资源简介 千淘万漉虽辛苦,吹尽黄沙始到金——探中考试题,助课改顺行上饶市教研室 董乐华2007年江西省中考数学试卷总体上以《中考说明》为基本依据，参照了《课标》中“评价建议”的要求，坚持了以学生的发展为本.三个特点:①考查学生对三基的理解与掌握，②注重了能力立意，③控制了难度。发挥功能：充分挖掘了各种已有题型的功能，积极开发形式新颖的试题，充分发挥了引导“按课程标准理念所提倡的教学方式进行学习和教学” 、“激励学生的学习和改进教师的教学”的作用，有助于推进新课程的顺利进行。下面具体说明：一．试题依据《中考说明》，关注全体，重视基础——彰显教学过程抓基础的重要性1.试题特点（1）试题首先关注了《课标》中最基础、最核心的内容.我们的《中考说明》是以《课标》为指导的,试题根据《中考说明》,整卷通过三种题型(填空、选择、解答)①覆盖了课标中85%以上的三级知识点(课标中共计43个)；②基本概念和基本技能的占分不低于90分，约75％以上；③对核心知识、主干知识的考查达到了70％以上。（2）考查了学生的数感、符号感、空间观念、统计观念的掌握程度。①数感例1：（江西第6题） 在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是 .点评: 1.实数与数轴上点的一一对应关系;2.无理数的估算; 3. 实数的大小比较。4.数形结合的思想; 4.与题目“在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是 .”比较,感觉更适合考生, 抓住了数学的本质属性.例2：（江西第14题）已知:是整数, 则满足条件的最小正整数n为【 】A. 2 B. 3 C. 4 D. 5点评:此题涉及数的分解,开平方, 完全平方等基本知识.题小, 巧,清爽, 入口也宽.最典型的解法是用排除法.②符号感例3：（江西第5题） 在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量x（升）的函数关系式是 .点评：1.此题主要是考查直接列式建立函数关系式，稍有生活常识的考生一边读题, 一边会从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，脑子里会显现出加油机显示器上那不断跳跃着的两组数字说明它们的函数关系是一次函数关系. 尤其显示器中示数的跳动形象地表现了两个变量变化情景，准确地提示了函数最本质的东西，题中知识形成和思维的展开显得自然和谐。2.和下题进行比较: 变式: 如图是某加油站为一辆过往客车加油时出现的几组瞬间数字，请根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）建立平面直角坐标系，猜想并验证付款数与加油量的函数关系式；（2）若司机随身只携带了250元，则至多能加油多少升？③空间观念例4：（江西第15题） 如图，桌面上放着1个长方体和1个圆柱体,按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是【 】④统计观念例5：（江西第20题）某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委,并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）：方案1 所有评委所给分的平均数.方案2 在所有评委所给分中,去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数.方案3 所有评委所给分的中位数.方案4 所有评委所给分的众数.为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验. 下面是这个同学的得分统计图：（1）分别按上述4个方案计算这个同学的演讲最后得分；（2）根据（1）中的结果,请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分.点评: 此题有效地考查了统计中最本质的概念和性质。（3）注重数学思想的考查――函数思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、辅助元思想、化归思想、抽象概括、运动变化思想、用样本估计总体思想等。题号考查知识点数学思想方法5正比例函数的应用函数、建模思想6实数的意义数形结合思想9二次函数与方程转化思想，数形结合思想14根式化简转化化归思想18分式的运算转化化归思想20统计应用样本估计总体思想21二次函数的最值数形结合思想23方程及方程组的应用数学建模思想，分类讨论思想24三角形外心圆切线图形变换运动变化思想25坐标系上的点、平行四边形及抛物线上的点等分类讨论、转化化归、数形结合、函数与方程思想试题中重点考查了分类讨论、数形结合、转化化归思想。例6：（江西第25题）实验与探究 (1)在图1、2、3中,给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标(如图所示),试写出图1、2、3中的顶点C的坐标,它们分别是（5，2）、 、 ；（2）在图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标（如图所示），试写出顶点C的坐标 （C点坐标用含a,b,c,d,e,f的代数式表示），并加以证明；归纳与发现（3）通过对图1、2、3、4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A（a,b）、B(c,d)、C(m,n)、D(e,f)(如图4)时，则四个顶点的横坐标a、c、m、e之间的等量关系为 ；纵坐标b、d、n、f之间的等量关系为 ；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线和三个点G（）、S（）、H（2c,0）(其中c＞0)，问当c为何值时, 该抛物线上存在点P，使得以G、S、H、P为顶点的四边形是平行四边形? 并求出所有符合条件的P点坐标. 点评: 此题中涉及的数学思想很多. 2．导教作用在平时的教与学中，我们对教科书的基础知识、基本技能、基本方法要达到非常熟练，对每一个知识点都必须熟练掌握，绝不能存在侥幸心理，尤其是对支撑学科体系的重要知识点，更要加倍小心，真正达到以不变应万变、融会贯通。进入复习阶段要:(1)重视归纳、梳理，突出“双基”要求①首先是归纳、梳理已学过的数学知识。方法：a、纵向归纳和梳理。b、横向归纳与梳理。例7：（江西第9题）已知二次函数y=的部分图象如图所示, 则关于x的一元二次方程 的解为 . 点评：渗透了函数思想、数形结合思想例8：根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是【 】6.176.186.196.20A． B． C． D．②反思并巩固已知的基本知识与基本技能基本知识是指数学概念、定理、法则、公式及其各种知识之间的内在联系；基本技能包括运算技能、作图技能、运用数学语言和符号的技能、简单的合情推理和初步的演绎推理技能，以及基本的数学素养。例9：（江西第7题）如图, 在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=80°，,则 = 度. 点评：例10：（江西第10题）如图，已知∠AOB,OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形. 请你只用无刻度的直尺在图中画出 的平分线(请保留画图痕迹). 点评：（2）立足数学的通解通性通法，抓住知识的本质属性所谓数学的通性通法，是指《课标》中规定要掌握的运算法则、性质、公式、方程、基本图形、函数图象及解析式、统计图表等，中学里主要应用的有配方法、换元法、待定系数法、消元法等；所谓通解，是指抓住知识的本质属性，重视那些对大部分学生都适用的解题方法，因为中考试卷的考查内容、试题素材和试卷形式对每一位学生而言都会尽量做到是公平的。当然复习中还应关注那些具有特殊才能和需要特殊帮助的学生，他们各自的数学认知特征、已有的数学活动经验差异较大，要给他们提供适当的机会来表达自己的数学才能。例11.(2006安徽省)按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝时，这种变换满足上述两个要求；（可变式）（2）若按关系式y＝a(x－h)2＋k (a＞0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式．（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）点评：（3）关注例、习题中的数学思想教学中，要注意例题的精讲，鼓励学生多练，波利亚说过：解题的价值不是答案本身，而是在于弄清“怎样想到这个解法的，是什么促使你这样想这样做的”。即引导学生悟出题中蕴涵的数学思想，在练中寻找规律，提炼思想，总结方法，如涉及绝对值、不等式、方程及函数的问题等就探究能否借助几何的直观性来解决，反之亦然。如此形成数学习惯，以起到举一反三，事半功倍之效果。例12.（贵阳市）如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求D点的坐标．（2）求一次函数的解析式．（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数的值的的取值范围．分析与解答 （1）由图2－4－20可得C（0，3）．∵抛物线是轴对称图形，且抛物线与轴的两个交点为A（－3，0）、B（1，0），∴抛物线的对称轴为，D点的坐标为（－2，3）．（2）设一次函数的解析式为，将点D（－2，3）、B（1，0）代入解析式，可得，解得．∴一次函数的解析式为．（3）当时，一次函数的值大于二次函数的值．点评：本例是一道纯函数知识的综合题，主要考查了二次函的对称性、对称点坐标的求法、一次函数解析式的求法以及数形结合思想的运用等．二．试题坚持以生为本,注重了能力立意——教学中加强学生数学能力的培养1．试题特点（1）增加了学生数学思维能力的考查例13：（江西第8题）如图, 点A、B是⊙O上两点, AB =10,点P是⊙O上的动点(P与A, B不重合), 连结AP、PB, 过O分别作OE⊥AP于E, OF⊥PB于F, 则EF = .（2）考查数学的应用意识通过如第5题、第13题、第20题、第23题等形式，重视联系实际，透视生产和社会热点，力举创设新的情景，考查数学的应用意识。例14：（江西第23题）2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预订.下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用8000元预订10张下表中比赛项目的门票.（1）若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票，试问可以订男篮门票和乒乓球门票各多少张？（2）若在现有资金允许的范围内和总票数不变的前提下，他想预订上述三种球类门票，其中男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用，试求他能预订三种球类门票各多少张？（3）重视演绎推理能力(逻辑推理)和合情推理能力(如归纳、类比、统计推断等)的考查，例15：（江西第22题）在一次数学活动中, 黑板上画着如图所示的图形,活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式:① ② ③ ④ 小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张,再从剩下的纸片中随机抽取另一张. 那么请结合图形解答下列两个问题:(1)当抽得①和②时,用①、②作为条件能判定△BEC是等腰三角形吗? 说说你的理由.(2)请你用树状图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表示）,并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使△BEC不能构成等腰三角形的概率. 另：（江西第25题）2．导教作用（1）教学中联系生活实际与社会热点，强化数学的应用意识 ①平常教学时，关注生活中的数学问题，挖掘现实生活中的素材进行教学，如在统计一章，教学时要注意和学生一起挖掘现实生活中方方面面有趣的、可操作的、真实的素材，使学生充分感受统计在日常生活、社会和各学科领域的广泛应用，体会统计在解决问题中所起的作用，从而调动学生学习统计的积极性。当然教科书编写也注重了数学知识在生活中的重要作用。如教科书的各节结构是：A B C D E F②复习教学时要求：Ⅰ、首先使学生了解构建七～九年级基本的数学模型；Ⅱ、其次对重点问题要求学生灵活掌握；Ⅲ、加强数学应用问题与其他学科资源整合的训练。例16.（盐城）某校书法兴趣准备到文具店购买A，B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售．（1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元．这家文具店的A，B两种类型毛笔的零售价各是多少？（2）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A型毛笔的零售价）的90%出售，现要购买A型毛笔a支（a>40），在新的销售方法和原销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少？并说明理由．（2）教学中循循善诱,培养推理能力教科书从七年级开始就安排了一些说理的内容，在八年级的“全等三角形”一章，正式出现证明及证明的格式。为使学生达到《课标》中要求的有理有据地推理证明，精练准确地表达推理过程，教学中必须： ①注意减缓坡度，循序渐进。 ②在不同的阶段，安排不同的练习内容，突出一个重点，。③注重分析思路，让学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程。④通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想；能对所做出的猜想进行适当的佐证，能进行一些简单的严密的逻辑论证，并有条理地表达自己的证明，与他人交流；能对他人结论进行合理的质疑等． （3）培养学生的自主探究能力教科书在每个章节的后面，几乎都以课题学习的形式，为我们提供了很多类似于中考第25题题型的问题情景，因为从内容而言它也是教材的延伸和发展。教学中要关注这些课题学习问题，要有强化意识。通过对这些问题及其变式的训练，不但可以巩固和提高对所学知识的理解，明确所学知识在社会实际和日常工作生活中的应用，掌握观察、实验、分析、探究，归纳的数学技能，还能培养我们不畏艰辛，敢于探索的意志品质。在掌握基本知识和基本技能的基础上，养成自主探究、勇于创新的习惯，努力提高分析问题，解决问题的能力。三．把准命题尺度, 整体控制难度——体现人性关爱的课程理念1.试题特点(1) 控制试题难度，保证答题时间各种题型的难度平稳上升,梯度明显; 综合题入口较宽, 前问为后问搭桥,难度逐步加深; 整卷的难度预计是0.6，平均分估计达到72分左右。减少了低分率过低的现象，使得分在48分以下(低分）的控制在了30%以下。