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2023-2024学年河南省南阳市六校高二（上）第一次联考数学试卷（10月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D. ，
2.已知点是圆：上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
3.若：，：的图象是两条平行直线，则的值是( )
A. 或 B.
C. D. 的值不存在
4.已知动直线：与圆：则直线被圆所截得的弦长的最小值是( )
A. B. C. D.
5.圆上到直线的距离等于的点有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为
( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
7.已知圆：，圆：，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.曲线与直线有两个交点时，实数取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论正确的是( )
A. 的倾斜角等于 B. 在轴上的截距等于
C. 与直线垂直 D. 上不存在与原点距离等于的点
10.已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于，两点，若恰好将线段三等分，则( )
A. B. C. D.
11.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为焦点的椭圆地球看作是球体，测得近地点距离地面，远地点距离地面，地球半径为，关于这个椭圆有下列说法，正确的有( )
A. 长轴长为 B. 焦距为
C. 短轴长为 D. 离心率
12.已知点在圆上，点，，则( )
A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于
C. 当最小时， D. 当最大时，
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是______ ．
14.已知直线：是圆：的对称轴．过点作圆的一条切线，切点为，则______．
15.椭圆与渐近线为的双曲线有相同的焦点，，为它们的一个公共点，且，则椭圆的离心率 ______ ．
16.已知直线上存在点满足与两点，连线的斜率与之积为，则实数的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知的两条高线所在直线方程为和，顶点．
求：边所在的直线方程；
的面积．
18.本小题分
已知，，是的三个顶点，求证：的三条中线交于一点．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为．
求圆心的轨迹方程；
若点到直线的距离为，求圆的方程．
20.本小题分
已知圆：．
若圆的切线在轴、轴上的截距相等，求切线的方程；
从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使最小的点的坐标．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．
求圆的方程；
若圆与直线交于，两点，且，求的值．
22.本小题分
已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．
Ⅰ求的方程；
Ⅱ是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于，两点，当圆的半径最长是，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由可得，
所以直线的斜率，
设直线的倾斜角为，则，
故直线的倾斜角的取值范围为．
故选：．
由已知先求出直线的斜率范围，然后结合直线的倾斜角与斜率关系即可求解．
本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设，作轴于点，线段的中点，可得，
点是圆：上的动点，
可得，
即．
故选：．
设出的坐标，利用已知条件求解的坐标，代入圆的方程求解即可．
本题考查轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：：，：的图象是两条平行直线，
，
解得．
故选：．
利用直线平行的性质直接求解．
本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的合理运用．
4.【答案】
【解析】解：直线：可化为：
，令，可得，
直线过定点，
又圆：的圆心为，半径，
直线被圆所截得的弦长的最小值是．
故选：．
根据圆的几何性质，即可求解．
本题考查直线与圆的位置关系，属中档题．
5.【答案】
【解析】解：是一个以为圆心，为半径的圆．
圆心到的距离为，即，
，即圆周上到已知直线的距离为，
圆上的点到直线的距离为的点有个．
故选：．
确定圆心和半径，求出圆心到直线的距离，与半径比较，数形结合可知共有三个交点．
本题考查了直线与圆的位置关系，用到点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：点关于轴的对称点为，
故可设反射光线所在直线的方程为：，化为．
反射光线与圆相切，
圆心到直线的距离，
化为，
或．
故选：．
点关于轴的对称点为，可设反射光线所在直线的方程为：，利用直线与圆相切的性质即可得出．
本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：圆，的圆心分别为，，由题意知，，
，
故所求值为的最小值．
又关于轴对称的点为，
所以的最小值为：
．
故选：．
根据两个圆心是定点，转化为求的最小值．
本题考查圆的动点问题，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为曲线所以，
此时表示为圆心，半径的圆．
因为，，
所以表示为圆的上部分．
直线表示过定点的直线，
当直线与圆相切时，有圆心到直线的距离，解得．
当直线经过点时，直线的斜率为．
所以要使直线与曲线有两个不同的公共点，则必有．
即实数的取值范围是．
故选A．
先将曲线进行化简得到一个圆心是的上半圆，直线表示过定点的直线，利用直线与圆的位置关系可以求实数的取值范围．
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用以及直线的斜率和距离公式．利用数形结合思想是解决本题的关键．同时要注意曲线化简之后是个半圆，而不是整圆，这点要注意，防止出错．
9.【答案】
【解析】解：直线的一个方向向量为，
则直线的斜率为，其倾斜角为，故A错误；
经过点，
则直线的方程为，即，
令，解得，故B错误；
直线的斜率为，
，故C正确；
原点到直线：的距离为，
，
，
故上不存在与原点距离等于的点，故D正确．
故选：．
先求出直线的方程，再结合倾斜角、截距的定义，以及直线垂直的性质，点到直线的距离公式，即可求解．
本题主要考查直线垂直的性质，点到直线的距离公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意，的焦点为，一条渐近线方程为，
根据对称性易知为圆的直径且，的半焦距，于是得，
设与在第一象限的交点的坐标为，代入的方程得：，
