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专题2.4 有理数的乘除【题型梳理】
题型梳理
知识解析
【知识点1 有理数乘法的法则】
①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
②任何数同零相乘，都得0．
③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个
时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数；若a≠0，则a的倒数是.
【题型1 根据法则判断不等关系】
【例1】如果，，那么（ ）.
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】根据有理数加法法则和绝对值的性质得到，根据有理数乘法法则得到a与b异号，即可得出a是正数，b是负数．
【详解】解：∵，，
∴a与b异号，且，
∴，，
故选：B．
【点睛】此题考查了有理数乘法法则，加法法则绝对值的性质，能熟记有理数的加法法则和乘法法则是解题的关键．
【变式1-1】已知，且，那么乘积的值一定是（　　）
A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定
【答案】B
【分析】根据题意，判断出、的正负，即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴，，即与异号，
则的值一定是负数．
故选：B．
【点睛】此题考查了有理数乘法以及加法运算，解题的关键是正确判断出、的正负．
【变式1-2】若a+b<0，且ab>0，那么a、b应满足的条件是（ ）
A．a>0、b>0 B．a<0， b<0
C．a、b同号 D．a、b异号，且负数的绝对值较大
【答案】B
【分析】直接利用有理数的乘法运算法则结合加法运算法则分析得出答案．
【详解】解：，且，
，，
故选：．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘法运算以及加法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
【变式1-3】如图，两点在数轴上表示的数分别是，下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根据数轴确定的取值范围，再逐一判定即可解答．
【详解】解：由数轴可得：，
，，，，
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是根据数轴确定的取值范围．
【题型2 运用运算律简化运算】
【例2】用简便方法计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)2
(2)
(3)0
(4)
【分析】（1）利用乘法的交换律求解即可；
（2）利用乘法分配律求解即可；
（3）利用乘法分配律的逆运算求解即可；
（4）把原式变形为，然后利用乘法分配律求解即可；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数乘法运算律是解题的关键．
【变式2-1】计算，运算中运用的运算律为（ ）．
A．乘法交换律 B．乘法分配律
C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律
【答案】D
【分析】解答时，运用了乘法交换律和乘法结合律．
【详解】∵运用的运算律为乘法交换律和乘法结合律，
故选D．
【点睛】本题考查了用运算律进行有理运算，熟练掌握运算律的使用规律是解题的关键．
【变式2-2】用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将带分数拆成整数部分与分数部分的和的形式，然后按照乘法分配律运算法则计算即可；
（2）先提公因数，按照乘法分配律逆运算计算．
【详解】（1）解：
=
=
=
=
（2）解：
=
=
=
【点睛】本题考查了有理数乘法运算、乘法分配律逆运算，采用合适的运算方法可以使计算简便，熟练掌握有理数的乘法分配律是解题关键．
【变式2-3】简便计算：
(1)
(2)
【答案】(1)2
(2)
【详解】（1）解：
=2
（2）
【点睛】本题考查的是乘法运算律的应用，掌握利用乘法的分配律进行简便运算是解本题的关键．
【题型3 有理数的乘法与相反数、倒数、绝对值等知识的综合】
【例3】已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的值．
【答案】当时，原式，当时，原式
【分析】先根据相反数性质、倒数的定义及绝对值的性质得出，，或，然后再分别代入计算即可．
【详解】解：根据题意知，，或，
当时，原式，
当时，原式．
综上，当时，原式，当时，原式．
【点睛】本题主要考查了相反数性质、倒数的定义、绝对值的性质等知识点，根据m进行分类讨论是解答本题的关键．
【变式3-1】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值．
【答案】或者
【分析】根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，可得，，即原式可以化简为：，根据，可得，或者，再代入即可求值．
【详解】∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，
∴，，
即：
∵，
∴，
∴，或者，
当时，，
当时，，
即值为：或者．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握相反数，倒数，绝对值等概念和有理数相关运算的法则．
【变式3-2】已知a，b互为相反数，且，c，d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，求的值．
【答案】
【分析】根据a、b互为相反数且，c、d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，得到，，，，即有，，代入即可求解．
【详解】解：∵a、b互为相反数且，c、d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，
∴，，，，
∴，，
将，，，代入到中，
∴
．
【点睛】本题考查了相反数，倒数，绝对值的意义，代数式求值等知识，解此题的关键是根据题意得出，，．
【变式3-3】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2.