实际上饶市成绩统计为考生数平均分整卷难度及格人数及格率优秀人数优秀率100分以上考生比例110分以上考生比例满分人数48分以下考生比例7128565.530.553512249.271396319.591028414.4324933.50102321832.57（2）试题遵循了命题原则，紧扣《考试说明》①杜绝了出现“繁(题目文字数量保持在350字以内)、偏(考查内容、试题素材和试卷形式对每一位学生而言应当是公平的)、超(不超标)”试题；②在各种版本教材的交汇点出题。（说明中去掉了“依标据本”这句话）（2）导教①知识的交汇点（结合课标）如：一元二次方程中根与系数的关系(课标中说:理解配方法,会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程)，但人教版中数学活动中有内容，北师大没有；圆的定义等②不拔高。如：概率题课标中要求：（1）在具体情境中了解概率的意义，运用列举法计算简单事件发生的概率。（2）通过实验，获得事件发生的概率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值。（3）通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题。例17.(安徽省)田忌赛马是一个为人熟知的故事．传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，看样子田忌似乎没有什么获胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马强…… （1）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？ （2）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）例18.一只小老鼠想吃到房间里的食物，如图共有二个房间，每个房间内有两个橱柜，其中只有一个房间内的一个橱柜内有食物.用树状图表示可能得到食物的情况.求出成功获得食物的概率.实际考题中有两个不足：①没有分清孰重孰轻，如第20题。②把高中内容下放：如.在掷骰子实践中: (1)一颗骰子,朝上的一面是奇数点的概率是多少? (2)两颗骰子,朝上的一面的点数相同的概率是多少? (3)两颗骰子,朝上的一面的点数和是7的概率是多少? (4)两颗骰子,朝上的一面的点数和是奇数的概率是多少?在体验讲题的快乐中享受数学之美 ――兼谈“讲题的四种境界” 黄金声（临川二中）（个人网站：中考数学黄金资源网http://www.maths618.com）课堂教学是一门遗憾的艺术，反思自己的每一堂课，都有不尽人意乃至失败的地方，若要称之为“艺术”，更是惶恐之极！中考将至，我们每一位教师都在为上好每一堂课而不懈努力着.如何驾驭“中考数学复习课”这匹“烈马”？如何在课堂教学中最大限度地培养学生的能力？本人认为，培养学生的能力应关注课堂教学中的六个维度，即：①长度，即在有限的可用时间内增加课堂教学的实用时间；②宽度，即教师在课堂中力争满足更多学生的合理需求；③高度，即教师要重视个人课堂风格的形成，使课堂教学更具创造性；④密度，即让更多的学生热情地参与到课堂教学中来；⑤深度，即注重思想方法和学习策略的自然渗透；⑥适度，即教师的教和学生的学均要寻找适合自己的，因为适合自己的就是最好的.最糟糕的教学就是让学生在学习一个公式后做几十个类似的题目.数学教学的改革也不能只着眼于讲什么、不讲什么，先讲什么、后讲什么，教师应该下功夫研究在课本之外有没有与众不同的、更好的表达方式，不但要教学生算，更要教学生想.――张景中题1－1 如何理解角的两种表示方法？①用围绕角的三个大写英文字母表示：∠ABC（角的构成即“形”）②用一个数字（或希腊字母）表示（角中加上一条弧线）：∠1（角的大小即“数”）题1－2 如图，正方形和菱形的边长相等，比较两个图形的面积关系，你发现了什么？（有人认为在小学阶段就可以初步渗透三角函数概念）讲题，是中考复习课的主旋律之一，如何讲题，是老师们必须面临的课题.早在2003年11月，在我校新老初三年级教师经验交流会上，我第一次提出了“讲题的四种境界”的理念.今天，我将就这一主题与在座的各位交流.那么，什么是“讲题的四种境界”呢？第一种境界：就题讲题，把题目讲清（达成目标：一听就能懂）第二种境界：发散试题的多种解(证)法，拓展解题思路，把题目讲透（达成目标：一点就能透）第三种境界：理清试题的诸多变化，以求探源奠基，把题目讲活（达成目标：一时忘不了）第四种境界：探究试题之数学思想方法，以能力培养为终极目标，做试题的主人（达成目标：一用真有效）就题目的数量和变化而言，是无人能讲（做）完和参透个中变化的.下面仅就本人在讲题中如何突破学生能力提高的瓶颈等方面的一些浅薄思考与大家一起交流，以求抛砖引玉.思考之一 会解题≠会讲题 会解题：针对自己存在的问题，结合自己的知识水平和能力水平，对试题所反映的信息进行处理.其目的是为了求得自己的理解，并能顺利地讲完此题.会讲题：针对学生存在的问题，结合学生的知识水平和能力要求，对试题所反映的信息进行处理.其目的是为了让学生更好地理解、消化、运用.会解题是会讲题的基础，但解题高手不一定是讲题高手，同时，讲题高手也不一定是解题高手.在一次习题课的课前准备时，有如下一道题引起了我的注意：题2 如图，将一张长方形纸片翻折，则图中重叠部分是 三角形.答案很简单：等腰三角形.我的疑问：答案为什么不可以是钝角三角形？是等腰三角形吗？是不是随便一折都是等腰三角形？于是，我用了整整一节课的时间引导学生动手折纸探究，并总结归纳出如下题组：题2－1【思维的发散1】如图，将一张长方形纸片翻折，使重叠部分始终是三角形（阴影部分），随着∠的大小不同，△ABC也将发生变化.设0＜＜90（为什么？）.（1）当重叠部分是锐角三角形时，应满足什么条件？（2）当重叠部分是直角三角形时，应满足什么条件？ （3）当重叠部分是钝角三角形时，应满足什么条件？题2－2【思维的发散2】如图，将一张长方形纸片翻折，使重叠部分始终是三角形（阴影部分），随着∠的大小不同，△ABC也将发生变化.（1）如图1，当＝45时，重叠部分是 三角形；（2）如图2，当重叠部分为等边三角形时，＝ 度；（3）当0＜＜90时，折纸所得的所有三角形有何共同特点？说明理由.题2－3【思维的拓展】如图所示，将一张长方形纸片沿EF折叠，使点B′ 落在边上的点B处；沿BG折叠，使点D′ 落在点D处，且BD过F点.（1）求证：四边形BEFG是平行四边形；（2）连结BB′，判断△的形状，并写出判断过程；（3）四边形BEFG可能是菱形吗？说明理由.从思想方法上看，三角形形状变化体现“分类思想”，而三角形形状发生变化的原因是由∠的变化引起的，这又体现了“转化思想”，还有“从特殊到一般思想”、“空间观念”、“图形的轴对称”等等.2007年1月10日和9月20日，我以“一张长方形纸片：折出你的思维”为题，分别在抚州市金溪县第二中学和赣州市崇义县横水中学上了这节课，从课后教师的点评看，反映还是不错的，这使我倍感鼓舞.这说明，我对这道填空题的探究得到了同行的肯定.思考之二 清楚≠懂≠会清楚：是“分得开”，是教师的讲解可以使学生把事理“分开”了，但是还没有“连上”，即没有把 “分开”的东西和学生已知的、熟悉的、可接受的东西连接起来.其讲题效果达到了第一种境界或第二种境界.懂：是“连得上”，是教师的讲解能使学生把题目中所涉及的综合的、不熟悉的“知识结”分解为已知的、熟悉的、可接受的“点”，又能在这些点之间找到已知的、熟悉的、可接受的“线”.其讲题效果达到了第二种境界或第三种境界.会：是通过教师的讲解能使学生在“连得上”的基础上对相关知识进行联络、梳理、发散和拓展，从而培养了学生思维的广阔性和深刻性，并使学生具备了较强的自主探究能力.其讲题效果达到了第三种境界或第四种境界.题3 （2007·常州）已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD边AB、CD、DA上，AH＝2，连接CF．（1）当DG＝2时，求△FCG的面积；（2）设DG＝x，用含x的代数式表示△FCG的面积；（3）判断△FCG的面积能否等于，并说明理由．讲题分析：第（1）问中“DG＝2”寓意于DG＝AH ，即△HAE≌△GDH，且∠GHE＝90°．又由菱形EFGH可得点F（或CF）此时位于BC边上，由此可知，四边形（菱形）EFGH已特殊化为正方形，所以，△FCG的面积等于△GDH的面积．第（2）问中“DG＝x”是让菱形EFGH一般化．由于可推知△FCG中，CG＝6－x，所以，作出CG边上的高FM就成为一种必然，再连接GE，通过证明△HAE≌△FMG，得FM＝AH＝2．第（3）问是借助试题中“菱形EFGH的三个顶点E、G分别在正方形ABCD边AB、CD上”的限制作用．由第（2）问可知，FM＝AH＝2，是一个定值，则x的大小就限制了△FCG的面积．因为HD＞AH，所以HC＞HB，即①点E不可能与点A重合（x的最小值为0，即HG的最小值等于HD）②点G不能与点C重合（即HG的最大值等于HB）．这样通过求出x的值并由此求出HG（或AE）的值就可以正确判断△FCG的面积能否等于了．讲题反思：1.第（1）问中证明“四边形（菱形）EFGH为正方形”非常困难，原答案也只用同理可证△GDH≌△FCG模糊了事（到底怎样证我现在都还没有彻底搞懂），能否消除这个逻辑性障碍？2.第（2）问中“连接GE”是学生解题的一个难点，但这一难点的突破没有在试题（或解题）中得到暗示．3.研究发现：由于点F是随着点G、E的位置变化而变化的，虽然点F到DC的距离FM＝AH＝2，是一个定值，但点F到AD的距离却在一定范围内发生变化，这一核心问题却没有在试题中得到体现，动态问题的功能打了折扣．综上所述，本题图形背景中的核心思想“特殊～一般～特殊”并未得到真正落实，于是，我将本题图形置于平面直角坐标系的背景中，以探究动态菱形EFGH中点F的位置变化为主线，斗胆改编成下题：题4 （临川二中07年八上期终试题）如图，正方形ABCD的边长为6.以直线AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系.菱形EFGH的三个顶点H、E、G分别在正方形ABCD边DA、AB、CD上，已知AH＝2.（1）如图甲，当点F在边BC上时，求点F的坐标；（2）设DG=x.请在图乙中探索：用含x的代数式表示点F的坐标；（3）设点F的横坐标为m.问:m有无最大值和最小值？若有，请求出；若无，请直接作否定的判断，不必说明理由.解：（1）如图甲，连接GE.∵DG∥BE，∴∠DGE＝∠BEG，∵HG∥EF，∴∠HGE＝∠FEG，∴∠DGH＝∠BEF.在△HDG与△FBE中，∴△HDG≌△FBE，∴FB＝HD＝AD－AH＝6－2＝4,∴点F的坐标为（6，4）.（2）如图乙，连接GE，作FM⊥x轴，垂足为点M.同理可证，△HDG≌△FME，∴ME＝DG＝x，FM＝HD＝4.在Rt△HDG中，HG2＝42＋x2＝16＋x2，∵HG＝HE，∴HE2＝HG2＝16＋x2.在Rt△HAE中，，∴AM＝AE＋EM＝，∴点F的坐标为（，4）.（3）依题意，可知HD＞HA.即：①当点G与点D重合时，m最小，此时x＝0，∴m＝＝.②当点E与点B重合时，m最大，此时HG2＝HB2＝22＋62＝40，∴DG＝x＝，∴m＝＝.在改卷时发现，很多学生在做第（1）问时都是仅凭直觉猜出FB=DH，却不能通过推理得出四边形EFGH为正方形.为了突破这一障碍，在讲评此题时，我采取化整为零、从易到难的策略，利用从特殊到一般的思想，再辅于整体感知、逆向思维等方法，设计了如下题组：题4－1 如图所示，正方形ABCD中，E、F、G、H为各边中点.求证：四边形EFGH为正方形.（图形的特殊化）题4－2 如图所示，正方形ABCD中，E、F、G、H在正方形各边上，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH为正方形.（图形的一般化）方法：证明Rt△DHG≌Rt△AEH.题4－3 如图所示，正方形ABCD中，E、F、G、H在正方形各边上，且EF=FG=GH=HE.问：四边形EFGH是正方形吗？说明理由.（整体感知、逆向思维的渗透――扫清障碍）思考：感觉Rt△DHG与Rt△AEH全等,但证明时遇到困难,怎么办？换个角度！能证明Rt△DHG≌Rt△BFE吗？如何证明？方法水到渠成――连接GE！（证明略）设正方形ABCD的边长为1，AH＝x，DG＝BE＝y，则HD＝1－x，AE＝1－y.∵HG＝HE，∴HD2＋DG2＝AH2＋AE2，∴(1-x)2+y2=x2+(1-y)2，∴x=y，∴AH＝BE，∴Rt△HAE≌Rt△EBF，∴∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是正方形.题4－4 如图所示，菱形EFGH的三个顶点H、E、G分别在正方形ABCD边DA、AB、CD上，且H为一定点.思考：与Rt△DHG全等的三角形在哪里？能找出来吗？题3－3的解题方法具有连续性吗？ （为本题的第（2）问做铺垫）题4－5 观察点F的坐标，你还发现了什么？点F的纵坐标为定值，为什么？始终有Rt△DHG≌Rt△MFE（FM⊥AB），即FM=DH，为什么？始终有DC∥AB！由此思考：正方形ABCD可以作怎样的改变？将正方形ABCD置换成矩形可以吗？平行四边形呢？梯形呢？思考之三 应该有＝想有＋可能有任何一个教师，都不会把学生完全没有学的、学生现有知识水平无法企及的题目拿给学生做，那么为何有的学生却可能对题目（难题）无从下手呢？此时学生的心态是怎样的呢？教师面对这种情况又该怎样做呢？想有：人的需要、欲望、感情是普遍存在的，学生也不例外，此时教师应该尽其所能激发起学生的需要和突破难题的欲望，并使他们初步感受到这种需要所能带来的那种快感.可能有：当学生感觉到利用已有知识能做而又做不出来的时候，此时教师的启发和点拨就显得至关重要.根据本人的思考，教师的启发与点拨可从以下几方面入手：1.从学生已有知识中“启”：温故而知新，以达承前启后、承上启下的目的；2.从学生知识的盲点处“启”：盲即模糊，或遗忘，此时善意的提醒、引导就成为解决问题的必要手段；3.从知识的关键点“启”：一语点醒梦中人，顿悟、恍然大悟、大彻大悟由此产生；4.从知识的最近发展区“启”：因势利导，顺水推舟，正所谓“唯有源头活水来”；5.有时教师的一个手势、一幅表情、一点鼓励、一种暗示就会使学生冲破迷雾，思如泉涌，此时师生之思之想已如水乳交融，浑然天成.应该有：当学生取得成功后，其喜悦的心情是难以言表的，在今后的学习中，就会更加主动地去透视题目中的各种潜在因素，即使在遇到困难时，也会坚定必胜的信念，这便是教师讲题应达到的成功境界.题5 （2006 · 安徽）如图，直线 l过正方形 ABCD 的顶点 B , 点A、C 到直线l的距离分别是 1 和 2 , 则正方形的边长是 .讲题分析： 1.利用AB＝BC和∠ABC两个已知条件，证明△AHM≌Rt△MCN，得EB＝CF.2.利用勾股定理求出正方形的边长AB＝.讲题反思：1.正方形 ABCD 的顶点 D看起来是否“很孤单” ？如图1，能否求出点D到直线 l的距离DG？∵∠ADH＝∠GBH，tan∠GBH＝，∴H为AB的中点，∴HG＝AE＝，DH＝，即DG＝3.2.正方形 ABCD是否“摇摇欲坠”？如图2，令AE＝CF，且AB＝.则AE＝CF＝，DG＝.3.观察、比较上面两题中AE、CF、DG的大小，你发现了什么？（AE＋CF＝DG）如图3，你能证明这个结论具有一般性吗？