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2023-2024学年新疆乌鲁木齐重点中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若命题：，是真命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C. D. 不能确定
4.已知函数，若不等式的解集为，则的值为( )
A. B. C. D.
5.第十四届全国人民代表大会于月日至日在北京召开，政府工作报告总结了过去五年的巨大成就，绘就出未来五年的美好蓝图，既鼓舞人心，又催人奋进为学习贯彻会议精神，现组织名宣讲员宣讲会议精神，分配到个社区，每个宣讲员只分配到个社区，每个社区至少分配名宣讲员，则不同的分配方案共有( )
A. B. C. D.
6.的展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
7.已知随机变量服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知，随机变量，其中，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则( )
A. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为小时
B. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为小时
C. 估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为小时
D. 这名高中学生每天的平均学习时间为小时的人数有人
10.已知的展开式共有项，则下列说法中正确的有( )
A. 所有项的系数和为 B. 所有奇数项的二项式系数和为
C. 二项式系数最大的项为第项或第项 D. 有理项共有项
11.甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件，和表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 事件与事件相互独立 D. ，，是两两互斥的事件
12.有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第台加工的次品率为，第台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是( )
A. 该零件是第台车床加工出来的次品的概率为
B. 该零件是次品的概率为
C. 如果该零件是第台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为
D. 如果该零件是次品，那么它不是第台车床加工出来的概率为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.函数在的最大值为______ ．
14.端午节吃粽子是传统的习俗一盘中放有个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽个，肉粽个，白米粽个，现从盘子任意取出个，则取到白米粽的个数的数学期望为______ ．
15.播种用的一等品种子中混合的二等种子，的三等种子，的四等种子，用一等、二等、三等、四等种子长出优质产品的概率分别为，，，，则从这批种子中任选一颗长出优质产品的概率为______ ．
16.某班名同学参加体能测试，经统计成绩近似服从，若，则可估计该班体能测试成绩低于分的人数为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是．
求这名学生在途中遇到红灯的次数的分布列；
求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数的分布列；
这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
18.本小题分
某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放个大小相同的小球，其中个为红色，个为黑色抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望．
若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望．
19.本小题分
某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：
性别 人数 获奖人数
一等奖 二等奖 三等奖
男生
女生
假设所有学生的获奖情况相互独立．
分别从上述名男生和名女生中各随机抽取名，求抽到的名学生都获一等奖的概率；
用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取名，从该地区高一女生中随机抽取名，以表示这名学生中获奖的人数，求的分布列．
20.本小题分
电影评论，简称影评，是对一部电影的导演、演员、镜头、摄影、剧情、线索、环境、色彩、光线、视听语言、道具作用、转场、剪辑等进行分析和评论电影评论的目的在于分析、鉴定和评价蕴含在银幕中的审美价值、认识价值、社会意义、镜头语言等方面，达到拍摄影片的目的，解释影片中所表达的主题，既能通过分析影片的成败得失，帮助导演开阔视野，提高创作水平，以促进电影艺术的繁荣和发展；同时能通过分析和评价，影响观众对影片的理解和鉴赏，提高观众的欣赏水平，从而间接促进电影艺术的发展某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况评价结果仅有“好评”“差评”，从平台所有参与评价的观众中随机抽取人进行调查，得到数据如下表所示单位：人：
好评 差评 合计
男性
女性
合计
请将列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对该部影片的评价与性别有关联？