(1)求a＋b，cd，m的值；
(2)求的值．
【答案】（1）a+b=0，cd=1，m=±2；（2）4,0.
【分析】（1）根据互为相反数的和为0，互为倒数的积为1，绝对值的意义，即可解答；
（2）分两种情况讨论，即可解答．
【详解】(1)∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，
∴a+b=0，cd=1，m=±2.
(2)当m=2时, =2+2-0=4；
当m= 2时, = 2+2-0=0.
故答案为4,0.
【点睛】此题考查相反数，绝对值，倒数，解题关键在于掌握各性质定义.
【题型4 关于有理数乘法的新定义问题】
【例4】定义一种新运算“※”，对于任意的两个有理数，，※．
(1)若与互为倒数，与5互为相反数，求※的值；
(2)求※※的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得：，，从而可求得，的值，再代入运算即可；
（2）根据新定义的运算，再相应的值代入求解即可．
【详解】（1）解：与互为倒数，与5互为相反数，
，，
解得：，，
※
※
；
（2）解：※※
※
※72
．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【变式4-1】a，b为有理数，若规定一种新的运算“ ”：定义a b＝a×b﹣2×（b﹣a）﹣5，
例如：2 3＝2×3﹣2（3﹣2）﹣5＝6﹣2﹣5＝﹣1．
请根据“ ”的定义计算：
(1)﹣2 4；
(2)（﹣1 1） （﹣7）．
【答案】(1)﹣25
(2)59
【分析】（1）根据题目中的定义计算即可；
（2）根据题目中的定义和运算顺序计算即可．
【详解】（1）解：﹣2 4
＝（﹣2）×4﹣2×[4﹣（﹣2）]﹣5
＝（﹣8）﹣2×（4+2）﹣5
＝（﹣8）﹣2×6﹣5
＝（﹣8）﹣12﹣5
＝﹣25．
（2）解：（﹣1 1） （﹣7）
＝{（﹣1）×1﹣2×[1﹣（﹣1）]﹣5} （﹣7）
＝[（﹣1）﹣2×（1+1）﹣5] （﹣7）
＝[（﹣1）﹣4﹣5] （﹣7）
＝（﹣10） （﹣7）
＝（﹣10）×（﹣7）﹣2×[（﹣7）﹣（﹣10）]﹣5
＝70﹣2×（﹣7+10）﹣5
＝70﹣2×3﹣5
＝70﹣6﹣5
＝59．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是能够用运算法则求新定义．
【变式4-2】在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．对有理数a、b、c，在乘法运算中满足①交换律：；②对加法的分配律：．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“”是否具有交换律？请写出你的探究过程．
【答案】(1)2
(2)24
(3)不具有交换律，见解析
【分析】（1）根据题目的新运算进行求解即可；
（2）根据题意先算括号内新运算，再进行求解即可；
（3）根据题意可举例出一个例子即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）不具有交换律，
例如：
；
，
∴，
∴不具有交换律．
【点睛】本题考查了新定义下的运算，解决本题的关键是掌握有理数的混合运算．
【变式4-3】对于有理数a、b，定义运算：a b＝a×b+|a|﹣b．
(1)计算（﹣5） 4的值；
(2)求[2 （﹣3）] 4的值；
(3)填空：3 （﹣2）______（﹣2） 3（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【答案】(1)﹣19
(2)﹣7
(3)＞
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（3）两式利用题中的新定义计算得到结果，比较即可．
【详解】（1）解：（﹣5） 4
＝﹣5×4+|﹣5|﹣4
＝﹣20+5﹣4
＝﹣19；
（2）解：[2 （﹣3）] 4
=[2×（-3）+|2|-（-3）] 4
＝（﹣6+2+3） 4
＝（﹣1） 4
=（﹣1）×4+|-1|-4
＝﹣4+1﹣4
＝﹣7；
（3）解：3 （﹣2）
=3×（-2）+|3|-（-2）
＝﹣6+3+2
＝﹣1；
（﹣2） 3
=（-2）×3+|-2|-3
＝﹣6+2﹣3
＝﹣7，
所以3 （﹣2）＞（﹣2） 3．
故答案为：＞．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【题型5 利用有理数的乘法解决实际问题】
【例5】某出租车沿人民路东西方向行驶，如果把人民公园站台记为0，向东行驶记为正，向西行驶记为负，这辆车从人民公园站台出发以后行驶的路程如下表（单位：km）
序号 1 2 3 4 5 6 7
路程
(1)这辆车离开出发点最远是 千米；
(2)这辆车在上述过程中一共行驶了多少路程？
(3)若汽车耗油量为4升/千米，共耗油多少升？
【答案】(1)12；
(2)；
(3)共耗油216升
【分析】（1）分别求出每一次出发点的距离，比较大小即可；
（2）将所给的数的绝对值求和，即为总路程；
