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专题3.3 整式的加减【题型梳理】
题型梳理
知识解析
【知识点1 去括号法则与添括号法则】
去括号法则：（1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号
外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
（2）去括号规律：①a+（b+c）=a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内
各项不变号；②a-（b-c）=a-b+c，括号前是“-”号，去括号时连同它前面的“-”号一起去掉，括号内各项都
要变号．
说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．
添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验．
【题型1 去括号与添括号】
【例1】下列各式由等号左边变到右边变错的有（　　）
①
②
③
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据去括号法则逐项进行判断即可．
【详解】解：①，故①错误；
②，故②错误；
③，故③正确；
④，故④错误；
综上分析可知，正确的有1个，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了去括号，解题的关键是熟练掌握去括号法则，注意括号前面为负号时，去括号后括号内的每一项符号要发生改变．
【变式1-1】按下列要求，给多项式3x3﹣5x2﹣3x＋4添括号：
（1）把多项式后三项括起来，括号前面带有“＋”号；
（2）把多项式的前两项括起来，括号前面带“﹣”号；
（3）把多项式后三项括起来，括号前面带有“﹣”号；
（4）把多项式中间的两项括起来．括号前面“﹣”号．
【答案】（1）3x3＋（﹣5x2﹣3x＋4）；（2）﹣（﹣3x3＋5x2）﹣3x＋4；（3）3x3﹣（＋5x2＋3x﹣4）；（4）3x3﹣（5x2＋3x）＋4
【分析】根据添括号的法则把给出的式子按要求进行变形，即可得出答案．
【详解】解：（1）多项式后三项括起来，括号前面带有“＋”号是3x3＋（﹣5x2﹣3x＋4）；
（2）多项式的前两项括起来，括号前面带“﹣”号是：﹣（﹣3x3＋5x2）﹣3x＋4；
（3）多项式后三项括起来，括号前面带有“﹣”号是：3x3﹣（＋5x2＋3x﹣4）；
（4）多项式中间的两项括起来，括号前面“﹣”号是3x3﹣（5x2＋3x）＋4．
【点评】本题考查了添括号的法则，添括号时，若括号前是“＋”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，添括号后，括号里的各项都改变符号．
【变式1-2】按下列要求给多项式添括号．
（1）使次数最高项的系数变为正数；
（2）把奇次项放在前面是“-”的括号里，其余的项放在前面是“+”的括号里．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据题意，次数最高项是，要把它的系数变为正数，就要提出一个负号，其余整体加上括号并变号；
（2）根据题意，奇次项和提取负号变成，其余两项加上括号不用变号．
【详解】（1）．
（2）．
【点睛】本题考查整式加括号的法则，需要注意整式前面是负号的时候加上括号，括号里面的式子需要变号．
【变式1-3】若、取正整数，、取负数，则以下式子中其值最大的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对各选项去括号后，按有理数的加法法则进行比较即可判断．
【详解】解：A、m-（n+p-q）=m-n-p+q=m-p-n+q，结果是m，p的绝对值的和减去n，q的绝对值；
B、m+（n-p-q）=m+n-p-q，结果是m，n，p，q的绝对值的和；
C、m-（n-p+q）=m-n+p-q，结果是m，q的绝对值的和减去n，p的绝对值；
D、m+（n-p+q）=m+n-p+q，结果是m，n，p的绝对值的和减去q的绝对值．
由此可看出B选项是值最大的，故选B．
【点睛】本题考查有理数的加法运算，去括号．在本题中注意，、为正整数，所以、后，值增大，、为负数，所以、后，值增大，由此可作出判断．也可以根据题意，代入符合条件的特殊值进行计算后判断．
【题型2 利用去括号法则化简】
【例2】去括号，合并同类项得： ．
【答案】/
【分析】先去括号，再合并同类项即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是整式的加减运算，掌握“去括号，合并同类项的法则”是解本题的关键．
【变式2-1】去括号，合并同类项：
(1)（2x﹣3y）﹣2（x+2y）；
(2)3x2﹣[2x﹣（x﹣5）﹣x2]；
(3)（2x2y+3xy2）﹣（x2y﹣3xy2）；
(4)4m2n﹣2（2mn﹣m2n）+mn．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】先去括号，然后合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式
【点睛】本题考查了去括号，合并同类项．解题的关键与难点在于正确的去括号．
【变式2-2】以下是马小虎同学化简代数式的过程．
…………第一步，
…………第二步，
…………第三步，
(1)马小虎同学解答过程在第___________步开始出错，出错原因是___________．
(2)马小虎同学在解答的过程用到了去括号法则，去括号的依据是___________．
(3)请你帮助马小虎同学写出正确的解答过程．
【答案】(1)一，去掉括号时，没有变号
(2)乘法分配律
(3)见解析
【分析】（1）根据去括号法则得出答案即可；
（2）根据去括号法则得出答案即可；
（3）先根据去括号法则去括号，再合并同类项即可；
【详解】（1）马小虎同学解答过程在第一步开始出错，出错原因是去掉括号时，没有变号；
（2）乘法分配律
（3）
【点睛】本题考查了整式加减和去括号法则能正确根据知识点进行计算是解此题的关键．
