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北师大版数学八年级（上）复习微专题精炼1 勾股定理
一、选择题
1．（2023八上·高碑店月考）在中，，，，则BC的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2023八上·郑州开学考）已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3∶4，则较短直角边的长为（　　）
A．3 B．6 C．8 D．5
3．（2023八上·滕州开学考） 已知直角三角形两边的长分别为和，则此三角形的周长为（　　）
A． B． C．或 D．
4．（2023八上·滕州开学考） 如图在一个高为米，长为米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．（2022八上·薛城期中）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022八上·青田期中）如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可表示为（　　）
A．S1-S2 B．2S1-S2 C．S1+S2 D．S1+2S2
7．（2022八上·温州期中）将一个等腰三角形纸板沿垂线段，进行剪切，得到三角形，再按如图2方式拼放，其中与共线.若，则的长为（　　）
A． B． C． D．7
8．（2022八上·余姚期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（　　）
A．183 B．87 C．119 D．81
9．（2022八上·罗湖期中）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D'处，若AB=3，AD=4，则ED的长为（　　）
A． B．3 C．1 D．
10．（2021八上·紫金期中）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023八上·长沙开学考）如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝　 　．
12．（2023八上·滕州开学考） 已知如图：小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，则的周长为　 　 ．
13．（2022八上·慈溪期中）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，D、E分别是边AC、BC上的点，将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合，则EC＝　 　.
14．（2022八上·丰顺月考）如图，在 中，， 是 边上除 ， 点外的任意一点，则 　 　．
15．（2022八上·闵行期中）阅读材料：在直角三角形中，斜边和两条直角边满足定理：两条直角边的平方和，等于斜边的平方，因此如果已知两条边的长，根据定理就能求出第三边的长，例如：在中，已知，，，由定理得，代入数据计算求得．
请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：
已知：如图，，，，，，点是的中点，那么的长为　 　．
三、解答题
16．（2022八上·沈阳期中）如图，中，，，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，连接MN，交AD于点E，求AE的长．
17．（2022八上·乳山期中）如图，在四边形中， ，E为 上一点．将四边形沿折叠，使点重合，求折痕的长．
18．（2022八上·电白期中）如图，在长方形中，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处．
（1）求的长；
（2）求的长．
19．（2022八上·南城期中）如图1，将射线按逆时针方向旋转β角，得到射线，如果点P为射线上的一点，且，那么我们规定用表示点P在平面内的位置，并记为，例如，图2中，如果，，那么点M在平面内的位置，记为，根据图形，解答下面的问题：
（1）如图3，如果点N在平面内的位置记为，那么　 　；　 　．
（2）如果点A、B在平面内的位置分别记为，试求A、B两点之间的距离并画出图．
20．（2021八上·佛山月考）为了探索代数式的最小值，
小张巧妙的运用了数学思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作，连结AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则，则问题即转化成求AC+CE的最小值．
（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得的最小值等于　 　，此时x=　 　；
（2）题中“小张巧妙的运用了数学思想”是指哪种主要的数学思想；
（选填：函数思想，分类讨论思想、类比思想、数形结合思想）
（3）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：解：由题意可得：
故答案为：B
【分析】根据直角三角形中勾股定理即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意：设两直角边分别为：3x，4x，
解得：
∴较短直角边的长为：6，
故答案为：B.
【分析】根据题干：两直角边的比为3∶4，设两直角边分别为：3x，4x，再根据勾股定理列方程，解方程即可求解.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：设三角形的第三边的长为x，
①当4为直角边时，，
∴三角形的周长为：3+4+5=12；
②当4为斜边长时，
∴三角形的周长为：3+4+=7+；
综上所述： 三角形的周长为12或7+；
故答案为：C.
