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2023-2024学年北师大新版九年级上册数学期中复习试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，若去掉上层的一个小正方体，则下列说法正确的是（　　）
A．主视图一定变化 B．左视图一定变化
C．俯视图一定变化 D．三种视图都不变化
2．一元二次方程5x2＝x的解是（　　）
A．5或0 B．或0 C． D．0
3．已知a+b＝2ab，且ab+a+b≠0，则的值为（　　）
A．1 B． C．﹣ D．﹣3
4．如图，已知点D为△ABC边AB上一点，AD：AB＝2：3，过点D作BC的平行线交AC于点E，若AE＝6，则EC的长度是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．小张用手机拍摄得到图（1），经放大后得到图（2），图（1）中线段AB在图（2）中的对应线段是（　　）
A．FC B．EH C．EF D．FH
6．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC：BC的值等于（　　）
A． B． C． D．
7．如图，一束平行的阳光从教室窗户射入，小兵同学量出BC＝1m，NC＝m，BN＝m，AC＝4.5m，MC＝6m，则MA的长为（　　）
A．5m B．7.5m C．6m D．5.5m
8．近几年，我国的环境问题主要表现在污染物排放比较大．为了落实习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”，某工厂从8月份开始降低重金属污染物排放量，到10月份时该厂的重金属污染物排放量下降至原来的60%，设该工厂8月份到10月份重金属污染物排放量平均每月的下降率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．60%（1﹣x）2＝1 B．（1﹣x）2＝60%
C．（1﹣x）2＝1﹣60% D．（1﹣60%）（1﹣x）2＝1
9．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．5
10．如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN，OM，则下列结论错误的是（　　）
A．△AMN是等边三角形
B．MN的最小值是
C．当MN最小时，S△CMN＝S菱形ABCD
D．当OM⊥BC时，OA2＝DN AB
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则m的值为 　 　．
12．如果4是a和2的比例中项，那么a＝　 　．
13．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外其他完全相同，小明经过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在25%和35%，则口袋中白色球的个数可能是 　 　个．
14．四张背面相同的卡片，分别为，1，2，3，洗匀后背面朝上，先从中抽取一张，把抽到的点数记为a，再在剩余的卡片中抽取一张点数记为b，则点（a，b）恰好落在一次函数y＝﹣2x+4与坐标轴所围成的三角形区域内（含边界）的概率为 　 　．
15．如图是某风车的示意图，其大小相同的四个叶片均匀分布，点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光恰好垂直照射叶片OA，OB，叶片影子为线段CD，测得MC＝8.5米，CD＝13米，此时垂直于地面的标杆EF与它的影子FG的比为2：3（其中点M，C，D，F，G在水平地面上），则OM的高度为 　 　米，叶片OA的长为 　 　米．
16．在同一平面内有2021条直线a1，a2，a3，…，a2021，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a2021的位置关系是 　 　．
三．解答题（共10小题，满分86分）
17．已知y1＝2x2+3x，y2＝﹣5x+10．x为何值时，y1与y2的值相等？
18．已知实数a，b，c满足，求的值．
19．已知，如图， ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠DCB，交AD于点F．求证：△ABE≌△CDF．
20．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）若DE＝3，，求BC的长．
21．两棵小树在同一个路灯下的影子如图所示．
（1）确定路灯灯泡的位置，并在适当的位置画出灯杆．
（2）画出图中表示婷婷影子的线段．
（3）若左边树AB的高度是3m，影长是4m，树AB离灯杆的距离是2m，求灯杆的高度．
22．“新冠”疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如表：
普通口罩 N95口罩
进价（元/包） 8 20
售价（元/包） 12 28
