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专题17.12勾股定理（折叠问题）（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，把等边沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且，若，则（ ）cm．
A． B． C．4 D．6
2．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A'B最小值和最大值分别为（　　）
A．1 和 3 B．1 和 4 C．2 和 3 D．2 和 4
3．如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（ ）．
A． B． C． D．5
4．如图所示，在长方形ABCD中，，，若将长方形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边上的点F处，则线段CE的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点C1处，若BC1＝8，那么BC的长为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．6
6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是OB上一点，将沿AC折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知，，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若∠C＝45°，∠B＝30°，AD＝2，则AB2﹣AC2的值是（　　）
A．8 B．12 C．16 D．24
9．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ）
A．12 B．20 C．16 D．40
11．如图，将三角形纸片沿折叠，使点C落在边上的点E处．若，，则的值为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．24
12．把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D在AB上，连结CD，将ADC沿CD折叠，点A的对称点为E，CE交AB于点F，DEF为直角三角形，则CF＝ ．
14．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边CO，OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该长方形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若，，则点E的坐标是 ．
15．如图，在中，若将沿折叠，使得点C与上的点D重合，则的面积为
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，点E、F分别是AB、BC上的动点，沿EF所在直线折叠△ABC，使点B落在AC上的点B'处，当△AEB'是直角三角形时，AB'的长为 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E分别是AB和CB边上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，若点B落在AC边上，则CE的取值范围是 ．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，D为BC边上一点．将△ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则DE的长为 ．
19．如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为 ．
20．等腰的斜边上有一点，连结，将沿着折叠，点落在边上，连结，则 ．
21．如图，在中，，点M、N分别是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点A的对应点P始终落在边上，若为直角三角形，则的长为 ．
22．在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点A重合，则的长为 ．
23．如图，在长方形中，，在上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上的点F处，若的面积为，那么折痕长为 ．
24．已知：如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点E处，已知，则 cm．
三、解答题
25．如图，在中，，，把进行折叠，使点A与点D重合，，折痕为，点E在上，点F在上，求的长．
26．如图，把长方形纸片（对边平行且相等，四个角是直角）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为，cm，cm．
(1)求证；
(2)求的面积．
27．如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若，
(1)试说明
(2)求的长
28．如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，，．
求：
(1)的长；
(2)的长．
29．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它恰好落在斜边上，且与重合，求的长．
30．将沿折叠，使点刚好落在边上的点处．展开如图1．
【操作观察】
(1)图1中，．
①则_________；
②若，则________；
【理解应用】
(2)如图2，若，试说明∶；
【拓展延伸】
(3)如图3，若，点为的中点，且．点是上的一个动点，连接、．的最小值为________；
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据等边三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，，根据折叠的性质得到，可求，即可求解．
【详解】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
把等边△沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
2．A
【分析】根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点到达最左边，当点P与点B重合时，点到达最右边，所以点就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时B的长度
【详解】解：当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得
D=AD=5，
在Rt△CD中，D2=C2+CD2，
即52=（5-B）2+32，
解得B=1，.
当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得B=AB=3，
则点A'B最小值和最大值分别为1和3
故选：A
【点睛】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
3．B
【分析】由翻折易得DB=AD，根据勾股定理即可求得CD长，再在Rt△BDE中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB，
∴BE=AB
设BD为x，则CD=8-x，
∵∠C=90°，AC=4，BC=8，
∴AC2+BC2=AB2
∴AB2=42+82=80，
∴AB=，
∴BE=，
在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2 ，
∴42+(8-x)2=x2，解得x=5，
在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，
即()2+DE2=52，
∴DE=，
