资源简介

正弦函数、余弦函数的性质——周期性与奇偶性
一、学习目标
1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义；
2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期；
3.掌握y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．
二、复习回顾和预习导引（自主学习课本，了解本节知识体系！）
1.在同一坐标系中画出正弦函数余弦函数在上的简图,并画出R上的图象.
2.通过预习你发现正弦函数、余弦函数的主要性质是：（1） （2）
三、探究合作
问题1.（1）你对周期有哪些认识？
（2）周期函数是如何定义的？
,那么就把函数叫做周期函数.
思考：1、周期函数的周期唯一吗 2、什么是最小正周期？ 3、周期函数都有最小正周期吗？
（3）通过诱导公式（一）或正弦函数的图象，我们知道每当角增加或减少时，所得角的正弦函数值与原来角的正弦函数值相等，这说明正弦函数应该是 函数．不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质.
（4）正弦函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 ；
余弦函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 ；
例1.求下列函数的最小正周期T.
（1），
,
，
(4)函数，（A>0,ω>0）的周期是什么？函数，（A>0,ω>0）的周期是什么？
跟踪训练1 若函数的最小正周期为，求正数的值.
2 等式是否成立 如果这个等式成立,能否说是正弦函数,的一个周期 为什么
问题2．为什么正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数？
例2. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)＝sin (2)f(x)＝sin xcos x； (3)f(x)＝＋.
例3. 定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，
f(x)＝sin x，则f 等于( )
四、检测反馈
1.判断下列函数的奇偶性
(1)， (2) ，
(3)y=-1, (4)y=,
2.求下列函数的周期;(1),; (2),;
,; (4),.
3．下列函数中最小正周期为的是
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） ( 8 )
4．已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)＝________.
5.奇函数f(x)满足f ＝f(x)，当x∈时， f(x)＝cos x，则f 的值为________．
课时作业
1．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为( ) A. B．π C．2π D．4π
2．f(x)是定义域R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f 的值等于( )
A．1 B. C．0 D．－
3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象可以是( )
4．如果函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为( )
A．3 B．6 C．12 D．24
5．(多选)函数f(x)＝sin(2x＋φ)是R上的偶函数，则φ的值可以是( )
A. B．π C. D．－
6．已知，若f(5)＝－2，则f(－5)＝________．
7.设函数是以2为最小正周期的周期函数,且当时,.求,的值.
8．已知函数f(x)＝sin是奇函数，则φ∈时，求φ的值．
9．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sin (2)f(x)＝|sin x|＋cos x.
10．已知函数y＝sin x＋|sin x|.
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
（选做）11．已知周期函数的图象如图所示，
（1）求函数的周期；
（2）画出函数的图象；
（3）写出函数的解析式.
导学案 参考答案
跟踪训练1 k=3
2.等式成立,但不能说是正弦函数,的一个周期.
因为不满足函数周期的定义,即对定义内任意x,不一定等于,如,所以不是正弦函数,的一个周期.
例2.（1）偶函数 （2）奇函数
（3）既是奇函数又是偶函数
由得cos x＝1，
∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．
当cos x＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．
例3. 解析 f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝sin ＝.
检测反馈
1.（1）非奇非偶函数（2）偶函数 （3）偶函数 （4） 偶函数
2.(1)(2)(3)(4) 3.（5）（7） 4. -2
5．答案 － 解析 ∵f ＝f(x)，∴T＝，
∴f ＝f ＝f ＝－f ＝－cos＝－cos ＝－.
课时作业 答案
1. 答案 D 解析 由题意T＝＝4π.
2. 答案 B 解析 f ＝f ＝f ＝sin ＝.
3. 答案 B 解析 由f(－x)＝f(x)，得f(x)是偶函数，图象关于y轴对称。由f(x＋2)＝f(x)，得f(x)的周期为2.故选B.
4. 答案 B 解析 函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，所以T＝2×＝，由＝，解得ω＝6.
5. 答案 ACD 解析 ∵f(x)为偶函数，则需把f(x)化成y＝±cos 2x的形式，∴φ＝＋kπ，k∈Z
6.答案2 解析：f(x)＝，则f(－x)＝＝－＝－f(x)，且定义域关于原点对称，所以f(x)是奇函数．所以f(－5)＝－f(5)＝2.
7.【详解】解:由题意可知,;
8.答案 － 解析 由已知＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)，又∵φ∈，
∴k＝0时，φ＝－符合条件．
9.解析 (1)f(x)＝sin＝－cos x，x∈R.又f(－x)＝－cos＝－cos x＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin是偶函数．
(2)函数的定义域为R，
又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以此函数是偶函数．
10. 解 (1)y＝sin x＋|sin x|
＝
图象如图所示：
由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.
11.【详解】解：（1）.
（2）把向左平移一个单位得的图象，即如图所示
（3）
所以.

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