作AM⊥DG于点M，可证：①四边形AEGM是矩形，则AE＝MG；②△ADM≌△BCF，∴CF＝DM，∴AE＋CF＝DG.4.让直线 l动起来！如图4，可证△ADE≌△CBF，得DE＝BF，即点A、D到直线 l的距离之和与点B、C到直线 l的距离之和相等.思考：直线 l的位置若再发生变化，还有类似的结论吗？你能总结出一般规律吗？5.如图5，连接AC，你能利用图形证明勾股定理吗？题6 （2006 · 江西）问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：①如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON = 60°，则BM = CN. ②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON = 90°,则BM = CN.然后运用类比的思想提出了如下的命题：③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON = 108°，则BM = CN.任务要求 （1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对的得4分，选②做对的得3分，选③做对的得5分）（2）请你继续完成下面的探索：①如图4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM = CN成立？（不要求证明）②如图5，在五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，当∠BON = 108°时，请问结论BM = CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.【证法探究】添加辅助线的思路：非规则图形中的对称性（旋转对称）1.如图5-1，连接BD、CE，证（等腰）△BCD≌△CDE，∴BD = CE，∠BDC =∠CED，∠DBC =∠ECD.∵∠OBC +∠OCB = 108°，∠OCB +∠OCD = 108°，∴∠MBC =∠NCD.又∵∠DBC =∠ECD = 36°，∴∠DBM =∠ECN，∠BDM=∠CEN，∴△BDM ≌ △ECN，即BM = CN.2.如图5-2，延长BM、CD交于点G，延长CN、DE交于点F.先证△BCG ≌ △CDF，得BG＝CF，CG＝DF（DG＝EF），∠G＝∠F.再证△DMG ≌ △ENF，得MG＝NF，∴BM = CN.3.如图5-3，延长BA、DE交于点G，延长CB、EA交于点F.先证（等腰）△AEG ≌ △BAF，得AG＝BF，（即BG＝CF），∠G＝∠F.再证△BGM ≌ △CFN，得BM = CN.【逆向思维】试题中所有命题的逆命题都成立.【类比拓展】题7 问题背景（1）如图1，正三角形ABC中，延长BA到N，连接CN.作BM＝CN，交AC的延长线于点M. 延长NC交BM于点O.（2）如图2，正方形ABCD中，延长AD到N，连接CN.作BM＝CN，交DC的延长线于点M.延长NC交BM于点O.（3）如图3，正五边形ABCDE中，延长ED到N，连接CN.作BM交DC的延长线于点M，交NC的延长线于点O，且∠BOC＝108°.任务要求（1）如图1，猜想：∠BOC的度数（不必说明理由）.（2）如图2，求证：NO⊥BM.（3）如图3，求证：BM＝CN.规律探究（1）根据上述操作与探究所反映的规律，猜想：如图4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，按照相应操作方式，∠BOC的度数是多少？（直接用含n的代数式表示.）任务要求(1)∠BOC=60°.(2)证明：在Rt△BCM与Rt△CDN中,∵BC=CD,BM=CN,∴Rt△BCM≌Rt△CDN, ∴∠M=∠N.∵∠DCN=∠OCM,∠DCN+∠N=90°,∴∠OCM+∠M=90°,∴∠COM=90°,即NO⊥BM.(3)证明：∵∠BCD＝∠CDE＝108°，∴∠BCM＝∠CDN，∵∠∠CDE＝DCN＋∠N＝108°，∠BOC＝∠M＋∠OCM＝108°，∠DCN＝∠OCM，∴∠N＝∠M.∵BC＝CD，∴△BCM≌△CDN，∴BM＝CN.规律探究解：（1）∠BOC＝.思考之四 讲题的最高境界＝授之以法＋培之以能＋强之以心对应于“讲题的四种境界”，一个合格的教师，其讲题的效度大致有以下四种水平层次：1.正确：内容正确熟练，进度适中切贴，板书工整得当，讲话清晰从容.2.易懂：外在关系注意铺垫呼应，内在联系注意区分主次，化难为易注意方式方法，关键突破注意把握时机.3.独到：说之以理见技巧，动之以情见门道，感之以美见艺术，启之以需见奥妙.4.固顶：授之以法，培之以能，强之以心.①授之以法：关注通性通法，做到深入浅出，让学生易学.②培之以能：引导数学思考，激发学习欲望，让学生想学.③强之以心：鼓励提出问题，强调自主探究，让学生会学.题5 正方形ABCD中，M是边AB上任意一点（不与点B重合），E是AB延长线上一点，连接DM，作MN⊥DM，交∠CBE的平分线BN于点N.（1）如图1，当M是AB的中点时，求证：DM＝MN；（2）如图2，当M不是AB的中点时，（1）中的结论还成立吗？说明理由.这是一道“老中考题”，在我教的每一届学生中，都有人问及.上学期，当又有学生拿着这道题来问我时，引起了我的重点思考，并对此题作了更深入的研究.师：你是怎样思考的？生：作NF⊥AE于点F，证Rt△DAM≌Rt△MFN.师：能证出来吗？生：不能.师：为什么？生：虽然可以证出三个角对应相等，但却不能证出一边对应相等.师：那就先换个角度思考.图中还有可利用的三角形吗？生：（犹豫……）有，△MBN.师：（微笑地看着学生……）对！生：（思考良久……）利用边DM构造出与△MBN全等的三角形.师：我想，你已经做出来了，回去做好准备，下节课就由你来讲这道题，把你的困惑和思考过程也与全班同学交流交流，怎么样？（话外音：在AD上取一点H，满足DH=MB即可）生：（犹豫……）我试试.当这位学生讲完此题后，我又提出了三个问题供大家讨论：①作NF⊥AE，真的不能证出Rt△DAM≌Rt△MFN吗？（证法探究）②若DM=MN，则MN⊥DM成立吗？（逆向思维）③你能运用类比思想对此题作更深入的思考吗？（类比拓展）（话外音：在正多边形中，类似本题的结论是否也成立？）【证法探究】证法一：（1）如图1，取AD的中点H，连接MH.∵M是AB的中点，∴DH＝MB，∵AH＝AM，∠A＝90°，∴∠DHM＝135°，∵BN平分∠CBE，∴∠MBN＝135°，∴∠DHM＝∠MBN，∵MN⊥DM，∴∠HDM＝∠BMN，∴△DHM≌△MBN，∴DM=MN.（2）如图2，在AD上截取DH＝MB，连接MH.∵AH＝AM，∠A＝90°，∴∠DHM＝135°，∵BN平分∠CBE，∴∠MBN＝135°，∴∠DHM＝∠MBN，∵MN⊥DM，∴∠HDM＝∠BMN，∴△DHM≌△MBN，∴DM=MN.证法二：（1）如图1，作NF⊥AE.∵MN⊥DM，∴∠ADM＝∠FMN，∴，∵M是AB的中点，∴DA＝2MA，∴，∵BN平分∠CBE，∴NF＝BF，∵MF＝MB＋BF，MB＝MA，∴NF＝MA，∴Rt△DAM≌Rt△MFN，∴DM=MN.（2）如图2，作NF⊥AE.∵MN⊥DM，∴∠ADM＝∠FMN，∴，设正方形ABCD的边长为1，AM＝x，NF＝y，则MB＝1－x，BF＝y.∴，x－x2＋xy＝y，∴（x－y）－x（x－y）＝0，（x－y）（1－x）＝0，∴x＝y，即AM＝NF，∴Rt△DAM≌Rt△MFN，∴DM＝MN.【逆向思维】1.正方形ABCD中，M是边AB上任意一点（不与点B重合），E是AB延长线上一点，连接DM，作MN＝DM，交∠CBE的平分线BN于点N，求证：DM⊥MN.证明提示：在AD上截取DH＝MB，连接MH，作DP⊥MH，交MH的延长线于点P.作MQ⊥NB，交NB的延长线于点Q.先证Rt△DPH≌Rt△MQB，得DP＝MQ，再证Rt△DPM≌Rt△MQN，得∠DMP＝∠MNQ，最后证△DHM≌△MBN，得∠HDM＝∠BMN，即可得：DM⊥MN.2.若MN＝DM，DM⊥MN，则BN平分∠CBE.3. 若MN＝DM，DM⊥MN，且以DM、MN为边作正方形，则正方形的另一个顶点必在BC的延长线上.【类比拓展】（1）正三角形ABC中，M是边BC上任意一点（不与点C重合），P是BC延长线上一点，连接AM，作∠AMN＝60°，交∠ACP的平分线CN于点N. 求证：AM＝MN.（2）正五边形ABCDE中，M是边BC上任意一点（不与点C重合），P是BC延长线上一点，连接AM，作∠AMN＝108°，交∠DCP的平分线CN于点N. 求证：AM＝MN.（3）正六边形ABCDEF中，M是边BC上任意一点（不与点C重合），P是BC延长线上一点，连接AM，作∠AMN＝120°，交∠DCP的平分线CN于点N. 求证：AM＝MN.（1）证明：如图，在AB上截取AH＝MC，连接MH.∵AB＝BC，∴BH＝BM，∴△BMH是正三角形，∴∠AHM＝∠HMC＝120°.∵∠AMN＝60°，∴∠AMH＋∠NMC＝∠HAM＋∠AMH＝60°，∴∠HAM＝∠CMN，∵CN平分∠ACP，∠ACP＝120°，∴∠MCN＝120°，∴∠AHM＝∠MCN，∴△AHM≌△MCN，∴AM＝MN.（2）证明：如图，在AB上截取AH＝MC，连接MH.∵AB＝BC，∴BH＝BM，∵∠B＝108°，∴∠BHM＝∠BMH＝36°,∠AHM＝144°,∵∠AMN＝108°，∴∠AMH＋∠NMC＝∠HAM＋∠AMH＝36°，∴∠HAM＝∠CMN，∵CN平分∠DCP，∠DCP＝72°，∴∠MCN＝144°，∴∠AHM＝∠MCN，∴△AHM≌△MCN，∴AM＝MN.（3）证明：如图，在AB上截取AH＝MC，连接MH.∵AB＝BC，∴BH＝BM，∵∠B＝120°，∴∠BHM＝∠BMH＝30°,∠AHM＝150°,∵∠AMN＝120°，∴∠AMH＋∠NMC＝∠HAM＋∠AMH＝30°，∴∠HAM＝∠CMN，∵CN平分∠DCP，∠DCP＝60°，∴∠MCN＝150°，∴∠AHM＝∠MCN，∴△AHM≌△MCN，∴AM＝MN.当然，教师的讲题还有一个方式的选择问题，其方式的选择与学生的基本素质、课堂的氛围以及可能要达成的特殊目标等诸多因素有关.总之，讲题的学问高深莫测，我在此能触及皮毛就是万幸了.能把复杂的问（习）题简单化就是完美，能把简单的问（习）题深刻化就是杰出！让我们共同努力，使自己体验讲题的快乐，让学生在倾听讲题的快乐中享受数学之美！如何改编习题 提高复习效率 吉安市永丰县恩江中学 邓武高依“标”据“本”是搞好中考数学复习的要求和方向，在此前提下如何提高课堂复习效果，这是每位九年级教师最关心的事，对于复习课怎样上？每人都有自己的“模式”，就是同一人对不同内容也会有不同的方法，真可谓是有法而无定法，但不论你使用什么方法，复习课总离不开“题”，因为“题”是数学知识和数学思想方法的载体，学生对知识与方法的掌握,能力与思维层次的提高，都是在老师引导下，通过多次析题，解题的过程进行提炼、概括、感悟才获得的.换句话来说，要想提高复习效果，必须从“题”的角度去想办法、找出路.笔者在多年的教学实践中，经过实验对比认为以“题组”形式复习不失为一种好方法.题组的意义与要求我说的“题组”是将一个已有的习题（下称起点题）进行系列改编或变式，形成一组题或一个题链.这样的题组或题链决不是简单机械的重复训练题，它与题海式训练题截然不同.而是有一定系统性、针对性，有明确的考查目标和培养方向，她有利于多方面地促使学生对知识本质的认识，有利于对各种数学思想方法的熟练掌握，有利于培养学生思维的灵活性和深刻性.题组编制方法与策略题组复习模式，要真正能促使学生对知识融会贯通，解题能力有着质的飞跃，很大程度上决定老师改编的题组的质量高低，那么改编习题有哪些方法呢？我认为首先要结合复习内容，有针对性地选好起点题，这个起点题可以是课本上的例、习题，也可以是往年的中考题.只要题的基础好，有它的发展的空间，就可以将它进行拓展、引申,即变式或改编.改编的方法很多，例如，改换或置换题设与结论，强化或弱化条件；改变或转换考查目标与题型，纵向挖掘，横向发展，以及改换试题背景，改变命题的呈现形式（如开放、探索式），改换图形（如由等腰直角三角形改为等边三角形或直角三角形或一般等腰三角形）等.同一起点题需要进行多方面、多角度进行改编，在控制难度的前提下，达到题组所要发挥的功效.题组的功能与效果由于改编起点题实质上是一个不断变更问题的过程，只要先把起点题弄懂了，对解答相应的变式题的情境就熟悉了，解题的突破口也易找到，这比解一个一个不太相干题要省时间.更主要的是题组能把分散的知识点串成一条线，学生可以将知识前后联系，从整体上去掌握知识，同时也能打破学生的思维定势，领悟知识与方法的内在联系，拓展思路，发展智力，创新意识的培养也就寓于其中了.又由于在题组中，题与题之间有着“形散而神不散”的本质联系，其解题规律也自然得到呈现，在这样的题组教学中，不仅能增强学生举一反三，触类旁通的应变能力，也能有效地训练学生思维的广阔性和灵活性. 四．改编与复习例举1．改换题设 拓展知识深度和广度对习题的题设或结论进行变换、增加或者题设与结论置换.这是改编习题最基本的形式.它能将一个问题从多个角度或反向来研究，同时加深学生对知识的系统理解,增强学生解题的应变能力，培养学生思维的灵活性和想象力.题组1.【起点题】（北师版，九年级上册）如图1，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且∠1=∠2，求证：AB=AC.说明：本题是通过平行的性质，结合等角对等边来证明结论.改编1、如图1，∠CAE是△ABC的外角，AB=AC，且∠1=∠2，求证： AD∥BC.说明：本题将起点题中条件（AD∥BC）与结论（AB=AC）置换，实际上就是变换条件和结论，其功能就本题来说也是考查一般的推理论证过程，不过所考查的知识点发生了改变（等边对等角，三角形外角性质和平行线的判定），又是互逆定理放在上、下题来思考，对学生思维也应产生一定的激发作用，对知识的认识自然深刻的多.改编2. 如图2，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且∠1=∠2，AF为△ABC的中线，求证：AF⊥AD.说明：此题增加了条件“AF为△ABC的中线”，结论变为“AF⊥AD”此时实质上是拓展，引申了起点题，将复习内容予以拓宽（即增加了等腰三角形的“三线合一”的性质的考查）.改编3. 如图3，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且∠1=∠2，过AC的中点H作AD的垂线交AE于G，求证:AG=AB.说明：改编3增加了题设“过AC的中点H作AD的垂线交AE于G”，结论变为“AG=AB”，这样改的目的是为了加强对等腰三角形“三线合一”逆向思维，同时增加了等腰三角形与三角形全等等知识的综合运用.改编4. 如图4，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且∠1=∠2，过C作CG⊥AD于G，F为BC的中点，连结FG.（1）AC与FG有何数量关系？并说明理由；（2）当AC⊥FG时，△ABC应为什么三角形？说明：此题是从知识点相对单一的习题向有一定综合度方向进行改编，改编后不仅所考查的知识内容有所拓展，思维量也大幅度增加，能力要求也提高到较高的层次.其表现在对结论的猜想与验证，同时又要对产生某个结论的条件进行探索.改编5. 