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专题二十四 空间几何体的结构特征、直观图、表面积和体积
知识归纳
一、构成空间几何体的基本元素—点、线、面
（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．
（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．
二、简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台
1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；
（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；
（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；
（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；
（7）正方体：棱长都相等的长方体．
2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．
3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．
三、简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球
1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．
2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．
3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．
4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．
四、组合体
由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．
五、表面积与体积计算公式
表面积 柱体 为直截面周长 体积
锥体
台体
球
六、空间几何体的直观图
1．斜二测画法
斜二测画法的主要步骤如下：
（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系．
（2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或），它们确定的平面表示水平平面．
（3）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．
（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线．
注：直观图和平面图形的面积比为．
2．平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．
方法技巧与总结
典例分析
题型一、空间几何体的结构特征
【例1-1】(多选题)下列命题正确的是( )
A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
C．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
【答案】BD
【详解】对A，棱台指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后，截面与底面之间的几何形体，其侧棱延长线需要交于一点，故A错误；
对B，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故B正确；
对C，用平面截圆柱得到的截面也可能是椭圆，故C错误；
对D，棱柱的面中，至少上下两个面互相平行，故D正确；
【例1-2】(多选题)下列命题正确的是( )
A．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台
D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
【答案】AC
【详解】对于A，根据圆锥的母线的定义，可知A正确；
对于B，把梯形的腰延长后有可能不交于一点，此时得到几何体就不是棱台，故B错误；
对于C，根据圆台的定义，可知C正确；
对于D，当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时，得到的截面不是圆和矩形，故D错误.
【例1-3】(多选题)《九章算术》是中国古代张苍 耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”，则( )
A．“羡除”有且仅有两个面为三角形； B．“羡除”一定不是台体；
C．不存在有两个面为平行四边形的“羡除”； D．“羡除”至多有两个面为梯形.
【答案】ABC
【详解】由题意知：，四边形为梯形，如图所示：
对于A：由题意知：“羡除”有且仅有两个面为三角形，故A正确；
对于B：由于，所以：“羡除”一定不是台体，故B正确；
对于C：假设四边形和四边形BCDF为平行四边形，则，
且，则四边形为平行四边形，与已知的四边形为梯形矛盾，故不存在，故C正确；
对于D：若，则“羡除”三个面为梯形，故D错误．
【例1-4】某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是( )

A．该几何体的面是等边三角形或正方形
B．该几何体恰有12个面
C．该几何体恰有24条棱
D．该几何体恰有12个顶点
【答案】B
【详解】据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B不正确；
该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确．
题型二、空间图形的展开图问题
【例2-1】如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB与线段CD所在的直线( )
A．平行 B．相交 C．是异面直线 D．可能相交，也可能是异面直线
【答案】C
【详解】如图，将展开图还原成长方体，易得线段AB与线段CD是异面直线，
【例2-2】如图①，这是一个小正方体的侧面展开图，将小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格、第6格，这时小正方体正面朝上的图案是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由图①可知，“同心圆”和“圆”相对，“加号”和“箭头”相对，“心形”和“星星”相对．
由图②可得，小正方体从如图②所示的位置翻到第6格时正面朝上的图案是．
题型三、最短路径问题
【例3-1】如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为( )
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【详解】圆柱的侧面展开图如图所示，由题得,
所以.
所以在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为.
【例3-2】如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是___________.
【答案】
【详解】由题意得：圆锥的底面周长是，则，解得：
可知圆锥侧面展开图的圆心角是，如图所示：
则圆锥的侧面展开图中：，，
所以在圆锥侧面展开图中：
【例3-3】如图，在直三棱柱中，，，，E、F分别是、的中点，沿棱柱的表面从E到F的最短路径长度为________．

【答案】/
【详解】若从E到F经过棱则沿棱展开如图，过作于，则，，故.
若从E到F经过棱则沿棱展开如图，，，.
若从E到F经过棱则沿棱展开如图，，，.
若从E到F经过棱则沿棱展开如图，由题意，为等腰直角三角形，
四边形为正方形，故为等腰直角三角形，故四边形为直角梯形.
又，，故.
故沿棱柱的表面从E到F的最短路径长度为.

题型四、立体图形的直观图
【例4-1】如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得：，
由直观图可得原图，如图所示，可知：，可得，
所以原三角形的周长.
【例4-2】如图，一个用斜二测画法画出来的三角形是一个边长为a的正三角形，则原三角形的面积是( )
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
【答案】C
【详解】∵S△A′B′C′＝a2sin 60°＝a2，∴S△ABC＝S△A′B′C′＝a2.
【例4-3】(多选题)如图所示，四边形是由斜二测画法得到的平面四边形水平放置的直观图，其中，，，点在线段上，对应原图中的点，则在原图中下列说法正确的是( )
A．四边形的面积为14
B．与同向的单位向量的坐标为
C．在向量上的投影向量的坐标为
D．的最小值为17
【答案】ABD
【详解】由直观图可得，四边形为直角梯形，且，
则四边形的面积为，故A正确；
如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，则，
所以与同向的单位向量的坐标为，故B正确；
，则在向量上的投影向量的坐标为，故C错误；
设，则，
则，，
当时，取得最小值，故D正确.
