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明确目标 确定方向
1.能分析计算带电粒子在复合场中的运动.
2.能够解决速度选择器、磁流体发电机、质谱仪等磁场的实际应用问题
【知识回归】 回归课本 夯实基础
第一部分基础知识梳理
一．质谱仪
1功能：测量带电粒子质量和分离同位素的仪器。
2.原理
(1)电场加速：qU＝mv2；
(2)磁场偏转：qvB＝，l＝2r；
由以上两式可得r＝，m＝，＝。
二．回旋加速器的原理和分析
1.加速条件：T电场＝T回旋＝；
2.磁场约束偏转：qvB＝ v＝。
3.带电粒子的最大速度vmax＝，rD为D形盒的半径。粒子的最大速度vmax与加速电压U无关。
三．霍尔效应
1.结构：高为h，宽为d的金属导体(自由电荷是电子)置于匀强磁场B中，当电流通过金属导体时，在金属导体的上表面A和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压。
2.电势高低的判断：金属导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，下表面A′的电势高。
第二部分重难点辨析
1带电粒子在组合场中的运动
带电粒子在组合场中的运动，实际上是几个典型运动过程的组合(如：电场中的加速直线运动、类平抛运动；磁场中的匀速圆周运动)，因此解决此类问题要分段处理，找出各段之间的衔接点和相关物理量。
2带电粒子在叠加场中的运动
1.磁场力、重力并存
(1)若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。
(2)若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒。
2.电场力、磁场力并存(不计重力)
(1)若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。
(2)若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体做复杂的曲线运动，可用动能定理求解。
3.电场力、磁场力、重力并存
(1)若三力平衡，带电体做匀速直线运动。
(2)若重力与电场力平衡，带电体做匀速圆周运动。
(3)若合力不为零，带电体可能做复杂的曲线运动，可用能量守恒定律或动能定理求解。　
【典例分析】 精选例题 提高素养
【例1】．如图所示，关于带电粒子（不计重力）在以下四种仪器中运动，下列说法正确的有（　　）

A．甲图中，只要增大加速电压，粒子最终就能获得更大的动能
B．乙图中，粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小
C．丙图中，等离子体进入A、B极板之间后，A极板电势低于B极板电势
D．丁图中，从左侧射入的带负电粒子，若速度满足，将向上极板偏转
【答案】CD
【详解】A．甲图中，当粒子运动半径等于D型盒半径时，粒子具有最大速度，即
粒子的最大动能
由此可见最大动能与加速电压无关，故A项错误；
B．乙图中，粒子射出速度选择器后在磁场中运动有
解得
粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，即r越小，则粒子的比荷越大，故B项错误；
C．丙图中，等离子体进入A、B极板之间后，受到洛伦兹力作用，由左手定则可知，正电粒子向B极板偏转，负电粒子向A极板偏转，因此A极板电势低于B极板电势，故C项正确；
D．丁图中，带负电的粒子从左侧射入复合场中时，受向上的电场力和向下的洛伦兹力，当两个力平衡时，带电粒子会沿直线射出，当速度
即洛伦兹力小于电场力，粒子将向上极板偏转，故D项正确。
故选CD。
【例2】．实验中，将离子束从回旋加速器中引出可以采用磁屏蔽通道法。使用磁屏蔽通道法引出离子的原理如图所示：离子从P点以速度v进入通道时，由于引出通道内的磁场强度发生改变，离子运动轨迹半径增大，可使离子引出加速器。已知回旋加速器D型盒的半径为R，圆心在O点，D型盒区域中磁场垂直纸面向里，磁感应强度为B，引出通道外侧末端Q点到O点距离为L，OQ与OP的夹角为θ，离子带电为q，质量为m，则（　　）

A．离子经过引出通道后的速度大于v
B．引出通道内的磁感应强度大于B
C．若离子恰能从引出通道的Q点引出，引出通道中的磁感应强度
D．若引出通道中磁场为时，该离子能引出加速器，则此时将一带电量2q，质量为2m的离子一定不能从加速器中引出
【答案】C
【详解】A．洛伦兹力不做功，离子经过引出通道后的速度等于v，故A错误；
B．根据洛伦兹力提供向心力得
解得
设离子在引出通道内的轨道半径为，同理可得
由于离子在引出通道内的轨道半径大于D型盒半径，可知引出通道内的磁感应强度小于D型盒内磁感应强度B，故B错误；
C．若离子恰能从引出通道的Q点引出，设圆弧半径为，轨迹如图所示