【分析】分类讨论，利用勾股定理计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：楼梯的水平宽度为：（米），
∴地毯至少需要3+4=7（米），
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理求出，再计算求解即可。
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AD=AB=2，
∴，
∴CD=；
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理求出DE的长，再利用线段的和差求出CD的长即可。
6．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，
则S1＝c2＝a2+b2，
S2＝（a-b）2＝a2+b2-2ab，
∴2ab＝S1-S2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1-S2＝2S1-S2，
故答案为：B.
【分析】设直角三角形的斜边为c，则S1＝c2＝a2+b2，S2＝（a-b）2＝a2+b2-2ab，再由完全平方公式即可求解.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；图形的剪拼；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，设 为 ， 为 ， 为 ，图2中 的余角为 ，
为等腰三角形， ，
， ，
，
，
结合两图，可得 ，
设 为 ，
根据勾股定理得 ，
，
解得： ，
，
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质得∠1=∠2，CD=6，根据等角的余角相等得∠3=∠4，根据等角对等边及图形可得，设AB为x，根据勾股定理表示出AD，从而即可列出关于x的方程，求解即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∵∠DAB＝∠BCD＝90°，
∴BD2=DC2+BC2=AD2+AB2，
∴S3+S2=S4+S1=135；
∴S4=135-48=87.
故答案为：B
【分析】利用BD，利用勾股定理可证得BD2=DC2+BC2=AD2+AB2，利用正方形的面积公式，可得S3+S2=S4+S1=135，代入计算求出S4的值.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB=3，AD=4，
∴DC=3，BC=4，
∴，
根据折叠可得：△DEC≌△D'EC，
∴D'C=DC=3，DE=D'E，
设ED=x，则D'E=x，AD'=AC-CD'=2，AE=4-x，
在Rt△AED'中：，
∴，
解得：。
故答案为A。
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再设ED=x，则D'E=x，AD'=AC-CD'=2，AE=4-x，根据勾股定理可得，再求出x的值即可。
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】由折叠的性质可得DE=BE，
设AE=xcm ，则BE=DE=（9-x）cm，
在Rt 中，由勾股定理得：32+ x2=（9-x）2
解得：x=4，
∴AE=4cm，
∴S△ABE= ×4×3=6（cm2），
故答案为：C．
【分析】由折叠的性质可得DE=BE，设AE=xcm ，则BE=DE=（9-x）cm，利用勾股定理得出AE的值，再利用三角形面积公式计算即可。
11．【答案】2
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵AB⊥AD ，BD=CD=7，AD=5，
∴AB==，
∴CE=AB=，
∵CE⊥BD ，CD=7，CE=，
∴DE==5，
∴BE=BD-DE=2，
故答案为：2.
【分析】由勾股定理先求出AB的长，即得CE的长，再利用勾股定理求出DE的长，根据BE=BD-DE即可求解.
12．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：，，，
∴的周长为，
故答案为：.
【分析】结合图形，利用勾股定理先求出AC，BC和AB的值，再求三角形的周长即可。
13．【答案】5
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设EC＝x，则BE＝8-x，
∵将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合，
∴AE＝EC＝x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
42+（8-x）2＝x2，
解得x＝5，
∴EC＝5.
故答案为：5.
【分析】设EC＝x，则BE＝8-x，由折叠的性质可得AE＝EC＝x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理计算即可.
14．【答案】25
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点A作于点D，
∵，，
∴，，，
∴
．
故答案为：25．
【分析】过点A作于点D，利用勾股定理及等量代换可得。
15．【答案】5
【知识点】平行线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长交于点F，如图所示，
∵，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，，
∴中，，
∴，
故答案为：5
【分析】延长交于点F，证明，可得，，从而求出CF=6，在中，利用勾股定理求出AF的长，继而得出AE的长.
