资源简介

第七章 三角形教材分析
北师大实验中学08.4.3
一、课程学习目标：
1．了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）．理解三角形两边之和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形，会画出任意三角形的高、中线、角平分线．了解三角形的稳定性．
2．了解与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180o，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
3．了解多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形），探索并了解多边形的内角和与外角和公式．
4．通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计．
二、本章知识结构框图：
三、课时安排：
本章教学时间约需9课时，具体分配如下（仅供参考）：
7.1 与三角形有关的线段 2课时
7.2 与三角形有关的角 2课时
7.3 多边形及其内角和 2课时
7.4 课题学习 镶嵌 1课时
数学活动
小结 2课时
四、本章重点、难点及四基：
1．重点：画任意三角形的高、中线、角平分线，三角形三边关系，三角形的内角和定理及推论，多边形的内角和与外角和公式．
2．难点：画钝角三角形的高，三角形三边关系的应用，三角形的内角和定理及推论的应用．
3．基础知识：与三角形有关的线段，有关的角，多边形的有关概念，多边形的内角和与外角和公式．
4．基本技能：会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形，会画出任意三角形的高、中线、角平分线．会证明三角形内角和定理及推论，能运用几种图形进行简单的镶嵌设计．
5．基本的数学思想：类比的思想（如多边形的有关概念可类比三角形的有关概念给出）；方程的思想（计算三角形的边、角时常用）；转化的思想（如多边形的内角和转化为三角形的内角和，三角形的内角和转化为平角或同旁内角）；数形结合的思想（以数定形，以形驭数）；建模的思想（从实际问题中建立三角形的模型，如：方位角）；分类讨论的思想（如给出等腰三角形的两个边，应对哪个边是腰进行分类）．
6．基本实践活动（如镶嵌、用木棍摆三角形、对正方形的正方形拆分）．
五、本章内容的新课程标准要求：
1．了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性．
2．探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念．了解四边形的不稳定性．
3．通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计．
4．证明三角形的内角和定理及推论（三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角）．
六、2008年北京市考试说明中与本章有关部分：
1.基本要求：了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会正确对三角形进行分类；理解三角形内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；了解三角形的内心、重心. 了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；知道用任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面；了解四边形的不稳定性.
2.略高要求：会运用三角形内角和定理及推论；会按要求解三角形的边、角的计算问题； 会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计.
3.较高要求：能依图形条件分解与拼接简单图形.
