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直线的一般式方程与直线的性质
一．选择题（共15小题）
1．如果，且，那么直线不通过　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．直线过点且与圆交于、两点，如果，那么直线的方程为　　
A． B．或
C． D．或
3．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为　　
A． B． C． D．
4．直线的斜率是　　
A． B． C． D．2
5．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则直线的方程为　　
A． B． C． D．
6．已知直线的横截距与纵截距相等，则的值为　　
A．1 B． C．或2 D．2
7．已知直线，动直线，则下列结论错误的是　　
A．存在，使得的倾斜角为
B．对任意的，与都有公共点
C．对任意的，与都不重合
D．对任意的，与都不垂直
8．对于直线，下列说法不正确的是　　
A．无论如何变化，直线的倾斜角的大小不变
B．无论如何变化，直线一定不经过第三象限
C．无论如何变化，直线必经过第一、二、三象限
D．当取不同数值时，可得到一组平行直线
9．直线的纵截距是　　
A．5 B． C． D．
10．原点在直线上的射影，则的方程为　　
A． B． C． D．
11．直线在轴上的截距为　　
A．7 B．1 C．4 D．3
12．已知直线的方程为，则直线的倾斜角为　　
A． B． C． D．与有关
13．过两点和的直线在轴上的截距是　　
A． B． C． D．2
14．已知椭圆，则以为中点的弦所在的直线方程是　　
A． B． C． D．
15．直线过点且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为　　
A． B．
C．或 D．或
二．填空题（共18小题）
16．在平面直角坐标系内，设，、，为不同的两点，直线的方程为，设．有下列四个说法：
①存在实数，使点在直线上；
②若，则过、两点的直线与直线平行；
③若，则直线经过线段的中点；
④若，则点、在直线的同侧，且直线与线段的延长线相交．
上述说法中，所有正确说法的序号是 　　．
17．设，，，为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为　　．
（1）不论为何值，点都不在直线上；
（2）若，则过，的直线与直线平行；
（3）若，则直线经过的中点；
（4）若，则点、在直线的同侧且直线与线段的延长线相交．
18．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，分别以，为边向外作正方形与，则点的坐标为　　，直线的一般式方程为　　．
19．三条直线，，围成一个三角形，则的取值范围是　　．
20．经过原点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰好被点平分，则直线的方程为　　．
21．已知点，，，直线将分割成面积相等的两部分，则的取值范围是 　　．
22．已知直线过点，法向量，则其点方向式方程为 　　．
23．已知的三个顶点分别是，，．若直线过点，且将分割成面积相等的两部分，则直线的方程是　　．
24．已知直线，，当时，直线，与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数　　．
25．过点且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程为　　．
26．在中，、、，则的平分线所在直线的一般式方程是　　．
27．已知点是圆内的一点，那么过点的最短弦所在的直线方程是　　．
28．斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的周长为12的直线的方程为　　．
29．已知点是直线上的一点，将直线绕点逆时针方向旋转角，所得直线方程是，若将它继续旋转角，所得直线方程是，则直线的方程是　　．
30．经过的直线与两直线和分别交于、两点，且满足，则直线的方程为　　．
31．已知的顶点，边上的高所在直线为，为中点，且所在直线方程为，那么顶点的坐标是　　；直线方程为　　．
32．经过点且在两轴上截距相等的直线是　　．
33．若直线与两坐标轴围成的三角形面积不小于8，则实数的取值范围为　　．
三．解答题（共8小题）
34．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．求：
（1）顶点的坐标；
（2）直线的方程．
35．已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线．求：