按表中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．
23．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，﹣2）、B（4，﹣1）、C（3，﹣3）．
（1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2：1，并写出点B1的对应点B2的坐标．
24．为深入学习贯彻党的二十大精神，某校团委组织开展了“学习二十大奋进新征程”党史知识竞赛，团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩分为A，B，C，D四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如图不完整的条形和扇形统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 　 　，圆心角α＝　 　度；
（2）已知该中学共有1500名学生，估计此次竞赛该校获A等级的学生人数为多少人？
（3）若在这次竞赛中有甲，乙，丙，丁四人成绩均为满分，现从中随机抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到甲，乙两人同时参赛的概率．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，∠ABC＝30°，点D，E分别在边AB，AC上，在线段ED左侧构造Rt△DEF，使△DEF∽△BCA．
（1）如图1，若AD＝BD，点E与点C重合，DF与BC相交于点H．求证：2CH＝BH．
（2）当AE＝2时，连接BF，取BF的中点G，连接DG．
①如图2，若点F落在AC边上，求DG的长．
②是否存在点D，使得△DFG是直角三角形？若存在，求AD的长；若不存在，试说明理由．
26．已知：等腰Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）如图1，直线l过点B，过点A作AD⊥l于D，连接CD．
①填空：∠CAD+∠CBD＝　 　°；
②求的值．
（2）如图2，∠CEB＝45°，连接AE，求证：AE2＝2CE2+BE2．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．解：若去掉上层的一个小正方体，
主视图一定变化，上层由原来的两个小正方形变为一个小正方形，
俯视图不变，即底层中间是一个小正方形，上层是三个小正方形；
左视图不变，即底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形；
故选：A．
2．解：∵5x2＝x，
∴x（5x﹣1）＝0，
∴x＝0或x＝，
故选：B．
3．解：原式＝，
将a+b＝2ab代入，得
原式＝＝＝﹣．
故选：C．
4．解：∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝9，
∴EC＝AC﹣AE＝9﹣6＝3，
故选：C．
5．解：由位似变换的性质可知，点A、E是对应顶点，
点B、F是对应顶点，
点D、H是对应顶点，
所以，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是EF．
故选：C．
6．解：∵AC＞BC，
∴AC是较长的线段．
∴AB：AC＝AC：BC，
AC＝AB，
∴AC：BC＝．
故选：B．
7．解：∵BN∥AM，
∴△BCN∽△ACM，
∴＝，
∵BC＝1m，BN＝m，AC＝4.5m，
∴＝，
∴MA＝7.5（m）．
故选：B．
8．解：依题意得：（1﹣x）2＝60%．
故选：B．
9．解：如图，设AC与EF的交点为O，
∵EF是对角线AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，AC⊥EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，∠AEO＝∠CFO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形，
∴AF＝FC，
∵AD＝2AB＝8，
∴AB＝4，
∵AB2+BF2＝AF2，
∴16+（8﹣CF）2＝CF2，
∴CF＝5，
∵∠B＝90°，AB＝4，AD＝BC＝8，
∴AC＝4，
∵S菱形AFCE＝CF AB＝×AC EF，
∴5×4＝×4 EF，
∴EF＝2，
故选：B．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACD＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠ABM＝∠ACN＝60°，AB＝AC，
∵∠MAN＝60°，
∴∠BAM＝∠CAN＝60°﹣∠CAM，
∴△BAM≌△CAN（ASA），
∵AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形，
故选项A正确；
当AM⊥BC 时，AM的值最小，此时MN的值也最小，