（3）用总路程乘以每公里耗油量，即可求耗油总量．
【详解】（1）解：第一次与出发点的距离为，
第二次与出发点的距离为，
第三次与出发点的距离为，
第四次与出发点的距离为|，
第五次与出发点的距离为|，
第六次与出发点的距离为，
第七次与出发点的距离为，
∴这辆车离开出发点最远是，
故答案为：12；
（2）解：，
∴这辆车在上述过程中一共行驶了54km；
（3）解：∵ （升），
∴汽车耗油量为3升/千米，共耗油216升．
【点睛】本题考查正数与负数，有理数的乘法，能根据具体情境问题，灵活处理正数与负数的运算是解题的关键．
【变式5-1】某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减
(1)根据记录可知前四天共生产 　　辆；
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 　　辆；
(3)该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【答案】(1)412
(2)26
(3)42675
【分析】（1）前四个数据的和加上原计划每天生产的数量乘以4，即可得解；
（2）表格中数据最大的数减去最小的数即可得解；
（3）先求出生产自行车的总数量，再根据题意，列出算式进行计算即可．
【详解】（1）解：（辆）；
故答案为：；
（2）解：产量最多的一天比产量最少的一天多生产（辆），
故答案为：．
（3）解：根据图表信息，本周生产的车辆共计：．
（元）．
答：该厂工人这一周的工资总额是42675元．
【点睛】本题考查正负数的意义，有理数运算的实际应用．读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键．
【变式5-2】某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下表：
与标准重量偏差（单位：千克） 0 1 2 3
袋数 5 10 3 1 5 6
(1)这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差多少千克？
(2)这30袋大米的总重量比标准总重量多或少了多少千克？
(3)大米的单价是每千克元，食堂购进大米总共花了多少钱？
【答案】(1)5千克
(2)9千克
(3)元
【分析】（1）根据表中的数据及题意列式计算，即可求解；
（2）根据表中的数据及题意列式计算，即可求解；
（3）首先求得大米的总重量，再乘以单价，即可求解
【详解】（1）解：（千克），
答：这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差5千克
（2）解：（千克），
答：这30袋大米的总重量比标准总重量多了9千克
（3）解：这30袋大米的总重量为（千克），
食堂购进大米总共花了（元）．
答：食堂购进大米总共花了元．
【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意，准确列出算式是解决本题的关键．
【变式5-3】某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况：
星期 一 二 三 四 五 六 日
每斤价格相对于标准价格（元） +3
售出斤数 20 35 10 30 15 5 50
(1)第一周超市售出的百香果单价最高的是星期___________，最高单价是___________元；
(2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）？
(3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式：
方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折；
方式二：每斤售价10元；
为了给小明酿百香果蜜，张阿姨决定买35斤百香果，通过计算说明哪种方式购买更省钱．
【答案】(1)六；15
(2)这一周超市出售此种百香果盈利135元
(3)选择方式一购买更省钱
【分析】（1）通过看图表的每斤价格相对于标准价格，可直接得结论；
（2）计算总进价和总售价，比较即可；
（3）计算两种购买方式，比较得结论．
【详解】（1）解：这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，最高单价是（元）．
故答案为：六；15．
（2）解：（元），
（元），
（元）；
答：这一周超市出售此种百香果盈利135元．
（3）解：方式一：（元），
方式二：（元），
∵，
∴选择方式一购买更省钱．
【点睛】本题主要考查了正负数的应用及有理数的计算．计算本题的关键是看懂图表，理解图表．盈利就是总售价大于总进价，亏损就是总售价小于总进价．
【知识点 有理数除法的法则】
①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
【题型6 巧用分配律进行有理数的四则混合运算】
【例6】用简便方法计算：；
【答案】
【详解】试题分析：先化=1000，同时把除化乘，再根据乘法分配律计算即可得到结果.