（Ⅰ）直线的方程；
（Ⅱ）直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
36．已知三角形的顶点坐标为、、．
（1）求边上的高线所在的直线方程；
（2）求三角形的面积．
37．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
（1）求边所在直线方程；
（2）求顶点的坐标；
（3）求直线的方程．
38．已知直线经过点，其倾斜角的大小是．
（1）求直线的方程；
（2）求直线与两坐标轴围成三角形的面积．
39．已知的三个顶点、、．
（1）求边所在直线的方程；
（2）边上中线的方程为，且，求点的坐标．
40．如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴负半轴上．
过点作直线与抛物线相交于，两点，且满足．
（Ⅰ）求直线和抛物线的方程；
（Ⅱ）当抛物线上一动点从点向点运动时，求面积的最大值．
41．在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和，所在直线的方程为，
（1）求对角线所在直线的方程；
（2）求所在直线的方程．
直线的一般式方程与直线的性质精选题41道
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．如果，且，那么直线不通过　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先把化为，再由，得到，，数形结合即可获取答案
【解答】解：直线可化为，
又，
，，
直线过一、二、四象限，不过第三象限．
故选：．
【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化，以及学生数形结合的能力，属容易题
2．直线过点且与圆交于、两点，如果，那么直线的方程为　　
A． B．或
C． D．或
【分析】当切线的斜率不存在时，求出直线的方程，当斜率存在时，由弦心距、半弦长、半径三者间的关系可得弦心距等于3，解出值，即得直线的方程．
【解答】解：当切线的斜率不存在时，直线的方程为，经检验，此直线和圆相切，满足条件．
当切线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为．再由，
得，，直线的方程为，
即．
故选：．
【点评】本题考查直线方程的点斜式，点到直线的距离公式的应用，以及弦心距、半弦长、半径三者间的关系，体现了分类讨论的数学思想．
3．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为　　
A． B． C． D．
【分析】的顶点为，，，可得重心．设的外心为，，利用，解得．利用点斜式即可得出该三角形的欧拉线方程．
【解答】解：的顶点为，，，
重心．
设的外心为，，则，，
解得．可得，．
则该三角形的欧拉线方程为，化为：．
故选：．
【点评】本题考查了直线非常、欧拉线的应用、三角形重心外心的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．直线的斜率是　　
A． B． C． D．2
【分析】将直线方程变形后，即可求出直线的斜率．
【解答】解：直线变形得：，
则直线斜率为．
故选：．
【点评】此题考查了直线的一般式方程，是一道基本题型．
5．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则直线的方程为　　
A． B． C． D．
【分析】根据垂直关系求出的直线方程，与的直线方程联立求点的坐标，根据题意求得点的坐标，再求出直线的方程；
【解答】解：所在直线方程为，
设的方程为，且过，
代入解得，
联立与的方程，
得，解得；
设，则，，
即，
解得，则，
所以直线的方程为：．
故选：．
【点评】本题考查了直线方程的应用问题，是中档题．
6．已知直线的横截距与纵截距相等，则的值为　　
A．1 B． C．或2 D．2
【分析】先分别令和求出直线的横截距和纵截距，进而可以求解．
【解答】解：令，解得，
令，解得，
所以，解得或，
故选：．
【点评】本题考查了直线的截距的性质，属于基础题．
7．已知直线，动直线，则下列结论错误的是　　
A．存在，使得的倾斜角为
B．对任意的，与都有公共点
C．对任意的，与都不重合
D．对任意的，与都不垂直
【分析】根据直线的一般式方程，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：对于动直线，当时，斜率不存在，倾斜角为，故正确；
由于方程组，可得，此方程有解，可得与都有交点，故正确；
当时，成立，此时与重合，故错误；
由于直线 的斜率为1，动直线的斜率为，
故对任意的，与都不垂直，故正确，
故选：．
