（1）可得∠ABD＝30°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＝60°，
∴∠DCB＝180°﹣∠A＝120°，
∵∠MCN＝60°，
∴∠BCM+∠NCD＝120°﹣∠NCM＝120°﹣60°＝60°，
∴∠DCH+∠NCD＝∠NCH＝60°，
∴∠NCH＝∠NCM，
∵NC＝NC，
∴△CNH≌△CNM（SAS），
∴NH＝MN，
∴MN＝DN+DH＝DN+BM，
∴MN＝BM+DN．
六．相似三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2023 泰安）如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，点E在线段AC上，BC，DE相交于点F，连接BE，BD，作EH⊥BD，垂足为点H，交BC与点G．
（1）若点H是BD的中点，求∠BED的度数；
（2）求证：△EFG∽△BFD；
（3）求证：＝．
【答案】（1）60°；
（2）证明过程详见解答；
（3）证明过程详见解答．
【解答】（1）解：∵△ABC、△CDE是两个等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∠CED＝∠CDE＝45°，
∴∠CFE＝180°﹣∠ACB﹣∠CED＝90°，
∵CE＝CD，
∴EF＝DF＝DE，
∵BH＝DH，EH⊥BD，
∴BE＝DE，
∴EF＝BE，
∴cos∠BED＝，
∴∠BED＝60°；
（2）证明：由（1）得：∠CFE＝90°，
∴CF⊥DE，
∴∠BFD＝∠EFG＝∠BHE＝90°，
∵∠BGH＝∠EGF，
∴∠DBF＝∠FEG，
∴△EFG∽△BFD；
（3）证明：如图，
作BQ∥AC，交EH的延长线于点Q，
∴△BGQ∽△CGE，
∴，∠Q＝∠CEH，∠QBE＝∠AEB，
∴，
设∠DBF＝DEH＝α，
由（1）知：BC是DE的垂直平分线，
∴BE＝BD，
∴∠EBF＝∠DBF＝α，
∴∠AEB＝∠ACB+∠EBF＝45°+α，
∠CEH＝∠CED+∠FEG＝45°+α，
∴∠AEB＝∠CEH，
∴∠Q＝∠QBE，
∴BE＝EQ，
∴＝．
七．相似形综合题（共2小题）
14．（2023 济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．
（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；
（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；
（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．
【答案】（1）∠BDC＝60°，；
（2）；
（3）4．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝2，，
∴∠C＝90°，CD＝AB＝2，，
∴，
∴∠BDC＝60°，
∵∠ABE＝∠BAD＝∠EAG＝∠ADG＝90°，
∴∠EAG﹣∠EAD＝∠BAD﹣∠EAD，
即∠DAG＝∠BAE，
∴△ADG∽△ABE，
∴；
（2）如图2，过点F作FM⊥CG于点M，
∵∠ABE＝∠AGF＝∠ADG＝90°，AE＝GF，
∴∠BAE＝∠DAG＝∠CGF，∠ABE＝∠GMF＝90°，
∴△ABE≌△GMF（AAS），
∴BE＝MF，AB＝GM＝2，
∴∠MDF＝∠BDC＝60°，FM⊥CG，
∴，
∴，
设 DM＝x，则 ，
∴DG＝GM+MD＝2+x，
由（1）可知：，
∴，
解得 x＝1，
∴；
（3）如图3，连接AC，将△AEP绕点E顺时针旋转 120°，EA与EC重合，得到△CEP'，连接PP'，
矩形ABCD中，AD＝BC＝，AB＝2，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝4，
∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∠AEC＝120°，
∴∠ACG＝∠GAC＝90°﹣30°＝60°，
∴△AGC 是等边三角形，AG＝AC＝4，
∴PE＝EF＝AG＝4，
∵将△AEP绕点E顺时针旋转 120°，EA与EC重合，得到△CEP'，
∴PA＝P'C，∠PEP'＝120°，EP＝EP'＝4，
∴，
∴当点P，C，P′三点共线时，PA+PC 的值最小，
此时为 ．
15．（2023 菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）3．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠CDF+∠DFC＝90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE＝90°，
∴∠CDF+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵AE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝CF，
∵CH＝DE，
∴CF＝CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH＝∠DCF＝90°，
又∵DC＝DC，
∴△DCF≌△DCH（SAS），
∴∠DFC＝∠H，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∴∠ADF＝∠H；
（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∴△ADE≌△DCG（SAS），
∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，
∵AE＝DF，
∴DG＝DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG＝DF＝11，
∵CF+CG＝FG，
∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，
即CF的长为3．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（基础题）知识点分类①
一．实数与数轴（共1小题）
1．（2023 潍坊）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（　　）
A．﹣c＜b B．a＞﹣c C．|a﹣b|＝b﹣a D．|c﹣a|＝a﹣c
