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2023-2024学年山东省枣庄市市中区乡镇中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在实数，，，中有理数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.下列各组数据中不能构成直角三角形三边长的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，
3.如图，小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数的点，然后过点作，使如图以为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数介于( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
4.下列二次根式中，可与进行合并的二次根式为( )
A. B. C. D.
5.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.已知，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
7.在中，，，的对边分别为，，，且，则( )
A. 为直角 B. 为直角 C. 为直角 D. 不是直角三角形
8.如果将长为，宽为的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是( )
A. B. C. D.
9.如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为( )
A. B. C. D.
10.如图，将两个大小、形状完全相同的和拼在一起，其中点与点重合，点落在边上，连接若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.的平方根是______．
12.一个实数的两个平方根分别是和，则这个实数是______．
13.若，则 ______ ．
14.定义运算“@”的运算法则为：@，则@@______．
15.将一根长为的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，则的取值范围是______ ．
16.如图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱外壁的点沿纸箱爬到纸箱内壁的点，，那么它所行的最短路线长是______．
三、解答题（本大题共7小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
计算：；
计算：．
18.本小题分
求下列各式中的：
．
．
19.本小题分
设的整数部分和小数部分分别是，，试求，的值与的算术平方根．
20.本小题分
如图，已知四边形中，，，，，且．
求证：；
求四边形的面积．
21.本小题分
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是
分别求出线段、的长度；
在图中画线段、使得的长为，以、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由．
22.本小题分
如图，有两根长杆隔河相对，一杆高，另一杆高，两杆相距两根长杆都与地面垂直，现两杆顶部各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上处浮出一条小鱼，于是同时以同样的速度飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．求两杆底部距小鱼的距离各是多少米．假设小鱼在此过程中保持不动
23.本小题分
小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：
因为，
所以．
所以，即．
所以．
所以．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
计算：______．
计算：；
若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在实数，，，中有理数有：，，共个．
故选：．
根据有理数的定义，结合所给的数据即可得出答案．
本题考查了实数的知识，注意掌握有理数的定义，是无理数，一定要熟记．
2.【答案】
【解析】解：、，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B、，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，估算无理数的大小，熟记定理并求出的长是解题的关键．
利用勾股定理列式求出，再根据无理数的大小判断即可．
【解答】
解：由勾股定理得，，
，
，
该点位置大致在数轴上和之间．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，
A、，故A不正确；
B、，故B不正确；
C、，故C不正确；
D、，故D正确；
故选：．
根据化简成最简二次根式，被开方数相同的二次根式是同类二次根式，可得答案．
本题考查了同类二次根式，先化成最简二次根式，再比较被开方数．
5.【答案】
【解析】解：．与不要能合并，所以选项不符合题意；
B.，所以选项不符合题意；
C.，所以选项不符合题意；
D.，所以选项符合题意；
故选：．
根据二次根式的加法运算对选项进行判断；利用积的乘方与幂的乘方法则对选项进行判断；根据完全平方公式对选项进行判断；根据二次根式的除法法则对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了幂的乘方与积的乘方．
6.【答案】
【解析】解：原式；故选A．
将的值代入代数式中，然后再分母有理化即可．
此题考查的是二次根式的分母有理化．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理的逆定理，
先把等式化为的形式，再根据勾股定理的逆定理判断出此三角形的形状，进而可得出结论．
【解答】
解：，
，即，故此三角形是直角三角形，为直角三角形的斜边，
为直角．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理对角线长为：，故折痕长不可能为．
故选：．
根据勾股定理计算出最长折痕即可作出判断．
考查了折叠问题，勾股定理，根据勾股定理计算后即可做出选择，难度不大．
9.【答案】
【解析】【分析】
运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
此题主要考查全等三角形和勾股定理的综合运用，证明≌，推出，是解题的关键．
【解答】
解：、、都是正方形，
，；
，
，
在和中，
≌，
，；
在中，由勾股定理得：，
即，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：，，
，，
和大小、形状完全相同，
，，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理计算．
本题考查的是勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
11.【答案】
【解析】解：，
故答案为：；
根据平方根的定义即可求出答案．
本题考查平方根，解题的关键是熟练运用平方根的定义，本题属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
，
，
这个是数为，
故答案为：．
根据题意列出方程即可求出答案．
本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根，本题属于基础题型．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得，，，
解得：，，，
则，
故答案为：．
根据绝对值，偶次幂及算术平方根的非负性求得，，的值，然后将其代入中计算即可．
本题考查绝对值，偶次幂及算术平方根的非负性，立方根，结合已知条件求得，，的值是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：@，
@@@@，
故答案为：．
认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．
解答此类题目的关键是认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．
15.【答案】
【解析】解：当筷子与杯底垂直时最大，最大．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时最小，
如图所示：，
故．
故的取值范围是．
故答案为：．
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，正确的画出图形是解题的关键．先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可．
【解答】
解：如图，
点是点关于点的对称点，
，
；
如图，
，
如图，
，
，
它所行的最短路线长是，
故答案为：．
17.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先算乘法，再算加减即可；
先算完全平方公式，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】解：原方程整理得：，
则，
解得：或；
原方程整理得：，
则，
解得：．
【解析】利用平方根的定义解方程即可；
利用立方根的定义解方程即可．
本题考查利用平方根及立方根的定义解方程，熟练掌握其定义是解题的关键．
19.【答案】解：因为，所以，
即的整数部分是，
所以的整数部分是，小数部分是，
即，，所以．
【解析】此题主要考查了无理数的估算能力，解题关键是估算出整数部分后，然后即可得到小数部分．
先找到介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．
20.【答案】证明：，
，
，，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
；
解：四边形的面积
，
故答案为：．
【解析】根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，即；
根据图形得出四边形的面积，再求出答案即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．
21.【答案】解：；；
如图，，
，，
，
以、、三条线段可以组成直角三角形．
【解析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，充分利用网格是解题的关键．
利用勾股定理求出、的长即可；
根据勾股定理的逆定理，即可作出判断．
22.【答案】解：由题意可得：，
则，
故，
解得：，
则，
答：两杆杆底到处的水平距离分别是和．
【解析】根据题意结合勾股定理得出，进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出是解题关键．
23.【答案】解：；
原式
．
因为，
所以所以，即．
所以．
所以．
【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式的混合运算以及二次根式化简求值，正确化简二次根式是解题关键．
直接利用二次根式的性质化简得出答案；
直接利用二次根式的性质化简得出答案；
根据题意得出的值，再得出，再把已知变形得出答案．
【解答】
解：．
故答案为：；
见答案；见答案．
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