【变式2-3】先去括号，再合并同类项．
（1）
（2）
【答案】（1）5a-4b-1；（2）10a-3a2
【分析】（1）原式去括号合并即可得到结果；
（2）原式去括号合并即可得到结果．
【详解】解：（1）原式=3a-4b+2a-1=5a-4b-1；
（2）原式=10a-6b-+6b=10a-3a2．
【点睛】此题考查了合并同类项以及去括号，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【题型3 利用添括号与去括号求值】
【例3】当时，的值为6，当时，这个多项式的值是 ．
【答案】
【分析】根据题意列等式，化简整理等式和代数式，整体代入求值即可．
【详解】解：∵当时，的值为6，
∴，
∴，
∴当时，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值，添括号的应用，解题的关键是掌握整体代入求值．
【变式3-1】已知，，则值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由可得，再把原式化为，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
故选D．
【点睛】本题考查的是求解代数式的值，添括号的应用，掌握“整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键．
【变式3-2】若，求的值．
【答案】10
【分析】先把原代数式化为：，再整体代入求值即可.
【详解】解：
原式＝
【点睛】本题考查的是求解代数式的值，添括号的应用，掌握“整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键.
【变式3-3】阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用整体思想解决下列问题：
(1)把看成一个整体，合并．
(2)已知，求的值；
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)7
【分析】（1）仿照题意把看成一个整体进行求解即可；
（2）把整体代入所求式子中进行求解即可；
（3）去把所求式子去括号，然后添括号得原式，据此求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴；
（3）解；∵，
∴
．
【点睛】本题主要考查了合并同类项和代数式求值，去括号和添括号，熟知相关计算法则掌握整体代入思想方法是解题的关键．
【知识点2 整式的加减】
几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
整式的加减步骤及注意问题：
（1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
（2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
【题型4 整式的加减运算】
【例4】计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据整式加减运算法则进行计算即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，准确计算．
【变式4-1】计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）原式合并同类项即可得到结果；
（2）原式去括号合并即可得到结果；
（3）原式去括号合并即可得到结果．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【点睛】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号，合并同类项法则．
【变式4-2】计算：
①
②
③
④
【答案】①；②；③；④
【分析】①先去括号，然后合并同类项；
②合并同类项即可求解；
③将看作整体，直接合并同类项；
④先去括号，然后合并同类项，即可求解．
【详解】解：①
；
②
；
③
④
．
【点睛】本题考查了正式的加减运算，熟练掌握去括号与合并同类项是解题的关键．
【变式4-3】计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据合并同类项法则进行计算即可得到答案；
（2）根据去括号和合并同类项法则进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号和合并同类项法则是解题关键．
【题型5 整式加减的化简求值】
【例5】已知：．
(1)计算；
(2)若单项式与的差是一个单项式，求（1）中的值．
【答案】(1)
(2)34
【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可求解；
（2）先根据同类项的定义求出a、b的值，再代值计算即可．
【详解】（1）因为，
所以

；
（2）因为单项式与的差是一个单项式，
所以，
所以 ．
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
【变式5-1】先化简再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】根据整式加减的性质去括号、合并同类项，化简后，把，代入化简后的式子计算即可．
【详解】
把，代入化简后的式子计算，
【点睛】本题考查了整式加减化简与求值，熟练掌握整式加减计算是解题的关键．
【变式5-2】（1）先化简，再求值：，其中；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1），；（2），．
【分析】(1)原式去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值；
(2)原式去括号合并得到最简结果，根据题意求出与的值，然后代入计算即可求出值．
【详解】解：(1)原式，
，
当时，
原式；
(2)原式，
