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专题3.4 整式中的规律探究题【题型梳理】
题型梳理
题型练习
【题型1 单项式的系数与次数的变化规律】
【例1】按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别分析的系数与次数的变化规律，写出第个单项式的表达式．
【详解】解：，
，
，
，，
第个单项式是．
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式的找规律问题，分别找出符号、系数、次数的变化规律，从而得出单项式的变化规律．
【变式1-1】观察下列单项式：，按此规律，第个单项式是 ．
【答案】
【分析】根据已知单项式得出第n个单项式为（ 1）n+1 nxnyn+1，据此可得．
【详解】解：由已知单项式知第n个单项式为（ 1）n+1 nxnyn+1，
∴第2021个单项式是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是将单项式划分为符号、系数的绝对值、字母的指数，并找到各部分与序数的关系．
【变式1-2】观察下列三行数：
①2，，8，，32，，…；
②3，，9，，33，，…；
③，2，，8，，32，…；
取每一行的第个数，依次记为，，，当时，，，．
当时，请直接写出，，的值，并求这三个数中最大数与最小数的差．
【答案】，，，193
【分析】根据已知发现：第①行的数，从第二个数开始，后面一个数是前面一个数乘得到的，第②行的数第①行对应的数加1；第③行的数为第①行对应的数的一半的相反数，依此分别求出的值，进而求解即可．
【详解】通过观察发现：
①2，，8，，32，，，规律为，
②3，，9，，33，，，规律为，
③，2，，8，，32，，规律为，
当时，，
，
，
这三个数中最大的数与最小的数的差为．
【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，观察数列，发现第②行、第③行的数与第①行数的关系以及第①行数的排列规律是解题的关键．
【变式1-3】观察下列单项式：．解决下列问题：
(1)这组单项式的系数依次为多少？系数的绝对值的规律是什么？
(2)这组单项式的次数的规律是什么？
(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么吗？
(4)请你根据猜想，写出第2022个、第2023个单项式．
【答案】(1)，系数的绝对值的规律是
(2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数
(3)
(4)第2022个单项式是，第2023个单项式是
【分析】（1）根据单项式系数的含义进行求解，再观察其绝对值的规律即可；
（2）观察次的变化，从而可求解；
（3）结合（1）（2）进行分析即可；
（4）根据（3）进行求解即可．
【详解】（1）解：这组单项式的系数依次是，
系数的绝对值为，是从1开始的奇数，
∴系数的绝对值的规律是．
（2）解：这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．
（3）解：由（1）问得：符合规律是，
∵这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数，
∴第个单项式是．
（4）解：第2022个单项式是，第2023个单项式是．
【点睛】本题主要考查找规律，能够通过观察题中的单项式找出规律是解题关键．
【题型2 多项式的项及次数的变化规律】
【例2】有一组按规律排列的多项式：，，，，…，则第2023个多项式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．
【详解】解：多项式的第一项依次是，
第二项依次是，
得到第n个式子是：．
当时，多项式为
故选：D．
【点睛】此题主要考查了多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键．
【变式2-1】观察一组按规律排列的代数式： 第个式子是 ．（为正整数）
【答案】
【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号．
【详解】解：∵当n为奇数时，；
当n为偶数时，，
∵每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，
∴第个式子是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式规律，认真观察式子的规律是解题的关键．
【变式2-2】有一组多项式：，，，，．．．，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第个多项式为 ．
【答案】
【分析】观察已知多项式，得出一般性规律，确定出第n个多项式即可．
【详解】解：根据题意，
∵，，，，．．．，
∴第n个多项式为：；
故答案为：．
【点睛】此题考查了多项式，找出正确的规律是解本题的关键．
【变式2-3】已知多项式．
(1)根据这个多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗
(2)最后一项的系数的值为多少
