资源简介

24.1　圆的有关性质
24.1.4　圆周角
学习目标
1.理解圆周角的定义,掌握圆周角定理.
2.初步运用圆周角定理解决相关问题.
3.掌握圆内接四边形的概念及其性质,并能灵活运用.
重点：圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对圆周角的特征；圆内接四边形的概念及其性质.
难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理.
学习过程
一、创设问题情境
问题 如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心O的位置.同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？
二、自主学习
自学：认真研读课本内容，了解圆周角的概念和圆周角与圆心角之间的关系;进一步了解圆周角的概念以及能够判断一个角是否是圆心角.
了解圆周角的概念和圆周角与圆心角之间的关系.
三、揭示问题规律
(一）圆周角定义：1.定义:________________________________________叫圆周角.辨析:图中的角是圆周角的是_____________.
顶点在圆上，角的两边与圆相交的角 E
2.在图1中画出弧所对的圆周角.能画几个
无数个
（二）圆周角定理
在下图中画出所对的圆周角.
1.量出所对的圆周角和∠AOB的度数你会发现: .
2.尝试证明你的发现.
所对的圆周角等于∠AOB
以下图为例：圆心O在∠BAC的内部
归纳:圆周角定理: .在图中,由圆周角定理可知:∠ADB ∠ACB= .
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
思考:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗 为什么
相等
推论1：同弧所对的圆周角 .
推论2：等弧所对的圆周角 .
推论3：半圆（或直径）所对的圆周角是 .反之，直角所对的弦是 .
相等 相等 90° 直径
（三）圆内接四边形的性质
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做 ,这个圆叫做这个 .
问题1:如图,四边形ABCD叫做☉O的内接四边形,而☉O叫做四边形ABCD的外接圆,
猜想:∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为 . 由此得出圆内接四边形的性质:　 .
圆内接多边形 圆内接四边形 ∠A+∠C =180° ∠B+∠D=180°
圆内接四边形对角互补，任何一个外角等于它的内对角.
四、尝试应用
【例1 】如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.若弧AB=弧AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？
【例2 】如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.
求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，
∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，
∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
五、自主总结
1.本节课学习圆周角、圆内接四边形的概念，圆周角与圆心角关系定理和圆内接四边形的性质定理.
2.常见的辅助线：有圆周角构造圆心角；有直径，连接圆周角
3.本节课用到的思想方法：类比法，分类讨论思想，方程的思想
达标测试
一、选择题
1.在同圆中，同弦所对的圆周角（　　）
A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 互余
2.如图，AB是⊙O的直径，∠D＝35°，则∠BOC的度数为（　　）
A．120° B．70° C．100° D．110°
3.如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（　　）
A．30°B．45°C．60°D．70°
3题图 4题图 5题图
4.如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（　　）
A．6 B．5 C．3 D．3
5.如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为（　　）
A．35°B．40°C．50°D．80°
二、填空题
6.如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是________度．
6题图 7题图
7.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD=________度．
8.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，∠AOC＝100°，则∠CBE＝　 　．
9.已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证：BD=CD．
24.1.4圆周角
1.C
2.D【解析】∵＝，又∠D＝35°，
∴∠AOC＝2∠D＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°．故选：D．
3.C
4.C 解析：∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°，∴∠BAO=60°，∵AB是⊙C的直径，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°，∵点A的坐标为（0，3），∴OA=3，∴AB=2OA=6，∴⊙C的半径长=3．
5.B 解析：连OA，OB，如图，∵A，B，O，D都在⊙O上，∴∠D+∠AOB=180°，而∠ADB=100°，∴∠AOB=80°，∴∠ACB= ∠AOB=40°．
6.48 解析：∵AB是⊙O的直径，∴OA=OC,∵∠A=42°,∴∠ACO=∠A=42°,∵D为AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠DOC=90°-∠DCO=90°-42°=48°．
7.38 解析：∵AB=AC=AD，∴点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，∴∠CBD是弧CD对的圆周角，∠CAD是弧CD对的圆心角；∵∠CAD=76°，∴∠CBD= ∠CAD= ×76°=38°．
8.50°解析：∵∠AOC＝100°，
∴∠ADC＝∠AOC＝50°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣50°＝130°，
∴∠CBE＝180°﹣130°＝50°．
9.（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°．又∵∠BAC=45°，∴∠ABE=45°．又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=67.5°．∴∠EBC=22.5°．（2）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴AD⊥BC．又∵AB=AC，∴BD=CD．

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