题型五、空间几何体的表面积
【例5-1】如图，斜三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，，则该斜三棱柱的侧面积是_________．
【答案】/
【详解】过点作于，如图所示，
，，，
≌，，
，即，
又，平面，
又平面，，
又，，
∴平行四边形为矩形，
∴该斜三棱柱的侧面积为：.
【例5-2】如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为，高为，则这个茶叶盒的表面积为______.
【答案】
【详解】由题设，一个底面的面积为，
一个侧面矩形面积为，所以茶叶盒的表面积为.
【例5-3】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设底面棱长为，正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则侧面为等边三角形，
则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为.
【例5-4】陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积（单位：）是( )

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得圆锥体的母线长为，
所以圆锥体的侧面积为，圆柱体的侧面积为，
圆柱的底面面积为，所以此陀螺的表面积为.
【例5-5】由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为( )
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【详解】如图为正四棱柱，为侧面三角形底边上的高，设，
由已知侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，所以，
连接，设其交点为，因为四边形为正方形，所以为的中点，
因为，，又，平面，
所以平面，又平面，
所以，即为以为斜边的直角三角形，
因为，，所以，
所以以四棱锥的高为边长的正方形面积，
四棱锥的侧面积，
所以，所以以四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为.
【例5-6】河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为，高为2，体积为，则该“方斗”的侧面积为( )
A．24 B．12 C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，记正四棱台为，其底面为正方形，
侧面为四个等腰梯形，把该四棱台补成正四棱锥如图，
设是底面上与的交点，是底面上与的交点
则是正四棱锥的高，为正四棱台的高，
设，，则上、下底面的面积分别为、，
由题意，所以，
在中，，所以为PA的中点，
在中，，所以，所以，
又，解得，，
所以，
所以侧棱长是，由勾股定理可得侧面的高为，
所以侧面积为.
题型六、空间几何体的体积
（一）直接利用公式求体积
【例6-1】一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的体积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】母线长为1，设底面圆半径为，则，∴，∴，
故圆锥的体积为.
【例6-2】已知正四棱台中，，，则其体积为________.
【答案】
【详解】如图正四棱台中，
则，，过点作交于点，
过点作交于点，则，又，所以，
即正四棱台的高，
所以棱台的体积.
【例6-3】紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台,如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位:cm）,现在向这个空石瓢壶中加入（约）的矿泉水后,问石瓢壶内水深约( )cm
A．2.8 B．2.9 C．3.0 D．3.1
【答案】C
【详解】解:由题知矿泉水的体积为,将圆台的中轴面拿出,补全为一个三角形如图所示:
加入矿泉水后,记石瓢壶内水深为,水平面半径为,
由图可知,所以有
即,解得,
由,得,即,解得:,
故加入矿泉水后圆台的体积为:
,解得,
所以.
【例6-4】如图，已知四棱柱的体积为V，四边形ABCD为平行四边形，点E在上且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，设DE，交于点F，AC，BD交于点G，连接FG，
则三棱锥就是三棱锥与三棱锥的公共部分．
因为，所以，所以，
设点到平面ABCD距离为，则点F到平面ABCD的距离是，又，
所以三棱锥的体积为．
（二）割补法求体积
【例6-5】如图，在三棱柱中，底面ABC，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为( )
A．1:2 B．4:5 C．4:9 D．5:7
【答案】D
【详解】不妨令，且上下底面等边三角形，
又底面ABC，易知为直三棱柱，即侧面为矩形，
所以三棱柱体积，
而，故，
所以，故，所以.
【例6-6】如图是两个直三棱柱和重叠后的图形，公共侧面为正方形，两个直三棱柱底面是腰为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为______．
【答案】/
【详解】依题意中，，，则，
该几何体可视为直三棱柱的侧面和侧面在形外附着两个三棱锥、，且为中点，有平面，平面，
所以几何体体积.
【例6-7】如图，正方体的棱长为4，点P，Q，R分别在棱，，上，且，则以平面截正方体所得截面为底面，为顶点的棱锥的体积为___________.

【答案】
【详解】延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接交
于点，交于点，连接，则平面即为平面截正方体所得的截面.
因为，则，
又因为，所以，即，解得，
同理可得，则，，
因为，所以，又，则，
同理可得；
所以，
，，
，
，
.
【例6-8】如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得.

(1)求证：平面平面；
(2)若，分别为，的中点，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1），，，
，平面，
平面，
又平面，，
由直角梯形，，，
，，得，
则，所以，
又，，平面，
平面，
又平面，平面平面；
（2）取的中点，连接，
，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
由（1）得，则，
，，，
，
即三棱锥的体积为.
（三）等体积法求体积
【例6-9】如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，AC与BD交于点O，底面ABCD，，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．
(1)求证：平面平面PCD；
(2)求三棱锥的体积．
【详解】（1）因为底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，所以O为AC中点，
点E是棱PA的中点，F分别是棱PB的中点，
所以OE为三角形的中位线，OF为三角形的中位线，
所以,，平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
而,平面，平面，平面平面PCD.