(3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么
【答案】(1)十次十一项式；
(2)；
(3)；
【分析】（1）该多项式按照的降幂排列，每一项的次数是，奇数项的符号是正号，偶数项的符号是负号即可解答；
（2）观察已知多项式每一项的系数即可得到最后一项的系数的值；
（3）结合（1）即可得到多项式的第七项和第八项．
【详解】（1）解：∵多项式是按照的降幂排列，
∴该多项式有项，并且每一项的次数是，
∴该多项式是十次十一项式；
（2）解：∵多项式有项，
∴每一项的系数是，且偶数项为负数，奇数项为正数，
∴第项的系数为，
∴第项的系数为，
∴,
∴最后一项的系数的值为．
（3）解：∵多项式第项的系数为，
∴第七项的系数是，第八项的系数是，
∵多项式按照的降幂排列，且每一项的次数是，
∴第七项是, 第八项,
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化列，多项式的的有关概念，理解多项式的项，项数，次数是解题的关键．
【题型3 图表的规律】
【例3】在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当时，的值为（ ）
…
…
…
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察表格，可知对应的数的规律是，表示第几项，对应的数的规律是，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可知，对应的数的规律是，表示第几项，
当时，，
∴，即第个数，
对应的数的规律是，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查数字规律，观察数与数的关系，找出数字间的规律是解题的关键．
【变式3-1】下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定a的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【分析】首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，然后根据，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，，据此求出a的值是多少．
【详解】解：观察表格可得第n个表格的左上角的数等于n，
∵，
∴可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．
【变式3-2】下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的
1 4 2 6 3 8 4 10 …… a 20 ……
2 9 3 20 4 35 5 54 b x
第1个 第2个 第3个 第4个 ……
根据此规律确定x的值为（ ）
A．252 B．209 C．170 D．135
【答案】B
【分析】先根据这四个数的变化规律得出这四个数，再根据规律计算即可．
【详解】根据题意可知右上角的数是左下角的数的2倍，左上角的数比左下角的数少1，且右下角的数是左下角和右上角两个数的乘积再加上左上角的数，
所以，，
则．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，得出变化规律是解题的关键．
【变式3-3】如图，在表一中，将第1行第3列的数记为[1，3]，则[1，3]＝3，将第3行第2列的数记为[3，2]，则[3，2]＝6；按照要求回答下列各题：
（1）在表一中，[3，5]＝　 　，[8，10]＝　 　；
（2）在表一中，第3行第n+1列的数可以记为[3，n+1]＝　 　；
（3）如图，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，求3a+b﹣2c的值．
【答案】（1）15，80；（2）3n+3；（3）28．
【分析】（1）根据表格一可知，第一列相差1，第二列相差2，第n列相差n；第一行相差1，第二行相差2，第n行相差n；据此即可求解；
（2）类比（1）的规律得出结论；
（3）根据第n列相差n；第n行相差n；据此即可求解．
【详解】解：（1）[3，5]表示第3行第5列，则结果为：3+3+3+3+3=15；
[8，10]表示第8行第10列，则结果为：10×8=80，
故答案为：15，80；
（2）类比（1）可得：[3，n+1]表示第3行第n+1列的数为：3+(n+1-1)×3=3n+3；
（3）解：表二截取的是其中的一列：上下两个数字的差相等，所以a=15+3=18；
表三截取的是两行两列的相邻的四个数字：右边一列数字的差应比左边一列数字的差大1，所以b=24+25-20+1=30；
表四：3×6=18，4×8=32，可以判断出c在第四列、第七行，即c=4×7=28；
∴3a+b﹣2c＝3×18+30-2×28=28．
故答案为：28．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，找出各个数字之间的关系：第n列相差n；第n行相差n是解题的关键．
【题型4 图形的规律】
【例4】如图，用字母“”、“”按一定规律拼成图案，其中第个图案中有个，第个图案中有6个，第个图案中有个，……，按此规律排列下去，第个图案中字母的个数为( )

