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4.1数列的概念
1、数列的概念：
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示。其中第1项也叫做首项。
2、数列的一般形式：
数列的一般形式可以写成：，…，，…，或简记为。其中是数列的第项。
3、要点诠释：
①数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
②定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现。
③与的含义完全不同：表示一个数列，表示数列的第项。
4、函数与数列的关系：
数列是从正整数集（或它的有限子集{1，2，…，}）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为。
①数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上。②数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数。③数列的图象是落在轴右侧的一群孤立的点。④跟不是所有的函数都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式。
5、数列的分类：
有穷数列：项数有限的数列。例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列。
无穷数列：项数无限的数列。例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列。
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。
6、数列的通项公式：
如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式。不是所有数列都能写出其通项公式，一个数列的通项公式有时是不唯一的。
7、递推公式：
像这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了。
8、数列的前项和：
我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，
即。故。
9、数列的前项和公式：
如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式。
10、数列的单调性（拓展）：
若数列中，若，则数列为递增数列；若，则数列为递减数列。
数列单调性判断：①转化为函数，利用函数判断单调性。②作差法、作商法判断大小。
【题型1】根据规律填写数列中的某项
1．已知数列：1，1，2，3，5，8，…，则144是该数列的第（　　）项
A．10 B．11 C．12 D．13
2．已知数列，，，3，，…，则是这个数列的（　　）
A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第25项
3．是数列、、、、 的（　　）
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
4．已知数列1、、2、、4、…，根据该数列的规律，16是该数列的（　　）
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
5．数列的第8项是（　　）
A． B． C． D．
【题型2】观察法求数列通项
1．数列，…，则该数列的第n项为（　　）
A． B． C． D．
2．数列的一个通项公式可以是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知数列{an}为1，﹣4，9，﹣16，25，﹣36，…，则数列{an}的一个通项公式是（　　）
A．（﹣1）n n2 B．（﹣1）n+1 n2 C．（﹣1）n+1 n3 D．（﹣1）n n3
4．数列1，3，7，13，21，…的一个通项公式为an＝（　　）
A．n2﹣n B．n2﹣n﹣1 C．n2﹣n+1 D．n2﹣2n
5．数列的一个通项公式为（　　）
A． B．
C． D．
【题型3】根据数列的通项公式求值
1．数列{an}的通项为an＝7﹣2n（n∈N+），则a3的值为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
2．若数列{an}的通项公式为，则a4＝（　　）
A． B． C． D．
3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2+2n，则下列各数是{an}中的项的是（　　）
A．10 B．18 C．26 D．63
4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2﹣2n，则下列各数中，不是数列{an}中的项的是（　　）
A．0 B．8 C．16 D．24
5．已知数列{an}满足，则下列各数中属于数列{an}中的项的是（　　）
A．3 B．2 C．3 D．4
【题型4】数列的单调性
1．已知数列{an}的通项公式是an，那么这个数列是（　　）
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列
2．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（　　）
A．an＝1﹣n
B．
C．
D．
3．已知数列{an}的通项公式为，且{an}为递增数列，则实数λ的取值范围是（　　）
A．λ＞2 B．λ＜2 C．λ＞1 D．λ＜1
4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2+kn+2，若对于n∈N*，数列{an}为递增数列，则实数k的取值范围为（　　）
A．k≥﹣3 B．k≥﹣2 C．k＞﹣3 D．k＞﹣2
5．已知数列{an}满足an＝2n+kn，若{an}为递增数列，则k的取值范围是（　　）
A．（﹣2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，2）
【题型5】数列的最值
1．已知数列{an}中，an＝n2﹣5n+4，则数列{an}的最小项是（　　）
A．第1项 B．第3项、第4项
C．第4项 D．第2项、第3项
2．记Sn为数列{an}的前n项和，若an＝n（8﹣n）（n∈N+）则（　　）
A．{an}有最大项，{Sn}有最大项
B．{an}有最大项，{Sn}有最小项
C．{an}有最小项，{Sn}有最大项
D．{an}有最小项，{Sn}有最小项
3．在数列{an}中，an＝﹣2n2+29n+3，则此数列最大项的值是（　　）
A．102 B． C． D．108