如图5，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且∠1=∠2，过C作CD∥AB交AD于D，那么当△ABC增加什么条件时，BD⊥AC，并说明其理由.说明：本题与改编4具有同样的能力要求，但在知识点的考查方面却选择另一个角度（补充等边三角形判定的考查），这样有利于培养学生思维的广阔性.本题组是对起点题的五种变式，主要是从题设、结论改变或拓展，知识内容涉及到等腰三角形的性质、判定为主线展开；能力方面是从简单的推理论证逐步向具有一定综合运用知识的能力发展.本题组若仅对等腰三角形问题的复习，最多只能用 到“改编5”为止，若要变成综合题，还可以纵深挖掘，如把起点题图置于圆中，顶点在圆上运动，试题综合性将大大增加.题组2、【起点题】如图6，四边形ABCD是一张矩形纸片，请你用它折出四个等腰三角形，并在图中画出虚线折痕.说明：本题折叠要求比较简单，但方法不唯一.实际上就是矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形.改编1、如图7，四边形ABCD是一张正方形纸片，请你按上题方式折叠，试问图中还是四个等腰三角形吗？这些等腰三角形有什么变化？说明：本题相对起点题条件特殊，主要是问结论是否也特殊了？其目的是加强直觉思维的培养以及对等腰三角形判定和对图形的识别。（答：8个，都是等腰直角三角形）.改编2.你用起点题中的矩形纸片折出一个等边三角形（要求：矩形的四顶点中，只能一个为等边三角形的顶点），并在图中画出虚线折痕.说明：本题是从改变折出的图形的要求来构题的，由此折叠过程肯定有所不同，相应考查角度也有所改变，起点题是根据等腰三角形定义来寻找折叠方法，而本题则是从等腰三角形“三线合一”的性质思考.【答】：改编3、请用改编1中的正方形纸片折出一个等边三角形（要求：正方形的四个顶点中，必须有二个是等边三角形的顶点），并画出虚线折痕.说明：本题是为了改变改编2的解答思路，即另辟蹊径寻找其他折叠方法，这样有利于对等腰三角形问题的深刻认识.【答：】以上两个题组是运用题组复习等腰三角形的一个例举，题组1偏重基本知识和基本技能的层面上复习，题组2则以实验操作提高学生解题能力的层面上复习,同时加深了轴对称与折叠之间的关系的理解,对空间观念的发展也起了一定的作用.2、改变图形，追求知识本质的理解题组3.【起点题】（2007年，江西）如图8，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）.说明：本题是运用矩形对角互相平分，且交点在等腰△AOB的顶角平分线上来解决问题.改编1、如图9，已知∠AOB，⊙P与∠AOB的两边相切，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）.改编2.如图10，已知∠AOB，E、F分别在OA、OB上，四边形EOFP是菱形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）.改编3.如图11，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线（保留画图痕迹）.本题组是将起点题中的矩形分别改换成圆、菱形、平行四边形，虽然大家都能很快找到解决办法，但它们各自却用,不同知识解决同一问题,使学生的思维得以发散.题组4.【起点题】（北师大版八年级上册）如图12，有一个圆柱，它的高为12厘米，底面半径为3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面对面与A点相对的B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（取3）说明：本题在理解圆柱的展开图后，运用勾股定理求出AB.改编1、如图13，一只蚂蚁，它想从A点出发，沿正方体表面把食物搬运到B处，它需要爬行的最短路程是多少？改编2、如图14，在一个长方体中，AC=3cm，CD=5cm，DB=6cm，求在长方体表面从A到B的最短距离.改编3、如图15是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是多少？本题组是将圆柱改成正方体、长方体和台阶，图形发生变化，也可以说是情境（即空间感）有所变化，虽然考查的都是转化思想(由立体转化成平面)，运用的知识都是勾股定理，但转化的过程却有所不同.如改编1是沿CD摊开成矩形求对角线，改编2既可沿EF摊开，又可沿CE摊开，求出各自矩形的对角线长后进行比较才可确定，改编3应把台阶看成是纸片折成的，拉平（没高度）成一张矩形（长为3×3+2×3=15，宽为20）的纸.由此可看出在解决此题组时，思维方式是有所不同的,但本质却是一样.题组5. 【起点题】（人教实验版教师用书九年级上册）如图16,AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD=30°，OB⊥AD交AC于点B，若OB=5，则BC等于 .说明：本题主要是考查直径所对的圆周角是直角和含30°的直角三角形的相关性质。（BC=5）改编1、如图17, AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD=30°，OB⊥AC交AC于点B，连结BD，若OB=5，求BD的长.说明：本题是把“OB⊥AD”改为“OB⊥AC”, 求BC改为求BD,这样一改增加了对垂径定理和含勾股定理的考查，试题思维量增多了，题也活了。（BD=）改编2、如图18,是一块含30°(即∠CAB=30°)角的三角板和一个量角器拼在一起,三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合,其量角器最外缘的读数是从N点开始(即N点的读数为0),现有射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到CB位置,在旋转过程中,射线CP与量角器的半圆弧交于E.(1) 当旋转7.5秒时,连结BE,求证:BE=CE；(2) 当射线CP分别经过△ABC的外心、内心时,点E处的读数分别是多少?(3). 设旋转秒后,E点处的读数为度,求与的函数式.说明：由于△ACD是一个含30°的直角三角形，AD把圆分成两半，如果拿掉图16中、，此图就可看成一个30°角的三角板与一块量角器的拼图，若再添一条绕点C旋转的射线，试题的设问也自然就产生了.本题从考查的知识点来看添加内心、外心概念、圆心角的性质、圆心角与圆周角的关系、量角器度数的识别，而且试题呈现的形式精彩,考查角度有所创新.运用函数思想刻画是动态过程，最成功的一点还是逆用了“直径所对圆周角是直角”，有利于培养和发展学生求异思维、逆向思维. ( 答：∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE=75°, BE=EC; E处的读数为120、 90 ； =180-4)本题组由于图形改变，产生了不同的结果，三个题下来将圆的前大部分知识串成一线，并用不同形式，不同角度对圆的最本质东西进行了考查.因此本题组无论是对知识点的复习还是对学生的思维品质培养及解题能力的提高都将是恰到好处.3．改换题型，增强思维的灵活性和深刻性改换题型有两种情况，一种是仅在形式上的变换，如填空题改选择题，这种变换在复习过程中发挥不了多大的作用，另一种是会影响解答过程和思维方式的变化，才对复习效果的提高起一定作用，如封闭性试题改开放探索题，静态题改为动态题等.由此可知题型的改换，既可将有关知识重心复习，又能活跃思维、强化思想方法的掌握.题组6、【起点题】（人教大纲版初三几何第4题）如图19，正五边形的对角线AC和BE相交于点M. 求证：（1）ME=AB；（2） =BE·BM.说明：本题由正五边形性质可找到许多等角、等边、平行线段或全等、相似的等腰三角形，因此对推理论证其结果并不困难。由此正好适合进行题型改编。改编1.如图19，设正五边形的对角线AC和BE相交于点M.问四边形EMCD是怎样的四边形？试证明你的结论；（2）观察图形，提出一个与点M有关的问题（不要求解答）.说明：由于起点题的结论丰富，发现可以引导学生去探索图中某个三角形或四边形特征，也可由学生去寻找题中不同层次、有价值结论，于是就改成这样一道开放探索题。改编2、：如图20，五边形ABCDE是圆的内接正五边形AC与BE交于M，现给你一把无刻度的直尺，请你确定正五边形的中心（要求：保留作图痕迹，不证明）.说明：在改编1的基础上不难发现D、M两点都落在AB的中垂线上，由于存在这个结论，自然发现用无刻度的直尺可以确定五边形的中心位置。改编3、：某校一次数学兴趣活动中对如图21所示的正五角星进行如下探讨和交流. A同学:正五角星的五个角都是B同学:正五角星是轴对称图形,共有五条对称轴C同学:在不添加辅助线的情况下,图中共有10个等腰三角形D同学:连结BC、CD后，与BC或CD有关的等腰三角形有4个E同学；图中有5点是线段的黄金分割点（1）问A、B、C、D同学的说法是否全对？请你将不对的或不全对的说法给予纠正（不证明）；（2）E同学说的黄金分割点，请指出其中一个点并给出证明.说明：由于正五角星顶点就是正五边形的顶点，于是将正五边形改成五角星，这样改换下的图形，其本质没有变，图形包含诸多结论仍然存在，前面的改结论或找方法，这题就改成直接呈现结论，由学生辩析、判断，并验证较深层的结论，于是形成了这道辩析性交流题.此题的特点是提供思辩素材，引导学生运用各种思维形式进行讨论，辩析错在何处，不仅培养了学生思维的批判性，而且还提高了学生解开放题能力，养成良好的思维习惯.本题组是由一道传统的几何证明题改成开放探索题、作图题、交流题。由于题型的改变就是思维角度或方式的改变，如改编1需要仔细观察图形后合理猜想、寻找、挖掘与M点有关的结论;改编题2是限制工具的作图，其思维角度与前两题有着根本的不同，需对正五边形的性质特点从另一角度去探索、寻找到符合要求的求作方法；改编3相对前面三题更全面地理解、分析、归纳图中各种关系。因此本题组有着激发学生的探索欲，培养学生的自主探索精神，训练学生思维的灵活性和深刻性的功能，是复习过程中进行题型分析教学的好材料。4．改换角度，理清知识之间相互联系用改换角度的策略去编制题组，其作用是使学生学会变换角度去认识知识和思考问题.特别是对互相之间联系密切、并经常相互转化的知识内容（如相反数、绝对值、数轴之间的关系），采用改换角度，形成链状的变式题组来复习，将是事半功倍的效果，因为其题组功能把相关知识（包括方法和技能）自然、顺畅、扎实地联系起来，同时还使知识得到深化发展.如下面题组.题组7.【起点题】（人教实验版九年级上册第12题） 方程总有两个不等的实数根吗?给出答案并说明理由.说明：用“”大于0来说明理由.改编1.不论p为何值时抛物线一定与x轴有两个交点吗？先回答再说明理由.说明：由验证一元二次方程根情况改为验证抛物线与x轴的交点情况。改编2、当p=0时，画出抛物线的图象，并根据图象写出不等式的解集. 说明：由抛物线与x轴的交点问题横向拓展到利用二次函数图象直接看出一元二次不等式的解集。改编3、若p=1时，抛物线与直线y=2是否有交点?若有求出交点，若没有请说明理由.说明：由抛物线与x轴的交点问题纵向拓展到抛物线与直线y=2的交点问题。其本质是探究当P=1,y=2时,一元二次方程根的情况.改编4、若关于x的方程有两个不相等的实数根，求p的取值范围.说明：本题可以说是由抛物线与平行于x轴的直线的交点问题又转向到一元二次方程根的情况问题。本题组分别从一元二次方程的根的情况的判断，抛物线与x轴的交点是否有交点，以及观察抛物线写出y＞0（或y＜0）时，x的取值范围等这几个角度来改编的，这对搞清它们之间的关系有着“对症下药”的作用.5、改编情景，训练理解能力和建模能力对于应用性问题复习，关键是如何引导学生理解题意，建立数学模型，因此我们应选择一些具有代表性的应用题，根据当前课程改革的要求拓展其内涵，赋予时代气息的实际内容，并且可以在同一种建模形式换上不同的实际背景，形成题组训练后感悟到如何建立这类问题的数学模型，起到提高解应用性问题的能力的作用.题组8.【起点题】（2005年淄博市）某水果批发市场的香蕉价格如下表：购买香蕉数不超过20千克超过20千克但不超过40千克40千克以上每千克价格 6元 5元 4元 张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第-次）共付出264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？ 说明：本题需分：①当0＜x≤20，20≤y≤40；②当0＜x≤20，y＞40； ③当20＜x＜25，则25＜y＜30， 三种情况来列方程解答.改编1.（2007年江西）李云是某农村中学的在校住宿生, 开学初父母通过估算为他预存了一个学期的伙食费600元,学校的学生食堂规定一天的伙食标准：早餐每人1元, 中餐、晚餐只能各选一份价格如下表中的饭菜.价格1(单位:元/份)价格2(单位:元/份)中餐23晚餐23 (1).请问该校每位住宿生一天的伙食费有几种可能的价格？其金额各是多少元？(2).若李云只选择（1）中的两种价格，并计划用膳108天，且刚好用完预存款，那么他应该选择哪两种价格？两种价格各用膳多少天？说明:本题将起点题的情景改编成一个活生生的实际问题由学生自己解决，题中的已知量和所求量与实际中的用膳问题一一对应，克服了以往一些应用问题中将明摆着是已知的东西，强把它设置成未知量与实际相违背的情景.在试题功能方面与起点题一样，同样考查了:①阅读和从表中获取信息的能力；②分类讨论的思想方法 ；③建模能力和解模的基本功.(5元, 6元或7元, 每天5元的48天，每天6元的60天或每天5元的78天，每天7元的30天)改编2、今年3月，两次植树劳动前八年级（2）班学生到商店去购买A牌矿泉水，该商店对A牌矿泉水的销售方法是：“购买不超过30瓶按零售价销售，每瓶1.5元；多于30瓶但不超过50瓶，按零售价的8折销售；购买多于50瓶，按零售价的6折销售.该班两次共购A牌矿泉水70瓶（第一次多于第二次），共付出90.6元.（1）该班分两次购买矿泉水比一次性购买70瓶多花了多少钱；（2）该班第一次与第二次分别购买矿泉水多少瓶？说明：所换情景还是贴近学生生活，建立方程组模型时还是要分①不足20瓶，②20瓶到30瓶，③多于30瓶而不少于35瓶三种情况来解决.本题组各有不同的情景，而建模过程很类似，又都考查了分类讨论的数学思想，但要正确建模必须对题意理解透彻，并在题组中对各题之间进行比较分析，找出不同之处，这样学生才会对如何建模有所感悟.同时教师对“建模”这个很难见效的教学难点、重点定会有所突破.通过以上例举，可以说明用题组形式复习是引领学生自我探索和完善知识系统掌握的过程，她不仅改变了学生单一的思维方式，也改变了教学形式的内容的封闭性，活跃了课堂，营造了更好的学习平台，使学生的想象力和创造力得到充分的开掘与发挥，同时也教给了学生掌握知识，探求知识，运用知识的方法. 2008-3-10让我们都能听到花开的声音——关注每一个学生，夯实基础，提高中考数学复习效率遂川县教育局教研室 梁靖自新课程实施以来，《新课程标准》的理念对中考产生了巨大影响。今年是全省全面使用新课标卷的第一年，我想每个老师都在关注着同一个问题，那就是今年中考如何做到实现从大纲到新课标的平稳过渡，有何新变化？总复习如何把准方向？为了服务于老师和学生，我想从如何把握中考“双基”考查的特点、内容和命题趋势几个方面谈点自己的认识。我们知道中考数学复习有着异于其它学科的自身特点，即数学中考复习开始进展不如政治等学科，但随着复习的深入，有的学科很难再有所提高，但数学，特别在后一阶段，学生数学能力水平开始突飞猛进，提分幅度加大。