【点评】本题主要考查直线的一般式方程，两条直线的位置关系，属于中档题．
8．对于直线，下列说法不正确的是　　
A．无论如何变化，直线的倾斜角的大小不变
B．无论如何变化，直线一定不经过第三象限
C．无论如何变化，直线必经过第一、二、三象限
D．当取不同数值时，可得到一组平行直线
【分析】直线，化为：，根据斜率与在轴上的截距的意义即可判断出正误．
【解答】解：直线，化为：，
可得斜率，在轴上的截距为，
因此无论如何变化，直线必经过第一、二、四象限，直线一定不经过第三象限，直线的倾斜角的大小不变，当取不同数值时，可得到一组平行直线．
故选：．
【点评】本题考查了直线斜率与在轴上的截距的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．直线的纵截距是　　
A．5 B． C． D．
【分析】令，求得的值即为纵截距．
【解答】解：直线，
令，得，
所以直线的纵截距是．
故选：．
【点评】本题主要考查直线的截距的求法，属于基础题．
10．原点在直线上的射影，则的方程为　　
A． B． C． D．
【分析】由题意求出直线的斜率，利用点斜式方程求出直线方程，即可得到选项．
【解答】解：原点在直线上的射影，所以直线 的斜率为：2，所以所求的直线方程为：，
即
故选：．
【点评】本题是基础题，考查直线方程的求法，直线的斜率的应用，垂直关系的应用，考查计算能力，常考题型．
11．直线在轴上的截距为　　
A．7 B．1 C．4 D．3
【分析】结合直线的截距的定义即可直接求解．
【解答】解：由，
令可得，
故选：．
【点评】本题主要考查了直线的截距的应用，属于基础试题．
12．已知直线的方程为，则直线的倾斜角为　　
A． B． C． D．与有关
【分析】由直线的方程可得斜率，即得倾斜角的正切值，再由倾斜角的范围可得倾斜角．
【解答】解：直线的方程为，
其斜率为，即，为倾斜角）
由，可知
故选：．
【点评】本题考查直线的一般式方程和倾斜角，属基础题．
13．过两点和的直线在轴上的截距是　　
A． B． C． D．2
【分析】由两点式写出直线的方程，再令纵坐标为0，即可求出其在轴上的截距．
【解答】解：由直线过、两点，
故直线方程为，即
令 得．
故选：．
【点评】考查知两点的坐标求直线的斜率的方法，求直线的方程时一般的要求是把最后的结果化为一般式．
14．已知椭圆，则以为中点的弦所在的直线方程是　　
A． B． C． D．
【分析】设直线的方程为，代入椭圆的方程化简，由 解得值，即得直线的方程．
【解答】解：由题意得，斜率存在，设为，则直线的方程为，即，
代入椭圆的方程化简得，
，解得，故直线的方程为，
故选：．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，线段的中点公式，得到，是解题的关键．
15．直线过点且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为　　
A． B．
C．或 D．或
【分析】由直线与坐标轴的截距相等，可分两种情况考虑：当所求直线过原点时，满足题意，设直线方程为，将已知点坐标代入求出的值，确定出此时直线方程；当直线不过原点时，设出所求方程为，将已知点坐标代入求出的值，确定出直线解析式．
【解答】解：若直线过原点满足题意，设，将，代入得：，此时直线方程为，即；
若直线不过原点，设所求方程为，将，代入得：，解得：，此时直线方程为，
综上，所求直线方程为或．
故选：．
【点评】此题考查了直线的一般式方程，以及直线的截距式方程，理解题意是解本题的关键．
二．填空题（共18小题）
16．在平面直角坐标系内，设，、，为不同的两点，直线的方程为，设．有下列四个说法：
①存在实数，使点在直线上；
②若，则过、两点的直线与直线平行；
③若，则直线经过线段的中点；
④若，则点、在直线的同侧，且直线与线段的延长线相交．
上述说法中，所有正确说法的序号是 　②③④　．
【分析】①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到，进而可判断①不正确．
②若，则，进而得到，根据两直线斜率的关系即可判定过、两点的直线与直线平行．
③若，则，从而得到即，所以直线经过线段的中点．
④若，则，或，根据点与直线的位置关系可知点，在直线同侧，从而可判定④正确．
【解答】解：若点在直线上则，
不存在实数，使点在直线上，
故①不正确；
若，则，
即，
，
即过、两点的直线与直线平行，
故②正确；
若，则
即，，
直线经过线段的中点，
即③正确；
若，则，
或，
即点、在直线的同侧，且直线与线段不平行．
故④正确．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查两直线的位置关系，点与直线的位置关系，直线的一般式方程等知识的综合应用，属于难题．
