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中考数学母题探秘（一）------数与式（1）
数与式是中学数学的基本内容，它在中考中一般以选择题、填空题和解答题的形式出现，属基础题型，难度较小，易得分；做本部分题目要注意：既要准确，又要有速度，尽量把时间余出来给后面难度大的题目。以下将从三方面来认识：
数的基本内容：
1.实数 类比 虚数（考察数学思想、渗透高中知识）
题型：（新知应用）若规定“i”为一个数，且i 2=-1，i3=-i，i 4=1，以前所学的运算律都成立，
试计算: i 6= ，（2i-3）（i+2）= .
2.实数分类：① 正整数
整数 0
有理数 负整数
实数 分数 正分数
无理数 负分数
是无限不循环小数，如，π、、sin45°、6.010010001…等
②也可按有理数、无理数的正负来分，但分类要保证不重不漏。
3.重要概念：①数轴②绝对值③相反数④倒数⑤非负数，如|a|、a 2、(a≥0)⑥平方根、算术平方根⑦立方根⑧科学记数法⑨近似数⑩有效数字。
相关重要提示：（1）如图，
这是一条数轴，因为两点确定一条直线，所以它既有原点，又有正方向和单位长度；
（2）绝对值就是一个数在数轴上的点离原点的距离，
a ,a >0 a , a≥0 a, a >0
|a|= 0,a = 0 |a|= |a|=
-a ,a< 0 -a , a< 0 -a , a≤0
（3）实数和数轴上的点一一对应；
（4）若a、b互为相反数，则a+b=0;
（5）若c、d互为倒数，则c?d=1;
（6）科学记数法的形式为：±a ×10 n ， 1≤a＜10, n为整数；
（7）有效数字是指一个近似数从左侧第一个不为零的数字起到所精确的位数止的所有数字。

例1：（1）已知3x-5和-2x+3在数轴上原点的两侧，且距离原点相等，求x的值；
（2）已知x的倒数是―的相反数的绝对值，求x的值；
（3）求绝对值小于3的整数
例题特点即解题策略：3个小题都是文字表述形式，结论都求未知数的值，其策略是应由等量关系转化成方程或不等式的符号语言问题来解决。
例2：（1）15360000用科学记数法表示为 ；
（2）近似数62.30，精确到 位，它的有效数字是 ；
（3）若a+1＜0，从小到大排列a, -a, 1, -1这四个数是 ；
（4）3× -2× =15，方框中填入两个相反数使等式成立，则第一个方框中应填 。
4.实数运算：
例3：（1）2 cos45°－  + 3°－2 –1
（2）－（－2）°+ 
（3）有四个数：3 2 ，，-2 3 ，，请计算，有理数的和与无理数的积的差是 。
（4）规定一种新运算，上述记号就叫做2阶行列式．若，则 ．
（5）规定当a＞b时，a★b= a+b ；当a≤b时，a★b= a-b，按上述规定计算：（★）－〔（1－）★（－）〕
例题特点 （1）（2）（3）题应在掌握实数运算的基础上重点掌握特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零指数和负指数的运算以及分母有理化的知识；（4）（5）看似新题型，其实质是换了一种方法考察实数的运算，同时渗透高中的数学知识（行列式等）和数学思想，其解决关键是照猫画虎。
重要知识提示：
⑴sin15°=cos75°= ,cos15°= sin75°=
tan15°=2－
⑵ a = -
⑶ a 0 =1(a≠0)， a-n = (a≠0)
⑷ m的一个有理化因式是，m + n与m－n互为有理化因式。
5.数的基本内容练习题：
（1）下列各数中：- ，3.14，，（- ）0 ，cos60°, ,3.1555┅，tan30°,分数有m个，无理数有n个，
则m－n= .