则有
，，
根据几何关系得
解得
由洛伦兹力提供向心力可得
解得
联立可得
故C正确；
D．由C中分析可知，离子能否离开加速器与粒子的电量和质量无关，若引出通道中磁场为时，该离子能引出加速器，则此时将一带电量，质量为2m的离子也一定能从加速器中引出，故D错误。
故选C。
【例3】．如图所示，在半径大小未知的圆形与边长为2L的等边三角形框架DEF之间有磁感应强度大小为B的匀强磁场，其方向垂直纸面向里，已知等边三角形中心与圆心重合。在三角形DEF内放置平行板电容器MN，两板间距为d，N板紧靠EF边，N板及EF中点S处均开有小孔，在两板间靠近M板处有一质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子由静止释放，粒子经过S处的速度大小为，方向垂直于EF边并指向磁场。若粒子每次与三角形框架的碰撞均为弹性碰撞且垂直，粒子在碰撞过程中质量、电荷量均不变，不计带电粒子的重力，平行板电容器MN产生的电场仅限于两板间，求：
（1）MN间匀强电场的场强大小；
（2）若从S点发射出的粒子能再次垂直返回到S点，磁场圆形区域的半径最小值R；
（3）若粒子经过S处的速度大小可变且能再次垂直返回到S点，圆形磁场区域的半径足够大，求从S点出发到第一次垂直返回到S点所对应的速度应该满足的条件及全程所用时间。
【答案】（1）；（2）；（3），
【详解】（1）带电粒子在匀强电场中做匀加速运动，由动能定理得
解得
（2）粒子的磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据动力学关系
几何关系
代入
得
粒子运动轨迹如图
粒子运动轨迹与磁场圆内切时磁场圆半径最小，由几何关系得
（3）粒子速度大小可变，即圆周运动的半径r可变，要能返回到S点，则轨道如图所示，半径应该满足
即
由
知
故粒子第一次返回的时间为
而
故
，
,
故
【例4】．如图所示，空间坐标系O—xyz内有一由正方体ABCO—A′B′C′O′和半圆柱体BPC—B′P′C′拼接而成的空间区域，立方体区域内存在沿z轴负方向的匀强电场，半圆柱体区域内存在沿z轴负方向的匀强磁场。M、M′分别为AO、A′O′的中点，N、N′分别为BC、B′C′的中点，P、P′分别为半圆弧BPC、B′P′C′的中点，Q为MN的中点。质量为m、电荷量为q的正粒子在竖直平面MNN′M′内由M点斜向上射入匀强电场，入射的初速度大小为v0，方向与x轴正方向夹角为θ = 53°。一段时间后，粒子垂直于竖直平面BCC′B′射入匀强磁场。已知正方体的棱长和半圆柱体的直径均为L，匀强磁场的磁感应强度大小为，不计粒子重力，sin53° = 0.8，cos53° = 0.6。
（1）求匀强电场的电场强度E的大小；
（2）求粒子自射入电场到离开磁场时的运动时间t；
（3）若粒子以相同的初速度自Q点射入匀强电场，求粒子离开匀强磁场时的位置坐标。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）粒子在电场中运动时，沿x轴方向
解得
沿z轴方向
由牛顿第二定律可知
解得
（2）粒子进入匀强磁场后，由牛顿第二定律可知
解得
由几何关系可知，粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为60°，粒子在磁场中运动的周期
粒子在匀强磁场中运动的时间
故
（3）若粒子以相同的初速度自Q点射入匀强电场，在匀强电场中运动的时间
进入磁场时，沿x轴方向的速度大小为
沿z轴方向的速度大小为
故粒子沿x轴方向做匀速圆周运动，半径
沿z轴方向做匀速直线运动，因粒子做圆周运动的半径不变，故在磁场中运动的时间不变，在磁场中沿z轴方向运动的位移大小为
在电场中沿z轴方向运动的位移大小为
故粒子离开磁场时，z轴方向的坐标
y轴方向的坐标
x轴方向的坐标
即离开磁场时的位置坐标为。
【巩固练习】 举一反三 提高能力
1．如图所示为质谱仪的原理图，一束粒子以速度v沿直线穿过相互垂直的匀强电场（电场强度为E）和匀强磁场（磁感应强度为）的重叠区域，然后通过狭缝垂直进入另一匀强磁场（磁感应强度为），最后打在照相底片上的三个不同位置，粒子的重力可忽略不计，则下列说法正确的是（　　）

A．该束粒子带负电
B．板带负电
C．粒子的速度v满足关系式
D．在的匀强磁场中，运动半径越大的粒子，荷质比越小
【答案】D
【详解】A．根据粒子在右侧磁场中的运动，利用左手定则，可判断出该束粒子带正电，故A错误；
B．根据粒子在左侧运动可知，洛伦兹力方向向上，则电场力方向向下，P1板带正电，故B错误；
C．由粒子做直线运动，根据受力平衡可得
qvB1=qE
解得粒子的速度为
故C错误；
D．在磁感应强度为B2的磁场中，由洛伦兹力提供向心力得
可得
运动半径越大的粒子，荷质比越小，故D正确。
故选D。
2．法拉第曾提出一种利用河流发电的设想，并进行了实验研究。实验装置示意图如图所示，两块面积均为的矩形平行金属板正对地浸在河水中，金属板间距为。水流速度处处相同大小为，方向水平向左，金属板面与水流方向平行。地磁场磁感应强度竖直向下的分量为，水的电阻率为，水面上方有一阻值为的电阻通过绝缘导线和开关连接到两金属板上。忽略边缘效应，则下列说法正确的是（　　）

A．电阻上的电流方向从里向外
B．河水流速减小，两金属板间的电压增大
C．该发电装置的电动势大小为
D．流过电阻的电流大小为
【答案】C
【详解】A．根据题意，由左手定则可知，河水中的正离子向外面金属板偏转，外金属板为正极，负离子向里面金属板偏转，里金属板为负极，则电阻上的电流方向从外向里，故A错误；
C．设稳定时产生的感应电动势为，两板间有一带电荷量为的离子匀速运动受力平衡，根据平衡条件可得
解得
故C正确；
B．设极板间等效电阻为，由闭合回路欧姆定律可得，两金属板间电压为
可知，河水流速减小，两金属板间的电压减小，故B错误；
D．根据题意，由电阻定律可得，极板间等效电阻为
由闭合回路欧姆定律可得，流过电阻的电流大小为
故D错误。
故选C。
3．2020年全球爆发了新冠肺炎，该病毒传播能力非常强，因此研究新冠肺炎病毒株的实验必须全程都在高度无接触防护性的条件下进行操作。在该实验室中有一种污水流量计，其原理可以简化为如图所示的模型：空间有垂直纸面向里的磁感应强度为的匀强磁场，污水内含有大量正、负粒子，从直径为的圆柱形管道右侧流入，左侧流出，流量等于单位时间通过横截面的液体的体积。下列说法正确的是（　　）