17．设，，，为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为　（1）（2）（3）（4）　．
（1）不论为何值，点都不在直线上；
（2）若，则过，的直线与直线平行；
（3）若，则直线经过的中点；
（4）若，则点、在直线的同侧且直线与线段的延长线相交．
【分析】依次分析命题：（1）根据中的分母不为0，即可判断点不在直线上；（2）时，分不等于0和等于0两种情况考虑，当不为0时，根据，化简后得到直线的斜率与直线的斜率相等，且点不在直线上，进而得到两直线平行；当为0时，根据推出直线与直线的斜率都不存在，进而得到两直线平行；（3）当时，化简后得到线段的中点满足直线的解析式，进而得到的中点在直线上；（4）根据大于1，得到与同号且大于，进而得到点、在直线的同侧且直线与线段的延长线相交，综合可得答案．
【解答】解：（1）因为中，，所以点，不在直线上，本选项正确；
（2）当时，根据，得到，化简得：，即直线的斜率为，
又直线的斜率为，由（1）知点不在直线上，得到直线与直线平行；
当时，根据，得到，
化简得：，直线与直线的斜率不存在，都与轴平行，
由（1）知点不在直线上，得到直线与直线平行，
综上，当，直线与直线平行，本选项正确；
（3）当时，得到，
化简得：，而线段的中点坐标为，，
所以直线经过的中点，本选项正确；
（4）当时，得到，
即，所以点、在直线的同侧，
且，得到点与点到直线的距离不等，所以延长线与直线相交，
本选项正确．
所以命题中正确的序号为：（1）、（2）、（3）、（4）．
故答案为：（1）、（2）、（3）、（4）
【点评】此题考查学生掌握一点是否在已知直线上的判别方法，掌握两直线平行时满足的条件，是一道中档题．
18．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，分别以，为边向外作正方形与，则点的坐标为　　，直线的一般式方程为　　．
【分析】分别过、作轴的垂线，垂足分别为、．根据正方形的性质证出，利用对应边相等及、两点的坐标，算出，同理得到．由此算出直线的斜率，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到直线的一般式方程．
【解答】解：分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，
四边形为正方形，
，可得，，
，，
，，可得，
由此可得坐标为，同理得到，
直线的斜率为，
可得直线的方程为，化简得．
故答案为：．
【点评】主要考查了直线的一般式方程与直线的性质，需要运用正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直线的基本量与基本形式等知识，属于中档题．
19．三条直线，，围成一个三角形，则的取值范围是　，，，，　．
【分析】由三条直线中的任意两条平行求得的值，再由三条直线相交于一点求得的值，则，，不能围成一个三角形的的所有取值组成的集合可求．
【解答】解：当直线 平行于时，．
当直线 平行于时，，
当三条直线经过同一个点时，由解得直线与的交点，
代入，解得；
综上，为或2或．三条直线不能构成三角形．
故当三条直线围成三角形时，的取值范围，，，，，
故答案为：，，，，，
【点评】本题考查了两直线平行的条件，考查了两直线交点坐标的求法，是基础题．
20．经过原点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰好被点平分，则直线的方程为　．　．
【分析】当斜率不存在时，不合题意；当斜率存在时，设所求的直线方程为，进而得出交点，根据点为两交点的中点建立等式，求出的值，从而求出所求．
【解答】解：如果所求直线斜率不存在，则此直线方程为，不合题意．
设所求的直线方程为，
联立直线，可得，，
可得，，，
由题意可得，，
解可得，，此时直线为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了直线的点斜式方程，交点坐标的求法以及中点坐标公式等知识，有一定的综合性，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
21．已知点，，，直线将分割成面积相等的两部分，则的取值范围是 　　．
【分析】先求得直线与轴的交点为，，由可得点在射线上．求出直线和的交点的坐标，利用面积公式、点到直线以及两点之间的距离公式再分三种情况分别讨论：①若点和点重合，求得；②若点在点和点之间，求得；③若点在点的左侧，求得，综合起来可得结论．
【解答】解：由题意可得，三角形的面积为，
由于直线与轴的交点为，，由可得点在射线上．
设直线和的交点为，则由，可得点的坐标为，，
①若点和点重合，则点为线段的中点，则，且，解得，
②若点在点和点之间，则点在点和点之间，由题意可得三角形的面积等于，即，
即，解得，故，
③若点在点的左侧，则，，设直线和的交点为，
则由求得点的坐标为，，