解：原式=（1000）×（）=1000×（）×（）=.
考点：有理数的混合运算
【变式6-1】简便运算：．
【答案】
【分析】现将除法化为乘法，再利用乘法分配律进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查有理数的四则混合运算，解答的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序，会利用乘法分配律进行简便运算．
【变式6-2】用简便方法计算：
(1)(-81)÷2- ÷（-16）;
(2)1÷{(-1)×(-1)-(-3.9)÷［1-+(-0.7)］}.
【答案】(1).
【详解】试题分析：（1）根据除法法则把有理数的除法转化为乘法，然后计算即可；（2）根据除法法则把有理数的除法转化为乘法，然后根据有理数的运算法则依次计算即可.
试题解析：
（1）原式=-81×+×=-36+=-35;
（2）原式=1÷［×+3.9÷（-0.45）］=1÷(2-)=-.
点睛：本题考查了有理数的混合运算，正确运用有理数的混合运算法则是解题的关键.
【变式6-3】小刚在课外书中看到这样一道有理数的混合运算题：
计算：
她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利地解答了这道题．
（1）前后两部分之间存在着什么关系？
（2）先计算哪步分比较简便？并请计算比较简便的那部分．
（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果．
（4）根据以上分析，求出原式的结果．
【答案】(1)前后两部分互为倒数；(2)先计算后部分比较简单；-3；(3)-；(4)-
【分析】(1)根据被除数和除数之间的关系得出互为倒数；
(2)根据乘法分配律进行计算得出答案；
(3)根据倒数的性质得出答案；
(4)根据有理数的加法计算法则得出答案.
【详解】(1) 前后两部分互为倒数；
(2) 先计算后部分比较简便
(3)
(4)原式=+（-3）=-3
【题型7 利用有理数的四则混合运算解决实际问题】
【例7】有一个水库某天的水位为米（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：，，0，，，．
(1)经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？
(2)现在由于下暴雨，水库水位以米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），现在水库匀速泄水，可使静态水位按米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间．
【答案】(1)未超过
(2)5小时
【分析】（1）求得上述各数的和，然后根据结果与0的大小关系即可作出判断；
（2）根据题意列式求解．
【详解】（1）解：，
答：水库的水位未超过警戒线．
（2）（小时），
答：水库需放水小时．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算及正负数在实际生活中的应用，根据题意列出算式是解题的关键．
【变式7-1】明屹加油站周年庆，开展了加油每满10L立返现金5元（不足10L不返现金）的活动，出租车司机李师傅只在东西走向的路上开车接送乘客，他从甲地出发（向东行驶的里程数记作正数），到为止，他所行驶的里程记录如下（单位：公里）
；；；；；；．
(1)计算到时，李师傅在甲地的哪个方向，距甲地多远？
(2)求从开始到为止，李师傅距甲地的最远距离．
(3)若李师傅当日工作至为止，每小时行驶的里程相同，该车每百公里耗油8L，每升油7元，若李师傅今天出车时油箱是满的，中间没有加油，收工时想加满油箱，则李师傅当日在该加油站加油共花费多少元？
【答案】(1)李师傅在甲地的西边1公里位置；
(2)李师傅距甲地的最远距离是8公里；
(3)李师傅当日在该加油站加油共花费237元．
【分析】（1）将记录的数字相加得到结果，根据正负即可得到结果；
（2）根据几次的绝对值进行比较即可；
（3）将记录数字绝对值相加，乘以10，得出行驶的公里数，用结果除以100乘8得出耗油的升数，再用升数乘7减3乘5即可得到结果．
【详解】（1）解：（公里），
∴李师傅在甲地的西边1公里位置；
（2）解：第一站离甲地是4公里；
第二站离甲地是；
第三站离甲地是；
第四站离甲地是；
第五站离甲地是；
第六站离甲地是；
第七站离甲地是；
取绝对值可以看出最远是8公里；
（3）解：当日工作至为止，共工作10小时，
（公里），
（L），
（元）．
答：李师傅当日在该加油站加油共花费237元．
【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确理解本题中正数和负数的意义是解答本题的关键．
【变式7-2】2022年国庆节期间，若顺德长鹿农庄在9月30日的游客人数为3万人，下表为7天假期中每天接待游客的人数与前一天相比的变化情况(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数)：