七、总的教学建议：
加强与实际的联系，从实践中来到实践中去.
三角形是最常见的几何图形之一，在生产生活中有广泛的应用．学生可以通过举出三角形的实际例子认识和感受三角形，形成三角形的概念．多边形概念的引入，也可类似处理．
三角形有很多重要的性质，如稳定性，三角形的内角和等于180o．学生可以通过观察、实验体会这些性质，明白在工程建筑、机械制造中经常采用三角形结构的道理，并解决与求角有关的实际问题．
镶嵌可以从用地砖铺地引入，进而探究一些多边形能否镶嵌成平面图案，运用通过探究得出的结论又可以进行简单的镶嵌设计，应关注上述从实践到理论，再从理论到实践的全过程，搞好每个环节的教学．
2．加强与已学内容的联系，但要学会用新的知识解决问题．
学生在前两个学段已学过三角形的一些知识，对三角形的许多重要性质有所了解，在第三学段又学过线段、角以及相交线、平行线等知识，初步了解了一些简单几何和平面图形及其基本特征，会进行简单的说理．
上述内容是学习本章的基础：三角形的高、中线、角平分线分别与已学过的垂线、线段的中点、角的平分线有关；用拼图的方法认识三角形的内角和等于180o，可以启发学生得出证明这个结论正确的方法，关键是拼接结果中蕴含了添加辅助线的方法，而证明的过程中要用到平行线的性质与平角的定义．关注本章内容与已学内容的联系，有助于学生掌握本章所学内容．另一方面，通过本章内容的学习，学生又可以进一步丰富对图形的认识和感受，同时复习巩固已学的内容．
3．加强推理能力的培养．
在本章中加强推理能力的培养，一方面可以提高学生已有的水平，另一方面又可以为学生正式学习证明作准备，为达到上述要求，应关注以下内容的教学：
（1）由“两点之间，线段最短”说明“三角形两边的和大于第三边”；
（2）由平行线的性质与平角的定义证明“三角形的内角和等于180o”；
（3）由“三角形的内角和等于180o”得出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”；
（4）由“三角形的内角和等于180o”得出多边形内角和公式；
（5）由多边形内角和公式得出多边形外角和公式；
（6）由多边形内角和公式说明任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面．
上述内容包含了推理，要与学生共同分析得出结论的思路．可多提出一些问题，并留给学生足够的思考时间，让学生经历得出结论的过程．
4．把握好教学要求．
与三角形有关的一些概念在本章中只要求达到了解（认识）的程度就可以了，进一步的要求可通过后续学习达到。如在本章中知道什么是三角形的角平分线就可以了，如学生在画角平分线时发现三条角平分线交于一点，就直接肯定这个结论，对这个结论的证明在后面学习“全等三角形”一章时再介绍．同样，三条中线交于一点的结论也可直接点明，以后还会知道这个点是三角形的重心．
在本章中，三角形的稳定性是通过实验得出的，待以后学过“三边对应相等的两个三角形全等”，可进一步明白其中的道理．证明三角形的内角和等于180o有一定的难度，要引导学生认真分析拼接所得图形，并在如何添加辅助线上加强指导，以使学生能顺利理解和掌握证明方法．要明确本章是初步介绍证明阶段，对推理的要求应循序渐进．
八、几点变化：
1．会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180o，要引导学生认真分析拼接所得图形，并在如何添加辅助线上加强指导，原来为“说明”，“不要在辅助线上花太多的精力，以免影响对内容本身的理解与掌握”．
2．本章是初步介绍证明阶段，原为“正式介绍证明的准备阶段”．
3．课题学习 镶嵌 1课时 ，原为“2课时”．
4．基本要求：理解三角形内角和、外角和及三边关系，略高要求：会运用三角形内角和定理及推论；原为“基本要求：经历探索三角形内角和、外角和、三边关系的过程；会用三角形外角性质及三边关系” .
5．略高要求：会按要求解三角形的边、角的计算问题；原为“会按要求解较复杂的三角形的边、角的计算问题” .
6．较高要求：能依图形条件分解与拼接简单图形，原为“能依条件分解与拼接图形”.
九、具体的教学建议