（2）因为底面ABCD是边长为2的菱形，，所以为等边三角形，
所以，因为底面ABCD，底面ABCD，底面ABCD，
所以，，所以和均为直角三角形，
所以，，
所以，所以，所以，
设点到平面的距离为，根据体积相等法可知，
所以，所以.
，
故三棱锥的体积为.
【例6-10】如图所示多面体中，平面平面，平面，是正三角形，四边形是菱形，，，
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【详解】（1）取中点，连接，因为是正三角形，
所以，
因为平面平面，平面，平面平面
所以平面，又因为平面，
所以，又因为，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）因为，平面，平面，所以平面，
所以点与点到平面的距离相等，
所以三棱锥和三棱锥的体积相等，
所以，连接交线段与点，
因为四边形为菱形，，，
所以，，所以，
由（1）平面，，所以.
考点七、空间几何体的截面问题
【例7-1】在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为______．
【答案】
【详解】如图，在正方体中，
平面平面，
平面与平面的交线必过且平行于，
故平面经过的中点，连接，得截面，
易知截面是边长为的菱形，其对角线，
，截面面积．
【例7-2】如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．
答案　S3可将其放置在以O为顶点的长方体中，
设三边OA，OB，OC分别为a，b，c，且a>b>c，
利用等体积法易得S1＝a，S2＝b，S3＝c，
∴S－S＝(a2b2＋a2c2)－(b2a2＋b2c2)＝c2(a2－b2)，
又a>b，∴S－S>0，即S1>S2，同理，平方后作差可得，S2>S3，∴S3【例7-3】在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H．D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．
答案　　解析　如图，取AC的中点G，连接SG，BG．
易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，SG，
BG 平面SGB，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB．
因为SB∥平面DEFH，SB 平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，
则SB∥HD．同理SB∥FE．
又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，
从而得HFACDE，所以四边形DEFH为平行四边形．
又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，
所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝·＝．
【例7-4】已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为( )
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】C
【详解】如图连接并延长交的延长线于点，
连接并延长交于点，过点作交于点，连接，
则五边形即为平面截该长方体所得的截面多边形.
其中因为，，，
所以，则，所以，
又，所以，所以，则，
显然，则，所以.
【例7-5】如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设，则当时，函数的值域为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，连接， ，平面，平面，则，又，，平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
同理，，平面，平面，所以平面，
因此平面与平面重合或平行，
取的中点，连接，则，，
同理可证平面，由于，，所以三棱锥是正三棱锥，
与平面的交点是的中心，
正方体棱长为，则，，
所以，所以，
由棱锥的平行于底面的截面的性质知，当平面从平面平移到平面时，
，即，，，显然，
平面过平面再平移至平面时，
如图，把正方形沿旋转到与正方形在同一平面内，
如图，则共线，由正方形性质得，同理，，
因此此种情形下，截面的周长与截面的周长相等，平移平面，一直到平面位置处，
由正方体的对称性，接着平移时，截面周长逐渐减少到，
综上，的值域是．
【例7-6】在正棱台中，为棱中点.当四棱台的体积最大时，平面截该四棱台的截面面积是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，上底面和下底面的中心分别为，
该四棱台的高，.
在上下底面由勾股定理可知，.
在梯形中，，
所以该四棱台的体积为，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时，.
取的中点，连接、，
显然有，平面，平面，
所以平面，因此平面就是截面.
显然，
在直角梯形 中，，
因此在等腰梯形中，，
同理在等腰梯形中，，
在等腰梯形中，设，
则，，
所以梯形的面积为，故选：C.
【例7-7】已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系，
侧面的中心，侧面的中心，而，有，
显然点M在平面与平面的交线上，设为这条交线上任意一点，
，而平面，则，
即，令，得点，令，得点，连，
平面与平面必相交，
设为这条交线上任意一点，，
由，即，令，
得点，连，
因为平面平面，
则平面与平面的交线过点G，与直线FE平行，
过G作交于，，
由得，即，
显然平面与平面都相交，
则平面与直线相交，令交点为，，
由得，
连接得截面五边形，即截面为五边形，
，取中点，连接，
则，在中，，
的面积，
在中，，
边上的高，
梯形面积，
所以S的面积为.故选：C
题型八、与球有关的切、接问题
（一）几何体的外接球
【例8-1】如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为和3，则此组合体的外接球的表面积是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设外接球半径为R，球心为O，圆台较小底面圆的圆心为，
则，而，故.
【例8-2】在正四棱台中，上 下底面边长分别为，该正四棱台的外接球的表面积为，则该正四棱台的高为__________.
【答案】1或7
【详解】设正四棱台的外接球的半径为，则，解得，
连接相交于点，连接相交于点，连接，
则球心在直线上，连接，
如图1，当球心在线段上时，
则，
因为上 下底面边长分别为，
所以，
由勾股定理得，，
此时该正四棱台的高为，
如图2，当球心在的延长线上时，
同理可得，，
此时该正四棱台的高为.
【例8-3】已知正三棱锥中，，，该三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，正三棱锥中，，
则，所以，同理可得，
即，，两两垂直，可把该三棱锥补成一个正方体，
则该三棱锥的外接球就是正方体的外接球，即正方体的体对角线就是球的直径，
所以球心位于正方体对角线的中点,
所以三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为，所以.