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化/万人
(1)请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？
(2)与9月30日相比，10月7日客流量是上升了还是下降了？变化了多少？
(3)求这7天每天平均人数是多少万人？
【答案】(1)游客人数最多的为3日，最少的为7日，这两天的游客人数相差万人
(2)与9月30日相比，10月7日客流量是上升了，上升了万人
(3)这天每天平均人数万人
【分析】（1）由表知，从10月4日旅游的人数比前一天少，所以10月3日人数最多；10月7日人数最少；10月3日人数减去10月7日人数可得它们相差的人数；
（2）由（1）的结论，根据正负数的意义即可求解；
（3）分别计算这7天增加的人数，相加，再加上每天的3万人，可得总人数．
【详解】（1）解：10月1日至7日每天游客与9月30日相比的变化情况是：
1日：（万人）
2日：（万人）
3日：（万人）
4日：（万人）
5日：（万人）
6日：（万人）
7日：（万人）
所以游客人数最多的为3日，最少的为7日，这两天的游客人数相差（万人）.
（2）解：由（1）可知，与9月30日相比，10月7日客流量是上升了，上升了万人
（3）这7天的游客总人数是（万人）
这7天每天平均人数：（万人）
【点睛】本题考查了正数和负数，有理数加减混合运算的应用，注意正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，根据题意列出算式是解题的关键．
【变式7-3】为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月用水量在吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取，超过2吨且不超过吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的倍收取，超过吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的倍收取．为节约用水，小高记录了月份他家每月号的水表读数．（注：相邻两个月同一天的水表读数之差为上一个月的用水量）
月 月 月 月 月 月 月
水表读数（吨）
(1)填空：小高家月份的用水量_______吨，月平均每月用水量为_______吨．
(2)已知小高家月份的水费为元，试求他家月份需缴纳水费多少元？
(3)7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比月份多用水吨，试求小高家月份需缴纳水费多少元？
【答案】(1)；
(2)月份需缴纳水费为元
(3)月份需缴纳水费元
【分析】（1）根据题意，用2月的水表读数减去1月的水表读数得出1月份的用水量，用7月份的水表读数减去1月份的水表读数除以6即可求得月平均每月用水量；
（2）根据题意，2月份的水费按一级用水价格收取，根据题意求得一级用水的价格与二级用水的价格，进而根据表格求得月份用水量，即可求解；
（3）根据题意得出7月份的用水超过30吨，则按照一、二、三级的水费进行计算即可求解．
【详解】（1）解：小高家月份的用水量吨；
月平均每月用水量为吨；
故答案为：17；17．
（2）解：小高家月份用水量为：，
一级用水的价格为元吨；二级用水的价格为元吨；
他家月份用水量为：吨，
，
月份需缴纳水费为元
（3）解：根据题意：三级用水的价格为元吨，
月用水：（吨）
（元）
月份需缴纳水费元．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键．
【题型8 巧用倒数解有关有理数除法的问题】
【例8】阅读下列材料：计算．
解法一：原式＝＝550．
解法二：原式＝＝50÷＝50×6＝300．
解法三：原式的倒数为
＝．
故原式＝300．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题：
计算：．
【答案】一；
【分析】根据有理数的除法，可转化成有理数的乘法，可得答案；
根据有理数的运算顺序，先算括号里面的，再算有理数的除法，可得答案．
【详解】解：没有除法分配律，故解法一错误；
故答案为：一．
原式＝
＝
＝．
【点睛】本题考查了有理数的除法，先算括号里面的，再算有理数的除法，注意没有除法分配律．
【变式8-1】阅读下题的计算方法：
计算：
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：
所以原式
根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：
【答案】．
【分析】根据阅读材料先计算所求式子的倒数，从而得出原式的结果．
【详解】解：
，
所以，原式．
【点睛】本题是阅读材料问题，考查了有理数的混合运算和对阅读材料问题的运用，掌握运算顺序，正确判定符号计算是关键．
【变式8-2】阅读下列材料，并解答问题：
材料一：乘积为1的两个数互为倒数，如和，即若设a:b=x，则；
材料二：分配律：(a+b)c=ac+bc；
利用上述材料，请用简便方法计算：.