二．由实际问题抽象出一元一次方程（共1小题）
2．（2023 日照）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（　　）
A．9x+11＝6x+16 B．9x﹣11＝6x﹣16
C．9x+11＝6x﹣16 D．9x﹣11＝6x+16
三．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）
3．（2023 泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得（　　）
A．
B．
C．
D．
四．分式方程的解（共1小题）
4．（2023 淄博）已知x＝1是方程的解，那么实数m的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
五．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
5．（2023 东营）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（　　）
A．﹣＝0.4 B．﹣＝0.4
C．﹣＝0.4 D．﹣＝0.4
六．解一元一次不等式组（共1小题）
6．（2023 威海）解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
七．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
7．（2023 潍坊）如图，在直角坐标系中，一次函数y1＝x﹣2与反比例函数y2＝的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（　　）
A．当x＞3时，y1＜y2 B．当x＜﹣1时，y1＜y2
C．当0＜x＜3时，y1＞y2 D．当﹣1＜x＜0时，y1＜y2
八．专题：正方体相对两个面上的文字（共1小题）
8．（2023 青岛）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（　　）
A．31 B．32 C．33 D．34
九．平行线的性质（共2小题）
9．（2023 泰安）把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝35°，则∠2的度数等于（　　）
A．65° B．55° C．45° D．60°
10．（2023 日照）在数学活动课上，小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得∠1＝23°，则∠2的度数是（　　）
A．23° B．53° C．60° D．67°
一十．菱形的性质（共1小题）
11．（2023 潍坊）如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣2，0），∠AOC＝60°．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，其中点B′的坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣，1） D．（﹣，﹣1）
一十一．正方形的性质（共1小题）
12．（2023 青岛）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点．若BG＝3，CG＝1，则线段MN的长度为（　　）
A． B． C．2 D．
一十二．三角形的外接圆与外心（共1小题）
13．（2023 泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若∠CAO＝40°，∠ACB＝70°，则阴影部分的面积是（　　）
A．π B．π C．π D．π
一十三．弧长的计算（共1小题）
14．（2023 青岛）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则的长为（　　）
A． B． C．π D．
一十四．圆锥的计算（共1小题）
15．（2023 东营）如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
一十五．中心对称图形（共1小题）
16．（2023 潍坊）下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
一十六．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
17．（2023 青岛）如图，将线段AB先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段绕原点旋转180°得到线段A′B′，则点A的对应点A′的坐标是（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）
一十七．相似三角形的判定与性质（共2小题）
18．（2023 东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（　　）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
19．（2023 东营）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：
①AE垂直平分DM；
②PM+PN的最小值为3；
③CF2＝GE AE；
④S△ADM＝6．
其中正确的是（　　）
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③
一十八．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
20．（2023 威海）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米．用计算器求AB的长，下列按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
一十九．简单几何体的三视图（共1小题）
21．（2023 淄博）在如图所示的几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（　　）
A． B．
C． D．
二十．简单组合体的三视图（共1小题）
22．（2023 潍坊）在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中卯的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