（2）数轴上有 个表示的点，3可以在数轴上找到一个对应点，这是因为 和数轴上的点一一对应。
（3）有n个自然数的积为a,若这n个自然数都扩大到它的5倍，则它们的积是 。
（4）相反数是本身的数是 ，倒数是本身的数是 ，绝对值是本身的数是 ，平方是本身的数是 ，平方根是本身的数是 ，立方及立方根是本身的数是 。
（5）的平方根是 ，81的算术平方根的立方根是 。
（6）将207670保留三个有效数字，其近似值是 。
（7）今年3月5日，温家宝总理在《政府工作报告》中，讲述了六大民生新亮点，其中之一就是全部免除了细部地区和部分中部地区农村义务教育阶段约52000000名学生的学杂费。这个数据保留两个有效数字用科学记数法表示为（ ）。
A、52×107 B、5.2×107 C、5.2×108 D、52×108
（8）据中新社报道：2010年我国粮食产量将达到540 000 000 000 kg，用科学记数法表示这个粮食产量为 kg。
（9）近似数3.6×10 5 有 个有效数字，它精确到 位。
（10）用科学记数法表示：-50600000= ；0.0000802= 。
（11）近似数2.00的准确值α的取值范围是 。
（12）2007减去它的 ，再减去余下的，再减去余下的，…，依此类推，一直减到其余下的，则剩下的数是 。
（13）分母有理化：
（14）化简：|x-1| - |x+3|
（15）观察下列等式
，，，将以上三个等式两边分别相加得：．
（A）猜想并写出： ．
（B）直接写出下列各式的计算结果：
① ；
② ．
（C）探究并计算： ．
中考数学母题探秘（一）------数与式（1）数的基本内容练习题答案部分：
（1）m =4 , n = 3 ,则 m-n=1
（2）1，实数 （3）5n a （4）相反数是本身的数是 0 ，倒数是本身的数是 1和-1 ，绝对值是本身的数是 非负数 ，平方是本身的数是 1和0 ，平方根是本身的数是 0 ，立方及立方根是本身的数是 1、0、-1 。
（5）± ，3次根号9 . （6）2.08×105 （7）（B）
（8）5.4×1011 （9）两 ，万 （10）-5.06×107 ，8.02×10-5
（11）1.995≤α＜2.005 （12） 1 （13）=5 - 2
（14）化简：|x-1| - |x+3|
解：（1）找断点：（找到使每一个绝对值为0的x的值）
x=1和x=-3
（2）分段：按断点将实数x分段，如分为x＜-3 ，-3≤x≤1和x>1或分为 x≤-3，-3＜x≤1和x>1 等，但分类要不重不漏。
（3）化简：
当x＜-3时， |x-1| - |x+3|=-（x-1）+ （x+3）
=-x+1+x+3
=4
当-3≤x≤1时, |x-1| - |x+3|=-（x-1）-（x+3）
=-x+1-x-3
=-2x-2
当x>1时， |x-1| - |x+3|= x-1-（x+3）
= x-1-x-3
=-4
（15）（A）- 
（B） ①  ② 
（C）× = 
中考数学母题探秘（一）------数与式（2）
二、代数式的基本内容：
1、分类： 整式 单项式，如-3、a、
有理式 多项式，如2xy－3y4
代数式 分式 ，如 、等
无理式 ，如  (x≥1) 、等
2、重要概念：单项式、多项式、整式、分式、有理式、无理式、二次根式、最简二次根式、同类二次根式。
相关重要知识提示：（1）单独的一个数或一个字母也是代数式，如5，m，等；
（2）含有加减运算的几个单项式的和是多项式，如2a+b、
x2－ y2 等，而2a+3a、+b等都不是多项式；
（3）分母中含有字母的有理式是分式，如 、+b、等；
（4）根号内含有字母的代数式叫无理式，如、、等；
（5）无理式是根式，但根式不一定是无理式，如、 等是实数，是根式，但不是无理式；
（6）几个二次根式化成最简后，被开方数完全相同的二次根式叫做同类二次根式；
（7）代数式要和实数的知识联系起来学习。
3、典型例题：
例1：（1）如图，
化简：a－|a+b|－ +|b－c| = .