16．【答案】解：如图所示：连接EC，
由作图方法可得：MN垂直平分AC，则，
∵，，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴，，
在中，，
设，则，
在中，，
即，解得：，故DE的长为，
∴．
故答案为：．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】设，则，利用勾股定理可得，求出x的值，再利用线段的和差求出即可。
17．【答案】解：设，则．
∵ ，
∴．
∵，
∴．
解得，即．
∵ ，
∴．
在中
∵，，
∴ ．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】设，则，根据勾股定理可得，求出，即，再结合，求出即可。
18．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=90°，AB=CD=10，
由折叠的性质可知DF=CD=10，
∴在Rt△ADF中，由勾股定理得；
（2）解：由折叠的性质可得CE=EF，
由长方形的性质可得∠B=90°，BC=AD=6，
设CE=EF=x，则BE=6-x，BF=AB-AF=2，
在Rt△BEF中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可得DF=CD=10，再利用勾股定理求出AF的长即可；
（2）设CE=EF=x，则BE=6-x，BF=AB-AF=2，根据勾股定理可得，再求出x的值即可。
19．【答案】（1）6；30°
（2）解：如图所示：
∵，
∴，，
∴，
∴在中，．
【知识点】勾股定理；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）根据点N在平面内的位置极可知，．
故答案为：6，；
【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法求解即可；
（2）先求出，再利用勾股定理求出AB的长即可。
20．【答案】（1）10；
（2）小张巧妙的运用了数形结合思想
（3）解：过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点
根据题意，四边形ABDF为矩形
EF=AB+DE=2+3=5，AF=DB=12
∴
即AC+CE的最小值是13．
【知识点】勾股定理；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）过点E作EF∥BD，交AB的延长线于F点
根据题意，四边形BDEF为矩形
AF=AB+BF=5+1=6，EF=BD=8
∴
即AC+CE的最小值是10
∵EF∥BD
∴
∴
解得：
故答案为：10；；
【分析】（1）根据两点间线段最短可知AC+CE的最小值就是线段AE的长度，过点E作EF∥BD，交AB的延长线于F点，在三角形AEF中运用勾股定理计算即可；
（2）根据（1）的解答过程即可得出结论；
（3）根据两点间线段最短可知AC+CE的最小值就是线段AE的长度， 过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点 ，在三角形AEF中运用勾股定理计算即可。
1 / 1北师大版数学八年级（上）复习微专题精炼1 勾股定理
一、选择题
1．（2023八上·高碑店月考）在中，，，，则BC的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：解：由题意可得：
故答案为：B
【分析】根据直角三角形中勾股定理即可求出答案.
2．（2023八上·郑州开学考）已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3∶4，则较短直角边的长为（　　）
A．3 B．6 C．8 D．5
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意：设两直角边分别为：3x，4x，
解得：
∴较短直角边的长为：6，
故答案为：B.
【分析】根据题干：两直角边的比为3∶4，设两直角边分别为：3x，4x，再根据勾股定理列方程，解方程即可求解.
3．（2023八上·滕州开学考） 已知直角三角形两边的长分别为和，则此三角形的周长为（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：设三角形的第三边的长为x，
①当4为直角边时，，
∴三角形的周长为：3+4+5=12；
②当4为斜边长时，
∴三角形的周长为：3+4+=7+；
综上所述： 三角形的周长为12或7+；
故答案为：C.
【分析】分类讨论，利用勾股定理计算求解即可。
4．（2023八上·滕州开学考） 如图在一个高为米，长为米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：楼梯的水平宽度为：（米），
∴地毯至少需要3+4=7（米），
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理求出，再计算求解即可。
5．（2022八上·薛城期中）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AD=AB=2，
∴，
∴CD=；
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理求出DE的长，再利用线段的和差求出CD的长即可。
6．（2022八上·青田期中）如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可表示为（　　）
A．S1-S2 B．2S1-S2 C．S1+S2 D．S1+2S2
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，
则S1＝c2＝a2+b2，
S2＝（a-b）2＝a2+b2-2ab，
∴2ab＝S1-S2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1-S2＝2S1-S2，
故答案为：B.
【分析】设直角三角形的斜边为c，则S1＝c2＝a2+b2，S2＝（a-b）2＝a2+b2-2ab，再由完全平方公式即可求解.