二十一．方差（共1小题）
23．（2023 泰安）为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了10名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：
7，11，10，11，6，14，11，10，11，9．
根据这组数据判断下列结论中错误的是（　　）
A．这组数据的众数是11 B．这组数据的中位数是10
C．这组数据的平均数是10 D．这组数据的方差是4.6
二十二．概率公式（共1小题）
24．（2023 东营）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
二十三．列表法与树状图法（共1小题）
25．（2023 济南）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　）
A． B． C． D．
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（基础题）知识点分类①
参考答案与试题解析
一．实数与数轴（共1小题）
1．（2023 潍坊）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（　　）
A．﹣c＜b B．a＞﹣c C．|a﹣b|＝b﹣a D．|c﹣a|＝a﹣c
【答案】C
【解答】解：由数轴可得，a＜b＜0＜c，|c|＜|b|＜|a|，
∴﹣c＞b，故选项A错误，不符合题意；
a＜﹣c，故选项B错误，不符合题意；
|a﹣b|＝b﹣a，故选项C正确，符合题意；
|c﹣a|＝c﹣a，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
二．由实际问题抽象出一元一次方程（共1小题）
2．（2023 日照）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（　　）
A．9x+11＝6x+16 B．9x﹣11＝6x﹣16
C．9x+11＝6x﹣16 D．9x﹣11＝6x+16
【答案】D
【解答】解：根据题意得：9x﹣11＝6x+16．
故选：D．
三．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）
3．（2023 泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：∵甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，
∴9x＝11y；
∵两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，
∴（10y+x）﹣（8x+y）＝13．
根据题意可列方程组．
故选：C．
四．分式方程的解（共1小题）
4．（2023 淄博）已知x＝1是方程的解，那么实数m的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【答案】B
【解答】解：将x＝1代入方程，得：﹣＝3，
解得：m＝2．
故选：B．
五．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
5．（2023 东营）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（　　）
A．﹣＝0.4 B．﹣＝0.4
C．﹣＝0.4 D．﹣＝0.4
【答案】A
【解答】解：由题意得：﹣＝0.4．
故选：A．
六．解一元一次不等式组（共1小题）
6．（2023 威海）解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣4，
解不等式②得：x≥1，
将不等式①②的解集在同一条数轴上表示如图所示：
∴该不等式组的解集为：x≥1，
故选：B．
七．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
7．（2023 潍坊）如图，在直角坐标系中，一次函数y1＝x﹣2与反比例函数y2＝的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（　　）
A．当x＞3时，y1＜y2 B．当x＜﹣1时，y1＜y2
C．当0＜x＜3时，y1＞y2 D．当﹣1＜x＜0时，y1＜y2
【答案】B
【解答】解：由题意得：
当x＞3时，y1＞y2，故选项A结论错误，不符合题意；
当x＜﹣1时，y1＜y2，故选项B结论正确，符合题意；
当0＜x＜3时，y1＜y2，故选项C结论错误，不符合题意；
当﹣1＜x＜0时，y1＞y2，故选项D结论错误，不符合题意．
故选：B．
八．专题：正方体相对两个面上的文字（共1小题）
8．（2023 青岛）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（　　）
A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】B
【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“1”与“3”，“2”与“4”，“5”与“6”是对面，
因此要使图②中几何体能看得到的面上数字之和最小，最右边的那个正方体所能看到的4个面的数字为1、2、3、5，最上边的那个正方体所能看到的5个面的数字为1、2、3、4、5，左下角的那个正方体所能看到的3个面的数字为1、2、3，
所以该几何体能看得到的面上数字之和最小为11+15+6＝32，
故选：B．
九．平行线的性质（共2小题）
9．（2023 泰安）把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝35°，则∠2的度数等于（　　）
A．65° B．55° C．45° D．60°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝30°，∠1＝35°，
∴∠EDF＝65°，
∵DF∥EG，
∴∠BEG＝65°，
∵∠B＝60°，
∴∠2＝180°﹣∠B﹣∠BEG＝180°﹣60°﹣65°＝55°．
故选：B．
10．（2023 日照）在数学活动课上，小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得∠1＝23°，则∠2的度数是（　　）