A．带电粒子所受洛伦兹力的方向水平向左
B．正、负粒子所受洛伦兹力的方向是不同的
C．若只测量两点间的电压，则不能推算出废液的流量
D．污水流量计也可以用于测量不带电的液体的流速
【答案】B
【详解】AB．根据题意，由左手定则可知，正粒子受向下的洛伦兹力，负粒子受向上的洛伦兹力，故A错误，B正确；
C．根据题意，设两点间的电压为，带电粒子的质量为，电荷量为，由平衡条件有
解得
则流量为
可知，只测量两点间的电压，能推算出废液的流量，故C错误；
D．不带电的液体不受洛伦兹力，不能偏转，两点间没有电压，则不能测量液体的流速，故D错误。
故选B。
4．回旋加速器的工作原理如图1所示，和是两个相同的中空半圆金属盒，金属盒的半径为，它们之间接如图2所示的交变电源，图中已知，两个形盒处于与盒面垂直的匀强磁场中。将一质子从金属盒的圆心处由静止释放，质子经过加速后最终从D形盒的边缘射出。已知质子的质量为，电荷量为，不计电场中的加速时间，且不考虑相对论效应。下列说法正确的是（　　）

A．回旋加速器中所加磁场的磁感应强度
B．质子从形盒的边缘射出时的速度为
C．在其他条件不变的情况下，仅增大，可以增大质子从边缘射出的速度
D．在所接交变电源不变的情况下，若用该装置加速（氚核），需要增大所加磁场的磁感应强度
【答案】D
【详解】A．带电粒子在磁场中运动的周期与所加交变电源的周期相同，所以满足
可得
选项A错误；
B．粒子从形盒边缘射出时有
射出速度可表示为
选项B错误；
C．粒子从D形盒射出时
可得
仅增大加速电压，质子射出速度大小不变，选项C错误；
D．当加速氚核时，其在磁场中运动的周期为
其周期应该与相同，又知道
可知
需要增大所加磁场的磁感应强度，选项D正确。
故选D。
5．CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测。图1是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图2所示。图2中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场，经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线（如图中带箭头的虚线所示），将电子束打到靶上的点记为P点。则（　　）
A．M处的电势高于N处的电势
B．偏转磁场的方向垂直于纸面向外
C．当加速电压增加为原来的2倍时，射出电场时的速度变为原来的2倍
D．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移
【答案】D
【详解】A．电子束在M、N之间从静止开始加速，可知电场力向右，电场强度方向向左，所以M处的电势低于N处的电势，故A错误；
B．电子向右射入磁场向下偏转，由左手定则可知，偏转磁场的方向垂直于纸面向里，故B错误；
C．电子束在M、N之间从静止开始加速，由动能定理有
解得
可知当加速电压增加为原来的2倍时，射出电场时的速度变为
故C错误；
D．根据洛仑兹力提供向心力有
解得
设偏转磁场的宽度为d，电子离开磁场后的偏转角度为，由几何关系知偏转角为
增大偏转磁场磁感应强度的大小，则速度偏转角增大，可使P点左移，故D正确。
故选D。
6．如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内存在竖直向下的匀强电场，在第四象限的某位置有垂直坐标系平面向里的矩形匀强磁场。x轴上有一点M，其坐标分别为M（l，0）。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴上P点以初速度沿x轴正方向射入第一象限，经电场偏转从M点以与x轴正方向成角的速度射人第四象限，经磁场偏转后又从x轴上的N点（图中未画出）以与x轴正方向成角的速度再次返回第一象限。已知磁场的磁感应强度大小为，不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　）
A．电场强度大小为 B．P点坐标为（0，）
C．M、N两点间的距离一定等于2l D．矩形磁场的最小面积为
【答案】B
【详解】A．在电场中，粒子做类平抛运动
水平方向有
根据竖直方向匀加速直线运动的规律，有
得
A错误；
粒子经过电场的过程，竖直方向有
所以P点坐标为（0，），B正确；
C．粒子到达M点的速度为
粒子进入第四象限的磁场后，做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，有
则
根据题意，粒子回到第一象限时的速度方向与x轴正方向成角，假设粒子从M点进入磁场，画出粒子在磁场中运动的轨迹
由几何关系，可求得粒子在磁场中运动的轨迹所对的弦长为
根据矩形磁场的长、宽最小面积为图示区域
但是，根据题意无法确定粒子在哪个位置进入磁场，所以无法确定MN之间的距离，CD错误。
故选B。
多选7．如图所示为霍尔元件的工作原理示意图，导体的宽度为h、厚度为d，磁感应强度B垂直于霍尔元件的工作面向下，通入图示方向的电流I，CD两侧面会形成电势差U，其大小与磁感应强度B和电流I的关系为，式中比例常数k为霍尔系数，设载流子的电荷量的数值为q，下列说法正确的是（　　）