7．（2022八上·温州期中）将一个等腰三角形纸板沿垂线段，进行剪切，得到三角形，再按如图2方式拼放，其中与共线.若，则的长为（　　）
A． B． C． D．7
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；图形的剪拼；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，设 为 ， 为 ， 为 ，图2中 的余角为 ，
为等腰三角形， ，
， ，
，
，
结合两图，可得 ，
设 为 ，
根据勾股定理得 ，
，
解得： ，
，
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质得∠1=∠2，CD=6，根据等角的余角相等得∠3=∠4，根据等角对等边及图形可得，设AB为x，根据勾股定理表示出AD，从而即可列出关于x的方程，求解即可得出答案.
8．（2022八上·余姚期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（　　）
A．183 B．87 C．119 D．81
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∵∠DAB＝∠BCD＝90°，
∴BD2=DC2+BC2=AD2+AB2，
∴S3+S2=S4+S1=135；
∴S4=135-48=87.
故答案为：B
【分析】利用BD，利用勾股定理可证得BD2=DC2+BC2=AD2+AB2，利用正方形的面积公式，可得S3+S2=S4+S1=135，代入计算求出S4的值.
9．（2022八上·罗湖期中）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D'处，若AB=3，AD=4，则ED的长为（　　）
A． B．3 C．1 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB=3，AD=4，
∴DC=3，BC=4，
∴，
根据折叠可得：△DEC≌△D'EC，
∴D'C=DC=3，DE=D'E，
设ED=x，则D'E=x，AD'=AC-CD'=2，AE=4-x，
在Rt△AED'中：，
∴，
解得：。
故答案为A。
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再设ED=x，则D'E=x，AD'=AC-CD'=2，AE=4-x，根据勾股定理可得，再求出x的值即可。
10．（2021八上·紫金期中）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】由折叠的性质可得DE=BE，
设AE=xcm ，则BE=DE=（9-x）cm，
在Rt 中，由勾股定理得：32+ x2=（9-x）2
解得：x=4，
∴AE=4cm，
∴S△ABE= ×4×3=6（cm2），
故答案为：C．
【分析】由折叠的性质可得DE=BE，设AE=xcm ，则BE=DE=（9-x）cm，利用勾股定理得出AE的值，再利用三角形面积公式计算即可。
二、填空题
11．（2023八上·长沙开学考）如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝　 　．
【答案】2
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵AB⊥AD ，BD=CD=7，AD=5，
∴AB==，
∴CE=AB=，
∵CE⊥BD ，CD=7，CE=，
∴DE==5，
∴BE=BD-DE=2，
故答案为：2.
【分析】由勾股定理先求出AB的长，即得CE的长，再利用勾股定理求出DE的长，根据BE=BD-DE即可求解.
12．（2023八上·滕州开学考） 已知如图：小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，则的周长为　 　 ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：，，，
∴的周长为，
故答案为：.
【分析】结合图形，利用勾股定理先求出AC，BC和AB的值，再求三角形的周长即可。
13．（2022八上·慈溪期中）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，D、E分别是边AC、BC上的点，将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合，则EC＝　 　.
【答案】5
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设EC＝x，则BE＝8-x，
∵将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合，
∴AE＝EC＝x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
42+（8-x）2＝x2，
解得x＝5，
∴EC＝5.
故答案为：5.
【分析】设EC＝x，则BE＝8-x，由折叠的性质可得AE＝EC＝x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理计算即可.
14．（2022八上·丰顺月考）如图，在 中，， 是 边上除 ， 点外的任意一点，则 　 　．
【答案】25
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点A作于点D，
∵，，
∴，，，
∴
．
故答案为：25．
【分析】过点A作于点D，利用勾股定理及等量代换可得。
15．（2022八上·闵行期中）阅读材料：在直角三角形中，斜边和两条直角边满足定理：两条直角边的平方和，等于斜边的平方，因此如果已知两条边的长，根据定理就能求出第三边的长，例如：在中，已知，，，由定理得，代入数据计算求得．
请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：
已知：如图，，，，，，点是的中点，那么的长为　 　．
【答案】5
【知识点】平行线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：延长交于点F，如图所示，
∵，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，，
∴中，，
∴，
故答案为：5
【分析】延长交于点F，证明，可得，，从而求出CF=6，在中，利用勾股定理求出AF的长，继而得出AE的长.