A．23° B．53° C．60° D．67°
【答案】B
【解答】解：如图，三角板EFG与直尺ABCD分别交AB于点F、H．
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠FHG．
又∵∠1+∠E＝∠FHG，
∴∠2＝∠1+∠E＝23°+30°＝53°．
故选：B．
一十．菱形的性质（共1小题）
11．（2023 潍坊）如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣2，0），∠AOC＝60°．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，其中点B′的坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣，1） D．（﹣，﹣1）
【答案】A
【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，
∴∠BEA＝90°，
∵点A的坐标为（﹣2，0），
∴OA＝2，
∵四边形OABC是菱形，
∴AB＝OA＝2，AB∥OC，
∴∠EAB＝∠AOC＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∴，
由勾股定理得，
∴OE＝AE+OA＝1+2＝3，
∴点B的坐标是，
将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，
∴点B′的坐标为，
故选：A．
一十一．正方形的性质（共1小题）
12．（2023 青岛）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点．若BG＝3，CG＝1，则线段MN的长度为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解答】解：连接DG，EF，
∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴四边形AEFD是矩形，
∴M是ED的中点，
在正方形ABCD中，BG＝3，CG＝1，
∴BC＝DC＝4，
在Rt△DGC中，由勾股定理得，
DG＝＝＝，
在三角形EDG中，M是ED的中点，N是EG的中点，
∴MN是三角形EDG的中位线，
∴MN＝DG＝．
故选：B．
一十二．三角形的外接圆与外心（共1小题）
13．（2023 泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若∠CAO＝40°，∠ACB＝70°，则阴影部分的面积是（　　）
A．π B．π C．π D．π
【答案】C
【解答】解：∵OA＝OC，∠CAO＝40°，
∴∠CAO＝∠ACO＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠40°﹣40°＝100°，
∵∠ACB＝70°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，
∴∠BOC＝360°﹣100°﹣140°＝120°，
∴阴影部分的面积是＝π．
故选：C．
一十三．弧长的计算（共1小题）
14．（2023 青岛）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则的长为（　　）
A． B． C．π D．
【答案】C
【解答】解：连接OA、OD、OC，
∵∠B＝58°，∠ACD＝40°．
∴∠AOC＝2∠B＝116°，∠AOD＝2∠ACD＝80°，
∴∠DOC＝36°，
∴＝＝π．
故选：C．
一十四．圆锥的计算（共1小题）
15．（2023 东营）如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：设底面半径为R，则底面周长＝2πR，圆锥的侧面展开图的面积＝×2πR×5＝15π，
∴R＝3．
故选：A．
一十五．中心对称图形（共1小题）
16．（2023 潍坊）下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
一十六．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
17．（2023 青岛）如图，将线段AB先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段绕原点旋转180°得到线段A′B′，则点A的对应点A′的坐标是（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）
【答案】A
【解答】解：如图，
由题意可知，点A（0，3），B（2，0），
由平移的性质得：A''（﹣2，3），点B'（0，0），
由旋转的性质得：点A'与A''关于原点对称，
∴A′（2，﹣3），
故选：A．
一十七．相似三角形的判定与性质（共2小题）
18．（2023 东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（　　）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠CAD+∠ADC＝120°，
∵∠ADE＝60°．
∴∠BDE+∠ADC＝120°，
∴∠CAD＝∠BDE，
∴△ADC∽△DEB，
∴，
∵BD＝4DC，
∴设DC＝x，
则BD＝4x，
∴BC＝AC＝5x，
∴，
∴AD＝3，
故选：C．
19．（2023 东营）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：
①AE垂直平分DM；
②PM+PN的最小值为3；
③CF2＝GE AE；
④S△ADM＝6．
其中正确的是（　　）
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③
【答案】D
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，
∵BF＝CE，
∴BC﹣BF＝DC﹣CE，
即CF＝DE，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠DAE+∠ADG＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴∠AGM＝90°，
∴∠AGM＝∠AGD，
∵AE平分∠CAD，
∴∠MAG＝∠DAG，
又AG为公共边，
∴△AGM≌△AGD（ASA），
∴GM＝GD，
又∵∠AGM＝∠AGD＝90°，