4．在数列{an}中，，则an的最大值是（　　）
A． B． C． D．
5．数列（　　）
A．既有最大项，又有最小项
B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项
D．既无最大项，又无最小项
【题型6】根据数列的前项和公式求值
1．已知Sn是数列{an}的前n项和．若Sn＝2n，则a2＝　 　．
2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a9的值为（　　）
A．15 B．17 C．49 D．64
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2+1，n∈N*，则a5＝（　　）
A．20 B．17 C．18 D．19
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣2n+1，则a3＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知数列an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，都有Sn＝2n+n2+n﹣1，则a6＝　 　．
【题型7】根据数列的前项和公式求通项公式
1．已知数列{an}的前n项和，那么它的通项公式为an＝　 　．
2．已知数列{an}，Sn是它的前n项和，Sn＝3n2+2n+1，则an＝　 　．
3．已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n﹣2，则an＝　 　．
4．数列{an}的前n项和Sn＝n 2n，则an＝　 　．
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝20n2+3n﹣2n，则an的最大值为 　 　．
【题型8】递推公式
1．数列{an}中a1＝3，an+1＝2an，则a4等于（　　）
A． B．24 C．48 D．54
2．在数列{an}中，，则a5＝（　　）
A．2 B．3 C．﹣1 D．
3．数列{an}满足a1＝1，an（n≥2），则a5的值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap+q＝ap+aq，且a2＝﹣6，那么a10等于（　　）
A．﹣165 B．﹣33 C．﹣30 D．﹣21
5．已知数列{an}的项满足an+1an，而a1＝1，通过计算a2，a3，猜想an等于（　　）
A． B． C． D．
【题型9】数列周期性的应用
1．若数列满足，，，则（ ）
A． B．－2 C．3 D．
2．设数列中，，（且），则（ ）
A．-1 B． C．2 D．
3．已知数列的前项和为，设，，则（ ）
A． B． C． D．1012
4．已知数列中，，则 ．
5．在数列中，，，，则 ．
当堂检测
一．选择题（共9小题）
1．对于数列{an}，“an+1＞|an|（n＝1，2，…）”是“{an}为递增数列”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．数列的一个通项公式是（　　）
A． B．
C． D．
3．数列1，﹣4，9，﹣16，25…的一个通项公式为（　　）
A．an＝n2 B．an＝（﹣1）nn2
C．an＝（﹣1）n+1n2 D．an＝（﹣1）n（n+1）2
4．有穷数列1，23，26，29，…，23n+6的项数是（　　）
A．3n+7 B．3n+6 C．n+3 D．n+2
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a32﹣a22的值为（　　）
A．9 B．16 C．21 D．11
6．数列{an}的通项公式，若该数列的第k项ak满足40＜ak＜70，则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知数列{an}满足an，n为正整数，则该数列的最大值是（　　）
A． B． C． D．
8．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（　　）
A．1，，，，… B．﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，…
C．﹣1，，，，… D．1，，，…，
9．在数列{an}中，an+1＝an+2，且a1＝1，则a4等于（　　）
A．8 B．6 C．9 D．7
二．多选题（共2小题）
（多选）10．下列各选项中，使数列{an}为递增数列的是（　　）
A．
B．
C．a1＝1，an+an+1＝3
D．
（多选）11．数列{an}满足，则（　　）
A．数列{an}的最大项为a6 B．数列{an}的最大项为a5
C．数列{an}的最小项为a5 D．数列{an}的最小项为a4
三．填空题（共4小题）
12．已知数列{an}的前n项和Sn＝3+2n，则数列{an}的通项公式为　 　．
13．数列{an}的前n项和Sn满足Sn，则a6＝　 　．
14．数列{an}满足：，则a2010的值为　 　．
15．若数列{an}的前n项和Sn＝2n+n，则a5＝　 　．
课后作业
一、单选题
1．已知数列满足，若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．数列，则该数列的第n项为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列的通项公式为，则当最小时，（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时，的值等于（ ）
A．10 B．9 C．8 D．4
5．若数列{}的通项公式为则（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列，满足，，则（ ）
A．18 B．36 C．72 D．144
7．已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．4 B．8 C．9 D．12
8．已知数列的前项和. 若，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知数列满足，若，则（ ）
A． B． C． D．2
10．设数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．已知为数列的前n项和，若，且，则（ ）
A． B．是周期数列且周期为4
C． D．
12．已知数列的通项公式为，则（ ）
A．数列为递增数列 B．
C．为最小项 D．为最大项
三、填空题
13．已知数列的前项和为，，，且，则 ．
14．已知数列的前n项和为，若（为非零常数），且，则 ．
15．已知数列为递增数列，，则的取值范围是___________.