【答案】-
【分析】根据所给材料，先算÷的值，再根据倒数的定义即可求解．
【详解】先计算原式的倒数：
÷
=×
=-20+15-5
=-10，
所以原式=.
【点睛】本题考查了有理数的除法，解答本题的关键是看懂材料，灵活运用运算律简便计算．
【变式8-3】利用倒数的意义完成计算：
【答案】
【分析】先计算，再把除法转化为乘法，再利用分配律进行简便运算，最后取结果的倒数即可得到答案．
【详解】解：∵
．
∴．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，利用倒数的含义计算有理数的除法运算是解本题的关键．
【题型9 运用有理数的除法化简分数】
【例9】化简下列分数：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）20．
【分析】根据有理数的除法法则，即可求解．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】本题主要考查了有理数的除法法则，熟练掌握除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数，还要注意两数相除，同号得正，异号得负是解题的关键．
【变式9-1】化简下列分数：（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）9；（2）–；（3）–．
【分析】（1）根据有理数的除法运算法则计算可得；
（2）根据有理数的除法运算法则计算可得；
（3）根据有理数的除法运算法则计算可得．
【详解】（1）=9；
（2）==–；
（3）==–．
【点睛】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法运算法则．
【变式9-2】化简下列分数：（1）= ；（2）= ；（3）= ；
【答案】 0
【分析】根据分数的性质和有理数除法运算法则即可解答．
【详解】解：，，．
故答案为，，0．
【点睛】本题主要考查了分数的性质、有理数除法运用等知识点，掌握分数的性质是解答本题的关键．
【变式9-3】化简下列分数：
(1) ; (2) ;
(3) ; (4)- .
【答案】(1) ; (2) ; (3) 0; (4)- .
【详解】试题分析：根据有理数的除法法则化简即可.
试题解析：
（1）原式= ；
（2）原式=；
（3）原式=0；
（4）原式=.
【题型10 与有理数的混合运算有关的分类讨论问题】
【例10】a、b为任何非零有理数，则的可能取值是（ ）
A．或1 B．3或1或 C．1或3 D．或3
【答案】D
【分析】分、、和四种情况，再根据绝对值运算、有理数的除法与加减法运算即可得．
【详解】由题意，分以下四种情况：
（1）当时，，
则，
（2）当时，，
则，
（3）当时，，
则，
（4）当时，，
则，
综上，的可能取值是或3，
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值运算、有理数的除法与加减法运算，依据题意，正确分四种情况讨论，并熟练掌握各运算法则是解题关键．
【变式10-1】已知a、b、c均为非零有理数，且x＝，根据a、b、c的不同取值，x的不同结果有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】分四种情况讨论：①当时，则 ②当时，则 ③当时，则 ④当时，则再化简绝对值即可.
【详解】解： a、b、c均为非零有理数，
①当时，则
②当时，则
③当时，则
④当时，则
所以x的不同结果有2种，
故选：B
【点睛】本题考查的是绝对值的化简，对有理数的分类讨论是解题的关键.
【变式10-2】若，则的取值不可能是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】按照a，b的正负性分类讨论即可．
【详解】解：当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
∴的取值不可能是1，
故选：B．
【点睛】本题考查了化简绝对值，有理数的减法和除法，分类讨论是解题的关键．
【变式10-3】已知都是不等于0的有理数，若，则等于1或；若，则等于2或或0；若，则所有可能等于的值的绝对值之和等于 ．
【答案】220
【分析】根据绝对值的意义推理处的所有有可能的取值，然后再计算绝对值之和即可．
【详解】解：若，则等于1或；
若，则等于2或或0；
若，则等于3或-3或1或-1；
…..