【例8-4】在四面体中，，，，，则该四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，平面,所以平面.
设底面的外心为，外接球的球心为，则平面，所以.
设为的中点，因为，所以.
因为平面，平面,所以，所以.
因此四边形为平行四边形，所以.
因为，，
所以,
由正弦定理，得.
所以该外接球的半径满足,
故该外接球的表面积为.
【例8-5】在正三棱柱中，所有棱长之和为定值，当正三棱柱外接球的表面积取得最小值时，正三棱柱的侧面积为( )
A．12 B．16 C．24 D．18
【答案】D
【详解】设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，，为正实数，
设，为正常数，，
设正三棱柱外接球的半径为，底面外接圆半径为，
由正弦定理得，，
所以，
所以当时，取得最小值为，
所以正三棱柱外接球的表面积的最小值，．则，
此时正三棱柱的侧面积为．
【例8-6】在三棱锥，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点作的垂线，垂足为，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，
所以的外接圆的圆心为，
设的外接圆圆心为，其半径为，
则在上，所以，
由面面垂直的性质可知，平面，
所以，
即为该三棱锥的外接球的球心，
由正弦定理可知，，
故该三棱锥的外接球的表面积为.
【例8-7】正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，，，为外接球球心，
设外接球半径为R，分别为棱台上下底面的中心，
则，
由勾股定理得：，，
设，则，，
故，解得：，
故，
故球的表面积为.
【例8-8】已知球O中有两个半径为2的截面圆，，圆与圆的相交弦， 的中点为P，若，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，连接，，，，则，，
且截面圆， 而截面圆，故，，
在中，，同理，
连接，由,知，
则,即OP平分，
由，得，
故在中，，
连接OB，在中，球O的半径，
故球O的表面积.
【例8-9】已知菱形ABCD的各边长为2，.将沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥，如图所示，当三棱锥的表面积最大时，三棱锥的外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得：均为边长为2的等边三角形，
为全等的等腰三角形，
则三棱锥的表面
，
当且仅当，
即时，三棱锥的表面积取最大值，
此时为直角三角形，，
取的中点，连接，
由直角三角形的性质可得：，
即三棱锥的外接球的球心为，半径为，
故外接球体积为.
【例8-10】如图，在四棱锥中，，，，P为侧棱SA的中点，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取AD的中点O，连接OB，OC，OP.
因为，，所以.
又，即，所以四边形OABC为平行四边形，
所以，同理可得.
因为，且P为侧棱SA的中点，所以，
所以在中，.（点拨：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）
所以，
所以四棱锥外接球的球心为O，半径为2，
故外接球的表面积为，故选：B.
【例8-11】《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，平面，四边形，为两个全等的等腰梯形，，且，则此刍甍的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取、中点、，正方形中心，中点，连接，
根据题意可得平面，，点是的中点，，
在等腰中，，，同理，
则等腰梯形的高为，
根据几何体的结构特征可知，刍甍的外接球的球心在直线上，连接，
正方体的外接圆的半径，
则有，
而，，
当点在线段的延长线（含点）时，视为非负数，
若点在线段的延线（不含点）时，视为负数，
即有，
则，解得，
则刍甍的外接球的半径为，
则刍甍的外接球的表面积为，故选：C.
【例8-12】《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除如图所示，底面为正方形，，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接AC、BD交于点M，取EF的中点O，连接OM，则平面.
取BC的中点G，连接FG，作，垂足为H，如图所示，
由题意得，，，
，，
∴，∴，
又∵，∴，
∴，即：这个羡除的外接球的球心为O，半径为2，
∴这个羡除的外接球体积为.
∵，面，面，
∴面，即：点A到面的距离等于点B到面的距离，
又∵，
∴，
∴这个羡除的体积为，
∴羡除的外接球体积与羡除体积之比为.故选：A.
（二）几何体的内切球
【例8-13】已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，圆锥与内切球的轴截面图，点为球心，内切球的半径为，
为切点，设，即，
由条件可知，，
在中，，即，解得：，
所以圆锥内切球的体积.
【例8-14】古希腊伟大的数学家阿基米德（公元前287~公元前212）出生于叙拉古城，在其辉煌的职业生涯中，最令他引以为傲的是记录在《论球和圆柱》中提到的：假设一个圆柱外切于一个球，则圆柱的体积和表面积都等于球的一倍半（即）．现有球与圆柱的侧面与上下底面均相切（如图），若圆柱又是球的内接圆柱，设球，圆柱的表面积分别为，体积分别为，则__________；_________．
【答案】
【解析】设球O的半径为r，体积为，表面积为，
则圆柱的底面半径为r，高为，球半径为，
由阿基米德得出的结论，
又球O与球的半径比为，所以，
所以.