此时，
，
此时，点到直线的距离等于，
由题意可得，三角形的面积等于，即，
化简可得．
由于此时，．
两边开方可得，则，即，
综合以上可得，可以，且，且，即的取值范围是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查确定直线的要素，点到直线和两点之间的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查运算能力和综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．
22．已知直线过点，法向量，则其点方向式方程为 　　．
【分析】利用直线的点法向式方程直接求解．
【解答】解：直线过点，法向量，
该直线的点法向式方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线的点法向式方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
23．已知的三个顶点分别是，，．若直线过点，且将分割成面积相等的两部分，则直线的方程是　　．
【分析】若直线过点且将三角形分成面积相等的两部分，则直线过的中点，求出中点的坐标，求出直线的方程，计算可得答案．
【解答】解：若直线过点且将三角形分成面积相等的两部分，则直线过的中点，
设的中点为，则，
又由，则，
直线的方程为，即．
故答案为：．
【点评】本题考查直线方程的计算，属于基础题．
24．已知直线，，当时，直线，与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数　　．
【分析】直接利用直线的方程，三角形的面积公式，二次函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：根据题意，如图所示：
由于直线，
当时，，
即直线和轴交于点，
由于直线，
由于与轴交于点，，
易知：和均经过定点，
即两直线交于点．
则四边形的面积，
即当时，．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：直线的方程，三角形的面积公式，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
25．过点且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程为　或　．
【分析】当直线过原点时，易求出方程，当直线不过原点时，设直线方程为，代入点的坐标即可求出的值，从而求出直线方程．
【解答】解：①当直线过原点时，在两坐标轴上截距都为0，符合题意，
此时直线方程为：，即；
②当直线不过原点时，设直线方程为，
过点，，
解得，
直线方程为，整理得：，
综上所述，直线的一般方程为或．
【点评】本题主要考查了直线的方程，注意对直线是否过原点讨论，是基础题．
26．在中，、、，则的平分线所在直线的一般式方程是　　．
【分析】由已知结合到角公式可求直线的斜率，然后结合直线的点斜式即可求解．
【解答】解：因为，，
设角平分线的斜率为，由到角公式可得，，
解可得，或，
当时，直线即为外角平分线，
故所求直线方程为即．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解题的关键是到角公式的应用，属于基础试题．
27．已知点是圆内的一点，那么过点的最短弦所在的直线方程是　　．
【分析】数形结合，点是圆的一点，故最短的弦与垂直，点斜式可求得最短弦的方程．
【解答】解：最短的弦与垂直，圆的圆心为，
，
最短弦的方程为，即．
【点评】本题通过直线和圆的位置关系来求直线方程，体现数形结合的数学思想．
28．斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的周长为12的直线的方程为　，或　．
【分析】设直线方程为，由题意可得，求出的值，即可求得直线的方程．
【解答】解：由题意得，设直线方程为，令，得；令，得．
，
，
．
所求直线方程为，即，或，
故答案为，或．
【点评】本题主要考查用点斜截式求直线方程的方法，属于基础题．
29．已知点是直线上的一点，将直线绕点逆时针方向旋转角，所得直线方程是，若将它继续旋转角，所得直线方程是，则直线的方程是　　．
【分析】由直线绕点逆时针方向旋转角，所得直线方程是，若将它继续旋转角，所得直线方程是，我们不难分析出直线经过直线和的交点，且又与直线垂直，则我们易给出直线的点斜式方程．
【解答】解：由已知易得：
直线经过直线和的交点，
且又与直线垂直，
的方程为，
即．
【点评】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
30．经过的直线与两直线和分别交于、两点，且满足，则直线的方程为　　．