若，则有：
当中有20项为1，0项为-1，则=20，当中有19项为1，1项为-1，则=18，中有18项为1，2项为-1，则=16，…..；以此类推可知中有0项为1，20项为-1，则=-20，
∴所有有可能的值为-20，-18，-16，……，16，18，20，
∴所有可能等于的值的绝对值之和为；
故答案为220．
【点睛】本题主要考查绝对值的意义及有理数的运算，熟练掌握绝对值的意义及有理数的运算是解题的关键．
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专题2.4 有理数的乘除【题型梳理】
题型梳理
知识解析
【知识点1 有理数乘法的法则】
①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
②任何数同零相乘，都得0．
③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个
时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数；若a≠0，则a的倒数是.
【题型1 根据法则判断不等关系】
【例1】如果，，那么（ ）.
， B．，
C．， D．，
【变式1-1】已知，且，那么乘积的值一定是（　　）
A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定
【变式1-2】若a+b<0，且ab>0，那么a、b应满足的条件是（ ）
A．a>0、b>0 B．a<0， b<0
C．a、b同号 D．a、b异号，且负数的绝对值较大
【变式1-3】如图，两点在数轴上表示的数分别是，下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 运用运算律简化运算】
【例2】用简便方法计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式2-1】计算，运算中运用的运算律为（ ）．
A．乘法交换律 B．乘法分配律
C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律
【变式2-2】用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【变式2-3】简便计算：
(1)
(2)
【题型3 有理数的乘法与相反数、倒数、绝对值等知识的综合】
【例3】已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的值．
【变式3-1】（2023春·重庆万州·七年级校联考阶段练习）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值．
【变式3-2】已知a，b互为相反数，且，c，d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，求的值．
【变式3-3】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2.
(1)求a＋b，cd，m的值；
(2)求的值．
【题型4 关于有理数乘法的新定义问题】
【例4】定义一种新运算“※”，对于任意的两个有理数，，※．
(1)若与互为倒数，与5互为相反数，求※的值；
(2)求※※的值．
【变式4-1】a，b为有理数，若规定一种新的运算“ ”：定义a b＝a×b﹣2×（b﹣a）﹣5，
例如：2 3＝2×3﹣2（3﹣2）﹣5＝6﹣2﹣5＝﹣1．
请根据“ ”的定义计算：
(1)﹣2 4；
(2)（﹣1 1） （﹣7）．
【变式4-2】在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．对有理数a、b、c，在乘法运算中满足①交换律：；②对加法的分配律：．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“”是否具有交换律？请写出你的探究过程．
【变式4-3】对于有理数a、b，定义运算：a b＝a×b+|a|﹣b．
(1)计算（﹣5） 4的值；
(2)求[2 （﹣3）] 4的值；
(3)填空：3 （﹣2）______（﹣2） 3（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【题型5 利用有理数的乘法解决实际问题】
【例5】某出租车沿人民路东西方向行驶，如果把人民公园站台记为0，向东行驶记为正，向西行驶记为负，这辆车从人民公园站台出发以后行驶的路程如下表（单位：km）
序号 1 2 3 4 5 6 7
路程
(1)这辆车离开出发点最远是 千米；
(2)这辆车在上述过程中一共行驶了多少路程？
(3)若汽车耗油量为4升/千米，共耗油多少升？
【变式5-1】某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减
(1)根据记录可知前四天共生产 　　辆；
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 　　辆；
(3)该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【变式5-2】某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下表：
与标准重量偏差（单位：千克） 0 1 2 3
袋数 5 10 3 1 5 6
(1)这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差多少千克？
(2)这30袋大米的总重量比标准总重量多或少了多少千克？
(3)大米的单价是每千克元，食堂购进大米总共花了多少钱？
【变式5-3】某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况：
星期 一 二 三 四 五 六 日
每斤价格相对于标准价格（元） +3
售出斤数 20 35 10 30 15 5 50
(1)第一周超市售出的百香果单价最高的是星期___________，最高单价是___________元；
(2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）？
(3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式：
方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折；
方式二：每斤售价10元；
为了给小明酿百香果蜜，张阿姨决定买35斤百香果，通过计算说明哪种方式购买更省钱．
【知识点 有理数除法的法则】
①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
【题型6 巧用分配律进行有理数的四则混合运算】
【例6】用简便方法计算：；
【变式6-1】简便运算：．
【变式6-2】用简便方法计算：
(1)(-81)÷2- ÷（-16）;
(2)1÷{(-1)×(-1)-(-3.9)÷［1-+(-0.7)］}.