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题目中的图案，可以写出前几个图案中“”的个数，从而可以发现“”个数的变化规律，进而得到第个图案中“”的个数，从而可求解．
【详解】解：由图可知，
第个图案中“”的个数为：(个)，
第个图案中“”的个数为：(个)，
第个图案中“”的个数为：(个)，
…，
则第个图案中“”的个数为：，
∴第个图案中字母的个数为：．
故选：D．
【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中“”个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．
【变式4-1】用棋子摆成如图所示的“小房子”，则图⑤需要 枚棋子，图n需要 枚棋子（用含n的代数式表示）．

【答案】 29
【分析】根据已知图形找出规律求解即可．
【详解】解：∵第①个图形中棋子的数量为：，
第②个图形中棋子的数量为：，
第③个图形中棋子的数量为：，
第④个图形中棋子的数量为：，
∴第⑤个图形中棋子的数量为：，
第n个图形中棋子的数量为：．
故答案为：29；．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
【变式4-2】第一个图案需要6根小棒，第二个图案需要11根小棒，第3个图案需要16根小棒…，则第10个图案需要 根小棒．

【答案】51
【分析】根据所给的图形不难得出第n个图形小棒的根数为：，从而可求解．
【详解】解：∵第1个图案中有6根小棒，
第2个图案中有根小棒，
第3个图案中有根小棒，
……
∴第n个图案中小棒的根数为：，
∴第10个图案中小棒的根数为：，
故答案为：51．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律：第n个图案中有根小棒是解决问题的关键．
【变式4-3】下列图形都是由同样大小的小钢珠按一定规律排列的，按照此规律排列下去，第40个图形有小钢珠 颗．

【答案】820
【分析】根据图形变化规律可知，第n个图形有个小球，据此规律计算即可．
【详解】解：第1个图中有1个小球，
第2个图中有3个小球，，
第3个图中有6个小球，，
第4个图中有10个小球，，
……
照此规律，第n个图形有个小球，
当时，
小球个数为
故答案为：820．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据图形变化规律得出第n个图形有个小球是解题的关键．
【题型5 算式的规律】
【例5】观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
按照以上规律，第5个等式是： ，第n个等式（用含n的式子表示）是： ．
【答案】 ，
【分析】根据前四个等式，抽象概括出相同位置上的数字规律，即可得出结论．
【详解】解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
∴第5个等式：，
∴第n个等式（用含n的式子表示）是：；
故答案为：，．
【点睛】本题考查数字规律探究．根据已知的等式，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．
【变式5-1】观察按一定规律排列的一组数：，，，…，其中第个数记为，第个数记为，第个数记为，且满足，则 ， ．
【答案】 /
【分析】由题意推导可得，即可求解．
【详解】解：由题意可得：，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可求，
∴，
∴，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了数字的规律探索，找出数字的变化规律是解题的关键．
【变式5-2】仔细观察下列规律：：；；…
(1)___________．
(2)___________；
(3)小明做完上述两题后，发现了一个运算规律：
请你参考小明发现的规律计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据所给式子对照可得答案；
（2）根据所列出的式子的变化规律，类推出第n个式子的情况，从而得出结果
（3）利用（2）中所得规律变形，再消项计算．
【详解】（1）解：根据题意可得：；
（2）由题中规律可得：，
∴；
（3）
【点睛】本题考查数字规律，找出式子的变化规律是关键，注意与所在的个数之间的关系，并用所在的个数表示其变化规律即可，并类推应用．
【变式5-3】请仔细观察下列各等式的规律：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
(1)请用含n的代数式表示第n个等式的规律；
(2)将第1个等式至第2023个等式的左边部分相加，值为多少？
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）写出第4个等式：，第5个等式：，进而可得出答案；