【分析】设，可得．根据，，可得坐标，利用点斜式即可得出直线的方程．
【解答】解：设，则①．
，，
，
，，
将代入可得，②，
联立①②解得，，
则，
则直线的方程为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了直线方程、斜率计算公式、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力吗，属于基础题．
31．已知的顶点，边上的高所在直线为，为中点，且所在直线方程为，那么顶点的坐标是　　；直线方程为　　．
【分析】直线方程可以写出来，与直线联立，可解决点的坐标，设点，点的坐标可以表示出来，解出点的坐标，可以求出直线的方程．
【解答】解：设，，
则由题意可得：，解得，，
所以点的坐标为；
设，则的中点坐标为，
，
解得，
方程为：，
即：．
【点评】本题考查了直线的方程，直线的性质，中点坐标公式，属于基础题．
32．经过点且在两轴上截距相等的直线是　或　．
【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为，把已知点坐标代入即可求出的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为，把已知点的坐标代入即可求出的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．
【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为，
把代入所设的方程得：，则所求直线的方程为；
②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为，
把代入所求的方程得：，则所求直线的方程为．
综上，所求直线的方程为：或．
故答案为：或
【点评】此题考查直线的一般方程和分类讨论的数学思想，要注意对截距为0和不为0分类讨论，是一道基础题．
33．若直线与两坐标轴围成的三角形面积不小于8，则实数的取值范围为　，，　．
【分析】由题意求出直线与，轴的交点坐标，进而求出与两坐标轴围成的面积，由题意可得参数的范围．
【解答】解：直线与坐标轴的交点坐标分别为，，
所以直线与两坐标轴围成的三角形面积，
由题意可得，解得或，
故答案为：，，．
【点评】本题考查求直线与坐标轴的交点坐标及三角形的面积公式，属于基础题．
三．解答题（共8小题）
34．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．求：
（1）顶点的坐标；
（2）直线的方程．
【分析】（1）设，利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出；
（2）利用中点坐标公式、点斜式即可得出．
【解答】解：（1）设，
边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
，解得．
．
（2）设，则，解得．
．
直线的方程为，化为．
【点评】本题考查了点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、点斜式，考查了计算能力，属于基础题．
35．已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线．求：
（Ⅰ）直线的方程；
（Ⅱ）直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
【分析】（Ⅰ）联立两直线方程得到方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据直线与垂直，利用两直线垂直时斜率乘积为，可设出直线的方程，把代入即可得到直线的方程；
（Ⅱ）分别令和求出直线与轴和轴的截距，然后根据三角形的面积函数间，即可求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由解得由于点的坐标是．
则所求直线与垂直，可设直线的方程为．
把点的坐标代入得，即．
所求直线的方程为．
（Ⅱ）由直线的方程知它在轴．轴上的截距分别是．，
所以直线与两坐标轴围成三角形的面积．
【点评】此题考查学生会利用联立两直线的方程的方法求两直线的交点坐标，掌握直线的一般式方程，会求直线与坐标轴的截距，是一道中档题．
36．已知三角形的顶点坐标为、、．
（1）求边上的高线所在的直线方程；
（2）求三角形的面积．
【分析】（1）由题意可得的斜率，可得边高线斜率，进而可得方程；（2）由（1）知直线的方程，可得到直线的距离为，由距离公式可得，代入三角形的面积公式可得．
【解答】解：（1）由题意可得，
边高线斜率，
边上的高线的点斜式方程为，
化为一般式可得；
（2）由（1）知直线的方程为，即，
到直线的距离为，
又，
三角形的面积
