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课题：一元二次方程根与系数的关系
知识点一：一元二次方程根的判别式
1．根的判别式：
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根．
相反地,也可以根据方程实数根的情况判别
2．判别式的应用
（1））不解一元二次方程，判断方程根的情况．
（2）已知方程的根的情况确定方程中待定系数的取值范围
（3）证明字母系数方程根的情况
　　　
典例强化
例1．不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2x2+3x-4=0 （2） 5(x2+1)-7x=0 （3）ax2+bx=0(a≠0)
例2．当k取什么值时，已知关于x的方程：2x2-(4k+1)x+2k2-1=0
（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根；
例3．若关于x的方程(m2-1)x2-2（m+2）x+1=0有实数根，求m的取值范围．
例4．求证：关于x的方程：x2-(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实根．
知识点二：一元二次方程根与系数的关系
韦达定理
对于一元二次方程，当判别式时，其求根公式为；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为 根与系数的这种关系又称为韦达定理；
它的逆定理也是成立的，即当时，那么则是的两根．
说明：定理成立的条件是 ≥0
2．以，为两根的方程为
用韦达定理分解因式．
典例强化
例1．不解方程说出下列方程的两根和与两根差：
（1） （2） （3）
例2．已知关于的方程，是否存在负数，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的的值；若不存在，说明理由．
例3．分解因式：
（1） （2）
例4．已知方程，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数
例5．设是方程的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：
　　　
随堂基础巩固
1． 若方程的两根之差为1，则的值是 _____
2． 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．
3． 设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= _____ ，= _____ ．
4． 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为，且满足，求的值．
5． 若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的值．
6． 已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长．
（1） 取何值时，方程存在两个正实数根？
（2）当矩形的对角线长是时，求的值．
7． 已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11．求证：关于的方程有实数根．
8． 某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？
课时跟踪训练
选择题
1．关于的方程中，如果，那么根的情况是（ ）
A． 有两个相等的实数根 B． 有两个不相等的实数根 C． 没有实数根 D． 不能确定
2．设是方程的两根，则的值是（ ）
A．15 B．12 C．6 D．3
3． 下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A． 2y2+5=6y B． x2+5=2x C． x2－x+2=0 D． 3x2－2x+1=0
4． 一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
5．若是方程的两个根，则的值为( )
A． B． C． D．
6． 以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）
A． y2+5y－6=0 B． y2+5y＋6=0 C． y2－5y＋6=0 D． y2－5y－6=0
7． 如果是两个不相等实数，且满足，，那么等于（ ）
A． 2 B．－2 C． 1 D．－1
二、填空题
8． 如果一元二次方程有两个相等的实数根，那么＝ ．
9． 如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ．
10． 已知是方程的两根，则＝ ，＝ ，＝
11． 若关于的方程的两个根互为倒数，则＝ ．
12． 已知关于的方程，若有一个根为0，则=，这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－，则= ，这时方程的 两个根为 ．
13． 如果是一个完全平方式，则= ；
14． 方程没有实数根，则最小的整数= ;
15． 已知方程两根的和与两根的积相等，则= ;
16． 设关于的方程的两根是和，且，则值为 ;
17． 若方程有实数根，则的取值范围是 ;
18． 如果关于的一元二次方程的一个根是1－，那么另一个根是 ，a的值为 ．
19． 关于x的方程，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0．
20．已知实数满足，则= ，= ，= ．
三、解答题
24． 求证：不论k为何实数，关于x的式子都可以分解成两个一次因式的积．
25． 当k取什么实数时，二次三项式可因式分解．
26． 已知关于x的方程两根相等，方程的一个根是另一个根的3倍．求证：方程一定有实数根．
27． 已知方程的两根之比为2∶3，方程的两根相等(mn≠0)．求证：对任意实数k，方程恒有实数根．
28． 设方程的两根为，不解方程，求下列各式的值:
（1） （2） 　　 （3）　
（4） (5 ； (6
29． 已知，，m，n为实数，且，求代数式的值
30． 方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17
31． 若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的值．
32． 关于x的方程，其中m．n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长．
(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；
(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长．
33． 已知是关于x的方程的两个实数根；是关于y的方程的两个实数根，且，求m．n的值．
34． 在解方程时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2．这个方程的根应该是什么
35． 对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．

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