【变式6-3】小刚在课外书中看到这样一道有理数的混合运算题：
计算：
她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利地解答了这道题．
（1）前后两部分之间存在着什么关系？
（2）先计算哪步分比较简便？并请计算比较简便的那部分．
（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果．
（4）根据以上分析，求出原式的结果．
【题型7 利用有理数的四则混合运算解决实际问题】
【例7】有一个水库某天的水位为米（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：，，0，，，．
(1)经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？
(2)现在由于下暴雨，水库水位以米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），现在水库匀速泄水，可使静态水位按米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间．
【变式7-1】明屹加油站周年庆，开展了加油每满10L立返现金5元（不足10L不返现金）的活动，出租车司机李师傅只在东西走向的路上开车接送乘客，他从甲地出发（向东行驶的里程数记作正数），到为止，他所行驶的里程记录如下（单位：公里）
；；；；；；．
(1)计算到时，李师傅在甲地的哪个方向，距甲地多远？
(2)求从开始到为止，李师傅距甲地的最远距离．
(3)若李师傅当日工作至为止，每小时行驶的里程相同，该车每百公里耗油8L，每升油7元，若李师傅今天出车时油箱是满的，中间没有加油，收工时想加满油箱，则李师傅当日在该加油站加油共花费多少元？
【变式7-2】2022年国庆节期间，若顺德长鹿农庄在9月30日的游客人数为3万人，下表为7天假期中每天接待游客的人数与前一天相比的变化情况(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数)：
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化/万人
(1)请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？
(2)与9月30日相比，10月7日客流量是上升了还是下降了？变化了多少？
(3)求这7天每天平均人数是多少万人？
【变式7-3】为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月用水量在吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取，超过2吨且不超过吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的倍收取，超过吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的倍收取．为节约用水，小高记录了月份他家每月号的水表读数．（注：相邻两个月同一天的水表读数之差为上一个月的用水量）
月 月 月 月 月 月 月
水表读数（吨）
(1)填空：小高家月份的用水量_______吨，月平均每月用水量为_______吨．
(2)已知小高家月份的水费为元，试求他家月份需缴纳水费多少元？
(3)7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比月份多用水吨，试求小高家月份需缴纳水费多少元？
【题型8 巧用倒数解有关有理数除法的问题】
【例8】阅读下列材料：计算．
解法一：原式＝＝550．
解法二：原式＝＝50÷＝50×6＝300．
解法三：原式的倒数为
＝．
故原式＝300．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题：
计算：．
【变式8-1】阅读下题的计算方法：
计算：
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：
所以原式
根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：
【变式8-2】阅读下列材料，并解答问题：
材料一：乘积为1的两个数互为倒数，如和，即若设a:b=x，则；
材料二：分配律：(a+b)c=ac+bc；
利用上述材料，请用简便方法计算：.
【变式8-3】利用倒数的意义完成计算：
【题型9 运用有理数的除法化简分数】
【例9】化简下列分数：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【变式9-1】（2023春·全国·七年级专题练习）化简下列分数：（1）；（2）；（3）．
【变式9-2】（2023春·河北唐山·七年级校考阶段练习）化简下列分数：（1）= ；（2）= ；（3）= ；
【变式9-3】化简下列分数：
(1) ; (2) ;
(3) ; (4)- .
【题型10 与有理数的混合运算有关的分类讨论问题】
【例10】a、b为任何非零有理数，则的可能取值是（ ）
A．或1 B．3或1或 C．1或3 D．或3
【变式10-1】已知a、b、c均为非零有理数，且x＝，根据a、b、c的不同取值，x的不同结果有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式10-2】若，则的取值不可能是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．
【变式10-3】已知都是不等于0的有理数，若，则等于1或；若，则等于2或或0；若，则所有可能等于的值的绝对值之和等于 。
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