，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】此题考查了整式的加减—化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式5-3】先化简再求值：，其中满足．
【答案】，0
【分析】先去括号，合并同类项，得到化简的结果，再利用非负数的性质求解a，b的值，再代入计算即可．
【详解】解：
；
∵，
∴，，
解得：，，
∴原式
．
【点睛】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，熟练的掌握去括号，合并同类项是解本题的关键．
19．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】先去括号，合并同类项化简，再把x、y的值代入计算即可求解．
【详解】解：原式
把 ，代入得：．
【点睛】本题考查整式加减 化简求值，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．
【题型6 利用整式加减比较大小】
【例6】已知多项式，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．比较M，N的大小，跟a的取值有关
【答案】B
【详解】解：∵
，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查整式比较大小，整式减法运算，熟练掌握利用作差法比较整式值的大小是解题的关键．
【变式6-1】根据不等式的性质，可以得到：若，则，若，则，若，则．这是利用“作差法”比较两个数成两个代数式值的大小，已知，，请你运用前面介绍的方法比较整式A与B的大小．
【答案】
【分析】依据作差法列出代数式，然后去括号、合并同类项即可．
【详解】解：
因为，所以
所以
【点睛】本题主要考查的是比较代数式的大小，掌握作差法比较两个代数式大小是解题的关键．
【变式6-2】定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“鸿蒙数”．
(1)若，，求、的“鸿蒙数”；
(2)若，，求、的“鸿蒙数”；并比较，的大小．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据“鸿蒙数”将，代入即可求出结果；
（2）根据“鸿蒙数”将，代入即可求出，通过计算得到，即可比较大小．
【详解】（1）根据“鸿蒙数”的定义可知，
将，代入得：
；
（2）根据“鸿蒙数”的定义可知，
将，代入，
，
，
．
【点睛】本题考查了新定义的理解以及整数、整式的计算；解题的关键是理解新定义．
【变式6-3】用“★”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．
(1)求的值；
(2)若，，其中为有理数，试比较，的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据新定义列出算式计算即可；
（2）由新定义用含x的式子表示m，n，再比较与0的大小即可．
【详解】（1）解：
；
（2），
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查有理数混合运算及整式的加减运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，根据新定义列出算式．
【题型7 整式加减中的错看问题】
【例7】一道求值题不小心弄污损了，嘉嘉隐约辨识：化简，其中．系数“”看不清楚了．
(1)如果嘉嘉把“”中的数值看成2，求上述代数式的值；
(2)若无论m取任意的一个数，这个代数式的值都是，请通过计算帮助嘉嘉确定“”中的数值．
【答案】(1)，
(2)4
【分析】（1）化简式子，再代入数值计算即可；
（2）设中的数值为，则原式．根据题意可得方程，求解即可得到答案．
【详解】（1）原式．
当时，
原式；
（2）设中的数值为，则原式．
无论取任意的一个数，这个代数式的值都是，
．
．
答：“”中的数是4．
【点睛】此题考查的是整式的加减，掌握运算法则是解决此题关键．
【变式7-1】设A，B，C均为多项式，小方同学在计算“A﹣B”时，误将符号抄错而计算成了“A+B”，得到结果是C，其中A=x2+x﹣1，C=x2+2x，那么A﹣B=（　　）
A．x2﹣2x B．x2+2x C．﹣2 D．﹣2x
【答案】C
【详解】由题意可得：
A-B=A-（C-A）
=A-C+A=2A-C=2（ x2+x-1）-（x2+2x）
=x2+2x-2-x2-2x
=-2，
故选C.
【变式7-2】某同学在计算时，错算成，从而算得结果是，请你帮助算出正确结果．
【答案】
【分析】将错就错算出N的值，再代入原代数式进行计算即可．
【详解】解：由题意得，
∴
∴=
答：正确结果为．
【点睛】本题考查整式加减的应用：看错问题．对于看错问题，采用将错就错算出整式的值，再进行正确的计算即可．
【变式7-3】马虎的李明在计算多项式M加上时，因错看成加上，尽管计算过程没有错误，也只能得到一个错误的答案为．
（1）求多项式M；
（2）求出本题的正确答案．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据错误的结果减去，去括号合并表示出多项式即可；
（2）由表示出的加上，去括号合并即可得到正确的答案．
【详解】解：（1）根据题意列得：
，
即；
（2）正确答案为：
，
即正确答案为．
【点睛】此题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．
【题型8 整式加减中的不含某项问题】
【例8】关于x，y的多项式6mx2＋4nxy＋2x＋2xy－x2＋y＋4不含二次项，求多项式2m2n＋10m－4n＋2－2m2n－4m＋2n的值．
【答案】4
【分析】已知多项式合并后，根据结果不含二次项求出m与n的值，原式合并得到最简结果，将m与n的值代入计算即可求出值．
【详解】6mx2＋4nxy＋2x＋2xy－x2＋y＋4
=(6m－1)x2＋(4n＋2)xy＋2x＋y＋4，
∵该多项式不含二次项，
∴6m－1＝0，4n＋2＝0，
解得：m＝，n＝，
∴2m2n＋10m－4n＋2－2m2n－4m＋2n＝6m－2n＋2＝6×－2×(－)＋2＝4.
