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人教版八年级数学上册 14.1.4 整式的乘法 导学案
【知识清单】
1.单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2.单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).
3.多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.
【典型例题】
考点1：同底数幂
例1．若，，求的值（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】把化为，再把，代入进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
；
故选B
【点睛】本题考查的是幂的乘方运算的逆运算，同底数幂的除法运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键．
考点2：单项式及运算
例2．已知单项式与的积为，那么、的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】2．B
【分析】按照单项式乘单项式计算单项式与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案．
【详解】解：∵，单项式与的积为，
∴，，
故选：B
【点睛】此题考查了单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
考点3：多项式及运算
例3．如果的乘积中不含的一次项，则为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用多项式乘以多项式展开，含的一次项的系数为零即可求解．
【详解】解：
，
∵乘积中不含的一次项，
∴，解得，，
故选：．
【点睛】本题主要考查整式的乘法运算，不含某次项的运算，掌握整式乘法运算法则是解题的关键．
考点4：整式及运算
例4．等式 中的括号内应填入（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用整式的乘法运算法则、乘除法互为逆运算及幂的运算法则求解．
【详解】由原式，得
∴括号中式子应为．
故选C．
【点睛】本题主要考查整式的乘法运算、乘除法互为逆运算、幂的运算法则等知识；能够运算乘、除法互为逆运算的性质，对原等式进行变形是解题关键．
【巩固提升】
选择题
1．如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x是48，则经过2022次输出的结果是（ ）

A．3 B．6 C．12 D．24
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若单项式和的积为，则ab的算术平方根为（ ）
A． B． C．5 D．10
5．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．某校利用课后服务开展了主题为“浸润书香，放飞悦读”的读书活动．现需购买甲，乙两种图书共300本供学生阅读，其中甲种图书的单价为元/本，乙种图书的单价为元/本，若购买甲种图书本，则该校购买甲乙两种图书总费用为（　　）
A．元 B．元
C．元 D．元
7．若a，b均为整数，且，则等于（ ）
A．6 B．8 C．9 D．16
8．已知，则代数式的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
9．如果，那么的值为（ ）
A．21 B．29 C． D．
10．有若干张如图所示的正方形，和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的长方形，则需要卡片的张数为( )

A．5 B．4 C．3 D．2
11．观察下列等式：，，，由此可得：若，则的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．
12．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　）
①小长方形的较长边为；
②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值．
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④
13．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是(　　)

A． B． C． D．
二、填空题
15．已知与为同类项，求 ．
16．若，则的值为 ．
17．根据如图所示的，，三个图所表示的规律，依次下去第个图中平行四边形的个数是 ．

18．已知，，则的值为 ．
19．计算（为常数）的值，把x，y的值代入计算时，粗心的小明把y的值看错了，其结果等于9，细心的小红把正确的x，y的值代入计算，结果恰好也是9，为了探个究竟，小红又把y的值随机地换成了2023，结果竟然还是9，根据以上情况，探究其中的奥妙，可以推断出n的值为 ．
三、解答题
20．请按下列程序计算，把答案写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这样的规律？