∴AE垂直平分DM，
故①正确；
②如图，连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
即DO⊥AM，
∵AE垂直平分DM，
∴HM＝HD，
当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，此时PM+PN＝HM+HO＝HD+HO＝DO，即PM+PN的最小值是DO的长，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AC＝BD＝，
∴，
即PM+PN的最小值为，
故②错误；
③∵AE垂直平分DM，
∴∠DGE＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DGE＝∠ADC，
又∵∠DEG＝∠AED，
∴△DGE∽△ADE，
∴，
即DE2＝GE AE，
由①知CF＝DE，
∴CF2＝GE AE，
故③正确；
④∵AE垂直平分DM，
∴AM＝AD＝4，
又，
∴，
故④错误；
综上，正确的是：①③，
故选：D．
一十八．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
20．（2023 威海）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米．用计算器求AB的长，下列按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝28°，BC＝7米，
∵sin28°＝，
∴AB＝，
因此按键顺序为：
故选：B．
一十九．简单几何体的三视图（共1小题）
21．（2023 淄博）在如图所示的几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：球体的三视图完全相同，都是圆．
故选：D．
二十．简单组合体的三视图（共1小题）
22．（2023 潍坊）在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中卯的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：从上面看，可得俯视图：．
故选：C．
二十一．方差（共1小题）
23．（2023 泰安）为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了10名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：
7，11，10，11，6，14，11，10，11，9．
根据这组数据判断下列结论中错误的是（　　）
A．这组数据的众数是11 B．这组数据的中位数是10
C．这组数据的平均数是10 D．这组数据的方差是4.6
【答案】B
【解答】解：这组数据中11出现的次数最多，故众数为11，故选项A不符合题意；
把这组数据从小到大排列，排在中间的数分别为10和11，故中位数＝10.5，故选项B符合题意；
这组数据的平均数是：（7+11+10+11+6+14+11+10+11+9）＝10，故选项C不符合题意；
这组数据的方差为：[（7﹣10）2+4×（11﹣10）2+2×（10﹣10）2+（6﹣10）2+（14﹣10）2+（9﹣10）2]＝4.6，故选项D不符合题意．
故选：B．
二十二．概率公式（共1小题）
24．（2023 东营）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵第2图和第4图既是轴对称图形又是中心对称图形，
∴小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率＝．
故选：C．
二十三．列表法与树状图法（共1小题）
25．（2023 济南）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】
∴一共有12种等可能的情况，其中被抽到的2名同学都是男生的情况有6种情况，
∴被抽到的2名同学都是男生的概率＝＝．
故选：B．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类③
一．一元二次方程的应用（共1小题）
1．（2023 东营）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
二．解一元一次不等式组（共1小题）
2．（2023 菏泽）解不等式组．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
3．（2023 菏泽）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y＝在第一象限的图象于点C（a，1）．
（1）求反比例函数y＝和直线OC的表达式；
（2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．
四．二次函数综合题（共1小题）
4．（2023 菏泽）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），其对称轴为x＝﹣．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，当点B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
（3）如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G，求FG+FP的最大值．
五．平行四边形的性质（共1小题）
5．（2023 菏泽）如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：AE＝CF．
六．切线的判定与性质（共1小题）
6．（2023 东营）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，CD＝2，求的长．
七．圆的综合题（共1小题）
7．（2023 菏泽）如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：BC＝DE；
（2）P是上一点，AC＝6，BF＝2，求tan∠BPC；
（3）在（2）的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长．
八．作图—基本作图（共1小题）