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟记翻折前后对应边相等是解题的关键．
4．C
【分析】设线段CE的长为x，根据翻折的性质得到DF的长，并根据勾股定理求出AF的长，在直角三角形中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：设CE长为x，，，
∵翻折为，
∴，
∴，，
根据勾股定理可得：
，
∴，
∴，
∴在中，
，
，
解得：，
∴CE长为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，折叠的性质等，理解题意，利用折叠的性质和勾股定理是解题关键．
5．C
【分析】由折叠可得，进而得到，，然后根据勾股定理求出CD的长，再结合中线的定义利用求解．
【详解】解：由折叠可得，
．
，由折叠可得，
,
．
是C的中线，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，中线的性质，勾股定理.熟练掌握翻折的性质是解答关键．
6．B
【分析】根据折叠的性质可得，，再求出AB=5，可得，然后在中，由勾股定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，
∵点A的坐标是，点B的坐标是，
∴OA=3，OB=4，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴点．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，图形的折叠，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
7．B
【分析】由折叠的性质得到，，根据勾股定理求出BF的长即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知：，，
在中，，，
由勾股定理可得：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和折叠的性质，理解折叠的性质是解答关键．
8．A
【分析】由折叠的性质可得∠ADC=∠ADE=90°，由∠C=45°，∠B=30°，AD=2，可得AC=AD，AB=2AD=4，可求AB2-AC2的值．
【详解】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，
∴∠ADC=∠ADE=90°，
∵∠C=45°，AD=2，
∴AC=AD=，
∵∠B=30°，
∴AB=2AD=2×2=4，
∴AB2-AC2=42-（）2=8，
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
9．A
【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
设AE=x，则CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，
解得
即AE=
故选A
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
10．D
【分析】根据折叠可知，，可得与全等，设，则，在中，可求出的值，进而求出的面积，则阴影部分的面积等于与的差，即可求出答案．
【详解】解：如图所示，
矩形，沿折叠，，，
∴， ， ， ，
∴ ，
∴，，
设，则，在中，
，即，
∴，即，
∴，，
∴．
故选：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，根据折叠的性质，直角三角形的勾股定理，找出三角形的底和高即可求成面积，理解和掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
11．C
【分析】根据折叠的性质得到，由勾股定理得到，两式相减，通过整式的化简即可得到结论．
【详解】解：∵将三角形纸片沿折叠，使点C落在边上的点E处，
∴，
∴，
∴
，
∵，，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了翻折变换—折叠问题，勾股定理，整式的化简，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
12．D
【分析】由折叠可知，，，设，则，，在中，由勾股定理得，求出即为所求．
【详解】解：由折叠可知，，，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，
∴，
解得，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质、灵活应用勾股定理是解题的关键．
13．2或##或2
【分析】由已知可得AB＝4，AC＝2，∠B＝60°，利用折叠的性质和含30度角的直角三角形的性质分∠EDF＝90°和∠EFD＝90°时分别求解即可．
【详解】在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，AC＝，∠B＝60°，
当△DEF为直角三角形，分两种情况讨论：
如图，当∠EDF＝90°时，
∵∠E=∠A=30°
∴∠EFD=90°-∠E=60°
∴∠BFC=∠EFD=60°
∵∠B=60°
∴△BFC为等边三角形
∴FC=BC=2
如图，当∠EFD＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BCF＝30°，
∴BF＝=1
∴CF=
综上所述：CF＝2或
故答案为：2或．
【点睛】本题考查了翻折变换，平行线的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握翻折变换的性质、直角三角形的性质和勾股定理是解决问题的关键．
14．
【分析】设，根据题意可得在中，在中勾股定理分别求得的值，进而即可求得点的坐标．
【详解】
四边形是长方形
根据折叠的性质可得
设，根据题意可得
在中，
即
解得
在中，
即
解得
点在第二象限
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理，坐标与图形，利用勾股定理建立方程是解题的关键．
15．15
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判定是直角三角形，由翻折不变性可知：设，在中，根据勾股定理列出方程，求出的值，根据三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴是直角三角形．
由翻折不变性可知：，
设，
在中，∵，
∴，
解得．
∴，
∴=．
故答案为．
【点拨】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，翻折的性质，以及三角形的面积公式等，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
16．或4()
【分析】利用直角三角形的性质得到∠A=30°，由折叠的性质推出BE=B'E，然后分两种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】解：根据折叠的性质知：BE=B'E，BF=B'F，EF是线段BB'的垂直平分线，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，
∴∠A=30°，
当∠AB'E=90°时，△AEB'是直角三角形，如图：
∵∠A=30°，
∴EB'=AE，
∴EB=AE，
∵AB=4，
∴AE=AB=，BE=B'E=，
∴AB'=；
当∠AEB'=90°时，△AEB'是直角三角形，如图：
∵∠A=30°，
∴EB'=AB'，
由勾股定理得AE=B'E=BE，
∵AB=4，
∴BE+BE=4，
解得：BE=2()，即B'E=2()，
∴AB'=2B'E=4()，
综上，当△AEB'是直角三角形时，AB'的长为或4()．
故答案为：或4()．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，作出图形，分类讨论是解题的关键．
17．
【分析】根据题意寻找特殊点，当点B折叠后落在点C上时CE最长，当点B折叠后落在点A上时， CE最短，求出两种情况下CE长度，即可求解．
【详解】解：当点B折叠后落在点C上时CE最长，
由折叠性质知，，
故CE最大值为，