由对称性知直线被截得的弦长，
由题得：，所以，
由得，
由得，．
故选：．
由双曲线方程确定一条渐近线方程为，根据对称性易知为圆的直径且，利用椭圆与双曲线有公共的焦点，得方程，再结合条件可得，即可得结论．
本题考查了椭圆和双曲线的性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由题意可得，可得，，
所以长轴长，焦距，故A，B正确；
可得短轴长，可得不正确；
离心率，所以D正确；
故选：．
本题考查同样的远日点和近日点的应用，求出，的值，进而求出的值，判断所给命题的真假．
本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，考查转化思想与数形结合思想，属于中档题．
求出过的直线方程，再求出圆心到直线的距离，得到圆上的点到直线的距离范围，即可判断与；画出图形，由图可知，当过点的直线与圆相切时，满足最小或最大，求出圆心与点之间的距离，再由勾股定理求得，即可判断与．
【解答】
解：，，
过点、的直线方程为，即，
圆的圆心坐标为，半径为，
则圆心到直线的距离，
点到直线的距离的范围为，
，，，
点到直线的距离小于，但不一定大于，故A正确，B错误；
如图，当过点的直线与圆相切时，满足最小或最大点位于时最小，位于时最大，
此时，
，故CD正确．
故选ACD．
13.【答案】
【解析】解：联立方程，
解得，．
所求直线过点．
又与直线垂直，
斜率．
所求直线方程为
，
即．
故答案为：．
首先求出两直线和的交点为，再根据两直线垂直的性质可得斜率为，从而得到直线方程．
本题考查直线的一般式方程，两直线垂直的性质等知识，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由圆：得，，
所以为圆心、半径为，
由题意可得，直线：经过圆的圆心，
故有，得，则点，
即，
所以切线的长，
故答案为：．
利用配方法求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线：经过圆的圆心，求得的值，可得点的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得的值．
本题考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设，在双曲线中，渐近线为，即，
故，
不妨设在第一象限，则由椭圆定义可得：
，由双曲线定义可得：，
因为，，
而，
代入可得：，．
故答案为：．
根据椭圆与双曲线共用一对焦点，设双曲线方程，根据椭圆与双曲线的定义可得，，再根据可得勾股定理，结合化简求解即可．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设直线上的点，则需同时满足两个条件：一是符合直线方程，二是保证斜率乘积为．
对于条件一，即，
对于条件二，按照斜率计算公式可得，，
所以即．
所以存在满足条件的，等价于方程组，即有解，
当时，，方程组的解为或，点与点或点重合，不满足题意，
所以，则判别式，
可解得．
设直线上的点，则需同时满足两个条件：一是符合直线方程，二是保证斜率乘积为，结合点在直线上，满足直线方程及直线的斜率公式可求．
本题主要考查了直线的斜率公式，及方程有解条件的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：点不在两条高线和上，
、边所在直线的斜率分别为和，
代入点斜式得：，
、边所在直线方程为，．
由解得，，、
同理可求．
边所在直线的斜率，方程是，化简得，
边所在直线的方程为 ；
由得，，
点到边的高为，
的面积．
【解析】判断点不在两条高线，由高线求出、边所在直线的斜率再把点的坐标代入点斜式方程，化简求出、边所在直线的方程，联立高线方程求出、的坐标，最后求出所求的直线方程．
由的结果求的长和边上的高，代入三角形的面积公式求解．
本题考查了求直线方程和联立直线方程求交点坐标，以及两点之间的距离公式和点到直线的距离公式，也考查了学生的计算能力．
18.【答案】证明：设点，，分别为，，的中点，
易得坐标为．
所以得中线所在直线的方程为，
中线所在直线的方程，
中线所在的直线方程为，
联立得交点，校验可知满足中线所在直线的方程，
故的三条中线交于一点．
【解析】先求出其中两条直线的交点坐标，再验证该交点坐标在另一中线上即可．
本题主要考查直线方程的求法，属于基础题．
19.【答案】解：设圆心为，半径为，
圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为，
由题意知，，，
圆心的轨迹方程为为．
由题意知，，，
解得，，或，，，
满足条件的圆有两个：
或．
【解析】设圆心为，半径为，由题意知，，由此能求出圆心的轨迹方程．
由题意知，，，解得，，或，，，即可．
本题考查圆心的轨迹方程的求法，考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用和理解．
20.【答案】解：由方程知，所以圆心为，半径为．
当切线过原点时，设切线方程为，则，所以，即切线方程为．
当切线不过原点时，设切线方程为，则，所以或，即切线方程为或．
综上知，切线方程为或或；
因为，所以，即．
要使最小，只要最小即可．
当直线垂直于直线时，即直线的方程为时，最小，
此时点即为两直线的交点，得点坐标
【解析】圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；
先确定的轨迹方程，再利用要使最小，只要最小即可．
本题考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
21.【答案】解：圆，，有
，与是同一方程，故有，，，
即圆方程为；
设，，其坐标满足方程组
消去，得到方程，由已知可得判别式．
在此条件下利用根与系数的关系得到，
由于可得12，又，，所以可得
由可得，满足故．
【解析】可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数；
利用设而不求思想设出圆与直线的交点，坐标，通过建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于的方程，通过解方程确定出的值．
本题考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．
22.【答案】解：由圆：，可知圆心；圆：，圆心，半径．
设动圆的半径为，
动圆与圆外切并与圆内切，，
而，由椭圆的定义可知：动点的轨迹是以，为焦点，为长轴长的椭圆，
，，．
曲线的方程为去掉点
设曲线上任意一点，
由于，所以，当且仅当的圆心为，时，其半径最大，其方程为．
的倾斜角为，直线的方程为，．
若的倾斜角不为，由于的半径，可知与轴不平行，
设与轴的交点为，则，可得，所以可设：，
由与相切可得：，解得．
直线的方程为，
代入，可得，．
【解析】设动圆的半径为，由已知动圆与圆外切并与圆内切，可得，而，由椭圆的定义可知：动点的轨迹是以，为焦点，为长轴长的椭圆，求出即可；
设曲线上任意一点，由于，所以，当且仅当的圆心为时，其半径最大，其方程为分的倾斜角为若的倾斜角不为，由于的半径，可知与轴不平行，确定，设：，由与相切，求出直线的方程，再求．
本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．
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