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专题3.2 合并同类项【题型梳理】
题型梳理
知识解析
【知识点1 同类项的概念】
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；④所有常数项都是同类项．
【题型1 判断同类项】
方法点拨：同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数也相同．
【例1】下列各组中的两项是不是同类项 为什么
(1)与
(2)与
(3)与.
(4)与
(5)与
(6)与
【答案】(1)不是同类项，理由见分析
(2)不是同类项，理由见分析
(3)是同类项，理由见分析
(4)是同类项，理由见分析
(5)不是同类项，理由见分析
(6)是同类项，理由见分析
【分析】根据同类项的定义逐个判断即可（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项）．
（1）
与中两项所含相同的字母的指数不同，不是同类项.
（2）
与中两项所含的字母不同，不是同类项.
（3）
与中两项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项.
（4）
与中两项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项.
（5）
与中两项不含相同字母，不是同类项.
（6）
与中两项是常数项，是同类项
【点睛】本题主要考点是同类项的定义，根据同类项的定义逐个判断即可，应当熟练掌握．
【变式1-1】请写出的一个同类项 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】含有相同的字母，且相同字母的指数分别相等的项是同类项，根据同类项定义解答．
【详解】解：的一个同类项是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了同类项的定义，正确理解定义是解题的关键．
【变式1-2】下列单项式中，与是同类项的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同类项的概念可进行求解．
【详解】解：与是同类项的是；
故选：C．
【点睛】本题主要考查同类项，熟练掌握同类项的概念是解题的关键．
【变式1-3】在代数式－x2＋8x－5＋x2＋6x＋2中，－x2和 是同类项，8x和 是同类项，2和 是同类项．
【答案】 ＋x2 ＋6x －5
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，可得出答案．
【详解】根据同类项的定义：在代数式-x2+8x-5+x2+6x+2中，-x2和x2是同类项，8x和+6x是同类项，2和-5是同类项．
故答案为x2，+6x，-5．
【点睛】本题考查了同类项的知识，同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
【题型2 根据同类项的概念求指数中字母的值】
【例2】单项式与是同类项， ．
【答案】3．
【分析】根据同类项的定义，得x+2=2x-1，解方程即可．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴x+2=2x-1，
解得x=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了同类项的定义，根据同字母的指数相同，构建方程求解是解题的关键．
【变式2-1】若单项式与是同类项，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据同类项的定义，即可得到方程，解方程即可求得．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数也相同．
【变式2-2】若单项式与是同类项，则m= ,n= ．
【答案】 3 4
【分析】直接根据同类项的概念即可求解．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴n+1=5，2m=6
解得m=3，n=4
故答案为：3；4．
【点睛】本题考查同类项，掌握同类项的概念，两个单项式互为同类项，则相同字母的指数相等．
【变式2-3】若与是同类项，则下列关系式成立的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得b＝2a，c＝3a，即可判断各选项．
【详解】解：∵和是同类项，
∴b＝2a，c＝3a，
A.，此选项错误；
B.，此选项错误；
C.，此选项正确；
D.，此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了同类项，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．
【题型3 根据同类项的概念求式子的值】
【例3】已知代数式与是同类项，则a＋b的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据同类项定义，得到a=1，b-1=2，求a，b值代入计算即可．
【详解】∵代数式与是同类项，
∴a=1，b-1=2，
∴a=1，b=3，
∴a+b=4，
故选A．
【点睛】本题考查了同类项即含字母相同且相同字母的指数也相同，建立等式计算即可．
【变式3-1】若是单项式，则 ．
【答案】
【分析】根据题意得出与是同类项，再由定义即可求出，的值，最后代入求值即可．
【详解】∵是单项式，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了合并同类项，利用单项式的和差是单项式得出同类项是解题关键．
【变式3-2】已知m、n为常数，代数式化简之后为单项式，则的值有 个．
【答案】3
【分析】代数式化简之后为单项式，代数式能进行合并，根据同类项的概念即可求解．
【详解】若与为同类项，且系数互为相反数，
∴，
∴或
∴或
若与为同类项，且系数互为相反数，
∴，
∴或
∴或
综上所述：的值有3个，
故答案为：3
【点睛】本题考查同类项的概念，解题的关键是能够进行分情况讨论．
【变式3-3】如果单项式5mx3y与﹣5nx2a﹣3y是关于x、y的单项式，且它们是同类项．求
（1）（7a﹣22）2017的值；
（2）若5mx3y﹣5nx2a﹣3y=0，且xy≠0，求（5m﹣5n）2018的值．
【答案】（1）－1；（2）0
【分析】（1）根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得关于a的方程，解方程，可得答案；
（2）根据合并同类项，系数相加字母部分不变，可得m、n的关系，根据0的任何整数次幂都得零，可得答案．
【详解】解：（1）由单项式5mx3y与﹣5nx2a﹣3y是关于x、y的单项式，且它们是同类项，
得3=2a﹣3，解得a=3，
∴（7a﹣22）2017=（7×3﹣22）2017=（﹣1）2017=﹣1；
（2）由5mx3y﹣5nx2a﹣3y=0，且xy≠0，得
5m﹣5n=0，解得m=n，
∴（5m﹣5n）2018=02018=0．
【点睛】本题考查了同类项，利用了同类项的定义，负数的奇数次幂是负数，零的任何正数次幂都得零．
【题型4 合并同类项的运算】
【例4】把(x－y)看成一个整体合并同类项：5(x－y)2＋2(x－y)－3(x－y)2＋(x－y)－3.5.