A．霍尔元件是一种重要的磁传感器
B．C端的电势一定比D端的电势高
C．载流子所受静电力的大小
D．霍尔系数，其中n为导体单位体积内的电荷数
【答案】AD
【详解】A．霍尔元件是磁传感器，选项A正确；
B．若载流子带正电，C端电势高，若载流子带负电，D端电势高，选项B错误；
C．载流子所受静电力的大小
选项C错误；
D．载流子稳定流动时有
（n为导体单位体积内的电荷数），可得
又
则霍尔系数
选项D正确。
故选AD。
多选8．在如图所示的竖直平面内，有一足够长的条状区域，其间距为d，该区域内以水平线为界存在向上、向下的匀强电场，其电场强度大小均为E。右侧存在足够大的方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带电粒子以速度从无限靠近O点的下方沿方向射入电场，经过一段时间后又从无限靠近O点的上方从磁场射出电场。不计重力。则下列说法正确的是（　　）
A．该粒子一定带负电
B．该粒子的比荷为
C．若该粒子以不同的速度从O点下方进入，在磁场运动的时间都相同
D．若仅改变电场强度的大小，则粒子进磁场和出磁场时经过上两点的间距不变
【答案】BD
【详解】A．根据左手定则可知，该粒子一定带正电，故A错误；
B．如图所示，在电场中，粒子做类平抛运动有
则有
且
在磁场中
又
联立可得
故B正确；
C．以不同的速度进入电场，出电场时速度偏转角不同，粒子在磁场中运动的周期虽然与速度无关，但在磁场中转过的圆心角不同，故在磁场中运动的时间也不同，故C错误；
D．若仅改变电场强度大小，进入磁场时的速度满足
粒子进磁场和出磁场时经过上两点的间距
可见与电场强度无关，故D正确。
故选BD。
多选9．如图所示，坐标系中，在的范围内存在足够大的匀强电场，方向沿y轴正方向，在的区域内分布有垂直于平面向里的匀强磁场。在处放置一垂直于y轴的足够大金属板，带电粒子打到板上即被吸收，如果粒子轨迹与板相切则刚好不被吸收。一质量为m、带电量为的粒子以初速度由点沿x轴正方向射入电场，第一次从点经过x轴，粒子重力不计。下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度
B．粒子刚好不打在挡板上则
C．要使粒子不打到挡板上，磁感应强度B应满足的条件为
D．要使粒子不打到挡板上，磁感应强度B应满足的条件为
【答案】AC
【详解】A．粒子在电场中做类平抛运动，水平方向
竖直方向
解得
故A正确；
B．设粒子进入磁场时与x轴夹角为
粒子进入磁场时的速度为
粒子运动轨迹与挡板相切时粒子刚好不打在挡板上，由几何知识得
解得
故B错误；
CD．粒子做匀速圆周运动，伦兹力提供向心力得
解得
粒子不打在挡板上，磁感应强度需要满足的条件是
故C正确，D错误。
故选AC。
10．如图所示，圆心为O点、半径为R的圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场区域的右侧有两个水平放置、带等量异种电荷的平行金属板M、N，金属板的长度为3R，金属板间的距离为2R，两金属板左端的连线与磁场区域相切。圆周上A点有一粒子源，A点是金属板N的延长线与圆的切点，粒子源不断地沿纸面各个方向向磁场内发射质量均为m带电荷量均为+q、速率均为v0的粒子。已知沿AO方向发射的粒子沿两板中线射人板间，且该粒子恰好从金属板N的右端点射出，不计粒子重力及粒子间的相互影响。
（1）求圆形区域内磁场的磁感应强度大小B；
（2）求沿AO方向发射的粒子从A点运动至N点的时间及经过N点时的速度大小；
（3）若在金属板MN右侧某处添加另一圆形磁场区域，使从两板间射出的粒子经过该磁场后都能打到同一位置求该圆形磁场区域的最小面积及对应的磁感应强度大小B'。

【答案】（1）；（2），；（3），
【详解】（1）由几何关系可得，粒子在磁场中做圆周运动的半径
粒子在磁场中运动有
解得
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，离开磁场的同时沿两板中线进入偏转电场，该粒子在磁场中的运动时间为
从进入两板间运动，水平方向上以v0做匀速直线运动，运动时间
故该粒子运动的总时间为
设经过N点时沿电场方向的速度为v，则平行于两板有
垂直于两板有
解得
该粒子经过N点时的速度大小为
（3）如图，设速度在电场中的偏转角为θ，则
圆形区域磁场的最小半径
磁场区域的最小面积
粒子在磁场中做圆周运动，有
解得

11．如图所示，的区间内存在着沿方向的匀强电场；的区间范围内存在着垂直于平面向外的匀强磁场，磁感应强度为。某时刻从轴上的点以沿方向发射一个带电量为，质量为的粒子，经过一段时间粒子经过轴上的点进入磁场，进入磁场时粒子速度和方向夹角为，再经一段时间从横轴上的点处离开磁场。此后粒子第二次进入磁场前磁感应强度变为，第三次进入磁场前磁感应强度变为……，粒子此后可再次通过点。粒子在磁场中运动的过程中磁感应强度保持不变，不考虑磁场变化对粒子运动的影响，求：
（1）点的纵坐标及粒子发射速度；
（2）粒子再次通过点之前在磁场中运动的总时间。