【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值以及多项式的知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式8-1】已知两个关于m、n的多项式A=mn－3m2、B=－6m2+5mn+2，且B+kA化简后不含m2项.
（1）求k的值;
（2）若m、n互为倒数，求B+kA的值.
【答案】（1）k=-2（2）5
【详解】试题分析：（1）根据题意直接代入化简，然后根据不含有的项，即为其系数为0，可求解k的值；
（2）根据倒数的意义得到mn=1，然后化简B+kA可求值.
试题解析：（1）B+kA=（－6m2+5mn+2）+k（mn－3m2）
=-6 m2+5mn+2+kmn-3k m2
=（-6-3k）m2+（5+k）mn+2
由不含m2项，可知-6-3k=0，
解得k=-2
（2）因为m、n互为倒数，
所以mn=1
所以B+kA
=（－6m2+5mn+2）+k（mn－3m2）
=（-6-3k）m2+（5+k）mn+2
=（5+k）mn+2
=3+2
=5
【变式8-2】若多项式不含三次项及一次项，请你确定m，n的值，并求出的值．
【答案】；
【分析】根据不含三次项及一次项可得，可求出m、n的值，代入所求代数式即可得答案．
【详解】解：
，
∵多项式不含三次项及一次项，
∴，
解得，
∴
．
【点睛】本题考查多项式的应用，利用合并同类项法则，根据不含三次项及一次项得出m、n的值是解题关键．
【变式8-3】已知A、B分别是关于，的多项式，一同学在计算多项式结果的时候，不小心把表示A的多项式弄脏了，无法认出，现在只知道，．
(1)请根据仅有的信息试求出A表示的多项式；
(2)若多项式中不含项，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可知，然后根据整式的运算法则计算即可求出答案．
（2）根据整式的运算法则计算，然后令含y的项的系数为0，即可求出a的值．
【详解】（1）解：，，
，
，
；
（2）解：
．
∵多项式中不含项，
．
解得：．
【点睛】本题考查整式的加减运算，整式加减中的无关型问题．熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．
【题型9 整式加减中的和某项无关问题】
【例9】已知多项式，，．求；老师展示了一位同学的作业如下：
解： …第一步
…第二步
…第三步
回答问题：
(1)这位同学第　 　步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
(2)若的结果与字母b的取值无关，求m的值．
【答案】(1)二，见详解；
(2)
【分析】（1）直接利用整式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接求出的值，结合结果与字母b的取值无关，得出m的值．
【详解】（1）解： …第一步
…第二步
…第三步
∴这位同学第二步开始出现错误，错误原因是去括号时，括号前面是负号，括号里面没有全部改变符号；
故答案为：二；
（2）解：∵， ，
∴
∵的结果与字母b的取值无关，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查整式加减混合运算及去括号的法则，解题的关键是去括号合并同类项，第2问中与b无关即b的系数为0．
【变式9-1】已知：
(1)求的值；
(2)若的值与x的值无关，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入，去括号、合并同类项即可；
（2）将y看成常数合并含x的项，然后根据与x无关，令关于x的项的系数为0即可求得y．
【详解】（1）解：
；
（2）解：=；
∵的值与x的值无关，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查整式的加减．（1）整式的加减就是去括号和合并同类项，能根据去括号法则和合并同类项法则正确计算是解题关键；（2）与x无关，即令含x的项的系数为0．
【变式9-2】（1）一天数学老师布置了一道数学题：已知x=2017，求整式的值，小明观察后提出：“已知x=2017是多余的”，你认为小明的说法有道理吗？请解释.
（2）已知整式，整式M与整式N之差是.
①求出整式N.
②若a是常数，且2M+N的值与x无关，求a的值.
【答案】（1）小明说的有道理，理由见解析.