（2）函数y = 的自变量x的取值范围是 .
（3）分式有意义，则必须（ ）
x≠-2 (B)x≠-1或x≠-2
（C） x=0 (D) x≠-1且x≠-2
例题特点即解题策略：（1）借助数轴来化简绝对值和二次根式，其关键仍是判断绝对值内的数或式子的正负， 如|a+b|的化简，
当a+b≥0时，|a+b| = a+b （原封不动出来）；当a+b<0时，|a+b| = -（a+b）（加上括号，带上负号）【答案：原式=a+(a+b)+c-(b-c)=2a+2c】
(2)、(3)题都是考察自变量的取值范围，解题时应注意以下三点：
偶次方根的被开方数大于等于零；②分母不为零；③零指数或负指数的底数不为零。【答案：(2) x < 3 ；(3) (D)】
例2：分解因式 （1）2（1-x）2 +6a(x-1)3 （2）x4 － 81
（3）16 x2 －（x2 +4）2 （4）x2 y2 －8x y3 +16 y4
（解题策略：认真观察因式特征，选取合适的方法，结果一定要分解彻底。）
4、代数式求值.【解决方法：①直接代入求值②条件化简或改造代入求值③对代数式化简后求值④对条件、代数式同时改造和化简求值。】
例3：已知 a2 +a－2=0, 求－ × 的值.
【答案：由a2 +a－2=0得a = -2或a = 1，由化简分式可知，a≠1，∴ a = -2；原分式化简得：,故原式=2】
复习方法提示：回归课本、重视概念是复习数与式的重要方法。
三、数与式的部分题型展示：
1、某出租车司机在一条东西走向的街道上出租，规定以商场为中心，向东为正，向西为负，一天下午他运送乘客的里程如下（单位km）:+9，-3，-5，+4，-8，+6，-3，-6，-4，+8，
当他送完最后一名乘客时，该车在什么位置？
若每km价格1.8元，该司机这天下午共得出租费用多少元？
2、如图所示，将一“十”字架放入表中，将框住5个数7，21，23，25，39
1 3 5 7 9 11 13 15
17 19 21 23 25 27 29 31
33 35 37 39 41 43 45 47
49 51 53 55 57 59 61 63
问题：（1）这5个数的和与中间的23有什么关系？
（2）若中间的数是a,则5个数之和是多少？
（3）将“十”字架在表内平行移动或上下移动，若框住5个数，它还有这一规律吗？
这5个数的和能为2010吗？
3、代数知识用几何原理来解释：
1 x
用1 表示1×1的正方形的面积，用1 表示
1×x的矩形的面积，请你用若干个正方形或矩形来拼出3×（x+2）和3x+2 （要求画出图形，且使拼出图形为矩形）
4、根据如图所示的程序计算，
若输入x的值为–1，
求输出的y的值。
5、探索研究
（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（为正整数）表示这个数列的第项，那么 ， ；
（2）如果欲求1+3+ 32+ 33+…+ x20的值，可令
S=1+3+ 32+ 33+…+ x20………………………………………①
将①式两边同乘以3，得
………………… ……………②
由②减去①式，得
．
（3）用由特殊到一般的方法知：若数列，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为，则 （用含的代数式表示），如果这个常数，那么 （用含的代数式表示）．
四、代数式基本内容练习题：
1、下列式子中代数式的个数有 个，分式有 ，
无理式有 个。 5、  、a-2b 、S =vt 、、m、3x-6>5、 -5x2 y z10、、.
2、多项式的最高次项系数是 .
3、若a+b+c=0,化简a(+ )+b(+ )+ c(+ )=
4、如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1……的规律报数，那么第2007名学生所报的数是 ．
5、下列各式中二次根式的个数有 个.
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (a<-2) ⑦ ⑧ 
6、函数y = 的自变量x的取值范围是 .
7、若代数式÷ 有意义，则x的取值范围是 .
