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第五章 三角函数
5.7 三角函数的应用
学案
学习目标
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.
2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
知识汇总
在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数，表示，其中，.
（1）振幅：A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大位置.
（2）周期：，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间.
（3）频率：，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数.
（4）相位：；时的相位称为初相.
习题检测
1.已知某人的血压满足函数解析式，其中为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则此人每分钟心跳的次数为( )
A.60 B.70 C.80 D.90
2.音叉是呈“Y”型的钢质或铝合金发声器（如图1），各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定的值为( )
A.200 B.400 C. D.
3.如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角与时间t(s)满足函数关系式，则当时，角的大小，单摆的频率分别是( )
A.， B.2， C.， D.2，
4.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数，则下列时间段内人流量是增加的是( )
A. B. C. D.
5.电流强度I（安培）随时间t（秒）变化的函数的图象如图所示，则时的电流强度为( )
A.0安培 B.安培 C.安培 D.安培
6.如图表示电流强度I与时间t的关系在一个周期内的图象，则该函数解析式可以是( )
A. B.
C. D.
7.在两个弹簧上各有一个小球做上下自由振动，它们的质量分别为和.已知它们在时间离开平衡位置的位移和分别由和确定，则当时，与的大小关系是( )
A. B. C. D.不能确定
8.已知某简谐运动的振幅是，，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐运动的频率和初相是( )
A. B. C. D.
9.如图，一个大风车的半径为6m，12min旋转一周，它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点P从开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h（m）与时间t（min）之间的函数关系式是( )
A. B.
C. D.
10.如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )
A.该质点的运动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
D.该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零
11.某城市一年中12个月的平均气温y与月份x的关系可近似地用函数来表示.已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为_____________℃.
12.如图所示，弹簧下挂着的小球做上下振动.开始时小球在平衡位置上方2 cm处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm，每经过小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移y（cm）（假设向上为正）与振动时间x（s）的关系式可以是________________.
13.如图是一个缆车示意图，该缆车的半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m，缆车每60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面的距离为h m.
（1）求h与之间的函数解析式；
（2）设从OA开始转动，经过t s达到OB，求h与t之间的函数解析式，并计算经过45 s后缆车距离地面的高度.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由函数解析式易知周期为，故频率即为每分钟心跳的次数，为80.
2.答案：D
解析：由题图可得，，，即，则.故选D.
3.答案：A
解析：当时，，由函数解析式易知单摆的周期为，故单摆的频率为.
4.答案：C
解析：由，，得，，所以函数的增区间为，.当时，，而，故选C.
5.答案：A
解析：由题图知，函数的周期，所以，则，将点代入，可得，，.又，，故函数解析式为，将代入函数解析式，得.
6.答案：C
解析：由题图得，，
，.
又函数图象过点，则，，
取，.
7.答案：C
解析：当时，；
当时，，故.
8.答案：C
解析：设该简谐运动的最小正周期为T，由题意可知，，则，则.将点代人，得，即，，.该简谐运动的频率是，初相是.
9.答案：D
解析：设.∵12min旋转一周，，.最大值与最小值分别为14，2，解得..故选D.
10.答案：BC
解析：由题图可知，运动周期为，故A错误；该质点的振幅为5 cm，B正确；由简谐运动的特点知，质点在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故C正确，D错误.故选BC.
11.答案：20.5
解析：当时，；当时，.解得，.所以当时，.
12.答案：（答案不唯一）
解析：不妨设（其中，）.由题知，，所以.当时，，且小球开始向上运动，所以，，不妨取，故所求关系式可以为.
13.答案：（1）以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则以Ox为始边，OB为终边的角为，
故点B的坐标为，
.
（2）易知点A在圆上转动的角速度是，
故t s转过的弧度数为，
，.
当时，.
即经过45 s后缆车距离地面的高度为5.6 m.
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