资源简介

2023-2024 学年第一学期联盟校第一次学情调研检测
高三年级数学试题
(总分 150 分，考试时间 120 分钟)
注意事项：
1．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分．
2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及
答题纸上．
3．作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答
选择题必须用 2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦
干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。
第 I卷（选择题 共 60分）
一、单项选择题：（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）
2
1．已知集合 A x x 2x 0 ， B x x 1 ，则 A B （ ）
A． 2,0 B． 2, C． 1, D． 1,0
2 4i
2．已知复数 z ，其中 i为虚数单位，则 | z | （ ）
1 i
10 10 10 10A． B． C． D．
2 5 10
3
3．已知角 是第一象限角， cos ，则 cos( ) （ ）
5 3
3 4 3 3 4 3 3 4 3 3 4 3
A． B． C． D．
10 10 10 10
4．函数 f (x) (1 2 x ) sin x的部分图像大致为（ ）e 1
A． B．
1
{#{QQABaY6AogiIAABAAAgCEwHwCgMQkBAAAAoGRAAEMAABQAFABAA=}#}
C． D．
5．若函数 f x 满足 f x 4 f x ，且当 x 2,0 时，f x 3 x 1，则 f 2023 （ ）
4
A．10 B．4 C．2 D．
3

6．已知平面向量 a 1 x, x 3 ，b 1 x,2 ，a b 4，则 a 2b与b的夹角为（ ）
π 3π π 2π
A． B． C． D．
4 4 3 3
a,b,c A,B,C 2sin 2 B C b c7．在 ABC中， 分别是角 的对边，且 ，则 ABC的形
2 c
状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或钝角三角形
x
8．对于实数 x 0, ，不等式 e ln mx 1 m x 0恒成立，则实数 m的取值范围为
（ ）
A．0 m 1 B．m 1 C．0 m e D．m e
二、多项选择题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分，
请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题“ x 0, x2 0”的否定是“ x 0, x 2 0”
B．“ x 1”是“ x 2”的必要不充分条件
C．若向量 a （1，2）,b （3，1），则 a,b可作为平面向量的一组基底

D．已知向量 a,b满足 a 1,1 ， b 4

，且 a和b的夹角为 ，则b在 a上的投影向量4
的坐标为 (2, 2)
10．关于 x的不等式 ax2 bx c 0的解集为 x | x 2或 x 3 ，则下列说法正确的是（ ）
A． a 0 B．不等式bx c 0的解集是 x x 6
1 1
C． a b c 0 D．不等式 cx2 bx a 0的解集是{x | x 或x }
3 2
2
{#{QQABaY6AogiIAABAAAgCEwHwCgMQkBAAAAoGRAAEMAABQAFABAA=}#}
3
11．已知函数 f x sin2x sin2x 1 ，则下列说法正确的是（ ）
2 2
A．函数 f x 的最小正周期为

B．函数 f x 的图象的一条对称轴方程为 x
6
C．函数 f x 的图象可由 y sin2x 的图象向左平移 个单位长度得到
12
D．函数 f x 在区间（0, ）上单调递增
3
12．已知定义在 R上的函数 f (x)，其导函数 f (x)的定义域也为 R .若 f (x 2) f (x)，
且 f (x 1)为奇函数，则（ ）
A． f (1) 0 B． f (2024) 0 C． f (x) f ( x) D． f (x) f (2022 x)
II卷（非选择题 共 90分）
三、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5 分，计 20 分．不需要写出解答过程，请把答
案写在答题纸的指定位置上．）
13．已知向量 a (2,1),b (2 k ,k 1)，且 a b，则实数 k .
log2 x, x 0 1
14．已知函数 f (x) x ，则 f ( f ( )) .
3 , x 0 4
15．已知 tan( ) 2，则 sin 2 .
4
16．已知函数 f x 是R 上的奇函数， f 2 0，对 x 0, ， f x xf x 0成立，
则 x 2 f x 0的解集为 .
四、解答题：（本大题共 6小题，共 70 分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.计算求值：
sin110 sin 20
（1） ；
cos2155 sin 2155
2 , 1 5 3（ ）已知 均为锐角， sin , cos( ) ，求 sin 的值．
7 14
3
{#{QQABaY6AogiIAABAAAgCEwHwCgMQkBAAAAoGRAAEMAABQAFABAA=}#}
18.已知函数 f (x) log3(4x 1) 16 2
x 的定义域为 A．
（1）求集合 A；
（2）已知集合 B {x |m 1 x 3m 1},m R，若 x A是 x B的充分不必要条件，
求实数m的取值范围．
19．为宣传 2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形 ABCD，
如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且
GH 2EF），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为36000cm 2 .为了美观，要求海报上所
有水平方向和竖直方向的留空宽度均为 10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方
向上的留空宽度也都是 10cm），设EF xcm .
（1）当 x 60时，求海报纸（矩形 ABCD）的周长；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用
纸量最少（即矩形 ABCD的面积最小）？
4
{#{QQABaY6AogiIAABAAAgCEwHwCgMQkBAAAAoGRAAEMAABQAFABAA=}#}
20．已知函数 f (x) a sin 2x cos 2x，且 f (x) | f ( ) |．
6
（1）求函数 f (x)的解析式；
（2） 为坐标原点，复数 z1 2 4i, z2 2 f (t)i在复平面内对应的点分别为 A,B，
求 OAB面积的取值范围．
21．在 ABC中，内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且 a 2c bcosC 3bsinC .
（1）求角 B；
（2）若b 3，D为 AC的中点，求线段BD长度的取值范围.
5
{#{QQABaY6AogiIAABAAAgCEwHwCgMQkBAAAAoGRAAEMAABQAFABAA=}#}
22．已知函数 f x a
1
x
2 lnx ， g x f x 2ax a R .
2
（1）当 a 0时，
（i）求曲线 y f x 在点 2,f 2 处的切线方程；
f x 1（ii）求 的单调区间及在区间 ,e