从给出“好评”的观众中按性别用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽出人送电影优惠券，记随机变量表示这人中女性观众的人数，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
21.本小题分
某学校有学生人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这名学生的打分，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为，，，，，．
Ⅰ求频率分布直方图中的值，并估计该校学生满意度打分不低于分的人数；
Ⅱ试估计该校学生满意度打分的众数、中位数中位数保留小数点后位；
Ⅲ若采用分层随机抽样的方法，从打分在的学生中随机抽取人了解情况，求在打分、中分别抽取的人数．
22.本小题分
近些年来，短视频社交软件日益受到追捧，用户可以通过软件选择歌曲，拍摄音乐短视频，创作自己的作品．某用户对自己发布的短视频个数与收到的点赞数之和之间的关系进行了分析研究，得到如下数据：
Ⅰ计算，的相关系数，并判断是否可以认为发布的短视频个数与收到的点赞数之和具有较高的线性相关程度？若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高．计算时精确度为
Ⅱ求出关于的线性回归方程．
参考数据：，，，．
附：相关系数公式：，
回归直线方程的斜率，截距．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
，
．
故选：．
先求出集合，再根据交集运算即可求得结论．
本题考查了集合的表示方法以及集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为命题：，是真命题，
所以方程有实根，
所以，解得．
故选：．
由命题为真可知方程有解，再根据根判别式求参即可．
本题主要考查了由命题真假求解参数范围，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
平方作差即可得出．
本题考查了平方作差利用不等式的性质比较两个式子的大小，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意可知：方程的两个根为，，
则，解得，
所以．
故选：．
根据三个二次之间的关系分析可知方程的两个根为，，利用韦达定理可得，，进而可得结果．
本题主要考查了二次不等式与二次方程转化关系的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：先进行名宣讲员分到个社区，每个社区至少人，则分配方式为，，，
所以不同的分配方案共有．
故选：．
名宣讲员分配到个社区，每个社区至少人，则按，，分配，计算即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，考查二项展开式的通项公式，特定项的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
求出的展开式的通项公式，即可求解．
【解答】
解：的展开式的通项，
令，可得，令，可得，
所以的展开式中常数项为．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：随机变量服从正态分布，，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：令，则，
所以由，
可得，
则通项公式为，
令，得，
所以，所以，
因为随机变量，
所以．
故选：．
令，则原式可化为，求出其通项公式，从而可求出，则可得，然后利用二项分布的期望公式可求得结果．
本题考查二项式定理的运用，考查二项分布概率模型的期望公式，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，由频率分布直方图可知，抽查的名高中学生每天的平均学习时间的平均值为：
小时，
故估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为小时，故A正确，
对于，抽查的名高中学生每天的平均学习时间的众数为小时，
故估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为小时，故B错误，
对于，设抽查的名高中学生的每天的平均学习时间的分位数为小时，
则，解得，
故估计该市高中学生每天的平均学习时间的分位数为小时，故C正确，
对于，由频率分布直方图可得，，
故这名高中学生每天的平均学习时间为小时的人数有人，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合频率分布直方图，即可依次求解．
本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意得，所以，
令，得所有项的系数和为，故A错误；
所有奇数项的二项式系数和为，故B正确；
由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第项，故C错误；
展开式通项为，
当为整数时，，，，，，共有项，
即有理项共有项，故D正确．
故选：．
根据二项式定理求出，令即可判断；根据二项式系数的性质即可判断；求出展开式的通项，再根据的指数为整数即可判断．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：依题意得，，，
则，故B正确；
，，
所以
，故A不正确；
因为，，，
所以事件与事件不相互独立，故C不正确；
根据互斥事件的定义可知，，是两两互斥的事件，故D正确．
故选：．
根据条件概率公式计算可知B正确；根据全概率公式计算可知不正确；根据计算可知，故C不正确；根据互斥事件的定义可知D正确．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：记事件：零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，
则，，，
，，，
对于，任取一个零件是第台生产出来的次品概率为，故A错误；