【例8-15】(多选题)下列关于三棱柱的命题，正确的是（ ）
A．任意直三棱柱均有外接球
B．任意直三棱柱均有内切球
C．若正三棱柱有一个半径为的内切球，则该三棱柱的体积为
D．若直三棱柱的外接球球心在一个侧面上，则该三棱柱的底面是直角三角形
【答案】ACD
【详解】对于A，取连接直三棱柱上、下底面三角形外心的线段的中点，
则点到直三棱柱各个顶点的距离均为，其中为底面三角形外接圆半径，为直三棱柱的高，
点即为直三棱柱的外接球球心，A正确；
对于B，若直三棱柱有内切球，则其高等于直径，底面内切圆半径等于内切球半径，
即底面内切圆半径需为直三棱柱高的一半，不是所有直三棱柱都符合，B错误；
对于C，若正三棱柱的内切球半径为，则正三棱柱的高为，底面正三角形的高为，
设正三棱柱底面正三角形的边长为，则，解得：，
该正三棱柱的体积，C正确；
对于D，若外接球球心在直三棱柱的侧面上,则球心为该侧面的中心，其到底面三角形各顶点的距离相等，
球心在底面上的射影到底面三角形三个顶点的距离也相等，
又侧面中心在底面的投影在底面三角形的一条边上，
该投影为底面三角形一条边的中点，且到另一顶点的距离为该边长的一半，
该底面三角形为直角三角形，D正确.
【例8-16】(多选题)正三棱锥的底面边长为3，高为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的表面积为
C．三棱锥的外接球的表面积为
D．三棱锥的内切球的表面积为
【答案】ABD
【详解】如图，取棱的中点，连接
则正三棱锥中，.
因为平面，且，
所以平面，则，故A正确；
作平面，垂足为，则.
由正三棱锥的性质可知在上，且.
因为，所以，则.
因为，所以，则三棱锥的表面积，故B正确；
设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则在上，
连接，则，即，解得，
则三棱锥的外接球的表面积为，故C错误.
设三棱锥的内切球的半径为，则，
解得，从而三棱锥的内切球的表面积为，故D正确.
【例8-17】如图，正四棱台的上 下底面边长分别为2，分别为的中点，8个顶点
构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为___________.
【答案】
【详解】该十面体及内切球的正投影为等腰梯形与内切圆，如图所示：
，可得,故
【例8-18】已知三棱柱中，，，平面平面，，若该三棱柱存在体积为的内切球，则三棱锥体积为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【解析】如图所示，因为，，，所以平面，
又因为平面平面，平面平面，
过点作，则平面，则，
又因为，所以平面，平面，所以.
设则，
又因为三棱锥内切球的体积为，则，则，
，即，则，解得，
棱柱的高等于内切球直径，所以，
故三棱锥的体积为.故选：D
【例8-18】已知三棱锥P－ABC的所有顶点均在半径为2的球的O球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥P－ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球的半径为r，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】设底面的中心为Q，连接BQ，OQ，则，且底面ABC，
如图，延长QO交球面于点P，连接OB，此时三棱锥P－ABC的体积取得最大值，
因为球O的半径为2，所以，
在中，，
所以三棱锥P－ABC的体积的最大值为，
此时，
所以，
所以，解得．
题型九、立体几何中的轨迹问题
【例9-1】在正三棱柱中，，以的中点M为球心，4为半径的球面与侧面的交线长为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．8π
【答案】C
【详解】取的中点分别为，N为四边形的中心，
连接MN，，
因为，故四边形为正方形，三点共线，三点共线，
平面且，
因为M为的中点，所以，
由勾股定理得，
所以题中所求交线轨迹为以N为圆心，2为半径的圆，
球与侧面的交线轨迹如图所示，故交线长．
【例9-2】已知三棱锥的所有棱长均为2，以BD为直径的球面与的交线为L，则交线L的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取BD的中点为，所以为球心，过作平面于点，
即为的中心，延长交所以交于点，则为的中点，
所以，，
取的中点，连接，，则平面，
因为平面，即，且，
，
所以为以BD为直径的球面上一点，
分别取的中点，连接，且，
所以也为以BD为直径的球面上一点，
则为等边三角形，的外接圆即为四边形的外接圆，
为外接圆的半径，所以，
所以以BD为直径的球面与的交线L长为外接圆周长的，
所以.故选：A.
【例9-3】(多选题)如图，正方体的棱长为4，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，且，则下列结论正确的有（ ）
A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为
B．保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为
C．若保持，则点M的运动轨迹长度为
D．平面被正方体截得截面为等腰梯形
【答案】BCD
【详解】对于A，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，
连接，则，故A错误；
对于B，如图：因为平面，平面，，又，
，，平面 ，
所以平面 ，平面 .
所以'，同理可得，，，平面 .
所以平面 .
所以过点作交交于，过作交交于，
由，可得，平面，平面，
所以平面，同理可得平面.
则平面平面.
设平面交平面于，则的运动轨迹为线段，
由点在棱上，且，可得，所以，故B正确；
对于C，如图：若，则在以为球心，为半径的球面上，
过点作平面，则，此时.
所以点在以为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为.
点的运动轨迹长度，故C正确；
对于D，如图：延长，交于点，连接交于，连接，
所以平面被正方体截得的截面为.
，所以，，所以，
所以，所以，且，
所以截面为梯形，，所以截面为等腰梯形,故D正确.


