资源简介

24.1垂直于弦的直径
学习目标
1.掌握垂径定理及相关结论.
2.运用这些结论解决一些有关证明、计算和作图问题.
重点：理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理等结论解决一些有关证明、计算和作图问题.
难点：垂径定理及其推论.
学习过程
一、创设问题情境
问题:你知道赵州桥吗 它是1 300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗
二、自主学习
自学教材81---82页内容并思考：
垂径定理及其推论的内容的实质是知二推三；
2、通过学习能否用垂径定理和勾股定理等解决一些有关计算和证明.
三、揭示问题规律
（一）圆的轴对称性
1.按照课本“探究”的要求折纸，可以发现折线两侧的半圆　　，所有的折痕都交于一点，这点就是　 　.
【答案】重合；圆心
2.要证明圆是轴对称图形，只需要证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在　 　.
【答案】圆上
3.如图，点P为⊙O上任意一点，AB为⊙O的任意一条直径，请说明⊙O关于直线AB对称，补全下面的说理过程.
证明：过点P作PM⊥AB于点M，并交⊙O于点P'，连接OP、OP'.
在△OPP'中，　 ，且PP'⊥AB，
∴　 　(等腰三角形三线合一)，
即　 　是PP'的垂直平分线，
∴圆上任意一点P关于直线AB的对称点也在圆上，
∴⊙O关于直线　 　对称.
【答案】OP=OP'；PM=P'M；AB；AB
（二）垂径定理
如图，在⊙O中，弦AB(不是直径)与直径CD垂直，垂足为点E，根据圆的轴对称性，当把⊙O沿CD所在的直线折叠时，点A与点B重合.
(1)线段AE与线段BE重合，所以AE　　BE，即直径CD平分弦AB；
(2)与 　重合，所以= 　，即直径CD平分 　；
(3) 　与 　重合，所以 　= 　，即直径CD平分 　.
思考：直径CD与弦AB有怎样的位置关系 这样的一条直径CD平分了哪些量
答：直径CD与弦AB垂直，直径CD平分了弦AB和弦AB所对的两条弧.
【答案】(1)=；(2)；；；(3)；；；；
四、尝试应用
【例1 】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝10，EB＝2，求弦CD的长．
解：连接OC，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD，OC＝OA＝OB＝5，
∴OE＝OB﹣EB＝5﹣2＝3，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝4，
∴CD＝2CE＝8．
【例2 】赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦）长为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，请求出赵州桥的主桥拱半径（结果保留小数点后一位）．
解：设O为圆心，作OD⊥AB于D，交弧AB于C，如图所示：
∵拱桥的跨度AB＝37.4m，拱高CD＝7.2m，
∴AD＝AB＝18.7m，
∴AD2＝OA2﹣（OC﹣CD）2，即18.72＝AO2﹣（AO﹣7.2）2，
解得：AO≈27.9m．
即圆弧半径为27.9m．
答：赵州桥的主桥拱半径为27.9m
五、自主总结
1.圆的对称性是垂径定理证明的根据；
2.能运用垂径定理和勾股定理进行线段的计算.
达标测试
一、选择题
1.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立是（　　）
A．弧AC＝弧AD B．弧BC＝弧BD C．OE＝BE D．CE＝DE
2.如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是(　　)
A. B. C. D.
3.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
4.直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（　　）
A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米
5.在半径为5 cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6 cm，CD=8 cm，则AB和CD的距离是(　　)
A.7 cm B.1 cm C.7 cm或4 cm D.7 cm或1 cm
二、填空题
6.在⊙O中，弦AB＝8，圆心O到AB的距离为2，则⊙O的半径长是 　 　．
7.如图，在平面直角坐标系中，圆的半径为5，圆心的坐标为（6，3），圆与横轴的交点分别为A，B，则AB＝　 　．
8.点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10，最短弦的长为6，则OP的长为 　 　．
9.如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．
24.1.2 垂直于弦的直径
1.C【解析】∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，
∴＝，＝，CE＝DE，但OE不一定等于BE，
故选项A、B、D正确，选项C不正确，故选：C．
2.B【解析】连接OB，∵OC⊥AB于C，AB=4，∴BC=AB=×4=2，在Rt△OBC中，∵OC=1，BC=2，∴OB===.故选B.
3.A【解析】①M与A或B重合时OM最长，等于半径5；
②∵半径为5，弦AB=8，∴∠OMA=90°，OA=5，AM=4，
∴OM最短为=3，∴3≤OM≤5，因此OM不可能为2.
4.A【解析】连接OA，如图所示：
∵⊙O的直径为10分米，
∴OA＝5分米，
由题意得：OD⊥AB，AB＝8分米，
∴AC＝BC＝AB＝4分米，
∴OC＝＝＝3（分米），
∴水的最大深度CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2（分米），故选：A．
5.D【解析】如图，作OE⊥AB，交CD于F，连结OA、OC，OA=OC=5 cm，
∵AB∥CD，∴OF⊥CD，
∴AE=AB=3 cm，CF=CD=4 cm，
在Rt△AOE中，OE==4 cm，
在Rt△COF中，OF==3 cm，
当圆心O在平行弦AB与CD之间，EF=OE+OF=4 cm+3 cm=7 cm；
当圆心O在平行弦AB与CD之外，EF=OE-OF=4 cm-3 cm=1 cm；
∴弦AB、CD之间的距离为1 cm或7 cm.
6. ．【解析】∵弦AB＝8，圆心O到AB的距离OC＝2，
∴AC＝BC＝4，∠OCA＝90°，由勾股定理得：AO＝.
7. 8【解析】过圆心P作PH⊥AB于H，连接PA，如图，则AH＝BH，
∵P（6，3），
∴PH＝3，
在Rt△PAH中，PA＝5，PH＝3，
∴AH＝＝4，
∴AB＝2AH＝8．
8. 4 【解析】过点P作直径AB，过P作弦CD⊥AB，
则AB＝10，CD＝6，
∴OC＝OA＝OB＝5，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝6，
∴CPDP＝3，∠OPD＝90°，
由勾股定理得：OP＝＝＝4.
9.解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，
则OA＝OA′＝OP，
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，
∵AB＝60米，
∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，
∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝＝＝16（米），
∴A′B′＝32米＞30米，
∴不需要采取紧急措施．

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