【答案】2(x－y)2＋(x－y)－3.5
【分析】由题意可知把 看成一个整体，根据合并同类项的法则进行计算即可.
【详解】原式
【点睛】本题主要考查了合并同类项，掌握合并同类项的法则是解题的关键．
【变式4-1】在下列式子中错误的是 ．①；②；③；④．
【答案】①③④
【分析】根据同类项的定义、合并同类项的法则进行判断即可．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项；合并同类项时，系数相加减，字母和字母的指数不变．
【详解】①5a与2b不是同类项，不能合并．故5a＋2b＝7ab错误，选项正确；
②7ab 7ba＝0正确，选项错误；
③4x2y与5xy2不是同类项，不能合并．故4x2y 5xy2＝ x2y错误，选项正确；
④3x2与5x3不是同类项，不能合并．故3x2＋5x3＝8x5错误，选项正确．
故四个等式中错误的是①③④．
故答案为①③④．
【点睛】本题主要考查同类项的定义及合并同类项的法则．注意不是同类项，不能合并．
【变式4-2】数学老师在上课时出了这样一道题：“先化简，再求值：，其中，．”同学们思考时小丽说：本题中，是多余的条件；小强马上反对说：这不可能，多项式中含有x和y，不给出x，y的值怎么能求出多项式的值呢？你同意哪名同学的观点？请说明理由．
【答案】同意小丽的说法，理由见解析
【详解】解：同意小丽的说法，理由如下：
，
∴结果与x和y的值无关，
∴本题中，是多余的条件．
【变式4-3】若，则单项式和是同类项吗？如果是，请把它们进行加法运算；如果不是同类项，请从下列代数式中找出同类项进行加法运算：，
【答案】见解析.
【详解】试题分析：先根据题意求出m与n的值，然后把m与n的值代入3x2ym+n-1和进行化简，最后根据合并同类项的法则求出答案即可．
试题解析：∵|m-2|+（-1）2=0，
∴m-2=0，-1=0，
∴m=2， n=3
∴m+n-1=4，n2-2m=5，
∴单项式为：3x2y4与x5y4，不是同类项，
∴3x2y4+（-2x2y4）=x2y4
【题型5 根据两单项式的和差是同类项求字母的值】
【例5】若关于x、y的单项式3x4y3与（m-2）x4y|m|的和还是单项式，则这个和的结果为 ．
【答案】4x4y3或﹣2x4y3或3x4y3
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）求出m的所有可能值，再代入代数式计算即可．
【详解】根据题意知|m|=3，或m-2=0，
则m=3或m=-3或m=2
若m=3，两个单项式的和为3x4y3+x4y3=4x4y3；
若m=-3，两个单项式的和为3x4y3-5x4y3=-2x4y3；
若m=2，两个单项式的和为3x4y3+0=3x4y3；
故答案为4x4y3或-2x4y3或3x4y3．
【点睛】本题考查了同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，注意①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可．
【变式5-1】已知关于，的单项式与和为，请求出的值.
【答案】
【分析】根据题意以及同类项的定义得出，，，进而求得的值，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵关于，的单项式与和为，
∴，，，
∴，
∴
【点睛】本题考查了合并同类项，同类项的定义，理解题意是解题的关键．
【变式5-2】如果代数式与的差是单项式，那么= .
【答案】
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，即可求得和的值.
【详解】解：∵代数式与的差是单项式，
∴代数式与是同类项，
∴，
解得：，，
∴，
故答案为.
【点睛】本题考查了同类项的定义.两个代数式的和或差是单项式，说明这两个代数式为同类项，熟记同类项的定义是解题的关键.