8．（2023 济宁）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）作线段BD的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF．
①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长．
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
9．（2023 菏泽）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）．
一十．频数（率）分布直方图（共1小题）
10．（2023 菏泽）某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟），分为如下五组：A组：50≤x＜75，B组：75≤x＜100，C组100≤x＜125，D组：125≤x＜150，E组：150≤x＜175．其中A组数据为：73，65，74，68，74，70，66，56．
根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：
（1）A组数据的中位数是 　 　，众数是 　 　；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是 　 　度；
（2）补全学生心率频数分布直方图；
（3）一般运动的适宜心率为100≤x＜150（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？
一十一．列表法与树状图法（共2小题）
11．（2023 东营）随着新课程标准的颁布，为落实立德树人根本任务，东营市各学校组织了丰富多彩的研学活动，得到家长、社会的一致好评．某中学为进一步提高研学质量，着力培养学生的核心素养，选取了A．“青少年科技馆”，B．“黄河入海口湿地公园”，C．“孙子文化园”，D．“白鹭湖营地”四个研学基地进行研学．为了解学生对以上研学基地的喜欢情况，随机抽取部分学生进行调查统计（每名学生只能选择一个研学基地），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．
请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）在本次调查中，一共抽取了 　 　名学生，在扇形统计图中A所对应圆心角的度数为 　 　；
（2）将上面的条形统计图补充完整；
（3）若该校共有480名学生，请你估计选择研学基地C的学生人数；
（4）学校想从选择研学基地D的学生中选取两名学生了解他们对研学活动的看法，已知选择研学基地D的学生中恰有两名女生，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人都是男生的概率．
12．（2023 济宁）某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳人积分考核．学校抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．
等级 劳动积分 人数
A x≥90 4
B 80≤x＜90 m
C 70≤x＜80 20
D 60≤x＜70 8
E x＜60 3
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）统计表中m＝　 　，C等级对应扇形的圆心角的度数为 　 　；
（2）学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；
（3）A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率．
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类③
参考答案与试题解析
一．一元二次方程的应用（共1小题）
1．（2023 东营）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2 的羊圈；（2）不能，理由见解答．
【解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．
根据题意，得x（72﹣2x）＝640，
化简，得 x2﹣36x+320＝0，
解得 x1＝16，x2＝20，
当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40；
当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32．
答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2 的羊圈；
（2）答：不能，
理由：由题意，得x（72﹣2x）＝650，
化简，得 x2﹣36x+325＝0，
Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 650m2．
二．解一元一次不等式组（共1小题）
2．（2023 菏泽）解不等式组．
【答案】x≤．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＜2.5，
解不等式②，得：x≤，
∴该不等式组的解集是x≤．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
3．（2023 菏泽）如图，已知坐标轴上两点A（0，4），B（2，0），连接AB，过点B作BC⊥AB，交反比例函数y＝在第一象限的图象于点C（a，1）．
（1）求反比例函数y＝和直线OC的表达式；
（2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．
【答案】（1）；；
（2）或（2，2）．
【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠BDC＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BDC＝∠AOB，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
∴△CBD∽△BAO，
∴，
∵A（0，4），B（2，0），C（a，1），
∴AO＝4，BO＝2，CD＝1，
∴，
∴BD＝2，
∴OD＝BO+BD＝4，
∴a＝4，
∴点C的坐标是（4，1），
∵反比例函数过点C，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数的解析式为；
