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综合试题解析与反思
欧阳尚昭
【题1】已知数列满足，且对一切，有，其中．
（1）求证：对一切，有；
（2）求数列的通项公式；
（3）求证：．
【解析】（1）∵，
∴，又
∴．
（2）由及，两式相减得
，化简得，
∵∴，由可得，
由此可得，∴
（3）
【反思】1．本题的第一问和第二问属于常规基础题，第三问采用的裂项法证明不等式，其关键之处有两个地方：一是，它既进行了合情合理地放缩，又得到了数字1；二是，所有的这些努力都是为后续的裂项创造了条件，使得后续工作的开展能够水到渠成；
2．我们说学数学不做题目是不行的，但是做太多了，营养价值不高也没有用．选题要精，要选一些营养高的题目，通过对题目的深入思考，找到解决问题的思路，掌握学习的规律，这样才能够提高学习效率。所以，特别是在复习的最后阶段，以及平时的学习阶段，不同类型的题目要多做一些，同一个类型的题目，做上三四道，体会一下规律就行了．如果同一个类型的题目，做上三四十到五十道，那样的单调反复，对提高学习效率没有什么大的效果．题不求多，但求精彩．这有点儿像吃饭，吃不饱不好，但过饱，甚至饱了还要往肚里塞，不但后塞进去的食物不会吸收，甚至引起肠胃功能紊乱，连开始吃进去的食物都不能消化吸收．同时，营养价值很低的食物吃很多，不如吃适量的高营养的食物．因此，本题的营养价值就在于合情合理地放缩对我们的论证带来了巨大的财富和智慧．
【题2】已知函数（为自然对数的底数），
（1）判断的奇偶性；
（2）在上求函数的极值；
（3）用数学归纳法证明：当时，对任意正整数都有
【解析】（1）∵，∴为R上的偶函数．
（2）当时，，令，有
当变化时，，的变化情况如下表：
0
-

极大值
由表可知，当=时，的极大值为
（3）当时，，考虑到时有：
… ①，所以只要用数学归纳法证明不等式①对一切正整数都成立即可．
（ⅰ）当时，设，∵时，，∴是增函数，故有，
∴当时，不等式①都成立.
（ⅱ）假设时，不等式①都成立，即
当时，设，有，
故为增函数，∴
即这就是说，时不等式①都成立.
根据（ⅰ）、（ⅱ）不等式①对一切正整数都成立.
【反思】1．如何运用数学归纳法证题，应该说对大多数学生都不陌生，然而，本题的数学归纳法却是别有洞天，因为，它在“传统”证法的基础上，有多了一个条件且在其定义域内不断地变化，因而使得本题的证明过程丰富多彩，因为在抓住的证明时，我们看到，无论是证还是时，都需要证及在上恒成立，于是联想函数的单调性，进而利用导数这个有用的工具去解决所待证的问题；
2．要注意进行编织知识网络，帮助同学掌握知识之间的联系，同时要注意用数学思维方法带动知识和技能的复习，使同学们经过系统复习，能够居高临下，能够把握知识之间的先后联系，能够做一道题目会一片，这样能力上才有可能提高，才能发现解题规律．要避免题海战术，老师要深入题海，精选例题，精选深入思想方法，深入基础知识、数学营养比较高的题目，给同学们认真的解剖挖掘，通过对一个题目的审题，发现条件和结论之间的联系，打开解题思路，然后制定解题计划，把题目有条有理的解答出来．解题之后，还要注意总结、拓宽、延伸，努力做到以例积类，这样的话，学生、老师做的题目不算太多，但是营养价值高，思维价值高，学生收益大，就可以提高复习的效力，靠以精取胜，以学生能够把握知识系统来取胜，把握解题规律来取胜，这样学生通过复习，例题的知识网络构建起来了，解题的规律总结出来了，就会变得比较聪明，就会变得比较智慧．
【题3】已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）如果关于的方程有实数根，求实数的取值集合；
（3）是否存在正数，使得关于的方程有两个不相等的实数根？如果存在，求满足的条件；如果不存在，说明理由．
【解析】（1）函数的定义域为，又，
由或；由或．
因此的单调增区间为；单调减区间为．
（2）∵，
∴实数的取值范围就是函数的值域．于是，令，得，并且当时，；当时，，∴时，取得最大值，且，又当无限趋近于0时，无限趋近于无限趋近于0，进而有无限趋近于，∴的值域为．
即的取值集合．
（3）这样的正数不存在．（反证法）
假设存在正数，使得关于的方程有两个不相等的实数根和，则
则
根据对数函数定义域知，
又由（1）知，当时，，
∴，，
再由可得，由于，
∴不妨设，由（*）、（**）可得：，由比例的性质得：
即 ①，由于是区间上的恒正增函数，且，∴，又由于是区间上的恒正减函数，且，∴，
这与①式矛盾，因此，满足条件的不存在．
【反思】1．本题的第（1）问是导数的应用之一 ——求函数的单调区间；本题的第（2）问是求实数的取值范围问题，但实质上是就是函数的值域；这两问属于常规问题；
2．本题的第（3）问也是常见的存在性问题，但处理起来却显得有些与平常不同，在这里，要注意以下几点：①细节问题：如由对数函数的定义域知，在联系到，进而得到，又，于是不妨设；还有函数及函数分别是区间上的恒正增函数和恒正减函数等细节问题，这些细节处理得好，对我们正确地解决问题将起到积极的作用；②转化问题：由比例性质将转化为的目的是为了方便使用复合函数的单调性来解决问题；③矛盾问题：在用反证法的过程中，“矛盾”的出现是由于“自相矛盾”的结果，而推出这个结果产生是由于利用了函数的单调性来导出的．由是观之，本题的营养价值的确是充分的．

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