在这个过程中，我们要改变观念，至始至终要以学生为主体，在学生最需要的时候——中考复习中关注每一个学生，“大河涨水小河满”，只有每一个学生的进步，才能有整个班级、学校乃至全省中考数学的成功！若能如此，当学生在数学中考中充满信心地答卷，当中考之后捷报频传时，我们将都能真正听到花开的声音！一、根据新课程的要求和我省实际准确把握08年中考数学“双基”考查的方向新课程实施以来，不管是大纲卷还是新课标卷，新课程的理念和其内容要求是中考命题的重要依据。从近年中考试题来看，不管中考试卷的结构、内容如何变化，但有一点是稳定的。也就是，都着眼于突出考查初中阶段最基本、最核心的内容，即所有学生在学习数学和应用数学解决问题的过程中必须掌握的核心概念、思想方法、基础知识和常用技能，体现义务教育阶段数学课程的基础性和普及性。因些，根据我省实际和中考命题的要求，2008年中考数学命题趋势仍将注重对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的考查。由此中考总复习应首先定位在，关注每一个学生，了解近年“双基”考查的特点、从各板块内容上准确把握数学学科核心知识、技能和思想方法的考查，同时注意“双基”考查方式的创新。从正确理解课标要求的角度，抓住核心、重点知识，更深层次把握中考“双基”命题趋势，这是有效地提高中考复习的针对性，使师生摆脱复习困境的前提和保证。二、近两年中考数学试题 “双基”考查的特点近两年在全国各省市使用课标卷的考生人数占绝大多数，对于我省来说，近两年的中考试题也具有很强的代表性，综观近年中考，可分析对“双基”的考查方式主要有以下几个方面的特点：1．考查“双基”的试题源于课本????????中考在“双基”的考查方面，具有题量较多，一般放在客观题和解答题的前几道题位置的特点。试题的构成是在教科书中的例题、练习题、习题的基础上通过类比、加工改造、加强条件或减弱条件、延伸或扩展而成的。教科书中的例题、练习题、习题为编拟中考数学试题提供了丰富的题源。 这类试题较多，形式与课本例题、练习题、习题相似或能看出源于教材的踪迹。如江西06年课标卷的第1，2，3，4，7，11，13，16，17，18；江西07年课标卷的1，2，4，12，17，18等。例1 题① (06 江西) 计算：.题②(07 江西)化简：题③(07 上海)解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．题④（07 南京）两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形中，，，，相交于点，（1）求证：①； ②，；（2）如果，，求筝形的面积．【评析】以上代数试题都是考查代数的基本概念和运算技能，整式与分式运算，算式、结果都较简单，目的在于考查算理和通则通法。几何试题考查的是空间与图形的重点知识全等三角形和三角形的面积等，图形是教材上非常熟悉的，在八年级上册全等角形一章中可以见到它的“影子”（P111和P121），是教材中问题的延伸或扩展。 实际上，中考试题基本是教材中的问题的不同程度的变形或重组，因而即使是综合题甚至整卷的压轴题，也能从教材找到其原型，如江西省07年中考试题最后一道压轴题，可在八年级下册《四边形》一章的第122页，选学内容——平面直角坐标系中的特殊四边形中找到原型。2．突出核心内容、数学思想方法的考查?????????核心知识和数学思想方法的考查是考试的目的。数学的基本概念、性质、定理、思想方法是数学知识的核心，也是各种能力的基础。但是对于核心知识的考查，不是一味体现在难题上，而是体现出数学的精髓即数学思想方法，其中方程思想和函数思想常与生活实际结合起来考查学生数学建模和分析解决实际问题的能力。例2 （07 江西）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ．【评析】本题揭示了二次函数与一元二次方程的内在联系，重点考查了数形结合思想，所涉及的内容又是初中初中阶段的核心知识，解法上也能很好地展示学生的学习成果，既可通过求出m值得出方程的解，也可根据二次函数图象的性质直接写出方程的两个解。? 例3（06 江西）小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多（设为a人，a > 8），就站到A窗口队伍的后面. 过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人.（1）此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少（用含a的代数式表示）？（2）此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，求a的取值范围（不考虑其他因素）. 【评析】通过对密切联系学生生活实际的学校食堂排队买饭问题，重点考查了方程思想和数学建模能力。江西在这方面常考常新。3．注重新增知识的考查?新增加的内容无疑是中考命题的一个亮点。其考查方式基本走向情景新，贴近时代，与生活实际密切相关。如：视图与投影、概率与统计，图形的变换；用函数的观点看一元二次方程，用函数的观点看方程（组）与不等式等都是相对旧教材的新增内容。对新增知识的考查近年力度不断加大，形式越来越灵活，我省也逐年增加了内容分值。例4．题①(07 湖南常德)图6-2是中国象棋棋盘的一部分，图中红方有两个马，黑方有三个卒子和一个炮，按照中国象棋中马的行走规则（马走日字，例如：按图6-1中的箭头方向走），红方的马现在走一步能吃到黑方棋子的概率是多少？题②（07 山东聊城）如图，以两条直线，的交点坐标为解的方程组是（ ）A． B． C． D．????【评析】题①中将概率与中国城乡皆宜的、融智力与休闲于一体的中国象棋结合起来，以一种游戏的形式，巧妙地考查了数形结合思想和概率的理解应用，渗透了数学与生活的密切联系。题②数形结合考查一次函数与方程组，揭示了函数与方程的密切关系。4．适度创新“双基”考查的新形式 对于“双基”的考查，各省市还相当重视创新形式进行考查，即给整卷增加亮点，又促进了试卷基本立意的顺利实现，我省每年都有原创性试题出现。例5 题①（07 江西）如图，已知，点在边上，四边形是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出的平分线（请保留画图痕迹）．题②（07河南） 将图①所示的正六边形进行进行分割得到图②,再将图②中最小的一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③, 再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割…,则第n个图形中,共有________个正六边形.题③（07北京） 在五环图案内，分别填写五个数，如图， ，其中是三个连续偶数是两个连续奇数，且满足，例如 ．请你在0到20之间选择另一组符号条件的数填入下图： ．? 【评析】这种“双基+适度创新情景”的设计促进了试卷基本立意的顺利实现，并使整卷增添了新意和亮点，且从一种新的角度考查了“双基”和学生的数学能力。5．相对大纲而淡化的知识，不超出课本和课标的要求????????????近年中考强调：对于原来老教材有而现在新教材已经删减的内容坚决不考，如果只是在新教材的习题中出现，那么也不能够深挖。比如几何《圆》的内容，原来一直是几何部分的重要考点，也是热点，但是现在新教材中对这部分知识作了较大的调整。再如代数中削弱了一元二次方程知识的专项考查（根与系数的关系），因此在考试命题中也会降低这部分知识考查的难度。例6（07 江西）如图，在正六边形中，对角线与相交于点，与相交于点．（1）观察图形，写出图中两个不同形状的特殊四边形；（2）选择（1）中的一个结论加以证明．【评析】本题将合情推理与演绎推理有机结合在一起，考查学生通过观察、思考后，提出猜想，进而再加以论证，同时以开放的形式为学生提供了各自的展示平台，关注了学生对空间与图形的重点知识——特殊四边形的性质的不同认识。?????????对于几何证明，新课标明确指出，空间与图形主要发展学生的合情推理，?因而近年中考降低了几何证题的难度，几何试题将主要考查学生对图形敏锐的观察力和对数学规律的发现探究能力。让学生从常见的几何图形中提出问题，并通过对问题的探索，发现数学规律。????????二、中考“双基”考查内容梳理《数学课程标准》将7-9年级的考查内容分为基础知识与基本技能、数学活动过程、数学思考、问题解决等四个领域，其中基础知识和基本技能领域的考查从内容分块来分析，重点考查内容可分类梳理如下：一）数与代数1、数与式重点考查：★掌握实数与数轴上的点的一一对应关系，借助数轴比较★实数的大小、理解相反数和绝对值。★科学记数法在生活中的应用。★掌握实数的基本运算。★具有良好的数感，估算、近似计算，数值规律探索。 例7 实验表明，人体内某种细胞的形状可近似地看作球，它的直径约为0.00000156m，则这个数用科学记数法表示是( )(A) (B) (C) (D) 点评：如何表示“很大”或“很小”的数是生活中常见的问题，科学记数法是一个现代人必备的知识。例8 计算：． 点评：这是中考试卷中常见的题，涉及到绝对值、幂、根式运算等。例9 已知－1＜b＜0， 0＜a＜1，那么在代数式a－b、a+b、a+b2、a2+b中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是（ ）(A) a+b (B) a－b (C) a+b2 (D) a2+b评析：本题一改将数值代人求值的面貌，要求学生有良好的数感。从上述例题的分析，大家应能发现新课程下对数与式的考查发生了下列变化：对概念简单的识记---------对概念的理解单纯繁琐的计算----------算法算理的掌握单纯关注计算---------关注模型、表示与计算2、方程与不等式★分析具体问题中的数量关系，列出方程或方程组并会求得其解并能检验结果是否合理。 ★会解一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）及一元二次方程。★分析具体问题中的数量关系，列一元一次不等式或不等式组，并能在数轴上表示不等式的解集或利用数轴确定不等式组的解集。例10（07南京） 解方程组点评：解方程和不等式是必考的数学技能，消元降幂等是重要的数学方法。例11 （06 广州）目前广州市小学和初中在任校生共有约128万人，其中小学生在校人数比初中生在校人数的2倍多14万人(数据来源：2005学年度广州市教育统计手册)． (1)求目前广州市在校的小学生人数和初中生人数； (2)假设今年小学生每人需交杂费500元，初中生每人需交杂费1000元，而这些费用全部由广州市政府拨款解决，则广州市政府要为此拨款多少?点评：本题在常层面上考查了列方程解应用题，试题背景来源于现实生活。方程和不等式的考查主要有三种方式：技能层面——解方程和不等式；常规层面——情景化的列方程或不等式解应用题；“方程思想”层面——解决几何计算、方案型和更广泛的数学问题与实际问题等。3、函数★对函数实质的理解-----刻画变量之间的关系，即有定性的判断又有定量的刻画。★函数表示法（特别是图象法、列表法），对图象深刻性的理解。★待定系数法求函数解析式。 ★函数性质的分析，在此基础上对变量的变化规律进行初步预测。 ★函数在实际问题中的应用。例12 (07 天津)已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点（1，5）。（1）求这两个函数的解析式；（2）求这两个函数图象的另一个交点的坐标。点评：函数与方程密切相关，函数问题常用方程方法加以解决。例13（07江西）在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，是总价（元）与加油量（升）的函数关系式是 ．点评：我们每个人都在加油站加油时看到过不断跳动的总价与油量，这是现实生活中两个变量的函数关系最生动、最鲜活的反映，学生可深刻体会变量——总价与油量，常量——油的单价，体现了函数是描述现实世界变化规律的有力工具。函数主要考查方式：直接考查概念和性质；借助各种问题背景确定函数关系；灵活考查函数知识和函数思想，常以大题的形式出现。二）空间与图形1、图形的认识1）掌握平行线、角等的有关性质。2）理解两点间距离、点到直线的距离、两条平行线间距离等概念。3）掌握三角形、四边形、圆等图形基本性质。4）能进行有关三角形、四边形、圆等基本几何量的计算。5）熟悉基本几何体的展开图、三视图。6）掌握相似图形的性质与判定。7）能解直角三角形。例14（07江苏）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F。 （1）求证：△ABE≌△DFE；（2）试连结BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论。点评：三角形与四边形密切相关，两者都是空间与图形的核心知识，其中三角形是最为核心和重要的内容，全等三角形常是与其它图形知识间连结的纽带。 图形的认识考查方式：考查有关性质和定理；以三角形为载体，考查图形之间的横向与纵向联系，合情推理为重点；考查探究与推理，注重联系与综合。2、图形与变换1)会观察与分析 2）能操作与探究主要知识点：对称变换、平移、旋转变换、位似变换例15 （07陕西） 如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是（ ）A．4 B．5 C．6 D．8点评：综合等边三角形的性质和全等三角形考查旋转，设计较巧妙，有一定新意。3、图形与坐标★在坐标平面中，会根据坐标描出点的位置，或者由点的位置写出它的坐标。★能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。★在同一直角坐标系中，明白图形变换与点的坐标变化之间的关系。例16（06 海南）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图9所示. （1）作出△ABC关于轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴.点评：考查了图形变换的理解及其与坐标变换的联系，以及学生图形操作的能力和空间想象能力。这部分内容主要以考查数形结合的另一种重要形式，以及解决图形位置的确定和探索点的坐标变化与图形变换的关系一类问题。4、图形与证明★重视传统几何内容的考查。（如全等、相似等内容的要求并未降低）★重视新课程中合情推理（如归纳、类比、统计推断等）和演绎推理（逻辑推理）。 见例1题、例6和例14及其点评。近年中考变化：★证明的要求略有降低（特别是圆的有关证明）★合情推理有所加强。三）统计与概率1、统计★强调对基本统计量的理解（如平均数、方差、众数、中位数、频数、频率等） 。★统计图表的分析和绘制。★掌握用样本估计总体的思想。统计的应用，能解决简单的实际问题。例17 小明同学5次数学单元测试的平均成绩是90分，中位数是91分，众数是94分，则两次最低成绩之和是______分。点评：本题强调对几个基本统计量的理解，重点不是计算。例18 (07江西)某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）：方案1 所有评委所给分的平均数．方案2 在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数．