设直线OC的解析式为y＝mx，
∵其图象经过点C（4，1），
∴4m＝1，
解得，
∴直线OC的解析式为；
（2）将直线OC向上平移个单位，得到直线l，
∴直线l的解析式为，
由题意得，，
解得，，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为或（2，2）．
四．二次函数综合题（共1小题）
4．（2023 菏泽）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），其对称轴为x＝﹣．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，当点B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
（3）如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，过点F作FG⊥x轴，垂足为G，求FG+FP的最大值．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）D（0，）；
（3）．
【解答】解：（1）抛物线与y轴交于点C（0，4），
∴c＝4，
∵对称轴为 ，
∴，b＝﹣3，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）如图，过 B'作x轴的垂线，垂足为H，
令﹣x2﹣3x+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣4）＝5，
由翻折可得AB′＝AB＝5，
∵对称轴为x＝﹣，
∴AH＝﹣﹣（﹣4）＝，
∴AB'＝AB＝5＝2AH，
∴∠AB'H＝30°，∠B'AB＝60°，
∴∠DAB＝∠B'AB＝30°，
在Rt△AOD中，，
∴D（0，）；
（3）如图2，PF交x轴于Q，设BC所在直线的解析式为 y1＝k1x+b1，
把B、C坐标代入得：，
解得：，
∴y1＝﹣4x+4，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝45°，
∵∠AEF＝90°，
∴直线PE与x轴所成夹角为45°，即∠PQO＝45°，
设P（m，﹣m2﹣3m+4），
设PE所在直线的解析式为：y2＝﹣x+b2，
把点P代入得b2＝﹣m2﹣2m+4，
∴y2＝﹣x﹣m2﹣2m+4，
令y1＝y2，则﹣4x+4＝﹣x﹣m2﹣2m+4，
解得：x＝，
∴FG＝yF＝+4，PF＝＝ （xF﹣xP）＝，
∴FG+FP＝+4+＝+，
∵点P在直线AC上方，
∴﹣4＜m＜0，
∴当m＝时，FG+FP的最大值为．
五．平行四边形的性质（共1小题）
5．（2023 菏泽）如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：AE＝CF．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，
∵AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F，
∴∠BAE＝∠FCD，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF．
六．切线的判定与性质（共1小题）
6．（2023 东营）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，CD＝2，求的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）的长是．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODE＝∠CED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，CD＝2，
∴BD＝CD＝2，
∵∠B＝∠C＝30°，
∴AD＝BD tan30°＝2×＝2，
∵OD＝OA，∠AOD＝2∠B＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴OD＝AD＝2，
∵∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴＝＝，
∴的长是．
七．圆的综合题（共1小题）
7．（2023 菏泽）如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F．
（1）求证：BC＝DE；
（2）P是上一点，AC＝6，BF＝2，求tan∠BPC；
（3）在（2）的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长．
【答案】（1）见解答；
（2）tan∠BPC＝；
（3）7．
【解答】（1）证明：∵D是 的中点，
∴，
∵DE⊥AB且AB为⊙O的直径，
∴，
∴，
∴BC＝DE；
（2）解：连接OD，
∵，
∴∠CAB＝∠DOB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DFO＝90°，
∴△ACB∽△OFD，
∴，
设⊙O的半径为r，
则 ，
解得r＝5，经检验，r＝5是方程的根，
∴AB＝2r＝10，
∴，
∴，
∵∠BPC＝∠CAB，
∴；
（3）解：如图，过点B作BG⊥CP交CP于点G，
∴∠BGC＝∠BGP＝90°，
∵∠ACB＝90°，CP是∠ACB 的平分线，
∴∠ACP＝∠BCP＝45°，
∴∠CBG＝45°，
∴，
∴，
∴，
∴．
八．作图—基本作图（共1小题）
8．（2023 济宁）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）作线段BD的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF．
①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长．
【答案】（1）见解答；
（2）①四边形BEDF是菱形，理由见解答；
②25．
【解答】解：（1）如图，直线MN就是线段BD的垂直平分线，
（2）①四边形BEDF是菱形，理由如下：
∵EF垂直平分BD，
∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∵∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∴BF＝DF，
∴BE＝ED＝DF＝BF，
∴四边形BEDF是菱形；