【答案】（1），；（2）
【详解】（1）的过程有
第一次磁偏转过程中有
得
（2）第一次磁偏转过程中
运动时间为
第次磁偏转过程半径满足
速度满足
运动时间满足
每次在电场中斜抛的水平侧移量均为，由几何关系知第次磁偏转结束时横坐标为
累加得
其中
由斜抛的对称性可知，回到点需满足
联立得
所求时间为
联立得
12．东方超环（EAST），俗称“人造小太阳”，是中国科学院自主研制的磁约束核聚变实验装置。该装置需要将加速到较高速度的离子束变成中性粒子束，没有被中性化的高速带电离子需要利用“偏转系统”将带电离子从粒子束剥离出来。“偏转系统”的原理简图如图所示，混合粒子中的中性粒子继续沿原方向运动，被接收器接收；而带电离子一部分打到下极板，剩下的进入磁场发生偏转被吞噬板吞噬。已知离子带正电、电荷量为，质量为，两极板间电压为，间距为，极板长度为，离子和中性粒子的重力可忽略不计，不考虑混合粒子间的相互作用。
（1）在极板间施加了一垂直于纸面向里的匀强磁场，使速度为的离子直线通过两极板，求其磁感应强度的大小；
（2）直线通过极板的离子以进入垂直于纸面向外的矩形匀强磁场区域，最后均被吞噬板吞噬。其磁感应强度，求该磁场区域的宽度应满足的条件；
（3）撤去极板间磁场，且边界足够大。若粒子束由两极板中央平行于极板射入，且离子的速度范围，其磁感应强度，有部分带电离子会通过两极板进入偏转磁场，最终被吞噬板吞噬，求离子打到吞噬板的长度。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）离子能直线通过两极板，则洛伦兹力等于电场力
将代入得
（2）由洛伦兹力提供向心力
离子在偏转磁场中的运动半径为
该磁场区域的宽度应满足的条件
（3）撤去极板间磁场后，离子在极板间做类平抛运动，离子入射速度为时，能够进入磁场的离子在电场中的侧移量为，由类平抛运动的规律可得，沿极板方向做匀速直线运动，则有
沿垂直极板方向做匀加速直线运动，则有
解得
由，解得
可知离子的速度满足的带电离子会通过两极板进入偏转磁场。
设进入磁场的离子的速度为，其方向与方向夹角为，运动半径为，运动轨迹的弦长为，如图所示；离子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得
又有
运动轨迹的弦长
离子打到吞噬板的位置与两极板间中轴线的距离为
令，取值范围为：，可得
由数学知识可得：在区间：，为增函数，则有的取值范围为
则离子打到吞噬板的长度
13．如图所示，在纸面内有一平面直角坐标系xOy，其第一象限内有一沿y轴负方向的有界匀强电场，其右侧边界满足方程，如图中虚线所示，电场强度大小。第三象限内（包含x轴负半轴）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。在第一象限内虚线右侧、纵坐标区域内有大量（速度相等）沿x轴负方向运动的带电粒子，粒子电荷量，质量。已知从边界上横坐标为，以初速度v0处飞入的粒子从坐标原点飞出电场区域，不计粒子重力和粒子之间的相互作用力。求：
（1）粒子的初速度v0；
（2）所有粒子离开电场时，其速度方向与x轴负方向所成夹角的范围；
（3）粒子在磁场中运动的最短时间和出磁场的坐标。

【答案】（1）4m/s；（2）；（3）0.25s；
【详解】（1）则
在电场内有
解得
（2）假设所有粒子都从原点射出，则
得
射出位置得纵轴标为
即射出位置为原点，假设成立，所有粒子都将从原点射出。粒子出电场时速度方向与x轴负方向成角度，则
可知射入电场位置的横坐标越大，角度越大，当时
则
解得
当粒子沿x轴运动时，此时
所有粒子离开电场时，其速度方向与x轴负方向所成夹角的范围为。
（3）由可知所有粒子在磁场中圆周运动的周期相等。则从边界上横坐标为处入射，出电场时速度方向与x轴负方向成角度时，粒子在磁场中运动的时间最短
出磁场时的速度大小为
粒子在磁场中圆轨迹半径
所以出磁场时的位置纵坐标为
所以出磁场时的位置坐标为。