四、解答题
16．在数列中，已知，且.
(1)求通项公式.
(2)求证：是递增数列.
4.1 数列的概念
1、数列的概念：
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示。其中第1项也叫做首项。
2、数列的一般形式：
数列的一般形式可以写成：，…，，…，或简记为。其中是数列的第项。
3、要点诠释：
①数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
②定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现。
③与的含义完全不同：表示一个数列，表示数列的第项。
4、函数与数列的关系：
数列是从正整数集（或它的有限子集{1，2，…，}）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为。
①数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上。②数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数。③数列的图象是落在轴右侧的一群孤立的点。④跟不是所有的函数都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式。
5、数列的分类：
有穷数列：项数有限的数列。例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列。
无穷数列：项数无限的数列。例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列。
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。
6、数列的通项公式：
如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式。不是所有数列都能写出其通项公式，一个数列的通项公式有时是不唯一的。
7、递推公式：
像这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了。
8、数列的前项和：
我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，
即。故。
9、数列的前项和公式：
如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式。
10、数列的单调性（拓展）：
若数列中，若，则数列为递增数列；若，则数列为递减数列。
数列单调性判断：①转化为函数，利用函数判断单调性。②作差法、作商法判断大小。
【题型1】根据规律填写数列中的某项
1．已知数列：1，1，2，3，5，8，…，则144是该数列的第（　　）项
A．10 B．11 C．12 D．13
【解答】解：由题意可得数列从第3项起，每一项等于前两项的和，
所以这个数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，
所以144是该数列的第12项．
故选：C．
2．已知数列，，，3，，…，则是这个数列的（　　）
A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第25项
【解答】解：根据题意，数列，，，3，， 的通项公式为an，
若，解可得n＝25，则是这个数列的第25项，
故选：D．
3．是数列、、、、 的（　　）
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
【解答】解：由题意可知，该数列为、、、、、、 ，
故是数列、、、、 的第6项．故选：A．
4．已知数列1、、2、、4、…，根据该数列的规律，16是该数列的（　　）
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
【解答】解：设该数列为{an}，则，，，，，
根据以上规律可额，由可得n＝9．
因此16是该数列的第9项．
故选：C．
5．数列的第8项是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：观察可看为，
分母是2n﹣1，分子为n2，故第8项为．
故选：A．
【题型2】观察法求数列通项
1．数列，…，则该数列的第n项为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：数列，…，则该数列的第n项为．
故选：D．
2．数列的一个通项公式可以是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，数列，
即，，，，……，故该数列的一个通项公式可以为．
故选：D．
3．已知数列{an}为1，﹣4，9，﹣16，25，﹣36，…，则数列{an}的一个通项公式是（　　）
A．（﹣1）n n2 B．（﹣1）n+1 n2 C．（﹣1）n+1 n3 D．（﹣1）n n3
