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2023年秋学期八年级数学学案
课题： 勾股定理的简单应用 班级： 姓名： 学号：
〖自学自练展素养〗
1．能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题；
2．构造直角三角形及方程，正确解出此类方程；
3．运用勾股定理解释生活中的实际问题。
〖研学随练展收获〗
一 情境创设
（1）什么叫勾股定理？
（2）什么是勾股定理的逆定理？ .
2. 我们已学过了哪几种判断直角三角形的方法？
3、如图 ，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”.他们仅仅少走了多少步路（假设2步为1米），却踩伤了花草？
二 探索活动
活动1 例1：九章算术中的“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何 ”
意思是：有一根竹子原高1丈(1丈=10尺), 中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺,试问折断处离地面多高
分析：竹子在A处折断，竹梢点B着地，△ABC是直角三角形。
练习：1.如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米．
“引葭赴岸”是《九章算术》中另一道题: “今有池方一丈，葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何 ”题意是:有一个边长为10尺的正方形池塘,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少
活动2 例2 :如图，在△ABC中， AB＝26，BC＝20,BC边上的
中线AD＝24，求AC。
变式训练：如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝15，AD＝12，
AC＝13，则△ABC的周长为 ,面积为 ．
拓展提升：在△ABC中，AD⊥BC，AB＝15，AD＝12，AC＝13，求△ABC的周长为 ,面积为 ．
【检学综练展成效】
1．如图圆柱形杯子的高是8cm，底面半径是3cm，如果在杯子中插入一根筷子，筷子最长能插入杯子内是 cm.
★2.如图，盒内长，宽，高分别是4cm，3cm和12cm，盒内可放的棍子最长有 cm.
轮船在大海中航行，它从点A出发，向正北方向航行20 km，遇到冰山后，又折向正东方向航行15 km，则此时轮船距点A的距离为_______km．
4. 如图，分别以直角三角形ABC（∠ACB=90°）的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积S1、S2、S3之间的关系为：
第1题图 第2题图 第4题图
5.一架长为25m的梯子AB斜靠在墙上.
（1）若梯子的顶端距地面的垂直距离为24m,,则梯子底端B距墙角C多远
⑵在⑴中如果梯子的顶端下滑4m,那么它的底端是否也滑动4m
【校本作业】
一、必做题
如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度
是 米.
★2. 已知两线段分别为3 cm，4 cm，则当第三条线段长的平方为 时，这三条线段可以构成直角三角形．
3.如图，要为一段高5m，长13 m的楼梯铺上红地毯．则红地毯至少需要_______米.
4.如图，一个宽1m，高2.4 m的大门，需在相对角的顶点间加一块加固木板．则木板长_______．
★5．如图，E为正方形ABCD的边AB上的一点，AE＝3，BE＝1，P为AC上的动点，则PB＋PE的最小值为_______．
★★6．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的F点处，若AB=8，BC=10，则EC长为 ．
第3题图 第4题图 第5题图 第6题图
7．如图，一棵树CD，在其10m高的点B处有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高？
如图, 计算四边形ABCD的面积．
9．如图，一块砖宽AN＝5 cm，长ND＝10 cm，CD上的点B距地面的高BD＝8 cm地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是多少cm？
10. 已知：如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于点A.
求BD的长.
二、选做题
11. 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距离O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，(1m/s=3.6km/h)
（1）A处是否会受到火车的影响，并写出理由
（2）如果A处受噪音影响，求影响的时间．
三、拓展题
12.如图，圆柱形玻璃杯的高为16cm，底面周长为24cm.一只蚂蚁在杯外壁、离杯上沿5.5cm的点 A 处.蚂蚁发现，在与它相对的杯壁点 B处有一滴蜂蜜，已知点 B 距离杯底5.5cm.
(1)若蜂蜜在杯外壁，蚂蚁至少爬行多远就能吃到蜂蜜
(2)若蜂蜜在杯内壁，蚂蚁要吃到蜂蜜，最少应爬行多远(杯壁厚度不计)

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