14．如图甲所示，某直线加速器由金属圆板和4个金属圆筒依次排列组成，圆筒左右底面中心开有小孔，其中心轴线在同一水平线上，圆板及相邻金属圆筒分别接在周期性交变电源的两极．粒子自金属圆板中心无初速度释放，在间隙中被电场加速（穿过间隙的时间忽略不计），在圆筒内做匀速直线运动．粒子在每个金属圆筒内运动时间恰好等于交变电压周期的一半，这样粒子就能在间隙处一直被加速。电荷量为q、质量为m的质子通过此加速器加速，交变电压如图乙所示（、未知），粒子飞出4号圆筒即关闭交变电源．加速后的质子从P点沿半径射入圆形匀强磁场区域，经过磁场偏转后从Q点射出。已知匀强磁场区域半径为R，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，不计一切阻力，忽略磁场的边缘效应，求：
（1）质子在圆形磁场中运动的时间；
（2）直线加速器所加交变电场的电压；
（3）若交变电压周期不变，粒子换成氚核，为使氚核在每个金属圆筒内运动时间仍等于交变电压周期的一半，需将交变电压调为的多少倍？
【答案】（1）；（2）；（3）3倍
【详解】（1）质子在圆形磁场中运动时，做匀速圆周运动，则有
，，
解得
（2）粒子在磁场中运动时
，
质子在直线加速器中运动时，共经过4次缝隙，由动能定理得
解得
（3）为使氚核在每个金属筒内运动时间仍等于交变电压周期的一半，则速度大小不变
得
即需将交变电压调为的3倍明确目标 确定方向
1.能分析计算带电粒子在复合场中的运动.
2.能够解决速度选择器、磁流体发电机、质谱仪等磁场的实际应用问题
【知识回归】 回归课本 夯实基础
第一部分基础知识梳理
一．质谱仪
1功能：测量带电粒子质量和分离同位素的仪器。
2.原理
(1)电场加速：qU＝mv2；
(2)磁场偏转：qvB＝，l＝2r；
由以上两式可得r＝，m＝，＝。
二．回旋加速器的原理和分析
1.加速条件：T电场＝T回旋＝；
2.磁场约束偏转：qvB＝ v＝。
3.带电粒子的最大速度vmax＝，rD为D形盒的半径。粒子的最大速度vmax与加速电压U无关。
三．霍尔效应
1.结构：高为h，宽为d的金属导体(自由电荷是电子)置于匀强磁场B中，当电流通过金属导体时，在金属导体的上表面A和下表面A′之间产生电势差，这种现象称为霍尔效应，此电压称为霍尔电压。
2.电势高低的判断：金属导体中的电流I向右时，根据左手定则可得，下表面A′的电势高。
第二部分重难点辨析
1带电粒子在组合场中的运动
带电粒子在组合场中的运动，实际上是几个典型运动过程的组合(如：电场中的加速直线运动、类平抛运动；磁场中的匀速圆周运动)，因此解决此类问题要分段处理，找出各段之间的衔接点和相关物理量。
2带电粒子在叠加场中的运动
1.磁场力、重力并存
(1)若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。
(2)若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒。
2.电场力、磁场力并存(不计重力)
(1)若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。
(2)若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体做复杂的曲线运动，可用动能定理求解。
3.电场力、磁场力、重力并存
(1)若三力平衡，带电体做匀速直线运动。
(2)若重力与电场力平衡，带电体做匀速圆周运动。
(3)若合力不为零，带电体可能做复杂的曲线运动，可用能量守恒定律或动能定理求解。　
【典例分析】 精选例题 提高素养
【例1】．如图所示，关于带电粒子（不计重力）在以下四种仪器中运动，下列说法正确的有（　　）

A．甲图中，只要增大加速电压，粒子最终就能获得更大的动能
B．乙图中，粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小
C．丙图中，等离子体进入A、B极板之间后，A极板电势低于B极板电势
D．丁图中，从左侧射入的带负电粒子，若速度满足，将向上极板偏转
【例2】．实验中，将离子束从回旋加速器中引出可以采用磁屏蔽通道法。使用磁屏蔽通道法引出离子的原理如图所示：离子从P点以速度v进入通道时，由于引出通道内的磁场强度发生改变，离子运动轨迹半径增大，可使离子引出加速器。已知回旋加速器D型盒的半径为R，圆心在O点，D型盒区域中磁场垂直纸面向里，磁感应强度为B，引出通道外侧末端Q点到O点距离为L，OQ与OP的夹角为θ，离子带电为q，质量为m，则（　　）

A．离子经过引出通道后的速度大于v
B．引出通道内的磁感应强度大于B
C．若离子恰能从引出通道的Q点引出，引出通道中的磁感应强度
D．若引出通道中磁场为时，该离子能引出加速器，则此时将一带电量2q，质量为2m的离子一定不能从加速器中引出
【例3】．如图所示，在半径大小未知的圆形与边长为2L的等边三角形框架DEF之间有磁感应强度大小为B的匀强磁场，其方向垂直纸面向里，已知等边三角形中心与圆心重合。在三角形DEF内放置平行板电容器MN，两板间距为d，N板紧靠EF边，N板及EF中点S处均开有小孔，在两板间靠近M板处有一质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子由静止释放，粒子经过S处的速度大小为，方向垂直于EF边并指向磁场。若粒子每次与三角形框架的碰撞均为弹性碰撞且垂直，粒子在碰撞过程中质量、电荷量均不变，不计带电粒子的重力，平行板电容器MN产生的电场仅限于两板间，求：
（1）MN间匀强电场的场强大小；
（2）若从S点发射出的粒子能再次垂直返回到S点，磁场圆形区域的半径最小值R；
（3）若粒子经过S处的速度大小可变且能再次垂直返回到S点，圆形磁场区域的半径足够大，求从S点出发到第一次垂直返回到S点所对应的速度应该满足的条件及全程所用时间。
【例4】．如图所示，空间坐标系O—xyz内有一由正方体ABCO—A′B′C′O′和半圆柱体BPC—B′P′C′拼接而成的空间区域，立方体区域内存在沿z轴负方向的匀强电场，半圆柱体区域内存在沿z轴负方向的匀强磁场。M、M′分别为AO、A′O′的中点，N、N′分别为BC、B′C′的中点，P、P′分别为半圆弧BPC、B′P′C′的中点，Q为MN的中点。质量为m、电荷量为q的正粒子在竖直平面MNN′M′内由M点斜向上射入匀强电场，入射的初速度大小为v0，方向与x轴正方向夹角为θ = 53°。一段时间后，粒子垂直于竖直平面BCC′B′射入匀强磁场。已知正方体的棱长和半圆柱体的直径均为L，匀强磁场的磁感应强度大小为，不计粒子重力，sin53° = 0.8，cos53° = 0.6。
（1）求匀强电场的电场强度E的大小；
（2）求粒子自射入电场到离开磁场时的运动时间t；
（3）若粒子以相同的初速度自Q点射入匀强电场，求粒子离开匀强磁场时的位置坐标。