●7.1.1三角形的边
1．在学生小学学习的基础上，准确定义三角形、三角形的边、顶点、内角等概念：
(1) 由不在同一条直线上的三条线段 首尾顺次相接所组
成的图形叫做三角形.
说明：三个条件缺一不可。
(2) 三角形的边、顶点、内角(简称三角形的角)
(3) 表示
①△ABC
②顶点A所对的边a = ∠A所对的边a = ∠A的对边(让学生说∠B、∠C的对边)
∠A、∠B、∠C的邻边
2．三角形的分类
说明：等边三角形是特殊的等腰三角形。
3．三边关系
(1) 问：是任意的三条线段，都可以实现首尾顺次相接组成三角形吗？
(2) 用两点之间线段最短证明三边关系定理
定理：三角形任意两边之和大于第三边.
表示：，，
推论：三角形任意两边之差小于第三边.
表示：,,,,
,
说明：如何真正来使用这条定理呢？(用书P65练习2让学生体会总结)
①两条较短边之和大于最长边；
②三角形任意一边大于另两边之差(的绝对值)，小于另两边之和。
③等腰三角形两腰之和大于第三边；
④等边一定可以.

●7.1.2三角形的高、中线与角平分线
这是三角形中重要的三种线段，教学时始终应坚持对文、图、式的把握.
1．高，小学时已有接触，结合所学的垂线的画法，首先让学生画出各类三角形的三条高，从而去理解概念的合理性和严密性。
(1) 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作的垂线段，叫做这条边上的高.
(2) 图：应注意标垂足和直角符号，是线段.
(3) 表示：如，AD是△ABC的边BC上的高.
(4) 说明：①不同的三角形，三条高的位置不同；
②三条高所在的直线交于一点(垂心)，位置各不相同.
③可出一些变式题，让学生思考.
2．三角形的中线
(1) 定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中
点的线段叫做这条边上的中线.
(2) 图：中点 中线
(3) 表示：AD是△ABC的中线 = AD是△ABC中BC边上的中线 = D是边BC的中点
(4) 说明：①三角形的中线一定在形内；
②三条中线共点(重心)，一定在形内.(可让学生做模型体会重心)
③三角形的中线可以将三角形分成两个面积相等的三角形，同时在将来的学习中，中线也有很重要的用处.(如倍长中线)
3．三角形的角平分线
(1) 定义：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，
连结这个角的顶点与交点的线段，叫做三角
形这个内角的平分线.
(2) 图：射线 线段
(3) 表示：AD是△ABC的角平分线
(4) 说明：①三角形的角平分线一定在形内；
②三条角平分线共点(内心)，一定在形内.
③三角形的角平分线(线段) ≠ 角的平分线(射线)
知识点对比
名称
性质或定义
图例
符号表示
与以前链接
三角形的边
三角形两边之和大于第三边
a＋b＞c
b＋c＞a
c＋a＞b
两点之间，线段最短
三角形的高
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得的线段AD
AD⊥BC
或∠ADB＝
∠ADC＝90o
垂线
三角形的中线
连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得的线段AD
BD＝DC＝BC
或：BC＝2BD＝2DC
线段的中点
三角形的角平分线
画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得的线段AD
∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD
或：∠BAD＝∠CAD＝∠BAC
角的平分线
例题选讲：
例1．如图1，图中共有多少个三角形？8
例2．判断下列三条线段能否构成三角形.
(1) 3k，4k，5k (k>0) 能
(2) m+1，2m，m+1 (m>0) 能
(3) a，b，a+b+1 (a>0，b>0) 不能
例3．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12和15的两部分，求三角形各边的长。（8，8，11或10，10，7）
例4．（1）已知三角形的两边分别为5cm和6cm，求第三边c的取值范围及三角形周长的取值范围；（1（2）已知三角形的三边分别为14，4 x和3 x，求x的取值范围；（2（3）已知三角形的三边分别为a，a－1和a＋1，求a的取值范围。（a>2）
例5 (1) 已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于6cm，求它的周长.（20 cm或22 cm）
(2) 一个等腰三角形的周长为30cm，一边长为6cm，求其它两边的长.（11 cm，11 cm）
例6 已知：如图2，△ABC中，D是AB上除顶点外的一点.
求证：AB+AC>DB+DC.
例7 已知：如图3，点P为△ABC内任一点.求证：PA+PB+PC>(AB+BC+AC).
例8 已知：如图4，D、E是△ABC内的两点.求证：AB+AC>BD+DE+EC.(提示：延长BD、CE，交于F，转化为例10)
例9 已知：如图5，在△ABC中，AB=AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为2cm的两个三角形，求△ABC各边的长.(6cm,6cm,4cm或cm, cm,cm)
例10．如图6，在小河的同侧有A，B，C三条村庄，图中的线段表示道路，某邮递员从A村送信到B村，总是走经过C村的道路，不走经过D村的道路，这是为什么呢？请你用所学的数学知识加以证明。（提示：AD+DE>AC+CE，EB+CE>BC，所以AD+DE +EB+CE >AC+CE +BC， 所以AD+DB> AC+BC）
●7.1.3 三角形的稳定性
1．组织学生通过实验去感受三角形的稳定性和四边形的不稳定性，发现收集生活中的应用实例；
2．如何使不稳定的多边形变得稳定；(P70第10题)（多边形的三角形拆分）
3．可向学生说明，三角形的稳定性是可以严格证明的.(利用全等三角形的“边边边”判定)
●7.2.1 三角形的内角
本节的重点是证明和熟练运用“三角形内角和为180(”.
1．让学生回忆小学所学过的这个定理，引导他们证明.
2．在证明的过程中，一定要充分地向学生展示分析的思路，并体会各种证法异同点.
3．可让学生利用内角和定理证明“直角三角形的两个锐角互余”. (P73例1有多种证法，可参考教参，引导学生积极思考.)
●7.2.2 三角形的外角
1．三角形的外角的实质就是内角的邻补角.
外角的特征：(1) 顶点是三角形的一个顶点；(2) 一条边就是三角形的边；(3) 另一边是三角形某边的延长线.
2．应该有一些基本的判断题和问题，帮助学生理解外角的概念，如：
(1) 判断下列图中∠1、∠2是三角形的外角吗？

