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第五章 三角函数
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第2课时 正弦函数 余弦函数的单调性和最值
学案
一、学习目标
1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化规律，通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质.
2.能够利用单调性解决一些问题，比如比较大小，求最值等.
基础梳理
正弦函数、余弦函数的图象和性质
解析式 y＝sin x y＝cos x
图象
值域
单调性 在上单调递增， 在 上单调递减 在上单调递增， 在上单调递减
最值 时，；时， 时， ，时，
三、巩固练习
1.函数，的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
2.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列说法正确的是( )
A.为奇函数
B.
C.当时，在上有4个零点
D.若在上单调递增，则的最大值为6
3.关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间单调递增；
③在有4个零点；
④的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③
4.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则( )
A.的最大值为2 B.的最小正周期为π
C.为奇函数 D.的图象关于直线对称
6.设函数，则下列结论错误的是( )
A.的一个周期为
B.的图象关于直线对称
C.的一个零点为
D.在上单调递减
7.（多选）关于函数，下列说法正确的是( )
A.函数在上的最大值为6 B.函数在上的最小值为-2
C.函数在上单调递增 D.函数在上单调递减
8. （多选）已知函数，则( )
A.为的一个周期 B.在上的最大值为1
C.在上单调递减 D. 的一个零点为
1.答案：B
解析：本题考查正弦型函数的单调区间.令，解得，当时，，即函数的单调递增区间是.
2.答案：B
解析：由题意得，则，，即，.
对于A项，，又的定义域为R，故为偶函数，A错误.
对于B项，，B正确.
对于C项，当时，，由，，得，，
因为，所以x可以取，，，，，即当时，在上有5个零点，C错误.
对于D项，由，，得，，则函数在区间上单调递增，因为在上单调递增，所以，解得，即的最大值为5，故D不正确.故选B.
3.答案：C
解析：的定义域为，，故是偶函数，①正确；
当时，，其在该区间上单调递减，②不正确；
当时，，有两个零点，当时，仅有一个零点，所以在上有三个零点，故③不正确；
当时，，其最大值为2，又是R上的偶函数，所以在R上的最大值为2，④正确.
综上，①④正确，②③不正确.故选C.
4.答案：C
解析：函数在上单调递减，周期，解得.
的单调递减区间满足，，
即，，
存在，使，均成立，此时，，
，即的取值范围是，故选C.
5.答案：D
解析：易知的最大值为，因此A错误；的最小正周期，因此B错误；，
，
则，即不是奇函数，因此C错误；令，，得的图象的对称轴方程为，，当时，，因此D正确.故选D.
6.答案：D
解析：的周期为，，故A中结论正确；，为的最小值，故B中结论正确；，，故C中结论正确；由于，为的最小值，，故在上不单调，故D中结论错误.故选D.
7.答案：BCD
解析：本题考查余弦函数和二次函数的综合.，当时，，最大值为，最小值为.函数在上单调递增，在上单调递减，而二次函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，函数在上单调递减.
8.答案：AD
解析：根据函数，知的最小正周期为，A正确；因为在上单调递减，令，则，当时，.所以在上单调递减，所以在上的最大值为.故B错误；易知函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误；因为，所以D正确.故选AD.
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