【变式5-3】已知关于，的整式与的和为单项式，则的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【分析】此题分两种情况进行讨论，当合并结果为的同类项时，则；当合并结果为的同类项时，则，根据算式分别求出即可．
【详解】解：∵与的和为单项式，
∴当合并结果为的同类项时，则，
得．
∴．
当合并结果为的同类项时，则，
得．
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是根据已知求出a、b的值．
【题型6 利用合并同类项解决不含某项问题】
【例6】若是关于的不含二次项的多项式，有理数的值是（ ）
A． B． C．0 D．2或0
【答案】A
【分析】将多项式进行合并同类项化简，根据题中不含二次项，可得二次项系数为0，即可求出得值．
【详解】解：
，
，
∵多项式中不含二次项，
∴，
解得：，
故选：A．
【点睛】题目主要考查多项式的项、次数及系数、合并同类项，理解题意中不含二次项是解题关键．
【变式6-1】若关于的多项式不含二次项和一次项，则 ， ．
【答案】 1 -1
【分析】先将原式进行合并同类项，再确定相应项的系数为0，从而求解．
【详解】原式=，
由题意：
解得：
故答案为：1，-1．
【点睛】本题考查合并同类项，理解题意建立等式求解是解题关键．
【变式6-2】要使多项式化简后不含的二次项，则等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】合并同类项，再根据化简后不含的二次项，令的二次项系数为0，即可解得m的值．
【详解】解：
多项式化简后不含的二次项，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号，合并同类项的法则．
【变式6-3】若关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次项，则m的值为 ．
【答案】１
【分析】将两个多项式相加后，然后合并同类项，令含的项的系数化为0即可．
【详解】+
令，
解得：
故答案为：1．
【点睛】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法进行求解是解题的关键．
【题型7 利用合并同类项解决与某字母取值无关问题】
【例7】试说明多项式x3y3－x2y＋y2－2x3y3＋0.5x2y＋y2＋x3y3－2y－3的值与字母x的取值无关．
【答案】原多项式的值与x无关
【详解】【分析】化简后得2y2－2y－3，此式的值只与y的大小有关， 与x的取值大小无关，所以原多项式的值与x无关.
【详解】因为，x3y3－x2y＋y2－2x3y3＋0.5x2y＋y2＋x3y3－2y－3=2y2－2y－3，
所以，此式的值只与y的大小有关，与x的取值大小无关，所以原多项式的值与x无关.
【点睛】本题考核知识点：合并同类项.解题关键点：熟练合并同类项.
【变式7-1】多项式3a+2b+na+4的值与a无关，则n＝ ．
【答案】-3
【分析】先根据合并同类项法则合并同类项，根据题意得出3+n＝0，再求出n即可．
【详解】解：3a+2b+na+4＝(3+n)a+2b+4，
∵多项式3a+2b+na+4的值与a无关，
∴3+n＝0，
∴n＝－3，
故答案为：－3．
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键．
【变式7-2】若代数式mx2+7y2﹣3x2+2的值与字母x的取值无关，则m的值是 ．
【答案】3
【分析】直接利用代数式的值与字母的取值无关这一条件，得出含有的同类项系数和为零，进而得出答案．
【详解】∵代数式mx2+7y2﹣3x2+2的值与字母x的取值无关，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了合并同类项和代数式求值等知识点，正确得出含有x的同类项系数和为零是解答本题的关键．
【变式7-3】代数式的值（ ）
A．与字母，都有关 B．只与有关
C．只与有关 D．与字母，都无关
【答案】B
【分析】根据整式的加减法法则，合并同类项后即可求解．
【详解】解：
，
∴代数式的值只与有关，
故选：．
【点睛】本题主要考查整式的加减法，理解整式的加减法法则，掌握合并同类项的方法是解题的关键．
【题型8 利用合并同类项解决求值问题】
【例8】若，则 ．
【答案】
【分析】已知的等式可变形为，即为，再将所求的式子合并同类项后整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∴ ；
故答案为：．
【点睛】本题考查了合并同类项和代数式求值，灵活应用整体代入的方法是解题的关键．
【变式8-1】先合并同类项，再求值．，其中．
【答案】；19
【分析】先根据合并同类项法则进行化简，然后带代入数据求值即可．
【详解】解：
，
把代入得：原式．
【点睛】本题主要考查了整式加减运算及其求值，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，准确计算．
【变式8-2】（1）先合并同类项，再求代数式的值：
，其中 ；
（2）已知，化简求值：．
【答案】（1）2x-4=-8（2）a2b+ab2=
【分析】（1）先移项，再合并同类项即可，把x=-2代入求值即可；（2）先根据平方和绝对值的非负数性质求出a、b的值，再把多项式合并同类项后代入a、b的值计算即可.