(2) ①N=-2x2+ax-2x-1 ② a=．
【分析】（1）原式去括号合并同类项后得到最简结果，根据化简结果中不含x，得到x的值是多余的．
（2）①根据题意，可得N=（x2+5ax-3x-1）-（3x2+4ax-x），去括号合并即可；
②把M与N代入2M+N，去括号合并得到最简结果，由结果与x值无关，求出a的值即可．
【详解】（1）小明说的有道理，理由如下：
原式=x3-6x2-7x+8+x2+3x-2x3+3+x3+5x2+4x-1
=（1-2+1）x3+（-6+1+5）x2+（-7+3+4）x+（8+3-1）
=10，
由此可知该整式的值与x的取值无关，所以小明说的有道理．
（2）①N=（x2+5ax-3x-1）-（3x2+4ax-x）
=x2+5ax-3x-1-3x2-4ax+x
=-2x2+ax-2x-1；
②∵M=x2+5ax-3x-1，N=-2x2+ax-2x-1，
∴2M+N=2（x2+5ax-3x-1）+（-2x2+ax-2x-1）
=2x2+10ax-6x-2-2x2+ax-2x-1
=（11a-8）x-3，
由结果与x值无关，得到11a-8=0，
解得：a=．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解本题的关键．
【变式9-3】已知代数式A=，马虎同学在计算“A﹣B”时，不小心错看成“A+B”，得到的计算结果为
（1）求A﹣B的计算结果；
（2）若A﹣B的值与的取值无关，求的值．
【答案】（1）；（2）0
【详解】试题分析：（1）根据题意可先求出多项式B，然后再计算A-B；（2）分析A－B的结果，令含x的项的其它因式的积为0即可求y的值.
试题解析：
（1）∵A+B=2x2-xy-4y+1，
∴B=（2x2-xy-4y+1）-（x2+xy+2y-1）
=2x2-xy-4y+1-x2-xy-2y+1
=x2-2xy-6y+2，
∴A-B=（x2+xy+2y-1）-（x2-2xy-6y+2）
=x2+xy+2y-1-x2+2xy+6y-2
=3xy+8y-3；
（2）由题意可知：A-B=3xy+8y-3；
∵A-B与x的值无关，即3xy=0
∴3y=0，
∴y=0
【题型10 整式的加减中的遮挡问题】
【例10】某天数学课上老师讲了整式的加减运算,小颖回家后拿出自己的课堂笔记,认真地复习老师在课堂上所讲的内容,她突然发现一道题目:5（2a2+3ab-b2）-（-3+ab+5a2+b2）=5a2■-6b2+3被墨水弄脏了,请问被墨水遮盖住的一项是（）
A．+14ab B．+3ab C．+16ab D．+2ab
【答案】A
【分析】此题涉及整式加减运算，解答时只要把求出5（2a2+3ab-b2）-（-3+ab+5a2+b2）的值，再减去5a2-6b2+3即可知道横线上的数．
【详解】设横线上这一项为M，
则M=5（2a2+3ab-b2）-（-3+ab+5a2+b2）-（5a2-6b2+3）
=14ab．
故选A．
【点睛】解决此类题目的关键是熟练运用去括号、合并同类项，括号前是负号，括号里的各项要变号．合并同类项的时候，字母应平移下来，只对系数相加减．
【变式10-1】老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，小明不小心擦掉了一块，小亮说他记得小明擦掉的部分是一个二次三项式，黑板上剩下的过程为：
(1)求所挡住的二次三项式；
(2)若，求所挡住的二次三项式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据整式的加减计算法则只需要计算出的结果即可；
（2）把代入（1）所求式子中进行求解即可．
【详解】（1）解：由已知得所挡住的式子为：
，
即所捂的二次三项式是；
（2）解：当时，．
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，代数式求值，正确求出所捂的式子是解题的关键．
【变式10-2】印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■.
(1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？
(2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？
(3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把“■”换成10，原式去括号合并即可得到结果；
（2）求出单项式的系数和次数之积，确定出遮挡部分即可；
（3）设遮挡部分为a，原式去括号合并后，根据化简结果为常数，确定出a的值即可．
【详解】（1）解：根据题意得：原式＝
＝
＝；
（2）解：是单项式的系数和次数之积为：，
答：遮挡部分应是；
（3）解：设遮挡部分为a，
原式＝
＝
＝；
因为结果为常数，所以
所以遮挡部分为．
【点睛】此题考查了整式的加减和代数式的值与字母无关问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式10-3】已知：、都是关于的多项式，，，其中多项式有一项被“□”遮挡住了．
（1）当时，，请求出多项式被“□”遮挡的这一项的系数；
（2）若是单项式，请直接写出多项式．
【答案】（1）多项式B被“□”遮挡的这一项的系数为;（2）或．
【分析】（1）设，将x=1分别代入A及B，即可列出等式求解；
（2）分两种情况：①设，计算A+B=，由A+B是单项式得到3+k=0，求解k即可得到B；②设，计算A+B=，，由A+B是单项式得到k-5=0，求解k即可得到B.
【详解】（1）设，
当时，，，
∴，
∴，
∴多项式B被“□”遮挡的这一项的系数为；
（2）①设，
∴A+B=，
∵A+B是单项式，
∴3+k=0，
解得k=-3,，
∴；
②设，
∴A+B=,
∵A+B是单项式，
∴k-5=0，
解得k=5，
∴
∴或.