对于，任取一个零件是次品的概率为
，故B正确；
对于，如果该零件是第台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为，故C正确；
对于，如果该零件是次品，那么它不是第台车床加工出来的概率为，故D错误．
故选：．
结合条件概率公式的变形可判断；根据全概率公式判断；根据对立事件的概率计算判断；根据条件概率以及对立事件的概率计算判断．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为的对称轴为，
所以由二次函数的图象与性质可得：当时，函数取到最大值．
故答案为：．
直接由二次函数的性质求解即可．
本题考查二次函数的图象与性质，考查学生的直观想象能力，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：设取到白米粽的个数为随机变量，则的可能值为，，，
所以，，，
所以取到白米粽的个数的数学期望．
故答案为：．
取到白米粽的个数为随机变量，求出的可能值对应的概率，再求出期望作答．
本题考查离散型随机变量的数学期望，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：这批种子含一等品种子的数量为，
由全概率公式知，所求的概率．
故答案为：．
由全概率公式，即可得解．
本题考查全概率公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由成绩近似服从，且；
利用正态分布的对称性可知，
所以，
所以可估计该班体能测试成绩低于分的人数为人．
故答案为：．
由题意可知体能测试成绩服从正态分布，由正态分布的对称性可计算出成绩低于分的概率为，即可计算出其人数．
本题考查正态分布的性质，属于基础题．
17.【答案】解：由于，
则，，，，，，；
所以的分布列为：
，
也就是说前个是绿灯，第个是红灯，，
也就是说个均为绿灯，
则，，，，，；
；
所以的分布列为：
所求概率．
【解析】由，能求出这名学生在途中遇到红灯的次数的分布列．
，也就是说前个是绿灯，第个是红灯，，也就是说个均为绿灯，则，，，，，，由此能求出这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数的分布列．
利用对立事件概率计算公式能求出这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题．
18.【答案】解：根据题意，在抽奖箱中放个大小相同的小球，其中个为红色，个为黑色．
若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率，
因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，
所以的所有可能取值为，，，
则，
，
，
所以的分布列为：

所以的数学期望；
根据题意，若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为、、，
则，
，
，
所以的分布列为：

所以的数学期望为．
【解析】根据题意，分析随机变量可取的值，分析可得，进而求出各个值对应的概率，可得的分布列，结合二项分布的性质可得，可得答案；
根据题意，分析随机变量可取的值，进而由古典概型公式求出各个值对应的概率，可得的分布列，求出，可得答案．
本题考查离散型随机变量的分布列、期望的计算，涉及二项分布的性质，属于中档题．
19.【答案】解：根据题意，名男生中有人一等奖，则名男生中随机抽取名，抽到学生获一等奖的概率，
名女生中有人一等奖，则名女生中随机抽取名，抽到学生获一等奖的概率，
则抽到的名学生都获一等奖的概率；
根据题意，可取的值为、、，
男生中奖的概率为，女生中奖的概率，
则，
，
则．
故的分布列为：

【解析】根据古典概型公式计算即可；
分析可得：的所有可能取值为，，，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列．
本题考查离散型随机变量的分布列及期望，涉及相互独立事件的概率计算，属于基础题．
20.【答案】解：列联表如下：
好评 差评 合计
男性
女性
合计
假设：对该部影片的评价与性别无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对该部影片的评价与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于．
从给出“好评”的观众中按性别用分层抽样的方法抽取人，
男性有：人，女性有：人．
的所有可能取值为，，，，
所以，，，，
所以的分布列为
所以．
【解析】先计算，再根据临界值比较判断即可；
先应用分层抽样确定男性和女性的人数，再应用超几何分布写出分布列，再计算数学期望即得．
本题考查独立性检验，离散型随机变量的分布列，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ由频率分布直方图可知，
，解得，
该校学生满意度打分不低于分的人数为：；
Ⅱ众数为；
因为，所以中位数为：；
Ⅲ由频率分布直方图可知，打分在和内的频率分别为和，
所以打分在和内的频率之比为：，
所以在打分中抽取的人数为人，在打分中抽取的人数为人．
【解析】Ⅰ由频率分布直方图的概率和为求出的值，再由频数频率概率得出打分不低于分的人数；
Ⅱ由众数、中位数的定义求解；
Ⅲ根据分层抽样的定义求解．
本题主要考查频率分布直方图，分层抽样方法，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：Ⅰ，，，
．
发布的短视频个数与收到的点赞数之和具有较高的线性相关程度．
Ⅱ，
又，，
，
关于的线性回归方程为．
【解析】根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解．
根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题．
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