当点B折叠后落在点A上时，此时CE最短，连接AE，如图，
由折叠性质知，AE＝BE，
设CE＝x，则BE＝AE＝4﹣x，
在Rt△ACE中，AC2+CE2＝AE2，
∴32+x2＝(4﹣x)2，
解得：x，
则CE的取值范围是
故答案为．
【点睛】本题考查折叠性质、勾股定理解直角三角形等知识点，解题关键是找出CE取最值时的特殊点．
18．
【分析】先由折叠的性质得到AE=AB=13，BD=ED，再由勾股定理求出AC=5，从而得到CE=8，设DE=x，则DC=BC－BD=12－x，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，AE=AB=13，BD=ED，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴，∠ECD=90°，
∴CE=AE－AC=8，
设DE=x，则DC=BC－BD=12－x，
在Rt△ECD中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质和勾股定理．
19．
【分析】根据翻折的性质及勾股定理的逆定理可得为直角三角形，设，则，然后再由勾股定理可得答案．
【详解】解：由题意可知，A、D两点关于射线对称，
∴，
∵为定值，
要使周长最小，即最小，
∴与射线的交点，即为使周长最小的点E，
∵．且，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设，则，
中，，
即，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是翻折变换、勾股定理的逆定理及轴对称性质，掌握其性质是解决此题关键．
20．
【分析】过点作于点，设，则，根据折叠的性质以及勾股定理求得，进而根据，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵将沿着折叠，点落在边上，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，掌握折叠的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．
21．或
【分析】分两种情形：如图1中，当时，由题意可知点P与C重合，如图2中，当时，分别求解即可．
【详解】解：如图1中，当时，由题意可知点P与C重合，
在中，
∵，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∴，
如图2中，当时，
由翻折可知，，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述，满足条件的AM的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
22．
【分析】设，则，根据折叠的性质，勾股定理列方程求解即可；
【详解】解：设，则，
由题意得，
由勾股定理得，
∴，
解得，
即的长为；
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，灵活使用勾股定理是解题的关键．
23．
【分析】由面积法可求的长，由勾股定理可求的长，即可求的长，由勾股定理可求的长，即可求解．
【详解】解：四边形是长方形，
，，
，
，
在中，，
沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
即折叠的的面积为．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形的面积公式，求出的长是本题的关键．
24．
【分析】根据长方形的性质和折叠的性质以及勾股定理求出，则，设，则，在中，由勾股定理得，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：由长方形的性质可知，，
由折叠的性质可知，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确求出是解题的关键．
25．
【分析】连接，，在中，根据折叠的性质和勾股定理求出的长，再在中，根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：如图，连接，，
∵，，
∴，
由折叠得：，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了折叠的性质和勾股定理的运用，根据折叠前后两个三角形全等，得到对应边相等进而求出是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据四边形是长方形得，即可得，根据折叠的性质得，等量代换得，可得，即可得；
（2）设，则，即可得，在中，，由勾股定理得，，计算得，即可得，过点F作，则cm，根据三角形的面积公式进行计算即可得．
【详解】（1）证明：∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：设，则，
∴，
在中，，由勾股定理得，
，
∴，
如图所示，过点F作，
则cm，
∴（平方厘米）．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
27．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据折叠的性质可得出可得出；
（2）根据全等三角形的性质可得出，设，则，
中，根据勾股定理，可得到x的值．
【详解】（1）解：根据折叠可知：，
∴．
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，设要求的线段长为x，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决问题的关键．
28．(1)4cm
(2)5cm
【分析】（1）由折叠性质可得，由勾股定理可求出的值，再由求解即可；
（2）由题意得，设的长为，则的长为，在中，由勾股定理即可求得的值．
【详解】（1）解：由题意得：，
在中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由题意得：，
设的长为，
则的长为，
在中，，
由勾股定理可得：
，
解得，
即．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，熟记折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
29．3cm
【分析】由勾股定理求得，然后由翻折的性质求得，设则，在中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵在中，两直角边，
，
由折叠的性质可知：，
，
设cm，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：．
即cm．
【点睛】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用，一元一次方程的解法，熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．
30．(1)①；②
(2)见解析
(3)
【分析】（1）①由于翻折，故，所以－；
②由于翻折，故平分，故点到的距离等于点到的距离，即边上的高等于边上的高．再由三角形面积公式可知，，从而得到；
（2）由于翻折，知，又因为，等量代换得，从而，整理代换即可；
（3）根据“将军饮马模型知，的最小值为．再根据，，可推断出是含角的直角三角形，从而得到的长，得解．
【详解】（1）解：①翻折
，
，
－ －－
；
故答案为：；
②翻折，
平分，
点到的距离等于点到的距离，即边上的高等于边上的高
∴由三角形面积公式可知，，
又∵，
∴．
故答案为：；
（2）翻折
，
，，
又，
，
，
又
．
（3）翻折
，
，当点、 、共线时，有最小值为
的最小值为
，，
是含角的直角三角形
，即
∴的最小值为48．
【点睛】本题考查了翻折的性质、角平分线的性质，轴对称求线段和最值问题，勾股定理，含度角的直角三角形的性质利用翻折得到全等三角形是解决本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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