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选择性必修第一册 3.1.1椭圆及其标准方程
【知识点一：椭圆的第一定义及其标准方程】
1．椭圆的概念：
（1）定义：在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
(
y
)（2）集合：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中2a>2c>0，即a>c>0，则M的轨迹是以F1、F2为两焦点的椭圆，且|F1F2|＝2c是椭圆的焦距．
2．图形和标准方程：
(
x
)
（1）焦点在轴上（ ．
（2）焦点在轴上（分母谁大焦点就在哪个轴上．
3．椭圆标准方程的推导过程：
解：以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系．
设，为椭圆上任意一点，则有．
由得方程为
整理得：
【要点诠释】
1．一般用表示为两个定点（焦点）；之和为常数用2a表示；只有当，时该曲线才是椭圆；如果则点的轨迹是线段；如果则点的轨迹不存在．
2．焦点在轴上（．
3．焦点在轴上（分母谁大焦点就在哪个轴上，只要两个条件就能得方程，且在图中能找到相应的线段．
4．焦点位置不知在哪个轴上．
【典型例题】
例1．（1）平面内与两个______F1、F2的距离和等于_______（ ）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点叫做椭圆的______，两焦点的距离叫做椭圆的 ．（2）F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是 ；
（3）建立适当的直角坐标系后，并设a2-c2=b2，若取F1（-c，0），F1（c，0），则椭圆的标准方程为__________________；若取F1（0，-c），F1（0，c），则椭圆的标准方程为__________________．
例2．两个焦点坐标为，且经过点椭圆的标准方程为 ________________．
例3．椭圆2x2+3y2=6的焦距是（ ）
A．2 B．2（－） C．2 D．2（+）
例4．判定下列椭圆的焦点在轴上还是在轴上，写出焦点坐标及焦距．
（1） （2）
例5．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点坐标分别是(-4，0)，(4，0)椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；
（2） （3）与椭圆有公共焦点，且经过点
【举一反三】
1．经过两点椭圆的标准方程为 ．
2．已知三角形的两顶点为，它的周长为，顶点轨迹方程为 ．
3．方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是 ．
4．方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．
5．已知的一边为8，周长为20，求顶点的轨迹方程．
【课堂测评】
1．椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ）
A．5 B．6 C．4 D．10
2．椭圆的焦点坐标是（ ）
A．（±5，0）? B．（0，±5） C．（0，±12）? D．（±12，0）
3．椭圆的焦点坐标是（ ）
A．（±7，0） B．（0，±7） C．（±，0） D．（0，±）
4．设为定点，||=6，动点M满足，则动点M的轨迹是 （ ）
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
5．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是____________．
6．，焦点在y轴上的椭圆的标准方程是
【课后作业】
1．方程4x2+Ry2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则R的取值范围是（ ）
A．R>0 B．02．椭圆C的一个焦点为F1（0，1），并且经过点P（，1）的椭圆的标准方程为（ ）
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
3．过点（，－），且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
4．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出的值
①；②；③；④
5 椭圆的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD为过左焦点的弦，则的周长为
6 椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是
7 动点P到两定点 （-4，0）， （4，0）的距离的和是8，则动点P的轨迹为
8 方程的曲线是焦点在上的椭圆 ，求的取值范围
9．平面内两个定点之间的距离为2，一个动点M到这两个定点的距离和为6．建立适当的坐标系，推导出点M的轨迹方程．

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