方案3 所有评委所给分的中位数．方案4 所有评委所给分的众数．为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．点评：以演讲比赛评分方案选择为背景，考查对平均数、中位数、众数的理解、阅读图表并提取有用信息的技能。2、概率★理解概率的意义。★会运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。★会设计等效模拟实验。例19（07 扬州）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早上，奶奶为小明准备了四只粽子：一只肉馅，一只香肠馅，两只红枣馅，四只粽子除内部馅料不同外其他均一切相同．小明喜欢吃红枣馅的粽子．（1）请你用树状图为小明预测一下吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率；（2）在吃粽子之前，小明准备用一格均匀的正四面体骰子（如图所示）进行吃粽子的模拟试验，规定：掷得点数向上代表肉馅，点数向上代表香肠馅，点数，向上代表红枣馅，连续抛掷这个骰子两次表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由．点评：结合现实背景，灵活运用列举法比较事件发生概率的大小。统计与概率考查方式：★单纯统计量的计算-----对统计量的理解★汇频率直方图-----对统计图表的分析★强化了统计思想的应用★增加了简单事件发生概率的计算四）课题学习★感受“问题情境－建立模型－求解－解释与应用”的基本过程，形成自己的一些研究问题的方法和经验，对相关数学知识有较深刻的理解和运用能力。（具体要求是会现场学习、实践活动、探究发现）。例20 实验与探究:（1）在图1，2，3中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点的坐标，它们分别是， ， ；（2）在图4中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），求出顶点的坐标（点坐标用含的代数式表示）；归纳与发现:（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为（如图4）时，则四个顶点的横坐标之间的等量关系为 ；纵坐标之间的等量关系为 （不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线和三个点，（其中）．问当为何值时，该抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的点坐标．点评：本题首先从直角坐标系中，三个平行于坐标轴摆放的四边形三个顶点的坐标（从具体数据到字母），求第四个顶点坐标的问题出发，再将四边形旋转并置于一般位置，探究四边形四个顶点在坐标系中的数量关系，最后将规律推广应用二次函数的问题情景中，一步步引导学生经历探究归纳发现规律的过程，综合考察了学生的操作、分析、归纳和推广、迁移应用知识的能力，同时考查了阅读理解能力和创新意识。四、总复习“双基”建议“双基”的复习主要放在总复习的第一阶段。本阶段基本任务主要是结合教材和《新课程标准》帮助学生梳理知识，优化知识结构，构建初中数学知识体系，弄清重要概念、定理、常用公式与方法。其中准确理解概念的实质是关键，公式、定理，基本思想方法、技能的熟练运用是重点，同时注意解题的规范性。?1．“过三关”一是过学生关，即改变观念，九年级学生进入中考总复习阶段是思想最为复杂和不稳定的时期，教师要以两种镜头看待学生：显微镜——细致入微地关爱学生，了解学生的思想动向，在数学学生上的个性特别；望远镜——关注学生在数学上未来的发展。二是过双基关，即抓落实构建数学知识结构网络，使学生知识条理化，系统化，促进学生全面掌握“双基”。三是过训练关，即结合知识点和内容要求，有针对性地抓好基本训练，做到训练量适度，课堂 “讲练半”，课外布置学生有针对性地做适量练习题，但应有选择性和层次性，不能大手一挥说做“某张试卷、从第几面到第几面”等，不考虑不同的学生能完成多少，要重在引导学生多总结方法，使学生做一题明一路。2．“求三变”一是变教法。在复习中最忌教法单一，本来数学就抽象，加上复习又常走老路，吃倒饭，如果教法单一，会使学生感到枯燥，影响积极性。教师要依教学内容特点、学生特点、课型特点而变换、选择和探索不同的有效的教学方法和复习方式，切不可总是“三板斧”式，而要从实际出发，面向全体学生，因材施教，分层次开展复习教学工作。二是变题。要善于将教材中的试题、中考试题进行变式，最好在一堂课中从简单到综合进行变式教学，给课堂注入新意，让学生感到数学复习内容“旧貌变新颜”。三是变评价。在总复习中要将过去只从分数上评价学生的能力，变为从情感、态度、行为等多角度评价学生的进步与否。评价还包含对学生复习过程中，依不同内容的掌握情况的进行动态评价。??3．“重三通”一是重视教师之间的沟通。由于种种原因，教师之间的封闭，竞争是影响教学改革发展一个重要制约因素。在复习中我们特别要调整心态，积极加强老师之间的合作交流，提高整体水平和复习效率。那是一种心与心的沟通。二是促进学生之间的沟通。特别在课堂要引导学生多进行小组合作，互相帮助，达到共同提高的目的。三是师生之间的沟通。师生沟通便于动态了解学生的心里变化和知识掌握的情况，有利于及时调整计划和复习方法，同时有利于提高学生复习的兴趣和自信心。????让教与学的生活充满活力，充满阳光――2008年初中数学总复习教学与考试评价的基本思考www.jxjyedu.cn jxjyedu@126.comy6180@126.com 喻汉林﹡﹡让教与学的过程更轻松，更有效﹡﹡让学生动起来，让思维活起来﹡﹡把工作赋予意义。﹡﹡培养与成长：既要成长，更要培养，相互结合，相得益彰。一、让教师的职业生活充满活力，充满阳光﹡﹡数学教育教学的改革与开放（一）教师的职业生活﹡﹡教师成长的基本途径：读书、思考、实践、反思、研究。――爱读书的教师会感染学生爱读书，爱思考的教师善激发学生去思考。学而不思则罔，思而不学则殆。﹡﹡用您的全部去影响学生。﹡﹡教师修养：宽容，笑容，从容。﹡﹡教师教学经验成长的三个阶段：入格，定格，风格（二）让题成为教师的朋友﹡﹡题的八个维度：看题，做题，选题，组题，讲题，编题，研题，评题。――从题上显功夫。与题对话。﹡﹡笛卡尔说过：“我所解决的每一个问题，都将成为一个范例，用于解决其它问题。”给教师的建议：先要做题，知道关键――修炼内功；次将题目分类，同类题中将题目分层――分类理顺；后比较、观察题目之间的内在联系――比较研究；最后总结出带规律性的东西来――总结提炼；精选题目，将题目分组――回归应用；让学生经历自己相类似的发现过程――指导促进。（三）关注能力，着眼于行动研究1.能力的培养途径：问题与问题解决――实践出真知。好问题：问题简洁、明了、易懂；适合学生水平，有一定挑战性，有思维训练价值。变式问题；②将问题组织起来；③使问题拾阶而上④将问题引向深入做中学：①通过做，通过学生自己的活动来学习。②做是为学服务的，是根据学的需要来安排的，做是手段，学是目的。③学什么？学数学，学数学的知识、方法、思想，学数学的严谨求真、创新的品格，学数学的理性思维、理性精神。﹡﹡做与玩的思考：做则做，玩则玩；做则做好，玩则玩好；在做中学会专心，在玩中学会控制；做是一种专心的玩，玩是一种放松的做；做也乐，玩也乐。﹡﹡问题思考：发展思维与做题的关系可能存在误区：（1）只有做难题才能培养能力；（2）题目做得越多越好；（3）题见得越多越好。→→数学老师最辛苦，学生也叫苦不迭，而效果――天知道。例1 已知△ABC，分别以AB、BC、 CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF.（1）如图1，当△ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；(2)如图2，当△ABC中只有∠ACB=60°时，请你证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与S△ACF的和.思路获得：像线段的情形一样，截取一段等于某一段，再证明剩下的等于另一段。数学欣赏：结果：BEMD是平行四边形；∠BMD=∠DMA=60°；……方法：分解；截取；猜想；旋转；整体。思想：推广；在关键点上做文章，类比联想（勾股定理的证明），探源，……2.培养能力的“三字箴言”：闻、思、修。闻――善听他人言；思――思索、领会，思考，反思；修――实践﹡﹡如〔美〕G波利亚的“怎样解题”表能知道吗？――网上下载3.培养能力的方法：循序渐进――过程性。问题探索：这个序是什么呢？四周延伸――教学与解题的方式之一从有个想法开始（不盲目动笔）――切入与转换的关键；通途法门；良好的思维习惯。跳出思维定势――用定势，不被定势所困。看重过程：（1）积极投入过程（2）暴露思维过程（3）反思思维过程（4）不以结果论成功与否（5）不急于了事――不求速度。………例2（见样卷）25．问题背景：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC为底边向三角形ABC的外侧作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，且AD⊥AC， AE⊥AB，连接DE,交AB于点F，试探究线段FB、FA之间的数量关系．探究策略：①小明是这样思考的：如图1，当∠BAC = 45°时，作EG⊥AC交AB于点G，则FA = FG；②小颖是这样思考的：如图2，当∠BAC =30°时，作DG∥AE交AB于点G，则FA = FG．任务要求：（1）小明、小颖的判断正确吗?说明理由；（2）请选择以下三个图中的一个探究线段FB、FA的数量关系,并说明理由.（3）小明、小颖继续研究图3中的结论，结果发现以下两个：①；②．请你选择其中之一进行证明．思路1：作GE⊥AC（GE∥AD）交AB于G，马上想到要证四边形ADGE是平行四边形,现有条件：①∠GAE＝90°②GE∥AD③GA=GA ④…思路2：作DG∥AE（DG⊥AB）交AB于G，马上想到要证四边形ADGE是平行四边形,现有条件：①∠GAE＝90°②∠DGA=90° ③GA=GA ④…回到原点重新思考：所作出的两个等腰三角形有什么内在的关系？∠CAE=∠DAB、DG=AE? GE=DA?问题在哪：？关键的关键是确定G的位置有何特殊性？――都是中点！“等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，且AD⊥AC， AE⊥AB”→→平行四边形，缺一不可回顾反思：作出辅助线后，①是直接、马上将它与目标联系起来，还是先获得更丰富的认识――作了这条辅助线后，能得到什么？②当不能马上将它与目标建立联系时，要换思路重新开始。③找问题在哪：？――找出关键 ④回到原点重新思考 回顾反思。转化探索架桥拆桥选择命题方法：图形的合理叠加尝试拓展 例3如图，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，，其中．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连结，，．（1）若的面积为4，求点的坐标；（2）求证：；（3）当时，求直线的函数解析式．【2007年上海市初中毕业生统一学业考试】解：（1）（2）（3），∴当时，有两种情况：①当时，四边形是平行四边形，――思路就是出路，思路→执行由（2）得，，，得．点的坐标是（2，2）．设直线的函数解析式为，把点的坐标代入，得解得直线的函数解析式是． ②当与所在直线不平行时，四边形是等腰梯形，则，，点的坐标是（4，1）．设直线的函数解析式为，把点的坐标代入，得解得直线的函数解析式是． 反思：如何从洞穴中跳出来：当时，由勾股定理有，陷入其中，难以出来。――做人做事遇到此时怎么办？（如果不尝试，就没有此经历；没有此经历，就没有跳出来的愿望与解决问题的办法；……从错误中学习。）换个思路跳出来：充分利用已有结论与方法――定理，中间结论，特别是题目自身前几问中所得到的结论。（四）不愤不启，不悱不发――好的启发例4 （2007年·河北）我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．图2-1给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是（ ） 启发1：根据题设中的相等, 令P处点为x个, 能否利用对角线上两个方格中的点数2和5来建立方程? 若已知左下角的方格中点有a个, 能否帮助你建立方程? 启发2：题目中告诉了行、列、对角线上的数之和相等，怎样利用这一关系呢？说明：数学思想是数学的灵魂，应自始至终、经常体会数学思想的运用。例5（2007年·南京）如图3-37,在梯形中，，，，点分别在线段上（点与点不重合），且，设，．（1）求与的函数表达式；（2）当为何值时，有最大值，最大值是多少？启发1：AE、DF所在的两三角形相似吗？启发2：等腰梯形有什么性质？x与y怎样才能建立起联系？例6（2007?杭州）如图是一个食品包装盒的侧面展开图．（1）请写出这个包装盒的多面体形状的名称；（2）根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积和全面积．启发1：动手操作，尝试叠合成怎样的立体图形？侧面与底面是怎样组合的？启发2：分析、想象一下能合成怎样的立体图形？侧面与底面是怎样组合的？有困难时可动手操作一下.例7（2007·江西大纲卷）如图，梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C=60°,点E是DC上的一点，沿直线AE折叠，使点D落在D′处，则∠1+∠2等于( )．A、180° B、150° C、135°D、120°启发1：∠BAD=?,∠DAE与∠D′AE有什么关系? ∠AED与∠AE D′又有什么关系？启发2：折叠有什么性质？∠1、∠2与梯形的角怎样建立起联系？例8 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O弦，延长BD到C，使DC=BD，连接AC交⊙O于F．（1）AB与AC的大小有什么关系？请你说出理由；（2）按角的大小进行分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由． 启发1：AD与BC有什么关系？三角形按角进行分类有哪几种形状？启发2：AB是直径能得到什么？…例9 如图，⊙O的直径AB=15cm，有一条定长为9cm的动弦CD在上滑动（点C与A、点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F．（1）试判定线段AE与BF的大小关系，并说明理由；（2）在动弦CD滑动过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请你求出这个定值；若不是，请你说明理由．启发1：“AE与BF”与“OE与OF”有什么关联？四边形CDFE的面积如何表达？启发2：从直观上看，AE与BF有何关系？…例10 (2007年·泰州)下列说法正确的是（ D ）A．小红和其他四个同学抽签决定从星期一到星期五的值日次序，她第三个抽签，抽到星期一的概率比前两个人小B．某种彩票中奖率为10%，小王同学买了10张彩票，一定有1张中奖C．