上的最值；
e
（2）若对 x 1, ， g x 0恒成立，求 a的取值范围.
6
{#{QQABaY6AogiIAABAAAgCEwHwCgMQkBAAAAoGRAAEMAABQAFABAA=}#}2023-2024 学年第一学期联盟校第一次学情调研检测 m 1 3m 1
1 3
则有 m 1 ，解得1 m ，.............................11 分高三年级数学参考答案及评分标准 2 2
3m 1 4
1-8 BACD BACC 9.BCD 10.ACD 11.ABC 12.ACD
1 3
13．5 14． 15．- 16． , 2 0, 3
9 5 所以实数 m 的取值范围是 m 1 m ．...........................12 分
1 2
(1) sin 110°sin 20° sin 70°sin 20° cos 20°sin 20°
sin 40°
2 117．【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ .
cos2155°－sin2155° cos 310° cos 50° 2 19.【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为 y cm，sin 40°
1
..............................................................................6 分 所以阴影部分的面积 S 6 xy 3xy 36000 ，所以 xy 12000，.......2 分2
又 x 60，故 y 200，
(2)解：Q 、 都为锐角，则0 ，
由图可知 AD y 20 220 cm， AB 3x 50 230 cm..................4 分
2
2
sin 1 cos2 5 3 11 1 4 3 1 ， cos 1

，...........8 分
14 14 7 7
海报纸的周长为 2 220 230 900 cm...............................5 分
sin sin 11 4 3 1 5 3 39 3 sin cos sin cos ． 故海报纸的周长为 900 cm...........................................6 分 14 7 7 14 98
（2）由（1）知 xy 12000， x 0， y 0，
...............................................................................10 分
SABCD 3x 50 y 20 3xy 60x 50y 1000 3xy 2 60x 50y 1000 49000，
4x 1 0 .................................................................9 分

18．【详解】（1）要使函数有意义，则 log3 4x 1 0，......3 分 当且仅当 6x 5y，即 x 100 cm， y 120 cm时等号成立，

16 2
x 0 此时， AB 350 cm， AD 140 cm....................................11 分

x
1

4
1 1 故选择矩形的长、宽分别为 350 cm，140 cm的海报纸，可使用纸量最少.
解得 x x 4．..................................5 分
2 2
x 4 20.【详解】（1）∵f（x）≤|f（﹣ ）|，即当 x＝ 时函数 f（x）取到最值，

又 f（x）＝asin2x+cos2x＝ ，其中 tanφ＝ （a≠0），
故 A
1
x x 4 ．....................................6 分
2
2 2 2 2
∴[f（﹣ ）]＝a +1，代入得[asin2（﹣ ）+cos2（ ）]＝a +1，
（2） x A是 x B的充分不必要条件， B x |m 1 x 3m 1 ，m R 2 2 2， 即（ ） ＝a +1，解得（a+ ） ＝0，∴a＝﹣ ，..............3 分
则集合 A 是集合 B 的真子集．.............................8 分
f（x）＝﹣ sin2x+cos2x＝﹣2sin（2x﹣ ），.........................5 分
（2）由（1）可得：f（x）＝﹣2sin（2x﹣ ），
由复数的几何意义知：A（﹣2，﹣4），B（﹣2，f（t）），.....................7 分
{#{QQABaY6AogiIAABAAAgCEwHwCgMQkBAAAAoGRAAEMAABQAFABAA=}#}
∴S△ABC＝ ＝|f（t）+4|＝﹣2sin（2x﹣ ）+4， 所以 a 2 3 sin A，
当 2x﹣ ＝2kπ﹣ ，k∈Z，即 x＝kπ﹣ ，k∈Z时，S△OAB 有最大值 6；......9 分 c 2 3sinC 2 3sin A

