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第五章 三角函数
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 正弦函数 余弦函数的周期性和奇偶性
学案
一、学习目标
1.理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据定义进行简单的拓展.
2.根据之前所学和图像来研究三角函数的奇偶性，能判断一些三角函数的变式的奇偶性.
基础梳理
1.周期函数：
(1)定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期．
①定义：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数称为函数的最小正周期．②正弦函数与余弦函数的最小正周期：2π.
2. 正弦函数、余弦函数的周期 ：
(1)函数与的周期都是．最小正周期为2π.
(2)函数和 (其中A，ω，φ是常数，
且)的周期为：.
3. 正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦曲线关于原点对称；是奇函数(填“奇”或“偶”)；
(2)余弦曲线关于y轴对称；是偶函数．
三、巩固练习
1.已知函数，则是( )
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
2.使函数为奇函数的的一个值是( )
A. B. C. D.
3.设函数满足,,则函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.下列函数中,周期为,且在上为减函数的是( )
A. B.
C. D.
5.已知函数，则下列结论错误的是( )
A.的最大值是1 B.是周期函数
C.的图像关于直线对称 D.是偶函数
6.设函数在的图像大致如图，则的最小正周期为( )
A. B. C. D.
7.（多选）将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则下列结论中正确的是( )
A.的最小正周期为π B.直线是图象的一条对称轴
C. D.为奇函数
8. （多选）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是( ).
A.是奇函数 B.的周期是π
C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点对称
答案以及解析
1.答案：B
解析：，，
，
是最小正周期为π的偶函数，故选B.
2.答案：D
解析：.当时，是奇函数.
3.答案：B
解析：由，知是偶函数，图象关于y轴对称，排除A、C.由，知的周期为2，排除D.故选B.
4.答案：A
解析：因为函数周期为，所以排除C,D.又因为在上为增函数，故B错误.故选A.
5.答案：C
解析：的最大值是1，故A结论正确；是周期函数，故B结论正确；的图像不关于直线对称，故C结论不正确；是偶函数，故D结论正确.故选C.
6.答案：C
解析：由图像可得，所以，，
则，.
设函数的最小正周期为T，则，即，
所以.所以，，
经验证可知，当时与题图相符.所以的最小正周期，故选C.
【快解】由图像观察可得，所以.故选C.
7.答案：ACD
解析：将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,所以的最小正周期为,故选项A正确;令,得,故易知选项B错误;,所以选项C正确;,所以是奇函数,所以选项D正确.故选ACD.
8.答案：AC
解析：将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象，
所以是奇函数，且图象关于直线对称.故选AC.
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