【点评】本题考查直线的一般式方程，涉及点到直线的距离和三角形的面积，属基础题．
37．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
（1）求边所在直线方程；
（2）求顶点的坐标；
（3）求直线的方程．
【分析】（1）由边上的高所在直线方程为可得直线的斜率为，根据垂直时斜率乘积为可得直线的斜率为，且过即可得到边所在直线方程；
（2）联立直线和直线，求出解集即可求出交点的坐标．
（3）设点的坐标为，，且点与点关于直线对称，求出的坐标，利用两点式，得直线的方程．
【解答】解：（1）由边上的高所在直线方程为可知，
又，边所在直线方程为，
即边所在直线方程为．
（2）由边所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为，
由，解得，，
所以顶点的坐标为．
（3）设点的坐标为，，且点与点关于直线对称，
，
又点在直线上，
，
，，
所以，由两点式，得直线的方程为．
【点评】本题考查直线的方程，考查学生的计算能力，比较基础．
38．已知直线经过点，其倾斜角的大小是．
（1）求直线的方程；
（2）求直线与两坐标轴围成三角形的面积．
【分析】（1）由已知中直线的倾斜角可得其斜率，再由直线经过点，可得直线的点斜式方程，化为一般式可得答案．
（2）由（1）中直线的方程，可得直线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式可得答案．
【解答】解：（1）因为直线的倾斜角的大小为，
故其斜率为，
又直线经过点，所以其方程为
即．（3分）
（2）由直线的方程知它在轴、轴上的截距分别是、，
所以直线与两坐标轴围成三角形的面积
．（8分）
【点评】本题考查的知识点是直线的点斜式方程，其中根据直线经过点，结合直线的斜率，求出直线方程是解答的关键．
39．已知的三个顶点、、．
（1）求边所在直线的方程；
（2）边上中线的方程为，且，求点的坐标．
【分析】（1）由两点的斜率公式，算出的斜率，再由直线方程的点斜式列式，化简即得边所在直线方程；
（2）由两点的距离公式，算出，结合得到点到的距离等于，由此建立关于、的方程组，解之即可得到，的值．
【解答】解：（1），，
，
可得直线方程为
化简，得边所在直线方程为；
（2）由题意，得，
，解之得，
由点到直线的距离公式，
得，
化简得或，
或，
解得，或，，
故或．
【点评】本题给出三角形的顶点的坐标，求直线的方程并在已知面积的情况下求点的坐标．着重考查了直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式等知识．
40．如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴负半轴上．
过点作直线与抛物线相交于，两点，且满足．
（Ⅰ）求直线和抛物线的方程；
（Ⅱ）当抛物线上一动点从点向点运动时，求面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）由题意设出直线和抛物线的方程，联立方程用根与系数法和向量相等求出，的值；
（Ⅱ）由题意为定长，只要边上的高最大，则三角形的面积最大；过点的切线与平行时，得面积最大，求出点的坐标，再求点到直线的距离和的长，再求出面积．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意可设直线的方程为，抛物线方程为（2分）
有得 （3分）
设点，，，则，
（4分）
，
，解得（5分）
故直线的方程为，抛物线方程为． （6分）
（Ⅱ）据题意，当抛物线过点的切线与平行时，得面积最大（7分）
设点，，由，故由得，则
（9分）
点到直线的距离（10分）
由，得 （11分）
（12分）
的面积的最大值为（14分）
【点评】本题为直线与抛物线的综合问题，常用的方法联立直线及抛物线的方程，再利用韦达定理求解，本题还用数形结合思想求最大值，考查了运算能力和数形结合思想．
41．在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和，所在直线的方程为，
（1）求对角线所在直线的方程；
（2）求所在直线的方程．
【分析】（1）根据题意画出图形，结合图形求出的中点和斜率，
从而求得的斜率和直线方程；
（2）由直线和求点，再根据对称求出点，
利用两点式写出直线的方程．
【解答】解：（1）如图所示，
菱形的顶点和，所以的中点，
直线的斜率为，
的斜率为，
所以直线的方程为：，
即；
（2）由直线的方程和直线的方程联立，得，
解得，即点，；
设点，则，，
解得，，
所以点，；
又，则的直线方程为，
化为一般形式是．
【点评】本题考查了直线方程的求法与应用问题，是基础题．
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