8、给出的下列计算或化简：（1）(a2)4= a6，（2）(-3a)3 =-27 a3
（3）2-2= ， （4） -2a=-3a(a<0)其中正确个数有（ ）
A．1个 B.2个 C.3个 D.4个
9、已知a、b是正整数，且 +  =  ,则a+b= .
10、如果二次三项式3x2 – 4x +2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的乘积，则k的取值范围是 .
11、数学游戏：规定，对任意实数对（a，b）按规则会得到一个新的实数：a2+b+1.例如把（5，–1）放入其中，就会得到52+(–1)+1=25.现将实数对(–3，2)放入其中得到实数n，再将实数对（n，–1）放入其中后，得到的实数是 .
12、已知，当n=1时，a1=0；当n=2时，a2=2；当n=3时， a3=0；… 则a1+a2+a3+a4+a5+a6的值为 ．
13、分解因式：（1）ax2 -4ax+4a （2）a3 – a
2x2+3x-6
14、计算：(1+ )÷
15、先将式子（1 + ）÷化简，然后请你自选一个理想的x值求出原式的值.
16、已知，a >0，b<0，c<0，|c|>|a|>|b|.
化简：|a+b| + |a+c| – |c-b|
代数式基本内容练习题：(答案部分)
1、下列式子中代数式的个数有 8 个，分式有 1 个，无理式有 2 个。
5、  、a-2b 、S =vt 、、m、3x-6>5、 -5x2 y z10、、.
2、多项式的最高次项系数是 -  .
3、若a+b+c=0,化简a(+ )+b(+ )+ c(+ )= -3
4、如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1……的规律报数，那么第2007名学生所报的数是 3 ．
5、下列各式中二次根式的个数有 5 个.
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (a<-2) ⑦ ⑧ 
6、函数y = 的自变量x的取值范围是 x≥-1且x≠0 .
7、若代数式÷ 有意义，则x的取值范围是 x≠-2且x≠-3且x≠-4 .
8、给出的下列计算或化简：（1）(a2)4= a6，（2）(-3a)3 =-27 a3
（3）2-2= ， （4） -2a=-3a(a<0)其中正确个数有（ C ）
A．1个 B.2个 C.3个 D.4个
9、已知a、b是正整数，且 +  =  ,则a+b= 1110 .
10、如果二次三项式3x2 – 4x +2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的乘积，则k的取值范围是 k≤  .
11、数学游戏：规定，对任意实数对（a，b）按规则会得到一个新的实数：a2+b+1.例如把（5，–1）放入其中，就会得到52+(–1)+1=25.现将实数对(–3，2)放入其中得到实数n，再将实数对（n，–1）放入其中后，得到的实数是 144 .
12、已知，当n=1时，a1=0；当n=2时，a2=2；当n=3时， a3=0；… 则a1+a2+a3+a4+a5+a6的值为 6 ．
13、分解因式：
解：（1）ax2 -4ax+4a （2）a3 – a
= a(x2 -4x+4) =a(a2 – 1)
= a (x-2)2 =a(a+1)(a-1)
（3）2x2+3x-6 ∵2x2+3x-6=0的两根为
=2（x-α）(x-β) x= 和x= 
其中α、β为一元二次方程 ∴ 2x2+3x-6
2x2+3x-6=0的两根。 = 2（x- ）(x- )
14、计算：(1+ )÷
解：原式=[1+ ]×(x-1)
=(1+ )×(x-1)
= ×(x-1)
= 2x
15、先将式子（1 + ）÷化简，然后请你自选一个理想的x值求出原式的值.
解：（1 + ）÷ 对于x的取值可自己选取，
= ×  但x不可取0、1和-1,否则
=  无意义。
16、已知，a >0，b<0，c<0，|c|>|a|>|b|.
化简：|a+b| + |a+c| – |c-b|
解：∵a >0，b<0，c<0，|c|>|a|>|b|
∴ a + b > 0 , a + c < 0 ,c – b < 0
∴ |a+b| + |a+c| – |c-b|
= a+b-(a+c)+(c-b)
= a+b-a-c+c-b
=0

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