【详解】（1）
=2x-4，
当x=-2时，2x-4=2（-2）-4=-8.
（2）∵
∴a-=0，b+1=0，
∴a=，b=-1，
∴
=a2b+ab2
=()2(-1)+ (-1)2
=
【点睛】本题考查整式的运算及平方和绝对值的非负数性质，熟练掌握合并同类项的法则是解题关键.
【变式8-3】阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
(1)把看成一个整体，合并的结果是_________；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把看成一个整体，运用合并同类项法则进行计算即可；
（2）把变形，得到，再根据整体代入法进行计算即可．
【详解】（1）解：把看成一个整体，
则
；
故答案为：；
（2）∵，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了整式的加减，解决问题的关键是运用整体思想；给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算
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专题3.2 合并同类项【题型梳理】
题型梳理
知识解析
【知识点1 同类项的概念】
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；④所有常数项都是同类项．
【题型1 判断同类项】
方法点拨：同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数也相同．
【例1】下列各组中的两项是不是同类项 为什么
(1)与
(2)与
(3)与.
(4)与
(5)与
(6)与
【变式1-1】请写出的一个同类项 ．
【变式1-2】下列单项式中，与是同类项的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】在代数式－x2＋8x－5＋x2＋6x＋2中，－x2和 是同类项，8x和 是同类项，2和 是同类项．
【题型2 根据同类项的概念求指数中字母的值】
【例2】单项式与是同类项， ．
【变式2-1】若单项式与是同类项，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2-2】若单项式与是同类项，则m= ,n= ．
【变式2-3】若与是同类项，则下列关系式成立的是（ ）.
A． B． C． D．
【题型3 根据同类项的概念求式子的值】
【例3】已知代数式与是同类项，则a＋b的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式3-1】若是单项式，则 ．
【变式3-2】已知m、n为常数，代数式化简之后为单项式，则的值有 个．
【变式3-3】如果单项式5mx3y与﹣5nx2a﹣3y是关于x、y的单项式，且它们是同类项．求
（1）（7a﹣22）2017的值；
（2）若5mx3y﹣5nx2a﹣3y=0，且xy≠0，求（5m﹣5n）2018的值．
【题型4 合并同类项的运算】
【例4】把(x－y)看成一个整体合并同类项：5(x－y)2＋2(x－y)－3(x－y)2＋(x－y)－3.5.
【变式4-1】在下列式子中错误的是 ．①；②；③；④．
【变式4-2】数学老师在上课时出了这样一道题：“先化简，再求值：，其中，．”同学们思考时小丽说：本题中，是多余的条件；小强马上反对说：这不可能，多项式中含有x和y，不给出x，y的值怎么能求出多项式的值呢？你同意哪名同学的观点？请说明理由．
【变式4-3】若，则单项式和是同类项吗？如果是，请把它们进行加法运算；如果不是同类项，请从下列代数式中找出同类项进行加法运算：，
【题型5 根据两单项式的和差是同类项求字母的值】
【例5】若关于x、y的单项式3x4y3与（m-2）x4y|m|的和还是单项式，则这个和的结果为 ．
【变式5-1】已知关于，的单项式与和为，请求出的值.
【变式5-2】如果代数式与的差是单项式，那么= .
【变式5-3】已知关于，的整式与的和为单项式，则的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【题型6 利用合并同类项解决不含某项问题】
【例6】若是关于的不含二次项的多项式，有理数的值是（ ）
A． B． C．0 D．2或0
【变式6-1】若关于的多项式不含二次项和一次项，则 ， ．
【变式6-2】要使多项式化简后不含的二次项，则等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
【变式6-3】若关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次项，则m的值为 ．
【题型7 利用合并同类项解决与某字母取值无关问题】
【例7】试说明多项式x3y3－x2y＋y2－2x3y3＋0.5x2y＋y2＋x3y3－2y－3的值与字母x的取值无关．
【变式7-1】多项式3a+2b+na+4的值与a无关，则n＝ ．
【变式7-2】若代数式mx2+7y2﹣3x2+2的值与字母x的取值无关，则m的值是 ．
【变式7-3】代数式的值（ ）
A．与字母，都有关 B．只与有关
C．只与有关 D．与字母，都无关
【题型8 利用合并同类项解决求值问题】
【例8】若，则 ．
【变式8-1】先合并同类项，再求值．，其中．
【变式8-2】（1）先合并同类项，再求代数式的值：
，其中 ；
（2）已知，化简求值：．
【变式8-3】阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
(1)把看成一个整体，合并的结果是_________；
(2)已知，求的值．
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