三、解答题
16．（2022八上·沈阳期中）如图，中，，，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，连接MN，交AD于点E，求AE的长．
【答案】解：如图所示：连接EC，
由作图方法可得：MN垂直平分AC，则，
∵，，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴，，
在中，，
设，则，
在中，，
即，解得：，故DE的长为，
∴．
故答案为：．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】设，则，利用勾股定理可得，求出x的值，再利用线段的和差求出即可。
17．（2022八上·乳山期中）如图，在四边形中， ，E为 上一点．将四边形沿折叠，使点重合，求折痕的长．
【答案】解：设，则．
∵ ，
∴．
∵，
∴．
解得，即．
∵ ，
∴．
在中
∵，，
∴ ．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】设，则，根据勾股定理可得，求出，即，再结合，求出即可。
18．（2022八上·电白期中）如图，在长方形中，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处．
（1）求的长；
（2）求的长．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=90°，AB=CD=10，
由折叠的性质可知DF=CD=10，
∴在Rt△ADF中，由勾股定理得；
（2）解：由折叠的性质可得CE=EF，
由长方形的性质可得∠B=90°，BC=AD=6，
设CE=EF=x，则BE=6-x，BF=AB-AF=2，
在Rt△BEF中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可得DF=CD=10，再利用勾股定理求出AF的长即可；
（2）设CE=EF=x，则BE=6-x，BF=AB-AF=2，根据勾股定理可得，再求出x的值即可。
19．（2022八上·南城期中）如图1，将射线按逆时针方向旋转β角，得到射线，如果点P为射线上的一点，且，那么我们规定用表示点P在平面内的位置，并记为，例如，图2中，如果，，那么点M在平面内的位置，记为，根据图形，解答下面的问题：
（1）如图3，如果点N在平面内的位置记为，那么　 　；　 　．
（2）如果点A、B在平面内的位置分别记为，试求A、B两点之间的距离并画出图．
【答案】（1）6；30°
（2）解：如图所示：
∵，
∴，，
∴，
∴在中，．
【知识点】勾股定理；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）根据点N在平面内的位置极可知，．
故答案为：6，；
【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法求解即可；
（2）先求出，再利用勾股定理求出AB的长即可。
20．（2021八上·佛山月考）为了探索代数式的最小值，
小张巧妙的运用了数学思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作，连结AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则，则问题即转化成求AC+CE的最小值．
（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得的最小值等于　 　，此时x=　 　；
（2）题中“小张巧妙的运用了数学思想”是指哪种主要的数学思想；
（选填：函数思想，分类讨论思想、类比思想、数形结合思想）
（3）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值．
【答案】（1）10；
（2）小张巧妙的运用了数形结合思想
（3）解：过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点
根据题意，四边形ABDF为矩形
EF=AB+DE=2+3=5，AF=DB=12
∴
即AC+CE的最小值是13．
【知识点】勾股定理；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）过点E作EF∥BD，交AB的延长线于F点
根据题意，四边形BDEF为矩形
AF=AB+BF=5+1=6，EF=BD=8
∴
即AC+CE的最小值是10
∵EF∥BD
∴
∴
解得：
故答案为：10；；
【分析】（1）根据两点间线段最短可知AC+CE的最小值就是线段AE的长度，过点E作EF∥BD，交AB的延长线于F点，在三角形AEF中运用勾股定理计算即可；
（2）根据（1）的解答过程即可得出结论；
（3）根据两点间线段最短可知AC+CE的最小值就是线段AE的长度， 过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点 ，在三角形AEF中运用勾股定理计算即可。
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