【例9-4】已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN与底面ABCD所成的角为，则动点N的轨迹的长度为________．
【答案】
【详解】如图所示，取BC中点G，连接MG，NG，由正方体的特征可知MG⊥底面ABCD，

故MN与底面ABCD的夹角即，∴，则，
故N点在以G为原点为半径的圆上，又N在底面正方形ABCD上，
即N的轨迹为图示中的圆弧，易知，
所以长为.
【例9-5】(多选题 )直三棱桂中，为棱上的动点，为中点，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．四面体的外接球表面积为
D．点的轨迹长度为
【答案】ABD
【详解】由题意可知：直三棱柱为正方体ABCD-A1B1C1D1的一半，如图所示.
对于A，连接AB1，A1B，结合正方体的特征，易知BE⊥AB1，AB1⊥A1B，
故AB1⊥面A1BE，面A1BE，则，即A正确；
对于B，由题意可知F到上下底面的距离均为0.5，
故是定值，即B正确；
对于C，四面体的外接球即正方体的外接球，
故其直径为，所以其表面积为,即C错误；
对于D，连接A1C，取其中点O，连接OF，易知OF为的中位线，故E从B运动到C的过程中F的运动轨迹长度为BC一半，即D正确.
综上ABD三项正确.
题型十、立体几何中的最值问题
【例10-1】如图，正方体的棱长为2，M是面内一动点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【详解】如图，连接BD，，，易知平面，
∵，∴平面，即M在线段上，
将沿着展开，使得D，B，C，四点共面，如图，
又因为正方体的棱长为2，故此时，，，
由平面内二点间的直线距离最短得，
【例10-2】将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设圆柱的底面半径为，高为，体积为，
由与相似，可得，则，
所以圆柱的体积为，
所以圆柱的最大体积为，此时.
【例10-3】已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱锥A－BCD的体积为，则线段CD长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为球的体积为，故球的半径R满足，故，
而，，，故，故，
故，
设点D到平面ABC的距离为h，则，故，
点D在球的截面圆上，设截面圆所在的平面为α，
因为，所以平面α与平面ABC在球心的异侧，
设球心到平面ABC的距离为d，而△ACB外接圆的半径为，
则，故球心到平面α的距离为，故截面圆的半径为，
设点D在平面ABC上的投影为E，则E的轨迹为圆，圆心为△ABC的外心即AB的中点，
当CE最长时CD最长，此时，故CD长度的最大值为.
【例10-4】粽子，古称“角黍”，早在春秋时期就已出现，到晋代成为了端午节的节庆食物．现将两个正四面体进行拼接，得到如图所示的粽子形状的六面体，其中点G在线段CD（含端点）上运动，若此六面体的体积为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】D
【详解】设，则正四面体的高为，
因为六面体的体积为，
所以，
解得，
的最小值为等边三角形高的2倍，即.
【例10-5】已知正三棱柱所有顶点都在球O上，若球O的体积为，则该正三棱柱体积的最大值为________.
【答案】8
【详解】设正三棱柱的上，下底面的中心分别为，连接，
根据对称性可得，线段的中点即为正三棱柱的外接球的球心，
线段为该外接球的半径，设，
由已知，所以，即，
设正三棱柱的底面边长为，设线段的中点为，
则，，在中，，
所以，，
又的面积，
所以正三棱柱的体积，
设，则，，
所以，，所以，
令，可得或，舍去，
所以当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，取最大值，最大值为，
所以当时，三棱柱的体积最大，最大体积为.
【例10-6】如图，在三棱锥中，平面平面，，点M在上，，
过点M作三棱锥外接球的截面，则截面圆周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，和为等边三角形，如图所示，
取中点为E，连接，则，由平面平面，
平面平面，故平面，
，
球心O在平面的投影为的外心，
过O作于H，易得，
则在中，，
所以外接球半径，连接，
因为，所以H，O，M三点共线，
所以，
当M为截面圆圆心时，截面圆的周长最小，
此时，截面圆半径，
所以截面圆周长的最小值为．
【例10-7】已知正四棱锥的体积为，则该正四棱锥内切球表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，在正四棱锥中，M、N分别是线段的中点，
该正四棱锥内切球的大圆是的内切圆．圆心为E．
设，
则圆E的半径．．
于是，正四棱锥的体积为，即有，
所以，
此时，该正四棱锥内切球的表面积．
，即．
当，即时取等号，故．
【例10-8】已知四棱锥的底面是矩形，.若四棱锥的外接球的体积为，设是该球上的一动点，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，在矩形中，连接对角线，
记，则点为矩形的外接圆圆心，
设，在中，由余弦定理得，
即，的外接圆半径为.
记的外接圆圆心为，则，取的中点，连接，
显然，，且共线，
因为，
所以平面，即平面，平面，有，
而平面，所以平面.
过作平面，使，连接，于是，则四边形为矩形，
有，则平面，
根据球的性质，得点为四棱锥外接球的球心，
因为球的体积为，所以，解得，
而，在中，，
所以外接圆直径.
取的中点，连接，显然为外接圆圆心，则平面，且，
所以四棱锥的外接球上的点到平面的距离的最大值为8，
即三棱锥的高的最大值为8，而，
故三棱锥的体积的最大值为.
