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3.3 幂函数
一、学习目标
1、了解幂函数的概念；熟悉时的幂函数的图象与性质；
2、通过比较知道幂函数与学过的一些函数的关系，进一步懂得学习函数的方法.
二、重点、难点：
幂函数的定义、的图象与性质.
三、探究合作
1、幂函数的定义：一般地，函数_______________叫做幂函数，其中x是_______，______是常数.
2、幂函数的图象与性质：
（1）请分别在同一坐标系中画出幂函数，的图象，认真观察它们的图象，能否发现它们各自及共同的性质.
（2）观察上图，将你发现的结论写在下表内。
图象
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
（3）通过上述图与表，我们得到：
（Ⅰ）函数与的图象都通过点；
（II）函数____________________________是奇函数，函数_________________________是偶函数；
（III）在区间上，函数__________________________是增函数，
函数________________________是减函数；
（IV）第一象限内，函数的图象向上与___轴无限接近，向右与____轴无限接近.
例1、（1）已知幂函数的图象经过 __________.
（2）已知函数（为常数）
1）为何值时，此函数为幂函数？
2）为何值时，此函数为正比例函数？
为何值时，此函数为反比例函数？
例2、证明幂函数在上是增函数。
例3、比较下列各组数中两个数的大小：
(1)与； (2)与.
解不等式
已知函数f(x)＝x. (1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若(a＋1)<(3－2a)，求实数a的取值范围．
四、检测反馈
1.设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为（ ）
（A）1，3 （B）-1，1（C）-1，3（D）-1，1，3
2．下列函数中值域为的函数是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3.下列命题中正确的是_______________
（A）当时函数的图象是一条直线
（B）幂函数的图象都经过和点
（C）若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数
（D）幂函数的图象不可能出现在第四象限
4.若既是幂函数，又是反比例函数，则____________
5. 幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式.
6.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小.
（1） ，
（2），
课时作业
一、选择题
1.下列函数中是幂函数的是( )
A.y＝x4＋x2 B.y＝10x
C.y＝ D.y＝x＋1
2.已知y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m的值为( )
A.－3 B.2
C.－3或2 D.3
3.已知f(x)＝，若0A.f(a)B.f()C.f(a)D.f()4.若α∈，则使幂函数y＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的α值的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A.－3 B.1
C.2 D.1或2
二、填空题
6.已知幂函数f(x)＝(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________.
7.已知x2>，则x的取值范围是________________.
三、解答题
8.幂函数，当时为减函数，求实数的值，并求函数的定义域.
9.已知幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，求m的值.
10.已知幂函数f(x)的图象过点(25,5).
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(2－x)，求g(x)的定义域、值域.
11.已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：①0其中可能成立的式子有________.(填上所有可能成立式子的序号)
12.已知幂函数f(x)＝x(2k－1)(3－k)(k∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx是单调函数，求m的取值范围.
参考答案
例3、比较下列各组数中两个数的大小：
(1)与； (2)与.
【解】 (1)因为幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，
又>，
所以>.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，又－<－，
所以>.
例4、解不等式
已知函数f(x)＝x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若(a＋1)<(3－2a)，求实数a的取值范围．
【解】 (1)f(x)＝x的定义域为(0，＋∞).
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1因为x2>x1>0，所以x1－x2<0，且 ·(＋)>0，于是f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)(2)由(1)知f(x)＝x在区间(0，＋∞)上是减函数，所以(a＋1)<(3－2a) 等价于解得检测反馈参考答案
1、A 2、D
3、D 4、 5、
6． <, >
课时作业 参考答案
一、选择题
1.答案 C解析 根据幂函数的定义知，y＝是幂函数，
y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是幂函数.
2.答案 A解析 由y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，知m2＋m－5＝1，解得m＝2或m＝－3.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴m<0.故m＝－3.
3.答案 C解析 因为函数f(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，又04.若α∈，则使幂函数y＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的α值的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 A解析 ∵幂函数y＝xα是奇函数，∴α＝－1，，1,3.又∵幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，
∴α＝，1,3.故选A
5.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A.－3 B.1 C.2 D.1或2
答案 B解析 由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意，故选B.
.
二、填空题
6..已知幂函数f(x)＝ (m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________.
答案 f(x)＝x－1解析 ∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，∴m2－1<0，解得－17.已知x2>，则x的取值范围是________________.
答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)
解析 作出函数y＝x2和y＝的图象(如图所示).
由图象易知x<0或x>1.
三、解答题
8..
当m=2时， 定义域为
当m=-1时，
9.已知幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，求m的值.
解 因为f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，所以3m－5<0，故m<.又因为m∈N，所以m＝0或m＝1，当m＝0时，f(x)＝x－5，f(－x)≠f(x)，不符合题意；当m＝1时，f(x)＝x－2，f(－x)＝f(x)，符合题意.
综上知，m＝1.
10.已知幂函数f(x)的图象过点(25,5).
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(2－x)，求g(x)的定义域、值域.
解 (1)设f(x)＝xα，则由题意可知25α＝5，
∴α＝，∴f(x)＝.
(2)∵g(x)＝f(2－x)＝，
∴要使g(x)有意义，只需2－x≥0，即x≤2，解得∴g(x)的定义域为(-∞,2]，
又2－x≥0，∴g(x)的值域为[0，＋∞).
11.已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：①0答案 ①③⑤
解析 首先画出y1＝与y2＝的图象(如图)，已知＝＝m，作直线y＝m.
若m＝0或1，则a＝b；若0若m>1，则112.已知幂函数f(x)＝x(2k－1)(3－k)(k∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx是单调函数，求m的取值范围.
解 (1)∵幂函数f(x)＝x(2k－1)(3－k)(k∈Z)在(0，＋∞)上为增函数，∴(2k－1)(3－k)>0，解得∵k∈Z，∴k＝1或k＝2.
当k＝1时，(2k－1)(3－k)＝2，满足函数f(x)为偶函数，
当k＝2时，(2k－1)(3－k)＝3，
不满足函数f(x)为偶函数，∴k＝1，且f(x)＝x2.
(2)∵f(x)＝x2，∴g(x)＝f(x)－mx＝x2－mx，
函数g(x)的对称轴为直线x＝.
要使函数g(x)当x∈[－1,1]时是单调函数，
则≤－1或≥1，解得m≤－2或m≥2，
故m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).

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