(1)填写表格内的空格：
输入 3 2 1 ……
输出答案 ……
(2)你发现的规律是： ．
(3)请用符号语言论证你的发现．
21．计算下列各题：
(1)；
(2)．
22．已知．
(1)求A和B；
(2)若y满足，请用含x的代数式表示y；
(3)在（2）的条件下，当时，求的值．
23．先化简，再求值：，其中；
24．化简求值：，其中．
25．观察等式．
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
总结规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：______ ；
(2)写出第n个等式：______ 用含n的式子表示；
(3)求……的值．
26．化简求值，已知，其中满足．
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【分析】由程序图可知，第一次输入，输出结果为，第二次输入，输出结果为，第三次输入，输出结果为，第四次输入，输出结果为，第五次输入，输出结果为，第六次输入，输出结果为，第七次输入，输出结果为，第八次输入，输出结果为，进而可推导一般性规律为：从第三次开始，每三次为一个循环，根据，可确定经过2022次输出的结果．
【详解】解：第一次输入，输出结果为，
第二次输入，输出结果为，
第三次输入，输出结果为，
第四次输入，输出结果为，
第五次输入，输出结果为，
第六次输入，输出结果为，
第七次输入，输出结果为，
第八次输入，输出结果为，
∴推导一般性规律为：从第三次开始，每三次为一个循环，
∴，
∴经过2022次输出的结果是6，
故选：B．
【点睛】本题考查了程序流程图与代数式求值，数字类规律探索．解题的关键是找出一般性变化规律．
2．D
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方法则分别计算即可判断．
【详解】解：A、，故错误，不合题意；
B、不能合并，故错误，不合题意；
C、，故错误，不合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方，熟练掌握这些法则是解题的关键．
3．D
【分析】根据合并同类项、幂的乘方、积的乘方、单项式乘以单项式的运算法则进行运算即可．
【详解】A、与x不是同类项，不能合并，该选项错误；
B、，该选项错误；
C、，该选项错误；
D、，该选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、单项式乘以单项式等运算法则，解题的关键是熟知各种运算法则的具体应用．
4．C
【分析】根据单项式乘单项式的运算法则，和同底数幂的乘法法则，求出，再进行计算即可．
【详解】解：，
∴，解得：，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查单项式乘单项式，以及求一个数的算术平方根．熟练掌握单项式乘单项式的乘法法则是解题的关键．
5．B
【分析】根据合并同类项，整式乘法运算，同底数幂的乘法运算，积的乘方运算即可求解．
【详解】解：、，故原选项错误，不符合题意；
、，故原选项正确，符合题意；
、，故原选项错误，不符合题意；
、，故原选项错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，掌握合并同类项，同底数幂的乘法运算，积的乘方运算的方法，单项式乘以多项式的计算方法等知识是解题的关键．
6．D
【分析】先根据题意求出乙种图书的数量，再求出甲乙两种图书的总费用即可．
【详解】解：∵甲，乙两种图书共300本，甲种图书有本，
∴乙种图书有本，
甲种图书的单价为元/本，乙种图书的单价为元/本，
∴该校购买甲乙两种图书总费用为
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根据题意列代数式，读懂题意是解题的关键．
7．C
【分析】根据得到，则，求出，代入即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
解得，
∴，
故选：C
【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式相等，熟练掌握单项式乘多项式乘法法则是解题的关键．
8．B
【分析】根据，得到，整体代入代数式进行求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
；
故选B．
【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握多项式乘多项式法则，以及整体思想，是解题的关键．
9．B
【分析】根据多项式乘多项式法则把等式的左边展开，根据题意求出m、n的值，计算即可．
【详解】解：，
则，，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
10．A
【分析】根据题意，求得长方形的面积，进而根据题意，即可求解．
【详解】解：∵，
∴需要卡片的张数为张，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
11．C
【分析】根据题意得到，又由得到，则可得，即可得到的值
【详解】解：由题意可知，，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C
【点睛】本题考查整式的运算规律，解题的关键是分析归纳等式，找到规律．
12．A
【分析】由题意知，小长方形的较长边为，阴影A的较短边为，较长边为，阴影B的较短边为，较长边为15，根据各说法列代数式求解，进而可判断各说法的正误．
【详解】解：由题意知，小长方形的较长边为，①正确，故符合要求；
阴影A的较短边为，阴影B的较短边为，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；②错误，故不符合要求；
阴影A的较长边为，阴影B的较长边为15，
∴阴影A和阴影B的周长和为，
∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值，③正确，故符合要求；
当时，阴影A和阴影B的面积和为，④错误，故不符合要求；
∴正确的有①③，
故选：A．
