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2023-2024学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》
期中复习综合练习题（附答案）
一、单选题
1．如图，在中，点E、D、F分别在边上，且，，下列四个判断中，不正确的是（ ）
A．四边形是平行四边形
B．如果平分，那么四边形是菱形
C．如果，那么四边形是矩形
D．如果且，那么四边形是正方形
2．如图，在菱形中，、是对角线，点E、F、G、H分别为菱形边、、、边上的中点，连接、、、，若菱形的面积为4，则四边形的面积为（ ）
A． B． C．3 D．2
3．如图，两点，分别在矩形的和边上，，，，且，点为的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，边长为定值的正方形的中心与正方形的顶点重合，且与边、相交于、，图中阴影部分的面积记为，两条线段、的长度之和记为，将正方形绕点逆时针旋转适当角度，则有（ ）
A．变化，不变 B．不变，变化 C．变化，变化 D．与均不变
5．如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．4
6．如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（　　）
A．2.5 B． C． D．2
7．如图，在正方形ABCD中，，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接DE，FG，下列结论：①；②；③；④FG的最小值为2．其中正确结论的序号为（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
8．如图，菱形的边长是，对角线的长是．且，则的长为__________．
9．如图，矩形中，为对角线，是上一点，连接，，，，则的长为________．
10．如图，E、F、H分别为正方形的边、、上的点，连接，，且，平分交于点G，若，则的度数为____．
11．如图，点是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、．当时，的面积记为；当时，的面积记为；……：以此类推，当时，的面积记为，则的值为____________.
12．如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点A落在边上的点M处，折痕分别与边交于点E、F．当点M在上时，长的最大值为__________．
13．如图，正方形的边长为4，点P在边上且，点Q是上一动点，则的最小值为_________．
14．已知正方形的边长为6，点E、F分别在、上，，与相交于点G，点H为的中点，连接，则的长为________．
三、解答题
15．如图，在平行四边形中，过点A作于点E，于点F，且．

(1)求证：平行四边形是菱形
(2)若，，求菱形的面积．
16．如图，在矩形中，点是对角线的中点，过点作交于点，交于，连接，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
17．如图，在中，，，边的中线的延长线交等边的边于点F，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)①连接，直接画出的中垂线，交，于点G，H；（不写画法，不需画图痕迹）；
②若，求的长．
18．如图，在中，，，点E是边的中点，连接，的延长线与边相交于点F，，交于点G，连接、．

(1)求证：；
(2)已知______（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论．
条件①：；
条件②：．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
19．如图1，在正方形中，点E是边上任意一点，连接，过点D作交于F，垂足为G．

(1)求证：；
(2)如图2，若点E是的中点，连接，过点B作的垂线交的延长线于点H．
①求的度数；
②直接写出之间的数量关系．
20．已知：在中，，，点为直线上一动点点不与、重合以为边作正方形，连接．
(1)如图①，当点在线段上时，
①求证：≌；
②的大小 ______ （度）；
③若，，则的长 ______ ；
(2)如图②，当点在线段的延长线上时，其它条件不变，则、、三条线段之间的关系是： ______ ；
(3)如图③，当点在线段的反向延长线上时，且点、分别在直线的两侧，其它条件不变：
①、、三条线段之间的关系是： ______ ；
②若连接正方形的对角线、，交点为，连接，探究的形状，并说明理由．
参考答案
1．解：A．因为，，所以四边形是平行四边形．故A选项正确，不符合题意；
B．如果，四边形是平行四边形，所以四边形是矩形．故B选项正确，不符合题意；
C．因为平分，所以，
∵，，
∴，
∴，又因为四边形是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确，不符合题意；
D．∵且，
∴D为的中点．
∵，，
∴E为的中点，F为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．故D选项错误，符合题意；
故选D．
2．解：由题意得，，
因为是菱形，所以四边形是矩形，
因为菱形的面积为4，即是，
因为中位线性质，所以，
则四边形的面积，
故选：D．
3．解：∵四边形是矩形，
∴，
又，
∴,
又，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
在中，，
∵点为的中点，，
∴
故选：B．
4．解：如图，连接，．
∵四边形和四边形均为正方形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴定值，
定值，
故选：D．
5．解：如图：连接，
∵点B的坐标是，
，
∵四边形是矩形，
，
，
故选：C．
6．解：如图，连接，
∵正方形和正方形中，
∴，，
，
∴，
由勾股定理得，，
∵H是的中点，
∴．
故选：B．
7．解：①连接，交于点O，如图，
∵，
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∴．
∵四边形为正方形，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴．
∴①正确；
②延长，交于M，交于点，
∵，
∴．
由①知：，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
即：，
∴．
∴②正确；
③由②知：．
即：．
∴③正确；
④∵点E为上一动点，
∴根据垂线段最短，当时，最小．
∵，
∴．
∴．
由①知：，
∴的最小值为，
∴④错误．
综上，正确的结论为：①②③．
故选：C．
8．解：连接，交于点，
∵菱形的边长是，对角线的长是，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴菱形的面积，
即：，
∴；
故答案为：．
9．解：连接交于点，
∵四边形是矩形，，
∴，，，，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
10．解：如图，过点E作交于点M，
∵正方形，，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴，．
在与中，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
11．解：连接，
正方形和正方形，
，
，
和是同底等高的三角形，
即，
当时，，
．
故答案为：．
12．解：连接交于点O，过点O作于点K，交于点T，过点A作交的延长线于点G，取的中点R，连接，如图：
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，
在中，
∴，
∵折叠该菱形，使点A落在边上的点M处，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为，
∴的最大值为．
故答案为：．
13．解：如图，连接BP，
∵四边形是正方形，
∴点B和点D关于直线对称，
∴，
∴就是的最小值，
∵正方形的边长是4，，
∴，
∴BP=，
∴的最小值是．
故答案为．
14．解：∵四边形为正方形，
∴，，
在△ABE和△DAF中，
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点H为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
∴四边形是菱形．
（2）如图，连接，

∵，，
∴
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形
∵
∴
∴
在中，．
∴菱形的面积．
16．（1）证明：点是的中点，，
∴是的垂直平分线，
，，．
四边形是矩形，
，
．
在和中，，
，
，
，
四边形为菱形．
（2）解：设，
，
∴
四边形是矩形，
．
在中，由勾股定理得， ，
∴．
在中，由勾股定理得，，
即，解得，，即．
，
在中，由勾股定理得， ，
．
故答案为：．
17．（1）解：∵是等边三角形，
∴
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形．
（2）①如图：

②连接．
∵垂直平分，
∴．
∵，，，
∴，，．
设，则，．
在中，由勾股定理得
，
解得．
即．
18．（1）证明：∵，点E是边的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（2）解：选择条件①：，
四边形是菱形
理由：∵，
∴，，
∴，
又，
∴，
∵，点E是边的中点，
∴，
又，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形；
选择条件②：，
四边形是正方形
理由：
∵，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∵，点E是边的中点，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴平行四边形是菱形，，
∵
∴，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴菱形是正方形．
19．（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵,
∴，
∴,
∴,
∴,
∴．
（2）解：①∵E是的中点，
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵，
∴,
∵,
∴，
∴，
∵，
∴,
∴，
∴,
∴；
②结论：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴．
20．（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
．
，
，
，，
，
，
故答案为：．
，
，
故答案为：．
（2），理由如下：
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
．
，
故答案为：．
（3） 四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
．
故答案为：．
为等腰三角形，理由如下：
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
由得 ，
，
，
为直角三角形，
正方形中，为的中点，
，，，
，
是等腰三角形．

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