【解答】解：由题意知，数列：1，4，9，16，25， 的通项公式为n2，
所以数列{an}：1，﹣4，9，﹣16，25，﹣36， 的通项公式为（﹣1）n+1 n2．
故选：B．
4．数列1，3，7，13，21，…的一个通项公式为an＝（　　）
A．n2﹣n B．n2﹣n﹣1 C．n2﹣n+1 D．n2﹣2n
【解答】解：根据题意，对于数列1，3，7，13，21，…
有1＝12﹣1+1，3＝22﹣2+1，7＝32﹣3+1，13＝42﹣4+1，21＝42﹣4+1，
归纳可得：an＝n2﹣n+1．
故选：C．
5．数列的一个通项公式为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：奇数项为负，偶项为正，可用（﹣1）n来实现，
而各项分母可看作21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31， ，
各项分子均为1，
∴该数列的通项公式为．
故选：D．
【题型3】根据数列的通项公式求值
1．数列{an}的通项为an＝7﹣2n（n∈N+），则a3的值为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
【解答】解：∵an＝7﹣2n（n∈N+），
∴a3＝7﹣2×3＝1．
故选：A．
2．若数列{an}的通项公式为，则a4＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，若数列{an}的通项公式为，
则a4．
故选：C．
3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2+2n，则下列各数是{an}中的项的是（　　）
A．10 B．18 C．26 D．63
【解答】解：对于A，an＝n2+2n＝10，解得n＝﹣10，n＝﹣1不是正整数，故A错误；
对于B，，解得n＝﹣1，n＝﹣1，均不是正整数，故B错误；
对于C，，解得n＝﹣10，n＝﹣1不是正整数，故C错误，
对于D，，解得n＝﹣9或n＝7，故数列{an}的第7项为63．
故选：D．
4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2﹣2n，则下列各数中，不是数列{an}中的项的是（　　）
A．0 B．8 C．16 D．24
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若n2﹣2n＝0，解可得n＝2或0（舍），0是数列{an}中的项，符合题意；
对于B，若n2﹣2n＝8，解可得n＝4或﹣2（舍），8是数列{an}中的项，符合题意；
对于C，若n2﹣2n＝16，无正整数解，16不是数列{an}中的项，不符合题意；
对于D，若n2﹣2n＝24，解可得n＝6或﹣4（舍），24是数列{an}中的项，符合题意；
故选：C．
5．已知数列{an}满足，则下列各数中属于数列{an}中的项的是（　　）
A．3 B．2 C．3 D．4
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若3，解可得n，无整数解，故3不是数列{an}中的项，
对于B，若2，解可得n，无整数解，故2不是数列{an}中的项，
对于C，若3，解可得n，无整数解，故3不是数列{an}中的项，
对于D，若4，解可得n＝5，故5是数列{an}中第5项．
故选：D．
【题型4】数列的单调性
1．已知数列{an}的通项公式是an，那么这个数列是（　　）
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列
【解答】解：an+1﹣an0，∴an+1＞an．
an＞0．数列是递增数列．故选：A．
2．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（　　）
A．an＝1﹣n
B．
C．
D．
【解答】解：对于A，B选项对应数列是递减数列；
对于C选项，∵an+1﹣an＝4n﹣3＞0，∴数列{an}是递增数列；
对于D选项，∵a2＞a3，∴数列{an}不是递增数列．
故选：C．
3．已知数列{an}的通项公式为，且{an}为递增数列，则实数λ的取值范围是（　　）
A．λ＞2 B．λ＜2 C．λ＞1 D．λ＜1
【解答】解：∵数列{an}的通项公式为，数列{an}是递增数列，
∴an+1﹣an，n∈N*恒成立，
即λ＜n2+n，n∈N*恒成立，而n2+n，n∈N*随n的增大而增大，
即当n＝1时，n2+n，n∈N*取得最小值2，则λ＜2，
所以实数λ 的取值范围是（﹣∞，2）．
故选：B．
4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2+kn+2，若对于n∈N*，数列{an}为递增数列，则实数k的取值范围为（　　）
A．k≥﹣3 B．k≥﹣2 C．k＞﹣3 D．k＞﹣2
【解答】解：因为数列{an}为递增数列，
所以an+1＞an，即（n+1）2+k（n+1）+2＞n2+kn+2，整理得：k＞﹣（2n+1），
