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例17 小玲和小华姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地，而他们的家要从公园门口沿马路往西.小华问姐姐：“是先向西回家取了自行车，再骑车向东去，还是直接从公园门口步行向东去快”？姐姐算了一下说：“如果骑车与步行的速度比是4∶1，那么从公园门口到目的地的距离超过2千米时，回家取车才合算.”请推算一下，从公园到他们家的距离是多少米？
解：
　　设A是离公园2千米处，设置一个B点，公园离B与公园离家一样远.如果从公园往西走到家，那么用同样多的时间，就能往东走到B点.现在问题就转变成：
　　骑车从家开始，步行从B点开始，骑车追步行，能在A点或更远处追上步行.
　　具体计算如下：
　　不妨设B到A的距离为1个单位，因为骑车速度是步行速度的4倍，所以从家到A的距离是4个单位，从家到B的距离是3个单位.公园到B是1.5个单位.从公园到A是
　　1＋1.5＝2.5（单位）.
　　每个单位是 2000÷2.5＝800（米）.
　　因此，从公园到家的距离是
　　800×1.5＝1200（米）.
　　答：从公园门口到他们家的距离是1200米.
这一例子中，取计算单位给计算带来方便，是值得读者仿照采用的.请再看一例.
例16 小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？
　　解：画一张示意图：
　　图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离，它等于
　　这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是
　　1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟）.
　　这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地需要
　　130÷2=65（分钟）.
　　从乙地到甲地需要的时间是
　　130＋65=195（分钟）＝3小时15分.
　　答：小李从乙地到甲地需要3小时15分.
　　上面的问题有3个人，既有“相遇”，又有“追及”，思考时要分几个层次，弄清相互间的关系，问题也就迎刃而解了.在图中设置一个B点，使我们的思考直观简明些.
例18 快车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间？
　　解：画一张示意图：
　　设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时，从C到A用了12.5-5=7.5（小时）.我们把慢车半小时行程作为1个单位.B到C10个单位，C到A15个单位.慢车每小时走2个单位，快车每小时走3个单位.
　　有了上面“取单位”准备后，下面很易计算了.
　　慢车从C到A，再加停留半小时，共8小时.此时快车在何处呢？去掉它在B停留1小时.快车行驶7小时，共行驶3×7=21（单位）.从B到C再往前一个单位到D点.离A点15-1＝14（单位）.
　　现在慢车从A，快车从D，同时出发共同行走14单位，相遇所需时间是
　　14÷（2＋3）＝2.8（小时）.
　　慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了
　　7.5＋0.5＋2.8＝10.8（小时）.
答：从第一相遇到再相遇共需10小时48分.
例19 一只小船从A地到B地往返一次共用2小时.回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米.求A至B两地距离.
　　解：1小时是行驶全程的一半时间，因为去时逆水，小船到达不了B地.我们在B之前设置一个C点，是小船逆水行驶1小时到达处.如下图
　　第二小时比第一小时多行驶的行程，恰好是C至B距离的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.
　　为了示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶8千米，在图中再设置D点，D至C是8千米.也就是D至A顺水行驶时间是1小时.现在就一目了然了.D至B是5千米顺水行驶，与C至B逆水行驶3千米时间一样多.因此
　　顺水速度∶逆水速度=5∶3.
　　由于两者速度差是8千米.立即可得出
　　A至B距离是 12＋3=15（千米）.
　　答：A至B两地距离是15千米.
例20 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时40千米，在第二段上，汽车速度是每小时90千米，在第三段上，汽车速度是每小时50千米.已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍.现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行.1小时20分后，在第二段的
　　解一：画出如下示意图：
　　当从乙城出发的汽车走完第三段到C时，从甲城出发的汽车走完第一段的
　　到达D处，这样，D把第一段分成两部分
　
　　时20分相当于
　
　　
　　因此就知道，汽车在第一段需要
　　第二段需要 30×3＝90（分钟）；
　　
　　甲、乙两市距离是
　　答：甲、乙两市相距185千米.
　　把每辆车从出发到相遇所走的行程都分成三段，而两车逐段所用时间都相应地一样.这样通过“所用时间”使各段之间建立了换算关系.这是一种典型的方法.例8、例13也是类似思路，仅仅是问题简单些.
　　还可以用“比例分配”方法求出各段所用时间.
例21 一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？
　　解：设原速度是1.
　　
　　％后，所用时间缩短到原时间的
　　这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比.
　　用原速行驶需要
　　同样道理，车速提高25％，所用时间缩短到原来的
　
　　
　　如果一开始就加速25％，可少时间
　　现在只少了40分钟， 72-40＝32（分钟）.
　　说明有一段路程未加速而没有少这个32分钟，它应是这段路程所用时间
　
　　真巧，320-160＝160（分钟），原速的行程与加速的行程所用时间一样.因此全程长
　　答：甲、乙两地相距270千米.
　　十分有意思，按原速行驶120千米，这一条件只在最后用上.事实上，其他条件已完全确定了“原速”与“加速”两段行程的时间的比例关系，当然也确定了距离的比例关系.
　　全程长还可以用下面比例式求出，设全程长为x，就有
　　x∶120＝72∶32.
例15 图上正方形ABCD是一条环形公路.已知汽车在AB上的速度是90千米/小时，在BC上的速度是120千米/小时，在CD上的速度是60千米/小时，在DA上的速度是80千米/小时.从CD上一点P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇.如果从PC中点M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB上一点N处相遇.求
　
　　解：两车同时出发至相遇，两车行驶的时间一样多.题中有两个“相遇”，解题过程就是时间的计算.要计算方便，取什么作计算单位是很重要的.
　　设汽车行驶CD所需时间是1.
　　根据“走同样距离，时间与速度成反比”，可得出
　　
　　分数计算总不太方便，把这些所需时间都乘以24.这样，汽车行驶CD，BC，AB，AD所需时间分别是24，12，16，18.
　　从P点同时反向各发一辆车，它们在AB中点相遇.P→D→A与 P→C→B所用时间相等.
　　PC上所需时间-PD上所需时间
　　=DA所需时间-CB所需时间
　　=18-12
　　=6.
　　而（PC上所需时间+PD上所需时间）是CD上所需时间24.根据“和差”计算得
　　PC上所需时间是（24+6）÷2＝15，
　　PD上所需时间是24-15＝9.
　　现在两辆汽车从M点同时出发反向而行，M→P→D→A→N与M→C→B→N所用时间相等.M是PC中点.P→D→A→N与C→B→N时间相等，就有
　　BN上所需时间-AN上所需时间
　　=P→D→A所需时间-CB所需时间
　　=（9＋18）-12
　　= 15.
　　BN上所需时间+AN上所需时间=AB上所需时间
　　=16.
　　立即可求BN上所需时间是15.5，AN所需时间是0.5.
　　
　　从这一例子可以看出，对要计算的数作一些准备性处理，会使问题变得简单些
例14 一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只
　　爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？
　　解：先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置.开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C（5-3）厘米0.
　　30÷（5-3）＝15（秒）.
　　因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要
　　90÷（5-3）＝45（秒）.
　　B与C到达同一位置，出发后的秒数是
　　15，，105，150，195，……
　　再看看A与B什么时候到达同一位置.
　　第一次是出发后
　　30÷（10-5）=6（秒），
　　以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要
　　90÷（10-5）＝18（秒），
　　A与B到达同一位置，出发后的秒数是
　　6，24，42，，78，96，…
　　对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置.
　　答：3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置.
　　请思考， 3只爬虫第二次到达同一位置是出发后多少秒？

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