（2）先写出第2023个等式为：，第1个等式至第2023个等式的左边部分相加为：变形即可求出答案．
【详解】（1）解：根据题意可得：第4个等式：，
第5个等式：，
…….
第n个等式：；
（2）解：第2023个等式为：，
第1个等式至第2023个等式的左边部分相加为：
．
【点睛】本题考查找规律，并通过规律解决问题，正确理解找出规律是解题的关键．
【题型6 程序运算】
【例6】如图所示，是一个运算程序示意图． 若第一次输入 k 的值为 25，则第 2023 次输出的结果是 ．
【答案】5
【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．
【详解】解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
…
∴规律为从第一次开始输出结果是5和1的循环，
∴，
即第2023次输出的结果是5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
【变式6-1】对于不同的起始数字，反复运用任何一个固定的运算程序，由此产生的结果总是会停留在某个或某几个数字上，称之为“数字黑洞”．小明写下了一列数1234567890，按照“偶-奇-总”的程序不断排出新数：这十个数中，偶数有5个，奇数有5个，总数有10个，得到新数为5510；再把5510，按照“偶-奇-总”排列，…… 继续下去，你将得到一个“数字黑洞”是 ．
【答案】123
【分析】根据题中材料，按照要求操作即可得到答案．
【详解】解：对于5510，按照“偶-奇-总”排列，偶数有1个，奇数有3个，总数有4个，得到新数为134；
对于134，按照“偶-奇-总”排列，偶数有1个，奇数有2个，总数有3个，得到新数为123；
对于123，按照“偶-奇-总”排列，偶数有1个，奇数有2个，总数有3个，得到新数为123；
以此类推，得到的“数字黑洞”是123，
故答案为：123．
【点睛】本题考查数字规律，读懂题意，按照要求操作是解决问题的关键．
【变式6-2】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，……，请你探索第2023次得到的结果为 ．
【答案】6
【分析】分别计算出前六次的输出结果可以得到从第三次输出结果开始，每三次输出结果为一个循环，由此进行求解即可．
【详解】解：由题意得，第一次得到的结果为15，
第二次得到的结果为24，
第三次得到的结果为12，
第四次得到的结果为6，
第五次得到的结果为3，
第六次得到的结果为12，
…
∴可知从第三次输出结果开始，每三次输出结果为一个循环，
∵，
∴第2023次的输出结果和第四次的输出结果相同，为6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了与程序流程图相关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键．
【变式6-3】小磊想编一个循环“插数”程序，对有序的数列：-2，0进行有规律的“插数”：对任意两个相邻的数，都用右边的数减去左边的数之差“插”在这相邻的两个数之间，产生一个个新数列.如：第1次“插数”产生的一个新数列是-2，2，0；第2次“插数”产生的一个新数列是-2，4，2，-2，0；第3次“插数”产生的一个新数列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0；……，第2019次“插数”产生的一个新数列的所有数之和是 .
【答案】4036
【分析】根据第1次“插数”产生的一个新数列是-2，2，0，增加了新数2；第2次“插数”产生的一个新数列是-2，4，2，-2，0，增加了新数4，2，-2，其和为4；第3次“插数”产生的一个新数列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0，增加了新数6，4，-2，2，-4，-2，2，其和为6；……
由此可得第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为2n-2；由此即可解答.
【详解】第1次“插数”产生的一个新数列是-2，2，0，增加了新数2；
第2次“插数”产生的一个新数列是-2，4，2，-2，0，增加了新数4，2，-2，其和为4；
第3次“插数”产生的一个新数列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0，增加了新数6，4，-2，2，-4，-2，2，其和为6；
……
由此可得，第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为：-2+0+2n=2n-2；
∴第2019次“插数”产生的一个新数列的所有数之和是：2n-2=2×2019-2=4036.
故答案为4036.
【点睛】本题是数字规律探究题，根据题意得到第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为2n-2是解决问题的关键.
【题型7 定义新运算】
【例7】定义一种新运算：“”观察下列各式：