【巩固练习】 举一反三 提高能力
1．如图所示为质谱仪的原理图，一束粒子以速度v沿直线穿过相互垂直的匀强电场（电场强度为E）和匀强磁场（磁感应强度为）的重叠区域，然后通过狭缝垂直进入另一匀强磁场（磁感应强度为），最后打在照相底片上的三个不同位置，粒子的重力可忽略不计，则下列说法正确的是（　　）

A．该束粒子带负电
B．板带负电
C．粒子的速度v满足关系式
D．在的匀强磁场中，运动半径越大的粒子，荷质比越小
2．法拉第曾提出一种利用河流发电的设想，并进行了实验研究。实验装置示意图如图所示，两块面积均为的矩形平行金属板正对地浸在河水中，金属板间距为。水流速度处处相同大小为，方向水平向左，金属板面与水流方向平行。地磁场磁感应强度竖直向下的分量为，水的电阻率为，水面上方有一阻值为的电阻通过绝缘导线和开关连接到两金属板上。忽略边缘效应，则下列说法正确的是（　　）

A．电阻上的电流方向从里向外
B．河水流速减小，两金属板间的电压增大
C．该发电装置的电动势大小为
D．流过电阻的电流大小为
3．2020年全球爆发了新冠肺炎，该病毒传播能力非常强，因此研究新冠肺炎病毒株的实验必须全程都在高度无接触防护性的条件下进行操作。在该实验室中有一种污水流量计，其原理可以简化为如图所示的模型：空间有垂直纸面向里的磁感应强度为的匀强磁场，污水内含有大量正、负粒子，从直径为的圆柱形管道右侧流入，左侧流出，流量等于单位时间通过横截面的液体的体积。下列说法正确的是（　　）

A．带电粒子所受洛伦兹力的方向水平向左
B．正、负粒子所受洛伦兹力的方向是不同的
C．若只测量两点间的电压，则不能推算出废液的流量
D．污水流量计也可以用于测量不带电的液体的流速
4．回旋加速器的工作原理如图1所示，和是两个相同的中空半圆金属盒，金属盒的半径为，它们之间接如图2所示的交变电源，图中已知，两个形盒处于与盒面垂直的匀强磁场中。将一质子从金属盒的圆心处由静止释放，质子经过加速后最终从D形盒的边缘射出。已知质子的质量为，电荷量为，不计电场中的加速时间，且不考虑相对论效应。下列说法正确的是（　　）

A．回旋加速器中所加磁场的磁感应强度
B．质子从形盒的边缘射出时的速度为
C．在其他条件不变的情况下，仅增大，可以增大质子从边缘射出的速度
D．在所接交变电源不变的情况下，若用该装置加速（氚核），需要增大所加磁场的磁感应强度
5．CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测。图1是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图2所示。图2中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场，经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线（如图中带箭头的虚线所示），将电子束打到靶上的点记为P点。则（　　）
A．M处的电势高于N处的电势
B．偏转磁场的方向垂直于纸面向外
C．当加速电压增加为原来的2倍时，射出电场时的速度变为原来的2倍
D．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移
6．如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内存在竖直向下的匀强电场，在第四象限的某位置有垂直坐标系平面向里的矩形匀强磁场。x轴上有一点M，其坐标分别为M（l，0）。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴上P点以初速度沿x轴正方向射入第一象限，经电场偏转从M点以与x轴正方向成角的速度射人第四象限，经磁场偏转后又从x轴上的N点（图中未画出）以与x轴正方向成角的速度再次返回第一象限。已知磁场的磁感应强度大小为，不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　）
A．电场强度大小为 B．P点坐标为（0，）
C．M、N两点间的距离一定等于2l D．矩形磁场的最小面积为
多选7．如图所示为霍尔元件的工作原理示意图，导体的宽度为h、厚度为d，磁感应强度B垂直于霍尔元件的工作面向下，通入图示方向的电流I，CD两侧面会形成电势差U，其大小与磁感应强度B和电流I的关系为，式中比例常数k为霍尔系数，设载流子的电荷量的数值为q，下列说法正确的是（　　）