为了了解一批炮弹的杀伤半径，应进行普查D．晚会前，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查，最终买什么水果由众数决定 启发1：应选谁？为什么？――排除 启发2：你选谁？你的理由是什么？反思一下，你的理由充分吗？――反思，置疑二、让学生的学习生活充满活力，充满阳光﹡﹡学会学习、学会思考﹡﹡愉快学习与艰苦思考﹡﹡学习没有失败者，只有学多或学少的差异﹡﹡兴趣与动机――首先要解决的问题﹡﹡爱因斯坦公式：A=X+Y+Z.A：成功；X：艰苦劳动；Y：正确方法；Z：少说废话﹡﹡手脑关系：陶行知《手脑相长歌》：人生两个宝，双手与大脑。用脑不用手，快要被打倒！用手不用脑，饭也吃不饱，手脑都会用，才算开天辟地的大好佬。现象之一：眼高手低，好高骛远――想想就可以了――一些优秀生如此﹡﹡脑子越用越灵。――拳不离手，曲不离口。﹡﹡解题的四个过程：（1）横看成岭侧成峰，远近高低各不同――理解、观察；（2）吾将上下而求索――发散、推理；（3）山穷水复疑无路，或踏破铁鞋无觅处――受挫、茫然；（4）柳暗花明又一村；或得来全不费功夫――发现、惊喜。﹡﹡引导学生坚信：①从现在开始，想改变就能改变，一切皆有可能，一切随心而变，所谓心想事成。②改善学习有策略，行动起来是关键，只要真想有提升，愿望一定能实现。（一）学习策略策略一：发现问题， 随时解决了解自己的途径的两个方法：（1）随时留意。在学习过程中，当遇到一个有点困难或概念不清的问题时，就抓住它，关注它，直面它，把它提出来，不要让它溜了，然后设法解决它。（2）主动寻找。即从自己的作业本中、测验卷中找出自己所曾犯过的错误，看这些错误现在是否一定不会犯了，再把可能再犯的错误标出来，或单列出来。不忘错误，从错误中学习。例11 二次函数y＝ax2＋x＋a2－1的图象可能是（ B ）﹡﹡﹡﹡相信自己是取得进步的法宝。﹡﹡﹡﹡及时把所遇到的问题想清楚，真弄懂。﹡﹡一时不能解决问题太正常了，即使是数学家也常如此。﹡﹡搁置问题也是一种技巧――提高效率的技巧策略二：循序渐进，步步为营找到问题、明确目标，着手行动。行动要领：不求速度，但求收获；循序渐进，步步为营。具体措施：以教师的学习安排为基本线索，以自己确定的任务为重要内容之一，在学习过程中，每发现一个具体漏洞时，就及时弥补；每发现一个具体困难时，就力求及时克服；每遇到一个未曾见过的新题，就要尝试解决它；思而不解时请教他人，不留疑问。例12 如图是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）．将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积为 cm3．（计算结果保留）﹡﹡﹡﹡利用规则问题解决不规则问题。策略三：独立思考，学会思考学习数学，首要的是独立思考，在思考数学中学习数学，不但要学习数学的知识与技能，更要学习思考数学的一般方法。在学习过程中，对于资料或老师提供的带有一定挑战性的问题，要大胆探索，独立思考，不轻易问人；在自己独立探索过程中，要明确的知道自己目前所使用的思路与方法；在听老师讲解或同学交流解题过程的时候，更多的要关注其中的思想方法与求解策略。如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD,CE分别为∠BAC∠ACB的平分线，图中的线段AC、AE、CD之间存在怎样的关系？﹡﹡﹡﹡从重要的已知条件取得突破。﹡﹡﹡﹡不轻言放弃，肯花时间去想――即使想而未决，也学得更多。策略四：反思总结，不断改进反思与总结是学习进步的阶梯，是改善学习、提升能力的法宝，有了反思与总结，学习行为的不断改进，成效的不断提升就是自然之中的事情了，因此，反思与总结应成为每位学习者学习活动中一个经常性、自觉性的行为。反思总结的方法，简单来说，就是在回顾的基础上，找出自己的成败得失之处与成败得失的原因，并将正反两方面的经验简明地表达出来，以指导自己后续行动。例14（2007年，江西卷，第24题，有改动）在同一平面直角坐标系中有6个点：,E（0,﹣3）．（1）画出的外接圆，并指出点与的位置关系；（2）直线DE与有何位置关系？请说明理由.分析：第（2）问，看上去DE与相切，但怎样证明呢？当你动手思考时，总得有个想法。如“因为点D在⊙P上，那么只有证明直线PD⊥DE就好了”，于是就可以沿着这一思考继续思考：要证明两条直线垂直，不是有两条路吗，如果证明了∠PDE＝90°，或在一个三角形中，某条边的平分等于另两条边的平分和，不就可以了吗？到了这里，似乎有些眉目了，有了继续进行的方向了。先沿“证明∠PDE＝90°”这条路试试。这里的图形在网格中，看来网格也是我们可以利用的资源（如果需要的话）。从图上看∠PDE可以分成两部分（设过D、且平行于x轴的直线交y轴于F）：∠PDF与∠EDF。这∠EDF不是又与∠PDG相等吗（设直线PG平行于y轴与DE交于G）？于是不就有了∠PDE＝∠PDF＋∠EDF＝∠PDF＋∠PDG＝90°吗？噢，我证到了。这时，你一定欣喜万分，是呀？做题就像走路一样，对于一个不熟悉的地方，边走边问边摸索前进，慢慢地就接近目的地了。我们也可以沿着“运用勾股定理的逆定理”的思路来寻求问题的解决，这里有两条路（图中的辅助线暗示了一条），你不妨试试。做完之后，再总结反思，它使我们收获更多。如下几点值得我们体会、玩味： （1）运用直观.看上去DE与相切，这给我们提供了最初的下手方便。（2）“当你动手思考时，总得有个想法”这是一条成功经验。（3）“看来网格也是我们可以利用的资源”，就是说，我们可以利用已知的一切条件，哪怕是暗含的、没有明确提示的条件，这也是引向成功的重要因素。（4）“从图上看∠PDE可以分成两部分”，将整体分界成若干部分，看来也是一个好方法。（5）“这∠EDF不是又与∠PDG相等吗”，这就是数学中的转化，转化在数学上是用到非常多的，从某种意义上说，你是否学好了数学最重要的是看是否学会了转化，一转化，原来看不清晰的就便得清晰了。等等。﹡﹡﹡﹡事前有意识，事中自提醒，事后有反思。策略五：自我监控 自我启发在操作、演算、思考活动中经常反问自己“正在做什么”（明确地讲出来），“为什么要这样做”（这样做能否达到目的），“这样做有什么好处”（如果得出结果，接下来做些什么）……例15 在一张有平行条的纸上作一个等腰梯形，连结两条对角线。自我探索：图中哪些相等的线段？相等的角？这个图形是轴对称图形吗？下判断的依据是什么？在简单结论的基础上还能得进一步的结论吗？….（二）复习要领1. 将书读薄的要领：在回忆（过电影）等的基础上，以枢纽点勾画脑图，绘制自己的知识网络图――做到了如指掌，能准确提取相关知识□登临制高点――会当凌绝顶，一览众山小□资料――读通一本就够了。未读先思。□温故知新――从联系的观点看问题□融会贯通――书真的读薄了，知识变成自己的了2. 预习的要领：先行一步，掌握主动――跟随老师复习，基本与教师保持同步，可走在老师的前面。3. 上课的要领：认真听讲，参与思考――与自己想法相比较，听点评4. 作业的要领：做一题，得一题；做一题，悟一类作业的十字标准：及时――今日事，今日毕正确――言必有理，步步有据，准确可靠，一次做对简明――逻辑清晰，简单明了独立――发展思维之所必需中速――注意力集中，又不匆匆忙忙5. 克服困难的要领：有勇气，有方法6. 取得高分的要领：夯实基础――在系统复习中查漏补缺，思而不决则问，领会思想，提升能力7. 科学地利用时间。8. 利用难题笔记，错题笔记。例16 和点在平面直角坐标系中的位置如图1所示：（1）将向右平移4个单位得到，则点的坐标分别是 ；（2）将绕点按顺时针方向旋转，画出旋转后的图形．﹡﹡有把握的程序题、看一眼就知道的题可适当少做。但做就要快而正确（思路）、准确（不错）、简明（表达）。例17 如图，四边形ABCD是正方形，直线分别经过A、B、C三点，且∥∥，若与的距离为a，与的距离为b，则正方形ABCD的面积是 。说明：几何核心知识有：三视图，三角形内角和定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定定理，等腰三角形性质与判定定理，平行四边形性质与判定定理，相似三角形性质与判定定理，垂径定理，图形的坐标与图形的变换，等。……﹡﹡动态地与静态的观察问题。例18如图，已知二次函数的图像经过点A和点B． （1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离． 说明：代数中，绝对值的性质，非负数的和为零的性质，运算法则，运算律，等式性质，分式性质，完全平方公式，平方差公式，同底数幂的运算性质，等…… ﹡﹡（少图）首先是可解的，方法是已知的，……例19 把一副普通扑克牌中的4张：黑桃2、红心3、梅花4、黑桃5，洗匀后正面朝下放在桌面上．（1）从中随机抽取一张牌是黑桃的概率是多少？（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张．请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率．说明：统计与概率的核心知识主要有：集中量数的意义与选用，方差的意义，统计图的选择，概率的意义与计算方法，用样本估计总体，用频率估计概率，等……例20 如图①，将一组对边平行的纸条沿折叠，点分别落在处，线段与交于点．（1）试判断的形状，并证明你的结论．（3分）（2）如图②，将纸条的另一部分沿折叠，点分别落在处，且使经过点，试判断四边形的形状，并证明你的结论．（3分）（3）当 度时，四边形是菱形．（1分） ﹡﹡常见背景题要把握它的数学实质，如：折叠问题，网格问题， 例21 如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（ ）A．24m B．22m C．20 m D．18 m 说明：对于未见过的新情景问题，应当勇于尝试。 （三）解题要领﹡﹡﹡﹡基础知识、基本技能的掌握是前提 ﹡﹡从原点出发――学会审题：首先要静心――有耐心，其次要细致――不漏不错﹡﹡回到原点――回到定义，回到题目，重新开始。﹡﹡解题的三断：判断――判断解题方向，推断――合情、逻辑两种推理，果断――大胆放弃，当转则转﹡﹡解题的三想：三想：回想，联想，猜想――解题方法做题的意义：培养毅力，锻炼思维。﹡﹡G·波利亚曾说：“也许你要解答的题目可能很平常，但是如果它激起了你的好奇心，并使你的创造力发挥出来，而且如果你用自己的方法解决它，那么你就能经历那种紧张状态，而且享受那种发现的喜锐。在一个易受外界影响的年龄段，这样的经历可能会培养出对智力思考的爱好，并对思想和性格留下终生的影响。”观察――观察式子或图形的特征例22 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F分别为垂足，观察图形，你能得到什么？﹡﹡﹡﹡熟悉基础图形的性质――很多几何问题的解决都归结为基本图形的问题如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长为a，则这六边形的周长是 。例24 如图， 在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3、AE=4，则CH的长是 ( )A． 1 B． 2 C． 3 D．42.引进字母。将问题表示为所熟悉的数学问题――解释：在数学上意味着什么？例25 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么，称这个正整数为“神秘数”。如：，因此，4，12，20这三个数都是神秘数。（1）28和2008这两个数是神秘数吗？为什么？（2）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？3、化动为静，注意分类。对于动态问题，常化动为静。例26 如图，正方形的边长为，在对称中心处有一钉子．动点，同时从点出发，点沿方向以每秒的速度运动，到点停止，点沿方向以每秒的速度运动，到点停止．，两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设秒后橡皮筋扫过的面积为．（1）当时，求与之间的函数关系式；（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求值；（3）当时，求与之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时的变化范围；（4）当时，请在给出的直角坐标系中画出与之间的函数图象． 4、将文字表达化为式子。――列方程――做好翻译工作――不被文字所吓倒，原来它是纸老虎例27（2007年，江西卷，第23题）2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预订．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用8000元预订10张下表中比赛项目的门票．（1）若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票，问他可以订男篮门票和乒乓球门票各多少张？（2）若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下，他想预订下表中三种球类门票，其中男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用，求他能预订三种球类门票各多少张？比赛项目票价（元／场）男篮1000足球800乒乓球500解析： “全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票”↓ ↓ “预订男篮门票的费用＋预订乒乓球门票的费用＝全部资金”↓ ↓设预订男篮门票x张时，便知道了预订的乒乓球门票是张，预订男篮门票的费用为1000x元，预订乒乓球门票的费用为500（10﹣x）元，↓ ↓“” “现有资金8000元允许的范围内”，“乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用” ↓ ↓ “预订男篮门票的费用＋预订足球门票的费用＋预订乒乓球门票的费用≤8000”“乒乓球门票的费用≤男篮门票的费用”↓ ↓，。5、从已知（定义）出发进行分析例28三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ．例29 如图（1），凸四边形，如果点满足，且，则称点为四边形的一个半等角点．（1）在图（3）正方形内画一个半等角点，且满足．（2）在图（4）四边形中画出一个半等角点，保留画图痕迹（不需写出画法）．（3）若四边形有两个半等角点（如图（2）），证明线段上任一点也是它的半等角点．解：﹡﹡利用基本图形6、将解题变为“研究”问题――本问题中还隐藏着什么？例30 如图，边长为1的正方形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，将点C折至MN上落在点P的位置，折痕为BQ，连结PQ，求MP的长。7、转换角度，不断推进例31 如图2，在中，，．若动点从点出发，沿线段运动到点为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为．（1）求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？ 尝试一：直接建立BD与AE之间的联系；失败。