(2) 问：三角形每个顶点处有几个外角，它们之间有什么关系？(向学生说明我们考虑外角的原则)
(3) 三角形的外角中至少有多少个钝角？若一个三角形的三个外角都是钝角，则这个三角形是什么三角形？
3．由邻补角的定义和三角形内角和定理推导外角的性质定理.
(1) 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
(2) 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
(3) 三角形的外角和为360(.(可利用上面外角的性质(1)，以及内角和定理证明；也可以用邻补角的定义，以及内角和定理证明)
知识点对比：
项目
主题
定义
特征及图例
有关结论
相关链接
三角形的内角
相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角
内角的特征：(1) 顶点是三角形的一个顶点；(2) 两条边就是三角形的边；
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180o.
平行线的性质
直角三角形的两个锐角互余.
三角形的外角
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角
外角的特征：(1) 顶点是三角形的一个顶点；(2) 一条边就是三角形的边；(3) 另一边是三角形某边的延长线.
三角形的外角的性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角
(3) 三角形的外角和为360(.
三角形的外角的实质就是内角的邻补角.
例题选讲：
例11．下列四个图中能说明∠1>∠2的图是( ). C

A B C D
例12．已知：如图7，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，试说明：∠P=90o.




例13．如图8，在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50o，求∠BPC的度数。 （130o）
例14．如图9，D是△ABC内任一点，试说明：∠ADB=∠1+∠2+∠C.
例15．如图10，若P为∠B、∠C平分线的交点，求∠BPC∠A的值。（90o）
P91 10题
例16．如右图11，△ABC的两条外角平分线交于点D,则下列等式成立的是（ ）C
(A) ∠A+∠D=90o (B) ∣∠A-∠D∣=90o
(C) ∠A+∠D=90o (D) ∣∠A-∠D∣=90o
例17、如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，试探求∠D与∠A之间的大小关系. ∠D=∠A
例18． 已知：如图12，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE相交于点F.
求：∠C+∠1+∠2+∠3. （180o）
例19． 已知：如图13，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
∠A与∠1+∠2之间有什么关系，请猜想并证明. （2∠A=∠1+∠2）
例20．把一副三角板按如图14方式放置，则两条斜边所形成的钝角_______度．（165o）
例21．某零件的形状如图15所示，图纸上要求∠A=90o，∠B=32o，∠C=21o，当检验员量得∠BDC=145o就断定这个零件不合格。请你解释一下，这是为什么？（需∠BDC=143o）
例22．已知：如图16，△ABC中，∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，求∠A. （36o）
例23．如图17，在△ABC中，AE⊥BC于E，AD为∠BAC的平分线，∠B=50o，
∠C=70o，求∠DAE的度数。 （10o） P91 8题
●7.3.1 多边形
1．本节的教学，要以三角形为基础，可以仿照三角形建立多边形的有关概念，如多边形、多边形的边、内角、外角、内角和、外角和等都可同三角形类比，让学生理解这些概念。
2．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.如果这个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.（n≥3，且n为整数）
说明：
(1) 为什么多边形的概念中要提到“在平面内”，而三角形却不必强调；
(2) 三角形是最简单的多边形，因此很多有关多边形的问题都应转化为三角形来研究，同时它也一般不叫做“三边形”.
3．介绍如何辨别凹凸多边形，并强调我们研究的类型.
4．对角线是多边形(n>3)所特有的概念，它的重要之处是将多边形的问题转化为三角形的问题来解决，此处可以引申讲解一些问题，如：
(1) 从n边形的任一顶点，可以引多少条对角线，它们将多边形分成了几个三角形；
(2) n边形一共有多少条对角线？(，数的方法一定要抓住概念中“不相邻的两个顶点”来考虑)
5．正多边形的概念一般说来必须同时满足“各边相等”和“各角相等”，只有三角形例外，满足其一即可.
说明：
(1) 只满足“各边相等”的反例：菱形；
(2) 只满足“各角相等”的反例：矩形.

