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4.3.1 对数的概念
学习目标
1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．
2.理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．
3.理解常用对数、自然对数的概念及记法．
学习重点：理解对数的概念,掌握指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化
学习难点：掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．
知识回顾
1. 根式的定义
2. 分数指数幂的意义
3.指数幂的性质
三、预习导引
问题提出：在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从y＝1.11x中求出经过4年后Ｂ地景区的游客人次为2001年的倍数y．反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？
对数的发明：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。
1．对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是________________.
2．常用对数与自然对数
3．对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．(2)loga 1＝没有(a>0，且a≠1)．(3)logaa＝没有(a>0，且a≠1)．
思考：为什么零和负数没有对数？
（2）对数恒等式：（1）
典型例题（结果背后的理解更为重要！）
题型一 对数式与指数式的互化
例1．将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
题型二 利用对数式与指数式的关系求值
例2．求下列各式中的值:
（1） （2）
（3）100= （4）
题型三 利用对数的基本性质与对数恒等式求值
例3 求下列各式中x的值:
（1）; (2); (3)=9.
跟踪训练三
求下列各式中x的值:
(1)ln(lg x)=1 ;(2)log2(log5x)=0 ;(3)=x.
当堂检测：
1.有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数.
其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A．a＞且a≠1 B．0＜a＜
C．a＞0且a≠1 D．a＜
3．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．e0＝1与ln 1＝0
B．8＝与log8＝－
C．log39＝2与9＝3
D．.log77＝1与71＝7
4．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.
5．方程log2(1－2x)＝1的解x＝________.
6．已知log7(log3(log2x))＝0，那么x＝________.
7.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
(1)53＝125； (2)4－2＝；
(3)log8＝－3； (4)log3＝－3.
8．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．
课时作业
1．方程的解是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
2.使式子有意义的的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.下列四个等式：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lgx＝10，则x＝10；④若lnx＝e，则x＝e2.其中正确的是( )
A.①③ B.②④ C.①② D.③④
4.()－1＋log0.54的值为( )
A.6 B. C.0 D.
5．(多选)下列各式正确的有( )
A．lg (lg 10)＝0 B．lg (ln e)＝0
C．若10＝lg x，则x＝10 D．若log25 x＝，则x＝±5
6.已知f(log2x)＝x，则f()＝_________.
7.81＝_________.
8.设x＝log23，则 ＝________.
9.把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式
25;
10.设，是否存在的值，使
11．(1)证明：对数恒等式a＝N(a>0，且a≠1，N>0)；
(2)利用对数恒等式计算下列各式．
①2ln e＋lg 1＋3；
②3＋2ln 1.
思考：12. (＋)等于
4.3.1 对数的概念
例1、例2答案见课本
例3 【答案】（1）x= （2）x=100 （3）x=81
【解析】(1)∵,∴,∴x=2.
(2)∵,∴lg x=2,∴x=100.
(3)由=9得=9,解得x=81.
跟踪训练三
1.【答案】（1）（2）x=5 （3）x=45
【解析】(1)∵ln(lg x)=1,∴lg x=e,∴；
(2)∵log2(log5x)=0,∴,∴x=5.
(3)x=32×=9×5=45.
当堂检测
1-3、CBC
4、4 -3
5、－
6、
7.【答案】(1)∵53＝125，∴log5125＝3.
(2)∵4－2＝，∴log4＝－2.
(3)∵log8＝－3，∴－3＝8.
(4)∵log3＝－3，∴3－3＝.
8.【答案】16
【解析】∵logx＝m，∴m＝x，x2＝2m.
∵logy＝m＋2，∴m＋2＝y，y＝2m＋4.
∴＝＝2m－(2m＋4)＝－4＝16.
课时作业 参考答案
一、选择题
1.答案 A.
2.答案 D
3.答案 C 解析 ①lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0；
③若lgx＝10，则x＝1010；④若lnx＝e，则x＝ee.
4.答案 C 解析 ()－1＋log0.54＝()－1＋＝2－2＝0.
5.答案AB
二、填空题
6.答案 解析 令log2x＝，则x＝2＝，
即f()＝f(log2)＝.
7.答案 8 解析 设81＝t，则()t＝81,＝34，＝4，t＝8.
8.答案
解答题
9.略
10.解 不存在a的值，使M∩N＝{1}成立.
若lga＝1，则a＝10，此时11－a＝1，从而11－a＝lga＝1，与集合元素的互异性矛盾；
若2a＝1，则a＝0，此时lga无意义；
若a＝1，此时lga＝0，
从而M∩N＝{0,1}，与条件不符；
若11－a＝1，则a＝10，从而lga＝1，与集合元素的互异性矛盾.
11解：(1)证明：由ax＝N得x＝logaN，
把后者代入前者得a＝N.
(2)①原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.
②原式＝3＋20
＝3÷31＋1
＝＋1＝.
12.答案：-1
解析 由题意，知(＋)
＝(－)－1＝－1.

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