3cos A 3sin A，
3
当 2x﹣ ＝2kπ+ ，k∈Z，即 x＝kπ+ ，k∈Z 时，S△OAB 有最小值 2；........11 分
则 ac 2 3sin A 3cos A 3sin A 3 3sin 2A 6 1 cos2A 2
∴S△OAB∈[2，6]．.............................................................12 分
3 3 sin 2A 3cos 2A 3 6sin 2A 3 ，.......................10 分
21.【详解】（1）因为a 2c bcosC 3bsinC 6
所以 sin A 2sin B sin BcosC 3 sin BsinC ， 5
因为 A 0, 3
，所以 2A , ，
6 6 6
则 sin B C 2sin B sin BcosC 3 sin BsinC ，
1
所以 sin 2A ,1 ，
即 sin BcosC cos BsinC 2sin B sin BcosC 3 sin BsinC ， 6 2
所以 2sin B 3 sin BsinC cos BsinC ，
则 ac 0,3 9 2ac 3 9 ，所以 ,4 4 4 ，
又 B 0, ，则 sinB 0，
3 3
所以
BD , ....................................................12 分 2 2
所以 3 sin B cosB 2，即 sin B 1，.....................2 分
6 1
22．【详解】（1）（i）当 a 0时， f x x2 ln x， f 2 2 ln 2，
2
由 B 0, B , 5 ，得 ，...........................3 分6 6 6 f x x 1 ， f 2 1 3 2 ，......2 分x 2 2
所以 B ， 故曲线 y f x 在点 2,f 2 处的切线方程为 y 2 ln 2 3 x 2 ，
6 2 2
2 即3x 2y 2 ln 2 2 0B ；......3 分所以 ；.................................................5 分
3 2
（ii） f x 1 x2 ln x， x 0, f x x 1 1 x， ，
2 2 2 2 x x（2）因为b a c 2ac cosB ，
令 f ' x 0，解得 x 0,1 ，令 f x 0，解得 x 1, ，..................5 分
所以 a2 c2 ac 9，..........................................6 分
当 x
1
,e
1
时， f x f 1 ，因为 D为 AC 的中点， e max 2
1
所以 BD BA BC ， 又 f 1 1 1 1 2 ln 2 1， f e 1 1 e2 ln e e2 1，2 e 2e e 2e 2 2
2 1 2 2
2 2 1
则 BD BA BC 2BA BC a c ac 9 2ac ，..........8 分 其中 f f e 1 1 1 e 2 1 1 e 2 1 2 0 ，4 4 4 e 2e 2 2 2 2e 2
a b c
2 3 f x f e 1 e2因为 ， 故 1
sin A sin B sinC min
，
2
{#{QQABaY6AogiIAABAAAgCEwHwCgMQkBAAAAoGRAAEMAABQAFABAA=}#}
故 f x 的单调递增区间为 0,1 ln x 1 1 1 1 ，单调递减区间为 1, ； 故要想满足 2a a x，需要 a 0,1 ，解得 a , ，x 2 2 2 2
f x 1 ,e 1 1 2 1 1 在区间
e
上的最大值为 ，最小值为 e 1；...............7 分 a 的取值范围是 , ...................................................12 分
2 2 2 2
g x a 1 x2（2） ln x 2ax，
2
x 1, 1 2对 ， a x ln x 2ax 0恒成立，
2
ln x
2a a 1 变形为 x对 x 1, 恒成立，......................9 分x 2
h x ln x令 , x 1, h x 1 ln x ，则 2 ，x x
当 x 1,e h x 0 h x ln x时， ， 单调递增，
x
当 x e,+ 时， h x 0， h x ln x 单调递减，
x
其中 h 1 0 h e ln e 1 ln x， ，当 x 1时， h x 0恒成立，......10 分
e e x
h x ln x故画出 的图象如下：
x
其中 y 2a
1
a x 恒过点 A 2,1 ，
2
h 1 1 0又 1，故 h x ln x 在 1,0 处的切线方程为 y x 12 ，......11 分1 x
又 A 2,1 在 y x 1上，
ln x
结合图象可得此时 y x 1在 h x , x 1, 上方，
x
另外由图象可知当 y 2a
a 1 x 1 的斜率为 0时，满足要求，当 y 2a a x 的斜率小于 0时，不合要求，
2 2
{#{QQABaY6AogiIAABAAAgCEwHwCgMQkBAAAAoGRAAEMAABQAFABAA=}#}

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