因为当n∈N*时，f（n）＝﹣（2n+1）单调递减，
f（n）max＝f（1）＝﹣（2×1+1）＝﹣3，所以k＞﹣3．
故选：C．
5．已知数列{an}满足an＝2n+kn，若{an}为递增数列，则k的取值范围是（　　）
A．（﹣2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，2）
【解答】解：若{an}为递增数列，则an+1﹣an＞0，
则有2n+1+k（n+1）﹣（2n+kn）＝2n+1﹣2n+k＝2n+k＞0，对于n∈N+恒成立．
∴k＞﹣2n，对于n∈N+恒成立，∴k＞﹣2．
故选：A．
【题型5】数列的最值
1．已知数列{an}中，an＝n2﹣5n+4，则数列{an}的最小项是（　　）
A．第1项 B．第3项、第4项
C．第4项 D．第2项、第3项
【解答】解：根据题意，数列{an}中，an＝n2﹣5n+4，则an+1﹣an＝（n+1）2﹣5（n+1）+4﹣n2+5n﹣4＝2n﹣4，
当n＜2时，有an+1﹣an≤0，则有a1＞a2，
当n＝2时，有an+1﹣an＝0，则有a2＝a3，
当n＞2时，有an+1﹣an＞0，则有a3＜a4＜……，
故数列{an}的最小项是第2项、第3项．
故选：D．
2．记Sn为数列{an}的前n项和，若an＝n（8﹣n）（n∈N+）则（　　）
A．{an}有最大项，{Sn}有最大项
B．{an}有最大项，{Sn}有最小项
C．{an}有最小项，{Sn}有最大项
D．{an}有最小项，{Sn}有最小项
【解答】解：对于二次函数y＝﹣x2+8x，其图象开口向下，
对称轴为直线x＝4，
即当x＝4时，y＝﹣x2+8x取得最大值，
对于{an}，当n＝4时，an最大，且当1≤n＜8时，an＞0，
当n＞8时，an＜0，当n＝7或8时，Sn最大，
∴{an}有最大项，{Sn}有最大项．
故选：A．
3．在数列{an}中，an＝﹣2n2+29n+3，则此数列最大项的值是（　　）
A．102 B． C． D．108
【解答】解：an＝﹣2n2+29n+3对应的抛物线开口向下，对称轴为n7，
∵n是整数，
∴当n＝7时，数列取得最大值，此时最大项的值为a7＝﹣2×72+29×7+3＝108，
故选：D．
4．在数列{an}中，，则an的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得．
根据对勾函数与复合函数的单调性，在上递增，在上递减，
所以在{an}中，a1＜a2＜a3，a4＞a5＞a6＞ ．
当n＝3时，，；
当n＝4时，．；
因为，所以，
所以an的最大值是．
故选：D．
5．数列（　　）
A．既有最大项，又有最小项
B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项
D．既无最大项，又无最小项
【解答】解：∵210＝1024，211＝2048，
∴根据指数函数的单调性知，{}在1≤n≤10时为减数列且为负，在n≥11时为减数列且为正，
∴数列{}的最小项为第10项，最大项为11项．
故选：A．
【题型6】根据数列的前项和公式求值
1．已知Sn是数列{an}的前n项和．若Sn＝2n，则a2＝　2　．
【解答】解：∵Sn＝2n，∴a1＝S1＝2，a1+a2＝S2＝4，∴a2＝2，
2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a9的值为（　　）
A．15 B．17 C．49 D．64
【解答】解：数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a9＝S9﹣S8＝81﹣64＝17．
故选：B．
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2+1，n∈N*，则a5＝（　　）
A．20 B．17 C．18 D．19
【解答】解：∵数列{an}的前n项和Sn＝2n2+1，n∈N*，
则a5＝S5﹣S4＝2×52+1﹣（2×42+1）＝18．
故选：C．
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣2n+1，则a3＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：因为数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣2n+1，
所以a3＝S3﹣S2＝（9﹣6+1）﹣（4﹣4+1）＝3．
故选：B．
5．已知数列an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，都有Sn＝2n+n2+n﹣1，则a6＝　44　．
【解答】解：n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+n2+n﹣1﹣[2n﹣1+（n﹣1）2+n﹣2]＝2n﹣1+2n，
∴a6＝25+2×6＝44．
【题型7】根据数列的前项和公式求通项公式
1．已知数列{an}的前n项和，那么它的通项公式为an＝　2n﹣3　．