∵∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2，
∴MN＝AM＝AB sin60°＝2×＝，
∴MN的最小值是，
故选项B错误；
∵AM⊥BC 时，MN的值最小，此时BM＝CM，
∴CN＝BM＝CB＝CD，
∴DN＝CN，
∴MN∥BD，
∴△CMN∽△CBD，
∴＝＝＝，
∴S△CMN＝S△CBD，
∵S△CBD＝S菱形ABCD，
∴S△CMN＝×S菱形ABCD＝S菱形ABCD，
故选项C正确；
∵CB＝CD，BM＝CN，
∴CB﹣BM＝CD﹣CN，
∴CM＝DN，
∵OM⊥BC，
∴∠CMO＝∠COB＝90°，
∵∠OCM＝∠BCO，
∴△OCM∽△BCO，
∴＝，
∴OC2＝CM CB，
∴OA2＝DN AB，
故选项D正确，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．解：∵关于x的方程2x2+mx﹣4＝0有一根是1，
∴2+m﹣4＝0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
12．解：∵4是a与2的比例中项，
∴a：4＝4：2，
∴2a＝16，
解得a＝8．
故答案为：8．
13．解：根据题意，袋中红色球和黑色球的总个数约为50×（25%+35%）＝30（个），
∴口袋中白色球的个数可能是50﹣30＝20（个），
故答案为：20．
14．解：画树状图得：
由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中点（a，b）恰好落在一次函数y＝﹣2x+4与坐标轴所围成的三角形区域内（含边界）的有（1，2），（1，），（，1），（，2），（，3），一共5种结果，
所以点（a，b）恰好落在一次函数y＝﹣2x+4与坐标轴所围成的三角形区域内（含边界）的概率为．
故答案为：．
15．解：如图，过点O作OP∥BD，交MG于P，过P作PN⊥BD于N，则OB＝PN，
∵AC∥BD，
∴AC∥OP∥BD，
∴＝，∠EGF＝∠OPM，
∵OA＝OB，
∴CP＝PD＝CD＝6.5（米），
∴MP＝CM+CP＝8.5+6.5＝15（米），
∵tan∠EGF＝tan∠OPM，
∴＝＝，
∴＝，
∴OM＝×15＝10（米）；
∵DB∥EG，
∴∠EGF＝∠NDP，
∴sin∠EGF＝sin∠NDP，
∴＝，
∴OB＝PN＝米．
∴OA＝OB＝米．
故答案为：10；．
16．解：如图，a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，
∴a1⊥a2，a1⊥a3，a1∥a4，a1∥a5，
依此类推，a1⊥a6，a1⊥a7，a1∥a8，a1∥a9，
∴2021÷4＝505…1，
∴a1∥a2021．
故答案为：平行．
三．解答题（共10小题，满分86分）
17．解：由题意，得2x2+3x＝﹣5x+10，
即2x2+8x﹣10＝0，
x2+4x﹣5＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣5，
∴当x为1或﹣5时，y1与y2的值相等．
18．解：设＝k，
则b+c＝ak，c+a＝bk，a+b＝ck，
相加得：2（a+b+c）＝（a+b+c）k，
分两种情况讨论：
（1）当a+b+c≠0时，k＝2；
（2）当a+b+c＝0时，
则b+c＝﹣a，
∴＝＝﹣1，
所以k的值是2或﹣1．
19．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠DCB，
∵AE平分∠A，CF平分∠C，
∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠DCB，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
20．（1）证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，
∴AF⊥BC，AG⊥DE，
∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，
∵∠BAF＝∠DAG，
∴∠B＝∠ADG，
又∵∠EAD＝∠BAC，
∴△ABC∽△ADE；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，
∴，
∵，BC＝3，
∴，
∴BC＝．
21．解：（1）如图，点P即为灯泡所在位置；PQ是灯杆；
（2）如图，线段DE即为婷婷的影长；
（3）由题意知，AB＝3m，BC＝4m，BQ＝2m，
∵AB∥PQ，
∴△BCA∽△QCP，
∴＝，
∴＝，
∴PQ＝4.5（m），
∴灯杆的高度为4.5m．
22．解：设普通口罩每包售价为x元，则每包的销售利润为（x﹣8）元，日均销售量为120+20（12﹣x）＝（360﹣20x）包，
依题意得：（x﹣8）（360﹣20x）＝320，
整理得：x2﹣26x+160＝0，
解得：x1＝10，x2＝16，
又∵该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，
∴x＝10．
答：此时普通口罩每包售价为10元．