②∵四边形ABCD是矩形，BC＝10，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝10，
由①可设BE＝ED＝x，则AE＝10﹣x，
∵AB＝5，
∴AB2+AE2＝BE2，即25+（10﹣x）2＝x2，
解得x＝6.25，
∴四边形BEDF的周长为：6.25×4＝25．
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
9．（2023 菏泽）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）．
【答案】30m．
【解答】解：如图所示：
过P作 PH⊥AB于H，过C作CG⊥PH于Q，而 CB⊥AB，
则四边形 CQHB是矩形，
∴QH＝BC，BH＝CQ，
由题意可得：AP＝80，∠PAH＝60°，∠PCQ＝30°，AB＝70，
∴PH＝APsin60°＝80×＝40，AH＝AP cos60°＝40，
∴CQ＝BH＝70﹣40＝30，
∴PQ＝CQ tan30°＝10，
∴BC＝QH＝40﹣10＝30，
∴大楼的高度BC为30m．
一十．频数（率）分布直方图（共1小题）
10．（2023 菏泽）某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟），分为如下五组：A组：50≤x＜75，B组：75≤x＜100，C组100≤x＜125，D组：125≤x＜150，E组：150≤x＜175．其中A组数据为：73，65，74，68，74，70，66，56．
根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：
（1）A组数据的中位数是 　69　，众数是 　74　；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是 　54　度；
（2）补全学生心率频数分布直方图；
（3）一般运动的适宜心率为100≤x＜150（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？
【答案】（1）69，74，54；
（2）见解答；
（3）1725名．
【解答】解：（1）把A组数据从小到大排列为：56，65，66，68，70，73，74，74，
故A组数据的中位数是：＝69，众数是74；
由题意得，样本容量为：8÷8%＝100，
在统计图中B组所对应的扇形圆心角是：360°×＝54°．
故答案为：69，74，54；
（2）C组频数为：100﹣8﹣15﹣45﹣2＝30，
补全学生心率频数分布直方图如下：
（3）2300×（30%+）＝1725（名），
答：估计大约有1725名学生达到适宜心率．
一十一．列表法与树状图法（共2小题）
11．（2023 东营）随着新课程标准的颁布，为落实立德树人根本任务，东营市各学校组织了丰富多彩的研学活动，得到家长、社会的一致好评．某中学为进一步提高研学质量，着力培养学生的核心素养，选取了A．“青少年科技馆”，B．“黄河入海口湿地公园”，C．“孙子文化园”，D．“白鹭湖营地”四个研学基地进行研学．为了解学生对以上研学基地的喜欢情况，随机抽取部分学生进行调查统计（每名学生只能选择一个研学基地），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．
请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）在本次调查中，一共抽取了 　24　名学生，在扇形统计图中A所对应圆心角的度数为 　30°　；
（2）将上面的条形统计图补充完整；
（3）若该校共有480名学生，请你估计选择研学基地C的学生人数；
（4）学校想从选择研学基地D的学生中选取两名学生了解他们对研学活动的看法，已知选择研学基地D的学生中恰有两名女生，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人都是男生的概率．
【答案】（1）24，30°；
（2）图形见解析；
（3）估计选择研学基地C的学生人数约为120名；
（4）．
【解答】解：（1）在本次调查中，一共抽取的学生人数为：12÷50%＝24（名），
在扇形统计图中A所对应圆心角的度数为：360°×＝30°，
故答案为：24，30°；
（2）C的人数为：24×25%＝6（名），
∴D的人数为：24﹣12﹣6﹣2＝4（名），
将条形统计图补充完整如下：
（3）480×25%＝120（名），
答：估计选择研学基地C的学生人数约为120名；
（4）学基地D的学生中恰有两名女生，则有2名男生，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选2人都是男生的结果有2种，
∴所选2人都是男生的概率为＝．
12．（2023 济宁）某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳人积分考核．学校抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．
等级 劳动积分 人数
A x≥90 4
B 80≤x＜90 m
C 70≤x＜80 20
D 60≤x＜70 8
E x＜60 3
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）统计表中m＝　15　，C等级对应扇形的圆心角的度数为 　144°　；
（2）学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；
（3）A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率．
【答案】（1）15，144°；
（2）估计该学校“劳动之星”大约有760人；
（3）．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：8÷16%＝50（人），
∴m＝50﹣4﹣20﹣8﹣3＝15，
C等级对应扇形的圆心角的度数为：360°×＝144°，
故答案为：15，144°；
（2）2000×＝760（人），
答：估计该学校“劳动之星”大约有760人；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同学和一名女同学的结果有8种，
∴恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率为＝．

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