【点睛】此题考查多项式的定义，单项式的定义，整式的加法计算法则，正确理解题意是解题的关键.
【题型11 整式加减中的项与系数问题】
【例11】若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则A＋B一定是（ ）
A．三次多项式 B．四次多项式 C．七次多项式 D．四次七项式
【答案】B
【分析】利用合并同类项法则判断即可．
【详解】多项式相加，也就是合并同类项，合并同类项时只是把系数相加减，字母和字母的指数不变，由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，B是一个四次多项式，因此A+B一定是四次多项式或单项式．
故选B．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式11-1】若是一个五次多项式，是一个四次多项式，则一定是（ ）
A．次数不超过五次的多项式 B．五次多项式或单项式
C．九次多项式 D．次数不低于五次的多项式
【答案】B
【分析】利用整式的加减法则判断即可．
【详解】解：若A是一个五次多项式，B是一个四次多项式，
则A-B一定是五次多项式或单项式．
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式11-2】如果M是三次多项式，N也是三次多项式，那么3M+2N一定是( )
A．六次多项式 B．次数不高于3的多项式
C．三次整式 D．次数不高于3的整式
【答案】D
【分析】根据合并同类项的法则，两个多项式相加后，多项式的次数一定不会升高，当多项式3M最高次数项的系数如果与多项式2N最高次数项的系数互为相反数时，相加后最高次数项就会消失，次数就低于3，据此解答即可．
【详解】解：如果M是三次多项式，N也是三次多项式，那么3M+2N一定是次数不高于3的整式．
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减运算，熟知整式的相关概念、熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．
【变式11-3】如果A、B都是关于x的单项式,且A·B是一个九次单项式,A+B是一个五次多项式, 那么A-B的次数（ ）
A．一定是四次； B．一定是五次； C．一定是九次； D．无法确定.
【答案】B
【分析】根据题意可判断A、B的次数，再根据多项式的定义即可解答．
【详解】解：∵A、B都是关于x的单项式，且A B是一个九次单项式，A+B是一个五次多项式，
∴A、B中一个是5次单项式，另一个是4次单项式，
∴A-B的次数一定是5次，
故选B．
【点睛】本题主要考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．
【题型12 整式的加减中的应用】
【例12】将图1中周长为36的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为55的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（　　）

A．18 B．26 C．34 D．46
【答案】D
【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为36，求得，根据图2中长方形的周长为55，求得AB=，没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，计算即可得到答案．
【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，
由图1中长方形的周长为36，可得，，解得：，
如图，图2中长方形的周长为55，

∴，
∴，
根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，
∴
．
故选D．
【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，设出未知数、正确列代数式表示各线段的长是解答本题的关键．
【变式12-1】东阳某中学七(1)班有51人，某次活动分为三组，第一组有人，第二组比第一组的多6人，第三组比前两组的和的少3人．
(1)第二组的人数为______人，第三组的人数为______人；
(2)试判断时是否符合题意．
【答案】(1)；
(2)不符合题意，理由见解析
【分析】（1）由题意知，第二组的人数为（人），第三组的人数为（人），然后作答即可；
（2）当时，，此时不为整数，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，第二组的人数为（人），
第三组的人数为（人），
故答案为：；；
（2）解：当时，，此时不为整数，
∴不符合题意．
【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式12-2】某商店进100件某种商品，这种商品每件成本x元，原来按成本增加25%定价出售了，现在由于库存积压减价，按原价的八折出售，商品最后全部卖出后的利润是 元．
【答案】
【分析】将每件成本乘可求每件的利润，再乘降价前销售数量可得降价前获得的利润；再求出降价后的利润，两者相加即可求出结果．
【详解】解：依题意有：
故答案为：.