【解答】解：∵数列{an}的前n项和，∴n＝1时，a1＝S1＝﹣1．
n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣2n﹣[（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]＝2n﹣3．n＝1时也成立．
∴an＝2n﹣3．
2．已知数列{an}，Sn是它的前n项和，Sn＝3n2+2n+1，则an＝　　．
【解答】解：数列{an}，Sn是它的前n项和，Sn＝3n2+2n+1，∴a1＝S1＝3+2+1＝6．
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝3n2+2n+1﹣[3（n﹣1）2+2（n﹣1）+1]＝6n﹣1，
综上，an，
3．已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n﹣2，则an＝　　．
【解答】解：当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝3n﹣2﹣3n﹣1+2＝2 3n﹣1，
当n＝1时，a1＝31﹣2＝1≠2＝2 30，即n＝1时，a1＝1不符合n≥2时的关系式an＝2 3n﹣1，
∴an．
4．数列{an}的前n项和Sn＝n 2n，则an＝　2n﹣1×（n+1）　．
【解答】解：∵Sn＝n 2n，
∴n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n 2n﹣（n﹣1） 2n﹣1＝2n﹣1×（n+1）．
n＝1时，a1＝S1＝2．上式也成立．
∴an＝2n﹣1×（n+1）．
故答案为：2n﹣1×（n+1）．
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝20n2+3n﹣2n，则an的最大值为 　199　．
【解答】解：Sn＝20n2+3n﹣2n，
当n＝1时，a1＝S1＝20+3﹣2＝21，
当n≥2时，Sn﹣1＝20（n﹣1）2+3（n﹣1）﹣2n﹣1，
两式相减可得an＝20（2n﹣1）+3﹣2n﹣1＝40n﹣2n﹣1﹣17，
当n＝1时，a1＝22，∴an，
当n≥2时，则an+1﹣an＝40（n+1）﹣2n﹣17﹣（40n﹣2n﹣1﹣17）＝40﹣2n﹣1，
∴a8﹣a7＜0，a7﹣a6＞0，
∴当n＝7时，an最大，a7＝40×7﹣26﹣17＝199，
当n＝1时，a1＝21不是{an}中的最大值．
故答案为：199．
【题型8】递推公式
1．数列{an}中a1＝3，an+1＝2an，则a4等于（　　）
A． B．24 C．48 D．54
【解答】解：因为an+1＝2an，所以数列{an}是等比数列，且公比为2．
所以，
故选：B．
2．在数列{an}中，，则a5＝（　　）
A．2 B．3 C．﹣1 D．
【解答】解：，则a2＝1﹣2＝﹣1，
a3＝1+1＝2，a4＝1，a5＝1﹣2＝﹣1，
故选：C．
3．数列{an}满足a1＝1，an（n≥2），则a5的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据条件，，，．
故选：C．
4．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap+q＝ap+aq，且a2＝﹣6，那么a10等于（　　）
A．﹣165 B．﹣33 C．﹣30 D．﹣21
【解答】解：∵a4＝a2+a2＝﹣12，
∴a8＝a4+a4＝﹣24，
∴a10＝a8+a2＝﹣30，
故选：C．
5．已知数列{an}的项满足an+1an，而a1＝1，通过计算a2，a3，猜想an等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：数列{an}的项满足an+1an，而a1＝1，
∴a2．
a3
猜想an．
故选：B．
【题型9】数列周期性的应用
1．若数列满足，，，则（ ）
A． B．－2 C．3 D．
【答案】A
【分析】代入计算出数列的前几项，归纳出周期后可得结论．
【详解】，则，，，，
所以数列是周期数列，且周期是4，因此，
故选：A．
2．设数列中，，（且），则（ ）
A．-1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】通过递推式求出数列的周期，然后利用周期性求值即可.
【详解】因为，（且），所以，，，，，，
所以数列是周期为3数列，所以.
故选：C.
3．已知数列的前项和为，设，，则（ ）
A． B． C． D．1012
【答案】C
【分析】由已知推得，进而得出的前几项，观察可得的周期，根据数列的周期性，求和即可得出答案.
【详解】易知，由得.
又，
所以，，，
故数列是以3为最小正周期的周期数列，
所以.
故选：C.
4．已知数列中，，则 ．
【答案】
【分析】根据题意分析可知数列的周期为6，结合周期性运算求解.
【详解】因为，则，
两式相加得，则，
所以数列的周期为6，
所以.
故答案为：.