，则 （用含a、b的代数式表示）
【答案】3a+b
【分析】根据所给算式总结规律解答即可．
【详解】解：∵，
，
，
，
∴3a+b，
故答案为：3a+b．
【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
【变式7-1】定义：若是不为1的有理数，则称为的差倒数．如2的差倒数为．现有若干个数，第一个数记为，是的差倒数，是的差倒数，依此类推，若，则 ．
【答案】
【分析】根据规定进行计算，得出：，，，发现3个一循环，按照这个规律计算即可．
【详解】∵，
∴，
，
由此可以看出，，，三个数不断循环出现．
因为，，
所以．
故答案为：．
【点睛】此题考查规律型：数字的变化类，关键是发现循环的规律，然后利用规律进行计算分析判断．
【变式7-2】定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取，则：
若，则第2022次“F”运算的结果是（　　）
A．74 B．37 C．92 D．23
【答案】D
【分析】根据题意和题目中的新定义，可以计算出前几次的运算结果，然后观察结果，即可发现结果的变化规律，从而可以计算出，第2022次“F”运算的结果．
【详解】解：由题意可得，
当时，第一次的运算结果为，
第二次的运算结果为：，
第三次的运算结果为：，
第四次的运算结果为：，
第五次的运算结果为：，
第六次的运算结果为：，
第七次的运算结果为：，
…，
由上可得，每六次为一个循环，
∵，
∴，则第2022次“F”运算的结果是23，
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现运算结果的变化特点．
【变式7-3】定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数是一对“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5是一对“友好数”．
（1）有理数a和b是一对“友好数”，当时，则 ；
（2）对于有理数x（且），设x的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；……依次按如上的操作，得到一组数，．当时，的值为 ；
【答案】 3
【分析】（1）根据定义得，代入数据求出数值即可；根据题意依次写出的数值，找到规律，根据规律即可求得数值．
【详解】（1）解：有理数a和b是一对“友好数”
将代入得：
（2）当时，
得：，，，，，，，．．．
发现6个数为一周期，
故答案为：；
【点睛】本题考查了新定义，找规律的题型，观察定义、归纳概括出规律是解题关键．
【题型8 动点规律探究】
【例8】如图所示，动点从第一个数的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数的位置，第二次跳动一个单位长度到达数的位置，第三次跳动一个单位长度到达数的位置，第四次跳动一个单位长度到达数的位置，，依此规律跳动下去，点从跳动次到达的位置，点从跳动次到达的位置，，点、、在一条直线上，则点从跳动次可到达的位置．（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找到规律：跳动次数为从1开始连续正整数的和，且最后一个加数为，进而得到答案即可．
【详解】由题意知，跳动个单位长度到，
从到再跳动个单位长度，
归纳可得：从上一个点跳到下一个点跳动的单位长度是三个连续的正整数的和，，
点从跳到跳动了：，
故选：B．
【点睛】本题考查图形中的规律探究．根据图形，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．
【变式8-1】点O在直线AB上，点A1，A2，A3，……在射线OA上，点B1，B2，B3，……在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度．一个动点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从OA1B1B2A2……按此规律，则动点M到达A10点处所需时间为（ ）秒．
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：动点M从O点出发到A4点，在直线AB上运动了4个单位长度，在以O为圆心的半圆运动了（π 1+π 2）单位长度，
∴动点M到达A10点处运动的单位长度=10+（π 1+π 2+…+π 10）=10+55π．
∴动点M到达A10点处运动所需时间=（10+55π）÷1=（10+55π）秒．
故选A
考点：1．规律探索，2．圆的周长
【变式8-2】如图，数轴上的O点为原点，A点表示的数为﹣2，动点P从O点出发，按以下规律跳动：第1次从O点跳动到OA的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1A的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2A的中点A3处，…，第n次从An﹣1点跳动到An﹣1A的中点An处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，那么An点所表示的数为 ．
【答案】
【分析】根据题意找出规律：，，，，，再求出即可．
【详解】解：点表示的数为，
，
的中点是，
，
同理可得，，，，
，
点在负半轴，
点所表示的数为：；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是会总结归纳出数字的变化规律．
【变式8-3】如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第2022次相遇在哪条边上？（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出正方形的边长，甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1∶3，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇；
②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇；
③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇；
④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇；
⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇；
四次一个循环，因为，所以它们第2022次相遇在边上，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．
．
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专题3.4 整式中的规律探究题【题型梳理】
题型梳理
题型练习
【题型1 单项式的系数与次数的变化规律】
【例1】按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1-1】观察下列单项式：，按此规律，第个单项式是 ．
【变式1-2】（2023春·七年级课时练习）观察下列三行数：
①2，，8，，32，，…；
②3，，9，，33，，…；
③，2，，8，，32，…；
取每一行的第个数，依次记为，，，当时，，，．
当时，请直接写出，，的值，并求这三个数中最大数与最小数的差．
【变式1-3】观察下列单项式：．解决下列问题：
(1)这组单项式的系数依次为多少？系数的绝对值的规律是什么？
(2)这组单项式的次数的规律是什么？
(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么吗？
(4)请你根据猜想，写出第2022个、第2023个单项式．
【题型2 多项式的项及次数的变化规律】
【例2】有一组按规律排列的多项式：，，，，…，则第2023个多项式是（　　）
A． B． C． D．
【变式2-1】观察一组按规律排列的代数式： 第个式子是 ．（为正整数）
【变式2-2】有一组多项式：，，，，．．．，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第个多项式为 ．
【变式2-3】已知多项式．
(1)根据这个多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗
(2)最后一项的系数的值为多少
(3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么
【题型3 图表的规律】
【例3】在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当时，的值为（ ）
…
…
…
A． B． C． D．
【变式3-1】下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定a的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【变式3-2】下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的
1 4 2 6 3 8 4 10 …… a 20 ……
2 9 3 20 4 35 5 54 b x
第1个 第2个 第3个 第4个 ……
根据此规律确定x的值为（ ）
A．252 B．209 C．170 D．135
【变式3-3】如图，在表一中，将第1行第3列的数记为[1，3]，则[1，3]＝3，将第3行第2列的数记为[3，2]，则[3，2]＝6；按照要求回答下列各题：
（1）在表一中，[3，5]＝　 　，[8，10]＝　 　；
（2）在表一中，第3行第n+1列的数可以记为[3，n+1]＝　 　；
（3）如图，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，求3a+b﹣2c的值．
【题型4 图形的规律】
【例4】如图，用字母“”、“”按一定规律拼成图案，其中第个图案中有个，第个图案中有6个，第个图案中有个，……，按此规律排列下去，第个图案中字母的个数为( )