【点睛】本题主要考查列代数式的能力，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．
【变式12-3】某船顺水航行了8小时，逆水航行了3小时，已知船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时．
(1)轮船在顺水中比船在逆水中多航行了多少千米？
(2)轮船共航行了多少千米？
【答案】(1)
(2)
【分析】根据逆水速度=静水中的速度-水流速度，顺水速度=静水中的速度+水流速度，表示出逆水与顺水速度，
（1）求出顺水路程与逆水路程之差即可；
（2）求出顺水路程与逆水路程之和即可．
【详解】（1）解：∵船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，
∴轮船在顺水中速度为千米/时，轮船在逆水中速度为千米/时，
又∵船顺水航行了8小时，逆水航行了3小时，
∴，
答：轮船在顺水中比船在逆水中多航行了千米；
（2）解：∵船顺水航行了8小时，逆水航行了3小时，
∴轮船共航行了（千米），
答：轮船共航行了千米．
【点睛】此题考查了整式加减的应用，弄清题意是解本题的关健
．
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专题3.3 整式的加减【题型梳理】
题型梳理
知识解析
【知识点1 去括号法则与添括号法则】
去括号法则：（1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号
外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
（2）去括号规律：①a+（b+c）=a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内
各项不变号；②a-（b-c）=a-b+c，括号前是“-”号，去括号时连同它前面的“-”号一起去掉，括号内各项都
要变号．
说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．
添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验．
【题型1 去括号与添括号】
【例1】下列各式由等号左边变到右边变错的有（　　）
①
②
③
④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】按下列要求，给多项式3x3﹣5x2﹣3x＋4添括号：
（1）把多项式后三项括起来，括号前面带有“＋”号；
（2）把多项式的前两项括起来，括号前面带“﹣”号；
（3）把多项式后三项括起来，括号前面带有“﹣”号；
（4）把多项式中间的两项括起来．括号前面“﹣”号．
【变式1-2】按下列要求给多项式添括号．
（1）使次数最高项的系数变为正数；
（2）把奇次项放在前面是“-”的括号里，其余的项放在前面是“+”的括号里．
【变式1-3】若、取正整数，、取负数，则以下式子中其值最大的是（ ）．
A． B．
C． D．
【题型2 利用去括号法则化简】
【例2】去括号，合并同类项得： ．
【变式2-1】去括号，合并同类项：
(1)（2x﹣3y）﹣2（x+2y）；
(2)3x2﹣[2x﹣（x﹣5）﹣x2]；
(3)（2x2y+3xy2）﹣（x2y﹣3xy2）；
(4)4m2n﹣2（2mn﹣m2n）+mn．
【变式2-2】以下是马小虎同学化简代数式的过程．
…………第一步，
…………第二步，
…………第三步，
(1)马小虎同学解答过程在第___________步开始出错，出错原因是___________．
(2)马小虎同学在解答的过程用到了去括号法则，去括号的依据是___________．
(3)请你帮助马小虎同学写出正确的解答过程．
【变式2-3】先去括号，再合并同类项．
（1）
（2）
【题型3 利用添括号与去括号求值】
【例3】当时，的值为6，当时，这个多项式的值是 ．
【变式3-1】已知，，则值为（　　）
A． B． C． D．
【变式3-2】若，求的值．
【变式3-3】阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用整体思想解决下列问题：
(1)把看成一个整体，合并．
(2)已知，求的值；
(3)已知，求的值．
【知识点2 整式的加减】
几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
整式的加减步骤及注意问题：
（1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
（2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
【题型4 整式的加减运算】
【例4】计算：
(1)
(2)
【变式4-1】计算：
(1)
(2)
(3)
【变式4-2】计算：
①
②
③
④
【变式4-3】计算：
(1)
(2)．
【题型5 整式加减的化简求值】
【例5】已知：．
(1)计算；
(2)若单项式与的差是一个单项式，求（1）中的值．
【变式5-1】先化简再求值：，其中，．
【变式5-2】（1）先化简，再求值：，其中；
（2）先化简，再求值：，其中．
【变式5-3】先化简再求值：，其中满足．
19．先化简，再求值：，其中，．
【题型6 利用整式加减比较大小】
【例6】）已知多项式，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．比较M，N的大小，跟a的取值有关
【变式6-1】根据不等式的性质，可以得到：若，则，若，则，若，则．这是利用“作差法”比较两个数成两个代数式值的大小，已知，，请你运用前面介绍的方法比较整式A与B的大小．
【变式6-2】定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“鸿蒙数”．
(1)若，，求、的“鸿蒙数”；
(2)若，，求、的“鸿蒙数”；并比较，的大小．
【变式6-3】用“★”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．
(1)求的值；
(2)若，，其中为有理数，试比较，的大小．
【题型7 整式加减中的错看问题】
【例7】一道求值题不小心弄污损了，嘉嘉隐约辨识：化简，其中．系数“”看不清楚了．
(1)如果嘉嘉把“”中的数值看成2，求上述代数式的值；
(2)若无论m取任意的一个数，这个代数式的值都是，请通过计算帮助嘉嘉确定“”中的数值．
【变式7-1】设A，B，C均为多项式，小方同学在计算“A﹣B”时，误将符号抄错而计算成了“A+B”，得到结果是C，其中A=x2+x﹣1，C=x2+2x，那么A﹣B=（　　）
A．x2﹣2x B．x2+2x C．﹣2 D．﹣2x
【变式7-2】某同学在计算时，错算成，从而算得结果是，请你帮助算出正确结果．
【变式7-3】马虎的李明在计算多项式M加上时，因错看成加上，尽管计算过程没有错误，也只能得到一个错误的答案为．
（1）求多项式M；
（2）求出本题的正确答案．
【题型8 整式加减中的不含某项问题】
【例8】关于x，y的多项式6mx2＋4nxy＋2x＋2xy－x2＋y＋4不含二次项，求多项式2m2n＋10m－4n＋2－2m2n－4m＋2n的值．
【变式8-1】（2023春·安徽合肥·七年级校考期中）已知两个关于m、n的多项式A=mn－3m2、B=－6m2+5mn+2，且B+kA化简后不含m2项.