【例10-9】已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接，，由，
可知：和是等边三角形，
设三棱锥外接球的球心为，
所以球心到平面和平面的射影是和的中心，，
是等边三角形，为中点，
所以，又因为侧面底面，侧面底面，
所以底面，而底面，因此，
所以是矩形，和是边长为的等边三角形，
所以两个三角形的高，
在矩形中，，连接，
所以，
设过点的平面为，当时，
此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，
，
因此圆的半径为：，所以此时面积为，
当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：，
所以截面的面积范围为．
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专题二十四 空间几何体的结构特征、直观图、表面积和体积
知识归纳
一、构成空间几何体的基本元素—点、线、面
（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．
（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．
二、简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台
1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；
（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；
（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；
（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；
（7）正方体：棱长都相等的长方体．
2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．
3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．
三、简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球
1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．
2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．
3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．
4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．
四、组合体
由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．
五、表面积与体积计算公式
表面积 柱体 为直截面周长 体积
锥体
台体
球
六、空间几何体的直观图
1．斜二测画法
斜二测画法的主要步骤如下：
（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系．
（2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或），它们确定的平面表示水平平面．
（3）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．
（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线．
注：直观图和平面图形的面积比为．
2．平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．
典例分析
题型一、空间几何体的结构特征
【例1-1】(多选题)下列命题正确的是( )
A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
C．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
【例1-2】(多选题)下列命题正确的是( )
A．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台
D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
【例1-3】(多选题)《九章算术》是中国古代张苍 耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”，则( )
A．“羡除”有且仅有两个面为三角形； B．“羡除”一定不是台体；
C．不存在有两个面为平行四边形的“羡除”； D．“羡除”至多有两个面为梯形.
【例1-4】某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是( )
A．该几何体的面是等边三角形或正方形
B．该几何体恰有12个面
C．该几何体恰有24条棱
D．该几何体恰有12个顶点
题型二、空间图形的展开图问题
【例2-1】如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB与线段CD所在的直线( )
A．平行 B．相交 C．是异面直线 D．可能相交，也可能是异面直线
【例2-2】如图①，这是一个小正方体的侧面展开图，将小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格、第6格，这时小正方体正面朝上的图案是( )
A． B． C． D．
题型三、最短路径问题
【例3-1】如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为( )
A． B． C．3 D．2
【例3-2】如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是___________.
【例3-3】如图，在直三棱柱中，，，，E、F分别是、的中点，沿棱柱的表面从E到F的最短路径长度为________．

题型四、立体图形的直观图
【例4-1】如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是( )
A． B．
C． D．
【例4-2】如图，一个用斜二测画法画出来的三角形是一个边长为a的正三角形，则原三角形的面积是( )
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
【例4-3】(多选题)如图所示，四边形是由斜二测画法得到的平面四边形水平放置的直观图，其中，，，点在线段上，对应原图中的点，则在原图中下列说法正确的是( )
A．四边形的面积为14
B．与同向的单位向量的坐标为
C．在向量上的投影向量的坐标为
D．的最小值为17
题型五、空间几何体的表面积
【例5-1】如图，斜三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，，则该斜三棱柱的侧面积是_________．
【例5-2】如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为，高为，则这个茶叶盒的表面积为______.
【例5-3】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为( )
A． B． C． D．
【例5-4】陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积（单位：）是( )
A． B．
C． D．
【例5-5】由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为( )
A．2 B． C． D．4
【例5-6】河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为，高为2，体积为，则该“方斗”的侧面积为( )
A．24 B．12 C． D．
题型六、空间几何体的体积
（一）直接利用公式求体积
【例6-1】一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的体积为( )
A． B． C． D．
【例6-2】已知正四棱台中，，，则其体积为________.
【例6-3】紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台,如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位:cm）,现在向这个空石瓢壶中加入（约）的矿泉水后,问石瓢壶内水深约( )cm
A．2.8 B．2.9 C．3.0 D．3.1
【例6-4】如图，已知四棱柱的体积为V，四边形ABCD为平行四边形，点E在上且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为( )
A． B． C． D．
（二）割补法求体积
【例6-5】如图，在三棱柱中，底面ABC，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为( )
A．1:2 B．4:5 C．4:9 D．5:7
【例6-6】如图是两个直三棱柱和重叠后的图形，公共侧面为正方形，两个直三棱柱底面是腰为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为______．
【例6-7】如图，正方体的棱长为4，点P，Q，R分别在棱，，上，且，则以平面截正方体所得截面为底面，为顶点的棱锥的体积为___________.

【例6-8】如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得.

(1)求证：平面平面；
(2)若，分别为，的中点，求三棱锥的体积.
（三）等体积法求体积
【例6-9】如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，AC与BD交于点O，底面ABCD，，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．
(1)求证：平面平面PCD；
(2)求三棱锥的体积．
【例6-10】如图所示多面体中，平面平面，平面，是正三角形，四边形是菱形，，，
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
考点七、空间几何体的截面问题
【例7-1】在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为______．
【例7-2】如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．
【例7-3】在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H．D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．
【例7-4】已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为( )
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【例7-5】如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设，则当时，函数的值域为( )
A． B． C． D．
【例7-6】在正棱台中，为棱中点.当四棱台的体积最大时，平面截该四棱台的截面面积是( )
A． B． C． D．
【例7-7】已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为( )
A． B． C． D．
题型八、与球有关的切、接问题
（一）几何体的外接球
【例8-1】如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为和3，则此组合体的外接球的表面积是( )
A． B． C． D．
【例8-2】在正四棱台中，上 下底面边长分别为，该正四棱台的外接球的表面积为，则该正四棱台的高为__________.
