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2023-2024学年天津市重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若集合，，则( )
A. B. C. D.
3.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知集合，，则满足条件的集合的个数为( )
A. B. C. D.
5.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.若，，则与的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
8.设，，若：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.设常数，集合，，若，则的取值范围为
( )
A. B. C. D.
10.设，为实数，则成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
11.不等式对任何实数恒成立，则的取值范围是
( )
A. B. C. D.
12.设，，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
13.若，则的最小值为 ．
14.含有个实数的集合可表示为，又可表示为，则______．
15.若“”是“或”的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．
16.若，，则在，，，，这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是______．
17.已知，，且，则的最小值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共44.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.本小题分
不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是______．
19.本小题分
设集合，，求：
；
；
．
20.本小题分
已知集合，．
若，求；
若，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知，求的最大值；
设，求的最小值．
22.本小题分
解关于的不等式．
23.本小题分
已知命题：存在实数，使成立．
若命题为真命题，求实数的取值范围；
若命题：任意实数，使恒成立，如果命题“或”为假命题，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
．
故选：．
利用交集定义直接求解．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意，，
，
故选：．
化简，即可得出结论．
本题考查集合的化简，考查集合的关系，比较基础．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
根据全称量词命题的否定是存在量词命题进行求解即可．
【解答】
解：命题是全称量词命题，则命题的否定是存在量词命题，
命题“，”的否定为，．
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了集合的包含关系的应用，解题的关键是由找出符合条件的集合，属于基础题．
先求出集合，，再由可得满足条件的集合．
【解答】解：由题意可得，，，
，
满足条件的集合有，，，共个，
故选D．
5.【答案】
【解析】解：命题“，”为假命题，
命题，为真命题，
即判别式，
即，即，
故选：．
根据特称命题的性质进行转化求解即可．
本题主要考查含有量词的命题的否定，根据条件转化为不等式恒成立是解决本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：；
．
故选：．
作差即可得出，配方即可得出，从而得出．
考查作差比较法比较两个式子大小的方法，以及配方法的运用．
7.【答案】
【解析】解：不等式可化为，
解得；
所以该不等式的解集是
故选：．
把不等式化为，即可求出它的解集．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．
8.【答案】
【解析】解：当时，不一定成立，故是的不充分条件；
当时，，故是的必要条件，
综上可得：是的必要不充分条件，
故选：
根据不等式的基本性质，结合充要条件的定义，可得答案．
本题考查的知识点是充要条件的概念，不等式的基本特，难度不大，属于基础题．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了并集及其运算，以及不等式，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属于中档题．
当时，代入解集中的不等式中，确定出，求出满足两集合的并集为时的的范围；当时，易得，符合题意；当时，同样求出集合，列出关于的不等式，求出不等式的解集得到的范围．综上，得到满足题意的范围．
【解答】
解：当时，，，
若，则，
；
当时，易得，此时；
当时，，，
若，则，显然成立，
；
综上，的取值范围是．
故选B．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的性质的应用，充分条件、必要条件的判断，比较基础．
根据不等式的性质以及充分不必要条件的定义进行判断．
【解答】解：若，则成立，
当，时，满足不等式，但不成立，
是不等式成立的一个充分不必要条件，故A正确，
若，取，，不满足不等式，故B错误；
若，取，，不满足不等式，故C错误；
若，取，，不满足不等式，故D错误；
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查恒成立问题，解题的关键是正确分类讨论，属于基础题．
时，恒成立；时，结合二次函数的图像列出不等式组，由此可求实数的取值范围．
【解答】
解：时，恒成立，故满足题意；
时，
．
实数的取值范围是．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：，，，
当且仅当时取““，
又恒成立，
，解得：，
故选：．
利用题设条件和基本不等式求得的最小值，即可得到，解出的取值范围即可．
本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
根据推断出，然后把整理成，进而利用基本不等式求得其最小值．
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．在利用基本不等式时要注意一正，二定，三相等的原则．
【解答】
解：，
当时等号成立，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：，
，
此时：，
且，
，
此时：，符合题意，
，
故答案为：．
先利用集合相等的定义求出，，从而求出结果．
本题主要考查了集合相等的定义，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：“”是“或”的充分不必要条件，
“”“或”，
．
实数的取值范围是．
故答案为：．
故答案为：．
由“”是“或”的充分不必要条件，得“”“或”，由此能求出实数的取值范围．
本题考查实数的取值范围的求法，考查充分条件、必要条件、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：令，，，，故不成立；
成立，
令，，，，则不成立，
成立，
令，，，，则不成立．
故答案为：．
注意不等式的性质成立的条件，由条件出发举反例即可．
本题考查了不等式的性质，要特别不等式的性质成立的条件，属于基础题．
17.【答案】
【解析】解：根据题意，，，且，则有，变形可得，当且仅当时等号成立
，
又由，则有，
即的最小值为；
故答案为：．
根据题意，由基本不等式的性质可得，进而可得，分析可得答案．
本题考查基本不等式的性质以及应用，注意分析的范围，属于基础题．
18.【答案】
【解析】解：不等式对一切恒成立，
当时，对一切恒成立，满足题意；
当时，则，即，解得；
综上所述，实数的取值范围是，
即．
故答案为：．
依题意，可分与讨论，易知符合题意，时，解不等式组，即可求得，最后取并集即可．
本题考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与等价转化思想、方程思想的综合应用，属于中档题．
19.【答案】解：因为，，求：
；
，
所以或；
或．
【解析】由已知结合集合的交集，并集及补集运算的定义即可求解．
本题主要考查了集合的交集，并集及补集运算，属于基础题．
20.【答案】解：因为，所以，
或．
又，
所以或．
当时，由得，
所以解得；
当，即时，有，得．
综上，实数的取值范围是．
【解析】由，求出，从而或，再求出，由此能出．
当时，由得，列出不等式组求出；当，即时，有，得由此能求出实数的取值范围．
本题考查交集、补集的求法，考查实数的取集范围的求法，考查交集、补集、并集等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
21.【答案】解：，，
，当且仅当，即时，等号成立，
的最大值为．
，，
设，则，
当且仅当，即时，等号成立，此时，
的最小值．
【解析】由可得，所以，再利用基本不等式求解即可．
由题意可知，设，则，所以，再利用基本不等式求解即可．
本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
22.【答案】解：．
，
当时，即或时，解得，
当时，即或时，解得，
当时，即时，不等式的解集为空集．
【解析】先因式分解，再分类讨论，即可得到不等式的解．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及分类讨论的思想，属于基础题．
23.【答案】解：：存在实数，使成立或，
实数的取值范围为；
：任意实数，使恒成立，
，，，
命题“或”为假命题，假假，
，
实数的取值范围．
【解析】由存在实数，使成立得，得实数的取值范围；
由对号函数单调性得，得，由已知得假假，两范围的补集取交集即可．
本题考查了简易逻辑的判定、对号函数的单调性，以及二次函数的取值和判别式的关系，考查了推理能力，属于基础题．
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