5．在数列中，，，，则 ．
【答案】
【分析】列举出前几项，观察出其规律，即可.
【详解】因为，，，所以，
则，，则，，则，，则，
由此可得数列的奇数项均为1，偶数项依次为3，，3，，，
整个数列各项为：，
四个一组，以4为周期，
则
所以．
故答案为：
当堂检测
一．选择题（共9小题）
1．对于数列{an}，“an+1＞|an|（n＝1，2，…）”是“{an}为递增数列”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由an+1＞|an|（n＝1，2，）知{an}所有项均为正项，
且a1＜a2＜…＜an＜an+1，即{an}为递增数列
反之，{an}为递增数列，不一定有an+1＞|an|（n＝1，2，），如﹣2，﹣1，0，1，2，
故选：B．
2．数列的一个通项公式是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：数列的一个通项公式是，，，，…，
即为（1），（），（），（），…，∴an，
故选：C．
3．数列1，﹣4，9，﹣16，25…的一个通项公式为（　　）
A．an＝n2 B．an＝（﹣1）nn2
C．an＝（﹣1）n+1n2 D．an＝（﹣1）n（n+1）2
【解答】解：经观察分析数列的一个通项公式为：an＝（﹣1）n+1n2
故选：C．
4．有穷数列1，23，26，29，…，23n+6的项数是（　　）
A．3n+7 B．3n+6 C．n+3 D．n+2
【解答】解：由有穷数列1，23，26，29，…，23n+6，
可得指数为：0，3，6，9，…，3n+6．
设3n+6为此数列的第k项，则3n+6＝0+（k﹣1）×3，
解得k＝n+3．
故选：C．
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a32﹣a22的值为（　　）
A．9 B．16 C．21 D．11
【解答】解：∵Sn＝n2，
∴a2＝S2﹣S1＝3，a3＝S3﹣S2＝9﹣4＝5，
∴a32﹣a22＝25﹣9＝16；
故选：B．
6．数列{an}的通项公式，若该数列的第k项ak满足40＜ak＜70，则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：根据题意，{an}的通项公式，
若该数列的第k项ak满足40＜ak＜70，则有40＜2n+2n＜70，
又由n∈Z且n≥1，则n＝5，
故选：C．
7．已知数列{an}满足an，n为正整数，则该数列的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由an，得，
又an，n∈N*，又因为y在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
所以{an}的最大值为a2＝a3，
故选：B．
8．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（　　）
A．1，，，，… B．﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，…
C．﹣1，，，，… D．1，，，…，
【解答】解：A、此数列1，，，，…是递减数列，则A不符合题意；
B、此数列﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，…是递减数列，则B不符合题意；
C、此数列﹣1，，，，…是递增数列又是无穷数列，则C符合题意；
D、此数列1，，，…，，是有穷数列，则D不符合题意；
故选：C．
9．在数列{an}中，an+1＝an+2，且a1＝1，则a4等于（　　）
A．8 B．6 C．9 D．7
【解答】解：因为an+1＝an+2，所以an+1﹣an＝2，........故选：D．
二．多选题（共2小题）
（多选）10．下列各选项中，使数列{an}为递增数列的是（　　）
A．
B．
C．a1＝1，an+an+1＝3
D．
【解答】解：对选项A：，是递增数列，正确；
对选项B：，是递增数列，正确；
对选项C：a1＝1，an+an+1＝3，则a2＝2，a3＝1，不是递增数列，错误；
对选项D：，是递增数列，正确．
故选：ABD．
（多选）11．数列{an}满足，则（　　）
A．数列{an}的最大项为a6 B．数列{an}的最大项为a5
C．数列{an}的最小项为a5 D．数列{an}的最小项为a4
【解答】解：根据题意，因为，
则，
由an+1﹣an＞0，得到9＜2n＜18，且易知，n≤4时，an＜0，当n≥5时，an＞0，
所以，
所以数列{an}的最大项为a5，最小项为a4，
故选：BD．
三．填空题（共4小题）
12．已知数列{an}的前n项和Sn＝3+2n，则数列{an}的通项公式为　　．
【解答】解：由Sn＝3+2n，当n＝1时，a1＝S1＝5．
当n≥2时，．所以．
13．数列{an}的前n项和Sn满足Sn，则a6＝　　．
【解答】解：S6﹣S5，所以；
14．数列{an}满足：，则a2010的值为　﹣3　．
【解答】解：∵，
∴当n＝1时，a23，
当n＝2时，a3，
依此类推，a4，a5＝2，
∴数列{an}为周期数列，周期T＝4，
∴a2010＝a2＝﹣3．
15．若数列{an}的前n项和Sn＝2n+n，则a5＝　17　．
【解答】解：数列{an}的前n项和，则a5＝S5﹣S4＝（25+5）﹣（24+4）＝17，
故答案为：17．
课后作业
一、单选题
1．已知数列满足，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】，则，，，……，
故为周期为3的数列，因为，所以.