A． B． C． D．
【变式4-1】用棋子摆成如图所示的“小房子”，则图⑤需要 枚棋子，图n需要 枚棋子（用含n的代数式表示）．

【变式4-2】第一个图案需要6根小棒，第二个图案需要11根小棒，第3个图案需要16根小棒…，则第10个图案需要 根小棒．

【变式4-3】下列图形都是由同样大小的小钢珠按一定规律排列的，按照此规律排列下去，第40个图形有小钢珠 颗．

【题型5 算式的规律】
【例5】观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
按照以上规律，第5个等式是： ，第n个等式（用含n的式子表示）是： ．
【变式5-2】仔细观察下列规律：：；；…
(1)___________．
(2)___________；
(3)小明做完上述两题后，发现了一个运算规律：
请你参考小明发现的规律计算：．
【变式5-3】请仔细观察下列各等式的规律：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
(1)请用含n的代数式表示第n个等式的规律；
(2)将第1个等式至第2023个等式的左边部分相加，值为多少？
【题型6 程序运算】
【例6】如图所示，是一个运算程序示意图． 若第一次输入 k 的值为 25，则第 2023 次输出的结果是 ．
【变式6-1】对于不同的起始数字，反复运用任何一个固定的运算程序，由此产生的结果总是会停留在某个或某几个数字上，称之为“数字黑洞”．小明写下了一列数1234567890，按照“偶-奇-总”的程序不断排出新数：这十个数中，偶数有5个，奇数有5个，总数有10个，得到新数为5510；再把5510，按照“偶-奇-总”排列，…… 继续下去，你将得到一个“数字黑洞”是 ．
【变式6-2】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，……，请你探索第2023次得到的结果为 ．
【变式6-3】小磊想编一个循环“插数”程序，对有序的数列：-2，0进行有规律的“插数”：对任意两个相邻的数，都用右边的数减去左边的数之差“插”在这相邻的两个数之间，产生一个个新数列.如：第1次“插数”产生的一个新数列是-2，2，0；第2次“插数”产生的一个新数列是-2，4，2，-2，0；第3次“插数”产生的一个新数列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0；……，第2019次“插数”产生的一个新数列的所有数之和是 .
【题型7 定义新运算】
【例7】定义一种新运算：“”观察下列各式：

，则 （用含a、b的代数式表示）
【变式7-1】定义：若是不为1的有理数，则称为的差倒数．如2的差倒数为．现有若干个数，第一个数记为，是的差倒数，是的差倒数，依此类推，若，则 ．
【变式7-2】定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取，则：
若，则第2022次“F”运算的结果是（　　）
A．74 B．37 C．92 D．23
【变式7-3】定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数是一对“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5是一对“友好数”．
（1）有理数a和b是一对“友好数”，当时，则 ；
（2）对于有理数x（且），设x的“友好数”为；的倒数为；的“友好数”为；的倒数为；……依次按如上的操作，得到一组数，．当时，的值为 ；
【题型8 动点规律探究】
【例8】如图所示，动点从第一个数的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数的位置，第二次跳动一个单位长度到达数的位置，第三次跳动一个单位长度到达数的位置，第四次跳动一个单位长度到达数的位置，，依此规律跳动下去，点从跳动次到达的位置，点从跳动次到达的位置，，点、、在一条直线上，则点从跳动次可到达的位置．（ ）

A． B． C． D．
【变式8-1】点O在直线AB上，点A1，A2，A3，……在射线OA上，点B1，B2，B3，……在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度．一个动点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从OA1B1B2A2……按此规律，则动点M到达A10点处所需时间为（ ）秒．
A． B．
C． D．
【变式8-2】如图，数轴上的O点为原点，A点表示的数为﹣2，动点P从O点出发，按以下规律跳动：第1次从O点跳动到OA的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1A的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2A的中点A3处，…，第n次从An﹣1点跳动到An﹣1A的中点An处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，那么An点所表示的数为 ．
【变式8-3】如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第2022次相遇在哪条边上？（　　）
A． B． C． D．
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