●7.3.2 多边形的内角和
1．通过对多边形内角和公式的探究和推导，让学生充分的体会三角形在研究多边形问题的过程中所发挥的重要作用，在探究的过程中应让学生充分的讨论，发现不同的证法.
说明：可以将各种证法统一起来，即点O在不同的位置.
2．利用内角和以及邻补角的定义，推导外角和公式，引导学生体会变与不变的关系.
例题选讲
例24．一个多边形的内角和是540o，那么这个多边形的对角线的条数是（ ） A
(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2
例25．已知一个多边形的内角和与外角和共2160o，求这个多边形的边数。 （12）
例26．一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005o，求多边形的边数。（13 提示：用2005÷180=11余25，n-2=11，n=13）
例27．若多边形最多有四个钝角，那么此多边形的边数最多是______. （七 提示：从外角考虑，外角和中最多有三个钝角，加上四个锐角，最多有七个外角）
例28．如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570(，求这个没有计算在内的内角的度数. （130o 提示：用2570÷180=14余50，180o-50o =130o）
●7.4 课题学习 镶嵌
1．本节课是引导学生探索并推导平面图形的镶嵌，通过这个过程可以加深学生对多边形内角和的理解.
2．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题。
3．通过学生探究和实验，引导他们总结平面镶嵌的条件是：
(1) 拼接在同一点的各个角的和恰好等于360(；
(2) 相邻的多边形有公共边.
4．主要解决的问题是：
(1) 什么样的正多边形可以实现自镶嵌？
假定有正n边形，则此正n(n ( 3)边形的每一个内角等于，如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360(，因此有=360(，化简得，所以此不定方程有且只有三组正整数解即分别用6个正三角形或4个正方形或3个正六边形可平面镶嵌.
(2) 用全等的任意n边形进行自镶嵌，易证三角形和四边形可以，当n ( 5时，只对于特殊的全等n边形还可能，如右图，是圣地亚哥的一位妇女玛乔里·赖斯于1977年12月找到的。
(3) 可向学生介绍，可以用(1)的办法，设4元不定方程研究用两种正多边形进行镶嵌，可能的结果有以下几种：3个正三角形和2个正方形，或4个正三角形和1个正六边形，或2个正三角形和2个正六边形，或1个正三角形和2个正12边形，或1个正四边形和2个正8边形.
十、中考链接：
1.（07浙江金华）如图，直线，，为垂足．如果，那么的度数是 °． （70）
2.（07四川资阳） 如图1，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于( ) C
A. 90° B. 135°
C. 270° D. 315°
3.（07山东济南）已知一个三角形三个内角度数的比是，则其最大内角的度数为（ ） C
A． B． C． D．
4.（07山东滨州）如图3所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点是方格纸的两个格点（即正方形的顶点），在这个的方格纸中，找出格点，使的面积为1个平方单位的直角三角形的个数是 ． 6
5.（07浙江萧山）三角形的两边长为4cm和7cm，则这个三角形面积的最大值为___________cm2. 14
6.（07江苏无锡）八边形的内角和为 度． 1080
7.（07山东聊城）在下列四组多边形地板砖中，①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正六边形与正方形；④正八边形与正方形．将每组中的两种多边形结合，能密铺地面的是（　　） D
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
8.（07福建龙岩）
答案：
9.（07福建泉州）（8分）已知正n边形的周长为60，边长为a
⑴当n=3时，请直接写出a的值；
⑵把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b。有人分别取n等于3、20、120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等。”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值。
答案：（1）；（2）60.
10．（07辽宁大连旅顺口）如图①，为等边三角形，面积为．分别是三边上的点，且，连结，可得．
（1）用S表示的面积= ，的面积= ；
（2）当分别是等边三边上的点，且时，如图②，求的面积和的面积；
（3）按照上述思路探索下去，当分别是等边三边上的点，且时（为正整数）， 的面积= ，
的面积= ．
答案：(1) ，
（2），
(3) ，

展开更多......

收起↑