A．霍尔元件是一种重要的磁传感器
B．C端的电势一定比D端的电势高
C．载流子所受静电力的大小
D．霍尔系数，其中n为导体单位体积内的电荷数
多选8．在如图所示的竖直平面内，有一足够长的条状区域，其间距为d，该区域内以水平线为界存在向上、向下的匀强电场，其电场强度大小均为E。右侧存在足够大的方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带电粒子以速度从无限靠近O点的下方沿方向射入电场，经过一段时间后又从无限靠近O点的上方从磁场射出电场。不计重力。则下列说法正确的是（　　）
A．该粒子一定带负电
B．该粒子的比荷为
C．若该粒子以不同的速度从O点下方进入，在磁场运动的时间都相同
D．若仅改变电场强度的大小，则粒子进磁场和出磁场时经过上两点的间距不变
多选9．如图所示，坐标系中，在的范围内存在足够大的匀强电场，方向沿y轴正方向，在的区域内分布有垂直于平面向里的匀强磁场。在处放置一垂直于y轴的足够大金属板，带电粒子打到板上即被吸收，如果粒子轨迹与板相切则刚好不被吸收。一质量为m、带电量为的粒子以初速度由点沿x轴正方向射入电场，第一次从点经过x轴，粒子重力不计。下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度
B．粒子刚好不打在挡板上则
C．要使粒子不打到挡板上，磁感应强度B应满足的条件为
D．要使粒子不打到挡板上，磁感应强度B应满足的条件为
10．如图所示，圆心为O点、半径为R的圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场区域的右侧有两个水平放置、带等量异种电荷的平行金属板M、N，金属板的长度为3R，金属板间的距离为2R，两金属板左端的连线与磁场区域相切。圆周上A点有一粒子源，A点是金属板N的延长线与圆的切点，粒子源不断地沿纸面各个方向向磁场内发射质量均为m带电荷量均为+q、速率均为v0的粒子。已知沿AO方向发射的粒子沿两板中线射人板间，且该粒子恰好从金属板N的右端点射出，不计粒子重力及粒子间的相互影响。
（1）求圆形区域内磁场的磁感应强度大小B；
（2）求沿AO方向发射的粒子从A点运动至N点的时间及经过N点时的速度大小；
（3）若在金属板MN右侧某处添加另一圆形磁场区域，使从两板间射出的粒子经过该磁场后都能打到同一位置求该圆形磁场区域的最小面积及对应的磁感应强度大小B'。

11．如图所示，的区间内存在着沿方向的匀强电场；的区间范围内存在着垂直于平面向外的匀强磁场，磁感应强度为。某时刻从轴上的点以沿方向发射一个带电量为，质量为的粒子，经过一段时间粒子经过轴上的点进入磁场，进入磁场时粒子速度和方向夹角为，再经一段时间从横轴上的点处离开磁场。此后粒子第二次进入磁场前磁感应强度变为，第三次进入磁场前磁感应强度变为……，粒子此后可再次通过点。粒子在磁场中运动的过程中磁感应强度保持不变，不考虑磁场变化对粒子运动的影响，求：
（1）点的纵坐标及粒子发射速度；
（2）粒子再次通过点之前在磁场中运动的总时间。

12．东方超环（EAST），俗称“人造小太阳”，是中国科学院自主研制的磁约束核聚变实验装置。该装置需要将加速到较高速度的离子束变成中性粒子束，没有被中性化的高速带电离子需要利用“偏转系统”将带电离子从粒子束剥离出来。“偏转系统”的原理简图如图所示，混合粒子中的中性粒子继续沿原方向运动，被接收器接收；而带电离子一部分打到下极板，剩下的进入磁场发生偏转被吞噬板吞噬。已知离子带正电、电荷量为，质量为，两极板间电压为，间距为，极板长度为，离子和中性粒子的重力可忽略不计，不考虑混合粒子间的相互作用。
（1）在极板间施加了一垂直于纸面向里的匀强磁场，使速度为的离子直线通过两极板，求其磁感应强度的大小；
（2）直线通过极板的离子以进入垂直于纸面向外的矩形匀强磁场区域，最后均被吞噬板吞噬。其磁感应强度，求该磁场区域的宽度应满足的条件；
（3）撤去极板间磁场，且边界足够大。若粒子束由两极板中央平行于极板射入，且离子的速度范围，其磁感应强度，有部分带电离子会通过两极板进入偏转磁场，最终被吞噬板吞噬，求离子打到吞噬板的长度。
13．如图所示，在纸面内有一平面直角坐标系xOy，其第一象限内有一沿y轴负方向的有界匀强电场，其右侧边界满足方程，如图中虚线所示，电场强度大小。第三象限内（包含x轴负半轴）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。在第一象限内虚线右侧、纵坐标区域内有大量（速度相等）沿x轴负方向运动的带电粒子，粒子电荷量，质量。已知从边界上横坐标为，以初速度v0处飞入的粒子从坐标原点飞出电场区域，不计粒子重力和粒子之间的相互作用力。求：
（1）粒子的初速度v0；
（2）所有粒子离开电场时，其速度方向与x轴负方向所成夹角的范围；
（3）粒子在磁场中运动的最短时间和出磁场的坐标。

14．如图甲所示，某直线加速器由金属圆板和4个金属圆筒依次排列组成，圆筒左右底面中心开有小孔，其中心轴线在同一水平线上，圆板及相邻金属圆筒分别接在周期性交变电源的两极．粒子自金属圆板中心无初速度释放，在间隙中被电场加速（穿过间隙的时间忽略不计），在圆筒内做匀速直线运动．粒子在每个金属圆筒内运动时间恰好等于交变电压周期的一半，这样粒子就能在间隙处一直被加速。电荷量为q、质量为m的质子通过此加速器加速，交变电压如图乙所示（、未知），粒子飞出4号圆筒即关闭交变电源．加速后的质子从P点沿半径射入圆形匀强磁场区域，经过磁场偏转后从Q点射出。已知匀强磁场区域半径为R，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，不计一切阻力，忽略磁场的边缘效应，求：
（1）质子在圆形磁场中运动的时间；
（2）直线加速器所加交变电场的电压；
（3）若交变电压周期不变，粒子换成氚核，为使氚核在每个金属圆筒内运动时间仍等于交变电压周期的一半，需将交变电压调为的多少倍？

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