【例8-3】已知正三棱锥中，，，该三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为，则( )
A． B． C． D．
【例8-4】在四面体中，，，，，则该四面体的外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
【例8-5】在正三棱柱中，所有棱长之和为定值，当正三棱柱外接球的表面积取得最小值时，正三棱柱的侧面积为( )
A．12 B．16 C．24 D．18
【例8-6】在三棱锥，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
【例8-7】正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为( )
A． B． C． D．
【例8-8】已知球O中有两个半径为2的截面圆，，圆与圆的相交弦， 的中点为P，若，则球O的表面积为( )
A． B． C． D．
【例8-9】已知菱形ABCD的各边长为2，.将沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥，如图所示，当三棱锥的表面积最大时，三棱锥的外接球体积为( )
A． B． C． D．
【例8-10】如图，在四棱锥中，，，，P为侧棱SA的中点，则四棱锥外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
【例8-11】《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，平面，四边形，为两个全等的等腰梯形，，且，则此刍甍的外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
【例8-12】《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除如图所示，底面为正方形，，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为( )
A． B． C． D．
（二）几何体的内切球
【例8-13】已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥内切球的体积为( )
A． B． C． D．
【例8-14】古希腊伟大的数学家阿基米德（公元前287~公元前212）出生于叙拉古城，在其辉煌的职业生涯中，最令他引以为傲的是记录在《论球和圆柱》中提到的：假设一个圆柱外切于一个球，则圆柱的体积和表面积都等于球的一倍半（即）．现有球与圆柱的侧面与上下底面均相切（如图），若圆柱又是球的内接圆柱，设球，圆柱的表面积分别为，体积分别为，则__________；_________．
【例8-15】(多选题)下列关于三棱柱的命题，正确的是( )
A．任意直三棱柱均有外接球
B．任意直三棱柱均有内切球
C．若正三棱柱有一个半径为的内切球，则该三棱柱的体积为
D．若直三棱柱的外接球球心在一个侧面上，则该三棱柱的底面是直角三角形
【例8-16】(多选题)正三棱锥的底面边长为3，高为，则下列结论正确的是( )
A．
B．三棱锥的表面积为
C．三棱锥的外接球的表面积为
D．三棱锥的内切球的表面积为
【例8-17】如图，正四棱台的上 下底面边长分别为2，分别为的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为___________.
【例8-18】已知三棱柱中，，，平面平面，，若该三棱柱存在体积为的内切球，则三棱锥体积为( )
A． B． C．2 D．4
【例8-18】已知三棱锥P－ABC的所有顶点均在半径为2的球的O球面上，底面是边长为3的等边三角形．若三棱锥P－ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球的半径为r，则( )
A．1 B． C． D．
题型九、立体几何中的轨迹问题
【例9-1】在正三棱柱中，，以的中点M为球心，4为半径的球面与侧面的交线长为( )
A．2π B．3π C．4π D．8π
【例9-2】已知三棱锥的所有棱长均为2，以BD为直径的球面与的交线为L，则交线L的长度为( )
A． B． C． D．
【例9-3】(多选题)如图，正方体的棱长为4，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，且，则下列结论正确的有( )
A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为
B．保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为
C．若保持，则点M的运动轨迹长度为
D．平面被正方体截得截面为等腰梯形
【例9-4】已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN与底面ABCD所成的角为，则动点N的轨迹的长度为________．
【例9-5】(多选题 )直三棱桂中，为棱上的动点，为中点，则( )
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．四面体的外接球表面积为
D．点的轨迹长度为
题型十、立体几何中的最值问题
【例10-1】如图，正方体的棱长为2，M是面内一动点，且，则的最小值为( )
A． B． C． D．2
【例10-2】将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为( )
A． B． C． D．
【例10-3】已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱锥A－BCD的体积为，则线段CD长度的最大值为( )
A． B． C． D．
【例10-4】粽子，古称“角黍”，早在春秋时期就已出现，到晋代成为了端午节的节庆食物．现将两个正四面体进行拼接，得到如图所示的粽子形状的六面体，其中点G在线段CD（含端点）上运动，若此六面体的体积为，则下列说法正确的是( )
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
【例10-5】已知正三棱柱所有顶点都在球O上，若球O的体积为，则该正三棱柱体积的最大值为________.
【例10-6】如图，在三棱锥中，平面平面，，点M在上，，过点M作三棱锥外接球的截面，则截面圆周长的最小值为( )
A． B． C． D．
【例10-7】已知正四棱锥的体积为，则该正四棱锥内切球表面积的最大值为( )
A． B． C． D．
【例10-8】已知四棱锥的底面是矩形，.若四棱锥的外接球的体积为，设是该球上的一动点，则三棱锥体积的最大值为( )
A． B． C． D．
【例10-9】已知三棱锥，为中点，，侧面底面，则过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为( )
A． B． C． D．
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