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正弦函数、余弦函数的性质(2)——对称性、单调性与最值
一、学习目标：
1.利用正、余弦函数的单调性求与正、余弦函数有关的函数的单调区间，掌握正、余弦函数的对称性；
2.会利用正、余弦函数的性质解决一些有关问题，了解正、余弦函数的对称性及其性质的综合应用.
重点难点: 正、余弦函数的对称性及其性质的综合应用.
二、预习导引（复习课本204-206页，熟悉正余弦函数的主要性质，然后完成下表）
图象
定义域
值域
取最大值时自变量的集合
取最小值时自变量的集合
奇偶性
周期
最小正周期
单增区间
单减区间
对称轴
对称中心
三、探究合作
例1. 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量的集合，并求出最大值、最小值.
(2)
例2.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小
（1）与 （2）与
例3.（1）函数的单调递增区间是 ；
（2）函数的单调递增区间是 ；
（3）函数的单调递增区间是 .
（4）求函数的单调递增区间.
例4.已知函数
求：（1）最小正周期； （2）最值及取到最值时对应的自变量的集合；
（3）单调递减区间； （4）对称轴方程，对称中心坐标.
四、检测反馈
1．函数（的图象的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
2．函数f(x)＝sin的一个递减区间是( )
A. B．[－π，0] C. D.
3.函数在区间上的最小值为 .
4. 函数f(x)＝3cos2x－4cos x＋1，x∈，当x＝________时f(x)最小，最小值为________．
5．函数y＝cos2x＋sin x的最大值为________________.
6．已知函数，求：
（1）函数的最大值及取得最大值时自变量的集合；（2）函数的单调递增区间
课时作业
1．函数y＝|sin x|的一个单调递增区间是( )
A. B. C. D.
2．对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中正确的是( )
A．f(x)在上单调递增 B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2
3．(多选)下列不等式中成立的是( )
A．sin>sin B．cos 400°>cos C．sin 3>sin 2 D．sin >cos
4．函数y＝2sin(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为( )
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
5．(多选)设函数f(x)＝cos，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的一个周期为2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)的一个零点为x＝ D．f(x)在上单调递减
6．函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是________．
7．若y＝asin x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab＝________.
8．已知函数f(x)＝2cos.
(1)求f(x)的单调递增区间； (2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．
9．设函数f(x)＝sin，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．
（选做）10．函数f(x)＝sin，x∈[0，π]的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
课时作业 正弦函数、余弦函数的性质(2)——对称性、单调性与最值 答案
1、答案 C解析 由y＝|sin x|的图象知，该函数在上单调递增．
2、答案 B解析 因为函数y＝sin x在上单调递减，所以f(x)＝sin 2x在上单调递减，故A错误；因为f(－x)＝sin[2(－x)]＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f(x)的最小正周期为π，故C错误；f(x)的最大值为1，故D错误．
3、答案 BD解析 y＝sin x在上单调递增，又－<－，∴sincos 400°＝cos 40°>cos 50°＝cos(－50°)，故B成立．
y＝sin x在上单调递减，又<2<3<π，∴sin 2>sin 3、故C不成立．sin ＝－sin ，cos ＝－cos ＝－sin＝－sin .∵0<<<，且y＝sin x在上单调递增．∴sin cos ，故D成立．
4、答案 C解析 ∵周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2.
∴y＝2sin.由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
5、ABC解析 A显然正确．f(x)的对称轴方程为x＋＝kπ，k∈Z，即x＝－＋kπ，k∈Z，当k＝3时，x＝，故B正确．令f(x)＝0，∴x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，令k＝0，∴x＝为f(x)的一个零点，故C正确．令t＝x＋，当x∈时，t∈，
由y＝cos t的图象知y＝cos t在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．
6、答案 (－π，0]
解析 因为y＝cos x在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，所以只有－π7、答案 ±2解析 当a>0时，得所以ab＝2.当a<0时，得所以ab＝－2，综上所述ab＝±2.
8、解 (1)令2kπ－π≤3x＋≤2kπ(k∈Z)，解得－≤x≤－(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)当3x＋＝2kπ－π(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.
即x＝－(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.
9、解 (1)最小正周期T＝＝π，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，
所以当t＝，即x＝时，ymin＝×＝－1，
当t＝，即x＝时，ymax＝×1＝.
10、答案
解析 f(x)＝－sin，令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，即－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，f(x)单调递减．又0≤x≤π，所以0≤x≤，即f(x)的单调递减区间为，同理f(x)的单调递增区间为，所以f(x)在x∈[0，π]上的单调递减区间为，单调递增区间为.

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