【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算．正确的列代数式表示阴影的边长是解题的关键．
13．D
【分析】根据积的乘方运算法则，即可判断A；根据合并同类项法则，即可判断B；根据单项式乘以单项式运算法则，即可判断C；根据多项式除以单项式的运算法则，即可判断D．
【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意；
B、，不是同类项，不能合并，故B不正确，不符合题意；
C、，故C不正确，不符合题意；
D、，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式混合运算的运算法则和运算顺序．
14．A
【分析】根据程序图可得：，再计算即可求解．
【详解】解：根据程序图可得：，
即最后输出的结果是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式四则混合运算，理解程序图，熟练掌握整式四则混合运算法则是解题的关键．
15．2
【分析】首先根据同底数幂的除法法则、幂的乘方运算法则将转变为，再根据同类项的定义可知，然后将其代入求值即可．
【详解】解：∵，
又∵与为同类项，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法、幂的乘方运算、同类项的定义以及代数式求值等知识，熟练掌握同类项的定义以及相关运算法则是解题关键．
16．4
【分析】先利用单项式乘单项式法则计算，再根据等式得到指数间关系，最后求出．
【详解】解：∵
，
∴，
∴①，②．
∴，得．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘单项式法则是解决本题的关键．
17．
【分析】首先发现第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，由此发现规律解答即可．
【详解】解：第一个图中平行四边形的个数是个，
第二个图中平行四边形的个数是，
第三个图中平行四边形的个数是，
第个图中平行四边形的个数是，
因此第个图中平行四边形的个数是个；
故答案为：．
【点睛】本题考查图形的变化规律，找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第个图中平行四边形的个数为，是解题的关键．
18．
【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出，然后代值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．
19．
【分析】根据已知，原式的值与y的取值无关，化简后令相关项的系数为0，即可解得答案．
【详解】解：
根据已知，原式的值与y的取值无关，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是读懂题意，列出关于n的方程．
20．(1)3，2，1
(2)无论输入什么数，输出的结果和原数相等
(3)见解析
【分析】（1）根据程序流程图代值计算即可；
（2）根据（1）所求可以发现无论输入什么数，输出的结果和原数相等；
（3）设输入的数字为n，只需要证明即可．
【详解】（1）解：当时，输出的结果为：
；
当时，输出的结果为：
；
当时，输出的结果为：
；
填表如下：
输入 3 2 1 ……
输出答案 3 2 1 ……
（2）解：由（1）可知，无论输入什么数，输出的结果和原数相等，
故答案为：无论输入什么数，输出的结果和原数相等；
（3）解：设输入的数字为n，
由程序计算得：．
∴无论输入什么数，输出的结果和原数相等．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，整式的四则混合计算，正确理解题意是解题的关键．
21．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据积的乘方，单项式乘以单项式法则计算即可；
（2）根据多项式乘多项式法则作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，积的乘方，单项式乘以单项式等知识点，掌握其法则是解本题的关键．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用多项式除以单项式法则得到A，利用单项式乘以多项式法则即可得到B；
（2）把（1）中求得的A和B代入即可得到答案；
（3）把代入（2）中关系式得求得，再整体代入即可得到答案．
【详解】（1）解：，
；
（2）由，得到
；
（3）把代入（2）中关系式得，
解得．
原式．
【点睛】此题考查了整式的乘法和除法，代数式的求值，熟练掌握多项式除以单项式法则、单项式乘以多项式法则、整体代入是解题的关键．
23．，
【分析】利用多项式乘以多项式和单项式乘以多项式计算法则进行计算，再合并同类项，化简后，再代入x的值可得答案．
【详解】原式
，
当时，
原式；
【点睛】此题考查了整式的混合运算--化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键．
24．，
【分析】根据整式的乘法法则，直接相乘，然后合并同类项即可化简，再将代入求值．
【详解】解：
，
将代入得，原式．
【点睛】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)……的值是
【分析】先根据已知算式得出规律，再根据得出的规律得出答案即可；
先根据已知算式得出规律，再根据得出的规律得出答案即可；
原式乘，再根据得出的规律进行计算即可．
【详解】（1）第5个等式是
故答案为：；
（2）第n个等式是
故答案为：；
（3）……
……
，
即……的值是
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，数字的变化类等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
26．，
【分析】运用整式乘除法运算法则化简，再代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查整式的乘除法运算，掌握其运算法则是解题的关键．
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