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第五章 三角函数
5.4.1正弦函数、余弦函数的图象
学案
一、学习目标
1.有条件的利用信息技术工具，让学生经历正弦曲线的生成过程，加深对“五点法”作图的理解.
2.理解正弦曲线与余弦曲线间关系，为以后研究三角函数性质打下基础.
基础梳理
1.归纳正弦函数生成过程
第一步：
第二步：
第三步：
2.根据函数y=sinx，x∈[0,2π]的图像，你能想象函数y=sinx，x∈R的图象吗？
3.在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
4.这几个关键点在图象上的位置
5.用“五点法”作正弦曲线的一般步骤：
6.你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变化为余弦函数的图象？
7.画余弦函数的简图，关键点是哪几个？
8.用“五点法”作余弦曲线的一般步骤：
9.你能利用函数y=sinx，x∈[0,2π]的图象，通过图象变化得到y=1+sinx，x∈[0,2π]的图象吗？同样地，利用函数y=cosx，x∈[0,2π]的图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y=－cosx，x∈[0,2π]的图象？
三、巩固练习
1.函数的部分图象如图所示，则的一条对称轴为( )
A. B. C. D.
2.函数,的简图是( )
A. B.
C. D.
3.用“五点法”画函数的图象时,首先应描出的五点的横坐标是( )
A.0,,,, B.0,,,,
C.0,,,, D.0,,,,
4.函数的图象是( )
A. B.
C. D.
5.用“五点法”作出函数的图象,下列各点中不属于五点作图中的五个关键点的是( )
A. B. C. D.
6.在同平面直角坐标系中，函数的图像和直线的交点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.4
7.（多选）用“五点法”画，的图象时，下列是关键点的是( )
A. B. C. D.
8. （多选）下列在上的区间能使成立的是( )
A. B. C. D.
答案以及解析
基础梳理
1.第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n（这里）等份.把x轴上从0到2π这一段分成n（这里）等份.
第二步：在单位圆中画出对应于角（等价于“列表”）的正弦线.把角的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”）.
第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0,2π]的图象.
2.由诱导公式一可知，函数且的图象与y=sinx，x∈[0,2π]的图象形状完全一致.因此将函数y=sinx，x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象.
3.描出这五个点，y=sinx，x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.
4.这五个关键点分别是图象的最高点，最低点，图象与x轴的三个交点.
5.（1）先描出这五个点；
（2）把这五个点用一条光滑的曲线连接起来，就得到在上的简图；
（3）通过左、右平移（每次平移个单位长度）即得到正弦函数的图象.
6.根据诱导公式，可以把正弦函数的图象向左平移单位长度即得余弦函数的图象.
7.余弦函数的图象中，五个关键点是：
8.（1）先描出这五个点；
（2）把这五个点用一条光滑的曲线连接起来，就得到在上的简图；
（3）通过左、右平移（每次平移个单位长度）即得到余弦函数的图象.
9.能，以函数y=sinx，x∈[0,2π]的图象为基础，将图象上的每一个点都向上平移一个单位长度，所得图象即函数y=1+sinx，x∈[0,2π]的图象.
能，以函数y=cosx，x∈[0,2π]的图象为基础，作它关于x轴的对称图象，所得图象即函数y=－cosx，x∈[0,2π]的图象.
巩固练习
1.答案：D
解析：由得，
方程为.
由图象可知，即，.
令，则，
令得是的一条对称轴，故选D.
2.答案：D
解析：函数的图象与的图象关于x轴对称，易知D中图象符合题意，故选D.
3.答案：B
解析：所描出的五点的横坐标与函数的五点的横坐标相同，即0,,,,.
4.答案：B
解析：结合选项可知选B.
5.答案：A
解析：由五点作图法知五个关键点分别为（0,2），,,,.故选A.
6.答案：C
解析：,取关键点如表所示:
x 0
0
0 1 0
的图像如图所示，由图可知，的图像与直线有两个交点.
7.答案：BC
解析：按五个关键点列表：
x 0 π
0 1 0 -1 0
0 3 0 -3 0
故选BC.
8.答案：AC
解析：在同一平面直角坐标系中作出函数与的部分图象，在内，当时，或,结合图象可知在上，满足的区间是和，故选AC.
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