尝试二：不先急于寻找x、y的这种直接联系，而是从已知出发，看我们能够得到什么？（1）易知，某些线段可用x、y的代数式表示出来， BD可用2x表示，AD可用8﹣2x表示，EC可用6﹣y表示；（2）由条件“”，知△ADE∽△ABC,或AD:AE=BD:CE;（3）这样一来，x、y就可以建立联系了：，或，解得.（4）因为x的取值范围是，＝，所以，当时，有最大值，且最大值为． 例32 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，．请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．尝试一：如图所示尝试二：8.正难则反，逆向思维。9.数形结合，当分类时就分类。10.将大问题分解为若干小问题，各个击破。三、让中考试题给师生带来笑容，播撒阳光（一）2007年中考试题值得关注的几个特点1.重点考查核心内容初中数学的核心内容是学生今后进一步学习的基础，绝大部分地区的试卷在注意内容覆盖的基础上，突出了对“方程与不等式”、“函数”、“基本图形的性质”、“图形间的基本关系”、“统计的应用”、“概率的计算”等核心知识内容的考查．2.突出考查主要的数学思想方法数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象与概括，它不仅蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，而且也渗透在数学教学与学习的过程中，各地试卷都突出了对数形结合、归纳概括、转化化归、分类讨论、函数与方程、演绎推理等主要数学思想方法的考查。例33探索的正方形钉子板上（是钉子板每边上的钉子数），连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数： 当时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种．若用表示不同长度值的线段种数，则；当时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，，2，，五种，比时增加了3种，即．（1）观察图形，填写下表：钉子数（）值（ ）（ ）（2）写出和的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；（用式子或语言表述均可）（3）对的钉子板，写出用表示的代数式．【2007年安徽省中考题】点评：本题的思考空间较大，方法比较灵活，三个问题难度递增，知识逐步铺垫，较为有效地考查了学生掌握类比、归纳等数学方法的情况。4.创新试题考查初中数学能力（1）丰富试题的呈现形式，考查学生的灵活运用知识能力例34已知直线l及l外一点A．分别按下列要求写出画法，并保留画图痕迹．（1）在图1中，只用圆规在直线l上画出两点B、C，使得点A、B、C是一个等腰三角形的三个顶点；（2）在图2中，只用圆规在直线l外画出一点P，使得点A、P所在直线与直线l平行．【2007年南京市中考题】点评：本题立意新颖，要求学生运用限定的工具完成作图，并使用作图语言描述作图过程，开放度高，方法多样。重点考查学生的合情推理能力、作图能力、猜想探索能力，体现课标的核心要求。（2）联系实际，考查学生应用知识的能力关于原理与应用。美国物理学家亨利·奥古斯特·罗兰在1883年8月15日的一次演讲中说：“假如我们停止科学的进步而只留意科学的应用，我们很快就会退化成中国人那样，多少代人以来都没有进步，因为他们只满足科学的应用，却从来没有追问过他们所做事情中的原理。这些原理就构成了科学。”例35如图（1）（2），图（1）是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图（2）．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为，铁环钩与铁环相切点为，铁环与地面接触点为，，且．（1）求点离地面的高度（单位：厘米）；（2）设人站立点与点的水平距离等于个单位，求铁环钩的长度（单位：厘米）．【2007广东省中考题】点评：本题通过学生熟悉的滚铁环这一生活中的问题设置题目，有效发掘了这个日常问题所蕴涵的圆和直角三角形的知识及有关的数学问题，考查了学生运用圆和直角三角形知识解决问题的能力，具有较好的效度。（3）设计开放题，考查学生的探索能力大部分地区的数学中考试题中都设置了开放型试题和探索型试题，这些试题要求学生通过自主探索，寻求解决问题的途径，并常伴有思维多向、多种解题策略和结论不惟一等特征，较为有效地考查“过程与方法”目标的达成程度。例36数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题（1）．（1）已知：如图（1），在中，，，直线平分交于点．求证：与都是等腰三角形．（2）在证明了该命题后，小颖发现：下列两个等腰三角形如图（2）、（3）也具有这种特性．请你在图（2）、图（3）中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数；（3）接着，小颖又发现：直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边上的中线可把它分成两个小等腰三角形．请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出三角形各内角的度数．说明：要求画出的两个三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形．【2007年山西省太原市中考题】点评：本题从基础证明开始，逐步分层次设置一系列数学探究活动，在归纳、类比等数学探究活动中可以有效地考查学生合情推理能力，同时也在一定程度上考查分析推理能力。（4）设计归纳情景，考查迁移能力例37 实验与探究（1）在图1，2，3中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点的坐标，它们分别是， ， ；（2）在图4中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），求出顶点的坐标（点坐标用含的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为（如图4）时，则四个顶点的横坐标之间的等量关系为 ；纵坐标之间的等量关系为 （不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线和三个点，（其中）．问当为何值时，该抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的点坐标．（二）2007年江西中考试卷简要分析下面以我省萍乡市的数据为主进行说明。1.三率表考生数低分率平均分及格率优秀率标准差2601936.662.341％17％25.3说明：（1）48分以下为低分，72分以上为及格，96分以上为优秀。（2）九江市（299份试卷）：均分73.7分，及格率61.2％，优秀率12.3％。（3）安远县阅卷点（5117份试卷）：平均分67.3分,及格率53.8%，优秀率23.0%，尖优率7.5%，低分率27.8%，最高分120（6个），最低分0分（2个）。（4）从上面可以看出，（1）低分率高，及格率和优秀率较低，呈现出明显的马鞍形分布。2.各题得分率题号123456789得分率91％86％61％72％75％60％85％70％56％题号101112131415161718得分率26％96％72％95％73％84％53％61％54％题号19202122232425得分率40％37％17％49％42％17％9.8％另：第一大题填空题人均23分，得分率76.67%，第二大题选择题人均15分，得分率82.2%，……（三）例说2008年中考数学试题的基本走向★☆★重要调整：第一大题：选择题（3分×10题=30分；）第二大题：填空题（3分×6题=18分；）即将原来试卷中的第一、第二大题互换位置，题量跟随变化；其余各大试题题型、题量均不变！﹡﹡严格控制考试命题范围。――放心教学★☆关注以下几点：1.小题中设置新题，新而不难题1 图1中，刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），刀片上、下是平行的，转动刀片（如图2）时形成∠1、∠2，则∠1+∠2= 度．图1 图2题2 如图所示，将Rt△ABC置于数轴上，且点A、C分别与数轴上表示数字-9、-6的点重合.第一步:将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转,使点B第一次落在数轴上，此时点B与数轴上表示数字-2的点重合；第二步:再将Rt△ABC绕点B顺时针旋转,使点A落在数轴上；第三步:再将Rt△ABC绕点A顺时针旋转,使点C落在数轴上；… 如此继续下去.（1）点B第二次落在数轴上时，与数轴上表示数字 的点重合；（2）点B第n次落在数轴上时，与数轴上表示数字 的点重合.题3 为探究一元二次方程 （a、b、c为常数）的根的大小，小明研究了二次函数的近似值（保留到0.001），如下表：x-1.618-1-0.61800.61811.6182-2.000-1.0000.7641.0001.2361.0000.001-1.000以下判断正确的是【 】A．两实数根一正一负 B．两实数根都为负 C．两实数根都为正 D． 没有实数根 说明：选择填空题中，除了常见的基础题目外，也常设计一些新面孔的题目，这类题目通常略有思考性，但一般不难。主动地选做一些题目，有利于培养自己的能力，应选做一些。2.将设置与计算器有关的试题，形式不定题4（选做题：在下两题中选做一题）（Ⅰ）若规定符号“*”的意义是a*b=ab－b2，则2*（） 的值是 ．（Ⅱ）比较大小：sin33°＋cos33° 1.（可用计算器辅助） 说明：今年的中考数学卷中将命制涉及计算器方面的试题，它可以是以选做题的方式呈现，也可以其它方式呈现。 3.将可能命制新形式的填空题题5 如图，线段MN=2,点P是动点,点A、B分别是线段PM、PN的中点，那么下面说法正确的序号是 .①点P是MN的中点时,AB=1; ②点P是线段MN上的任意一点时,AB=1; ③点P在线段MN的延长线上时,AB=1; ④点P是直线MN上的任意一点时,AB=1. 说明：这种填空题，常以“正确的序号是”的形式出现，可能有多个正确答案，并且常安排在最后一道题位置。 4.基础性的常规题仍是试题的主体题6 先化简，再求值:(－)÷x，其中x =1－.题7 在一个不透明的口袋中装有四个手感完全一致的小球，四个小球上分别标有数字-4，-1，2，5．（1）从口袋中随机摸出一个小球，其上标明是奇数的概率是多少？（2）从口袋中随机摸出一个小球不放回，再从中摸出第二个小球．①请用表格或树状图表示先后摸出的两个小球所标数字组成的可能结果；②求依次摸出两个小球所标数字为横、纵坐标的点位于第四象限的概率有多大？题8 如图1，已知E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连结EF、FG、GH、HE． （1）求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：可连结AC或BD）； （2）在电脑上用适当的应用程序画出图1，然后用鼠标拖动点D，当点D在原四边形ABCD的内部，在原四边形ABCD的外部时，图1依次变为图2、图3．图2、图3中四边形EFGH还是平行四边形吗？选择其中之一说明理由． 说明：对于化简求值、解方程（方程组）之类的技能性的题目，重要的核心概念，基本的推理技能，统计图、概率的理解与计算等基础内容，常是考试的基本对象，应当熟练掌握。5.对应用问题的考查力度保持往年水平题8 如图两只圆形轮胎靠墙、着地摆放，大、小轮胎相互外切，小轮胎外径为0.5米，大轮胎外径为1米．（1）求两轮胎中心之间的距离；（2）求小轮胎最高处P到地面的高度PD．（精确到0.01米） 说明：应用性试题历来是中考的一个重要内容，它主要考查学生将实际问题转化为数学问题并进行求解的能力，对此，应花力气突破。6. 对开放探索题考查力度保持往年力度――不减低题9 如图1,平行四边形纸片ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点，若将EFCE沿EF对折时，点D恰好落在点B上， （1）在图1中，有多少个平行四边形（平行四边形ABCD除外），并选择其中一个给予证明； （2）试问平行四边形ABCD除一般平行四边形所应有的性质外，它还具备什么特有性质？（不必说明理由）； （3）在图2中，若再沿AF对折，要使点E与点B(或D)重合，那么ABCD还应增加什么条件？请说明理由. 说明：开放探索、证明推理是数学学习的重要内容，也是考试的热点。这样的试题对教学有良好的导向作用，常是不可或缺的题目，不应回避。7.大题中继续设计创新试题――坚定不移题10 根据如图所示的程序计算．（1）选取一个你喜欢的x的值，输入计算，试求输出的y值是多少？（2）是否存在输出值y恰好等于输入值x的2倍？如果存在，请求出x的值；如果不存在，请说明.（3）是否存在这样的x的值，输入计算后始终在内循环计算而输不出y的值？如果存在，请求出x的值；如果不存在，请说明理由．题11 图①是一张长与宽不相等的矩形纸片, 同学们都知道按图②所示的折叠方法可以裁剪出一个正方形纸片和一个矩形纸片(如图③), ① ② ③（1）实验：将这两张纸片分别按图④、⑤所示的折叠方法进行： ④ ⑤请你分别在图④、⑤的最右边的图形中用虚线画出折痕，并顺次连接每条折痕的端点，所围成的四边形分别是什么四边形？（2）当原矩形纸片的AB=4，BC=6时，分别求出（1）中连接折痕各端点所得四边形的面积，并求出它们的面积比；（3）当纸片ABCD的长和宽满足怎样的数量关系时先后得到的两个四边形的面积比等于（2）所得到的两个四边形的面积比？（4）用（2）中所得到的两张纸片，分别裁剪出那两个四边形，用剩下的8张纸片拼出两个周长不相等的等腰梯形，用图表示并标明主要数据，分别求出两梯形的面积. 说明：锐意创新是时代的需要，创新试题是新课程的要求，是评价的需要，是教师的呼唤。要点总结复习目标：温故知新（沟通联系），融会贯通；――知识与思想熟练于心（技能），运用自如（能力）。教师功夫：深入浅出，善于诱导（讲解入味→点拨到位）精选试题，善于组织（分组分列）――以少胜多2.学生功夫：学会学习（跟随为主），学会思考（反思总结），3. 教学功夫：不求速度，但求所得。（让学生体验充分，让学生常有领悟）4.教研功夫：相互切磋（团队合作，校本教研），研究超越（研究中考，超越中考）5. 试题方向： 双基为主，能力立意，探索求新，保持力度，形式调整，（效）度（难）度适度。附录：2008年赣州市初中数学中考复习会议安排表2008年3月25日下午报到地点：赣州华钨大厦开会地点：赣一中初中部3月26日上午8：00～11：50让初中数学教与学充满阳光省教研室：喻汉林老师3月26日下午2：10～2：55《等腰三角形》复习观摩课赣州一中：李 明老师3月26日下午3：00～4：30学习2007年中考题，备考2008市教研室：林望春老师 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2007年中考数学试题的导向作用.doc 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