23．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点B1的坐标（﹣1，2）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点B2的坐标（﹣2，4）．
24．解：（1）由C组信息可得：本次调查的样本容量是40÷40%＝100，
圆心角，
故答案为：100，126；
（2）该中学共有1500名学生，估计此次竞赛该校获A等级的学生人数有（人
答：估计此次竞赛该校获A等级的学生约150人．
（3）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 乙甲 丙甲 丁甲
乙 甲乙 丙乙 丁乙
丙 甲丙 乙丙 丁丙
丁 甲丁 乙丁 丙丁
任选2人参加县级比赛共有12种等可能的结果，其中选中甲、乙2人共有2种，故甲，乙二人同时参加县级比赛的概率为：；
25．（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CD＝AD＝BD，
∵∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠ACD＝∠ADC＝60°，
∴∠HCD＝30°，
∵△DEF∽△BCA，
∴∠HCD＝∠HDC＝∠ABC＝30°，∠DFE＝60°，
∴CH＝HD，
∵∠ADC＝60°，∠HDC＝∠ABC＝30°，
∴∠HFB＝90°，
∴2DH＝BH，
∴2CH＝BH；
（2）解：①延长DA至I，使AI＝DA，连接FI，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，∠ABC＝30°，
∴AB＝12，BC＝＝6，
∵点F落在AC边上，
∴∠DFA＝∠A＝60°，
∴△AFD是等边三角形，
∵AE＝2，
∴AD＝AF＝AI＝4，
∴BD＝DI＝8，
∵G是BF的中点，
∴2DG＝FI，
∵AF＝AI，∠A＝60°，
∴∠AFI＝∠I＝30°，
∴∠DFI＝90°，
∴FI＝＝4，
∴DG＝2；
②由①可知，DG∥FI，
∴∠BDG＝∠I＝30°，
∴∠FDG＝180°﹣∠BDG﹣∠FDA＝90°，
∴△DFG是直角三角形，此时AD＝4；
如图，∠DGF＝90°时，
∵G是BF的中点，
∴DB＝FD，
作DW⊥AC于W，
设AD＝2x，则AW＝x，WD＝x，DB＝FD＝12﹣2x，EW＝x﹣2，
∵△DEF∽△BCA，
∴EF＝6﹣x，ED＝，
（）2+（x﹣2）2＝（6﹣x）2，
解得：x＝6﹣16或﹣6﹣16（舍去），
此时，AD＝12﹣32；
如图，∠DFG＝90°时，作DO⊥AC于O，FN⊥AC于N，FM⊥BC于M，交DO于Q，GP⊥FM于P，
设AD＝2x，则AO＝x，OD＝x，DB＝12﹣2x，EO＝2﹣x，
∵△DEF∽△BCA，
∴，
∵∠FNE＝∠DOE＝∠DEF＝90°，
∠DEO+∠ODE＝90°，∠DEO+∠FEN＝90°，
∴∠ODE＝∠FEN，
∴△ODE∽△NEF，
∴，
∴EN＝x，FN＝，CN＝FM＝6﹣2﹣x＝4﹣x，BM＝6﹣FN＝6﹣，
由△DFQ∽△FGP得，，
∴，
化简得，x2+17x﹣14＝0，
解得：x＝或（舍去），
此时AD＝﹣17；
当∠GDM＝90°时，如图，构造△GDP∽△DFQ，
由GP＝4﹣，PD＝3﹣﹣＝，DQ＝x﹣＝，FQ＝2，
∴，
化简得，7x2﹣25x+22＝0，
∴x1＝2（舍），x2＝，
∴AD＝，
综上所述，AD的长为﹣17或12﹣32或4或．
26．（1）解：①∵AD⊥l于D，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠CBD＝360°﹣∠ADB﹣∠ACB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
故答案为：180；
②如图1，延长DB至M，使BM＝AD，连接CM，
由①可知，∠CAD+∠CBD＝180°，
∵∠CBM+∠CBD＝180°，
∴∠CAD＝∠CBM，
在△CAD和△CBM中，
，
∴△CAD≌△CBM（SAS），
∴CD＝CM，∠ACD＝∠BCM，
∴∠BCM+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝90°，
即∠DCM＝90°，
∴△CDM是等腰直角三角形，DM＝＝CD，
∵DM＝BD+BM＝BD+AD，
∴BD+AD＝CD，
∴＝＝；
（2）证明：如图2，过点C作CF⊥CE，使CF＝CE，连接EF、BF，
则△CEF是等腰直角三角形，
∴EF2＝CE2+CF2＝2CE2，∠CEF＝45°，
∴∠BEF＝∠CEF+∠CEB＝45°+45°＝90°，
∴BF2＝EF2+BE2＝2CE2+BE2，
∵∠ACB＝90°，∠ECF＝90°，
∴∠ACB+∠BCE＝∠ECF+∠BCE，
即∠ACE＝∠BCF，
在△ACE和△BCF中，
，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，
∴AE2＝2CE2+BE2．

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