（1）求k的值;
（2）若m、n互为倒数，求B+kA的值.
【变式8-2】若多项式不含三次项及一次项，请你确定m，n的值，并求出的值．
【变式8-3】已知A、B分别是关于，的多项式，一同学在计算多项式结果的时候，不小心把表示A的多项式弄脏了，无法认出，现在只知道，．
(1)请根据仅有的信息试求出A表示的多项式；
(2)若多项式中不含项，求的值．
【题型9 整式加减中的和某项无关问题】
【例9】已知多项式，，．求；老师展示了一位同学的作业如下：
解： …第一步
…第二步
…第三步
回答问题：
(1)这位同学第　 　步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
(2)若的结果与字母b的取值无关，求m的值．
【变式9-1】已知：
(1)求的值；
(2)若的值与x的值无关，求y的值．
【变式9-2】（1）一天数学老师布置了一道数学题：已知x=2017，求整式的值，小明观察后提出：“已知x=2017是多余的”，你认为小明的说法有道理吗？请解释.
（2）已知整式，整式M与整式N之差是.
①求出整式N.
②若a是常数，且2M+N的值与x无关，求a的值.
【变式9-3】已知代数式A=，马虎同学在计算“A﹣B”时，不小心错看成“A+B”，得到的计算结果为
（1）求A﹣B的计算结果；
（2）若A﹣B的值与的取值无关，求的值．
【题型10 整式的加减中的遮挡问题】
【例10】某天数学课上老师讲了整式的加减运算,小颖回家后拿出自己的课堂笔记,认真地复习老师在课堂上所讲的内容,她突然发现一道题目:5（2a2+3ab-b2）-（-3+ab+5a2+b2）=5a2■-6b2+3被墨水弄脏了,请问被墨水遮盖住的一项是（）
A．+14ab B．+3ab C．+16ab D．+2ab
【变式10-1】老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，小明不小心擦掉了一块，小亮说他记得小明擦掉的部分是一个二次三项式，黑板上剩下的过程为：
(1)求所挡住的二次三项式；
(2)若，求所挡住的二次三项式的值．
【变式10-2】印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■.
(1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？
(2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？
(3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？
【变式10-3】已知：、都是关于的多项式，，，其中多项式有一项被“□”遮挡住了．
（1）当时，，请求出多项式被“□”遮挡的这一项的系数；
（2）若是单项式，请直接写出多项式．
【题型11 整式加减中的项与系数问题】
【例11】若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则A＋B一定是（ ）
A．三次多项式 B．四次多项式 C．七次多项式 D．四次七项式
【变式11-1】若是一个五次多项式，是一个四次多项式，则一定是（ ）
A．次数不超过五次的多项式 B．五次多项式或单项式
C．九次多项式 D．次数不低于五次的多项式
【变式11-2】如果M是三次多项式，N也是三次多项式，那么3M+2N一定是( )
A．六次多项式 B．次数不高于3的多项式
C．三次整式 D．次数不高于3的整式
【变式11-3】如果A、B都是关于x的单项式,且A·B是一个九次单项式,A+B是一个五次多项式, 那么A-B的次数（ ）
A．一定是四次； B．一定是五次； C．一定是九次； D．无法确定.
【题型12 整式的加减中的应用】
【例12】将图1中周长为36的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为55的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（　　）

A．18 B．26 C．34 D．46
【变式12-1】东阳某中学七(1)班有51人，某次活动分为三组，第一组有人，第二组比第一组的多6人，第三组比前两组的和的少3人．
(1)第二组的人数为______人，第三组的人数为______人；
(2)试判断时是否符合题意．
【变式12-2】某商店进100件某种商品，这种商品每件成本x元，原来按成本增加25%定价出售了，现在由于库存积压减价，按原价的八折出售，商品最后全部卖出后的利润是 元．
【变式12-3】（2023春·山东临沂·七年级校考期中）某船顺水航行了8小时，逆水航行了3小时，已知船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时．
(1)轮船在顺水中比船在逆水中多航行了多少千米？
(2)轮船共航行了多少千米？
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