故选：D
2．数列，则该数列的第n项为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设该数列为，则
以此类推可得，
故选：D
3．已知数列的通项公式为，则当最小时，（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【详解】数列中，，则，而，
于是当时，，即，当时，，即，
因此当时，数列单调递减，当时，数列单调递增，
所以当且仅当时，最小.
故选：C
4．已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时，的值等于（ ）
A．10 B．9 C．8 D．4
【详解】令，解得或，
当时，，故当时递增，且
当时，，当时递减，
当时，，当时递增，
且 故 所以取得最小值时的值为8.
故选：C.
5．若数列{}的通项公式为则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由通项公式取即可.
【详解】因为
所以
故选：C.
6．已知数列，满足，，则（ ）
A．18 B．36 C．72 D．144
【答案】A
【分析】利用累加法计算即可.
【详解】由题意可知：，
故选：A
7．已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．4 B．8 C．9 D．12
【答案】C
【分析】根据与的关系进行求解即可.
【详解】.
故选：C
8．已知数列的前项和. 若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得，然后根据求得的值.
【详解】依题意，
当时，；
当时，，，
两式相减得，也符合上式，
所以，
，由解得，所以.
故选：B
9．已知数列满足，若，则（ ）
A． B． C． D．2
【详解】由得：
，
所以数列的周期为3，．
故选：D
10．设数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】∵，,
∴，解得，
∴，解得，
∴，解得，
故选：.
二、多选题
11．已知为数列的前n项和，若，且，则（ ）
A． B．是周期数列且周期为4
C． D．
【详解】A选项，当时，，即，解得，
当时，，即，解得，A错误；
B选项，当时，，即，解得，
当时，，即，解得，循环，
故是周期数列且周期为4，B正确；
C选项，，C正确；
D选项，由于，故，D正确.
故选：BCD
12．已知数列的通项公式为，则（ ）
A．数列为递增数列 B．
C．为最小项 D．为最大项
【答案】CD
【分析】根据数列的通项公式，利用分离常数法得出，结合及函数的性质即可判断A、C、D；求得即可判断B．
【详解】，
当()时，，且单调递减；当()时，，且单调递减，
则为最小项，为最大项，故C、D正确，A错误；
，，则，故B错误，
故选：CD．
三、填空题
13．已知数列的前项和为，，，且，则 ．
【答案】
【分析】根据递推公式求出数列的前几项，从而可得出数列的一个周期性，再根据数列的周期性即可得出答案.
【详解】由题意，，，
，，，
所以数列是周期数列，周期为6，
所以．
14．已知数列的前n项和为，若（为非零常数），且，则 ．
【答案】12
【分析】由所给的递推关系，令计算出，代入即可得出结果.
【详解】由，，
当时，，即，得，
当时，，即，得，
当时，，即，得，
因为，即，又，解得.
15．已知数列为递增数列，，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】数列是单调递增数列，可得，转化为最值问题，化简解出即可.
【详解】∵数列是单调递增数列，
∴，
，
化为恒成立，
因为且，则，
.
故答案为：.
四、解答题
16．在数列中，已知，且.
(1)求通项公式.
(2)求证：是递增数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据数列的通项将分别代入可计算出，可求得通项公式；（2）根据递增数列的定义，由即可得出证明.
【详解】（1）由，且可得
，解得；
因此. 所以，数列的通项公式为
（2）根据递增数列的定义可知，
，
即，
故是递增数列.

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