资源简介

上海市复旦附高2023-2024学年高二上学期10月数学拓展测试3
2023.10
一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．直线的倾斜角的大小为______．
2．椭圆的长轴长为______．
3．设椭圆和双曲线的公共焦点为，则实数______．
4．若圆与直线相交于两点，则弦的长为________．
5．若圆：和圆：没有公共点，则实数的取值范围是__________．
6．已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若且，则椭圆的离心率为_________．
7．已知，是曲线：上的动点，为直线上的一个动点，则的最小值为_________．
8．若直线：，：，其中，则与夹角的取值范围为__________．
9．已知点为椭圆上任意一点，是圆上两点，且，则的最大值是_________．
10．已知实数满足，则的取值范围是____________．
11．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆．现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心、短轴长为直径作，为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则______．
12．如果平面内一动点到两定点、的距离之积等于1，那么的周长的取值范围是_____________．
二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将正确选项用2B铅笔涂黑．
13．如果复数满足（其中i是虚数单位），则复数对应的点的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．线段 D．圆
14．过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ）．
A． B． C． D．
15．关于曲线：，给出下列四个结论：
①曲线关于原点对称，但不关于轴对称；
②曲线恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③曲线上任意一点到原点的距离都不大于；
④曲线上任意一点到原点的距离都不小于2．
其中，正确结论的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
16．已知直线l：与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，则满足的有（ ）．
A．40条 B．46条 C．52条 D．54条
三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，把半椭圆：与圆弧：合成的曲线称作“曲圆”，其中为的右焦点，如图所示，分别是“曲圆”与轴、轴的交点，已知，过点F的直线交“曲圆”于两点（在轴上方）．
（1）求半椭圆和圆弧的方程；
（2）当点分别在第一、第三象限时，求周长的取值范围．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知曲线的方程为，其中为实数（且）．
（1）当取何值时，曲线分别是圆，椭圆和双曲线；
（2）当时，分别是曲线的右顶点和下顶点，已知是曲线内一点，直线的斜率之积为，直线分别交曲线于两点，若两点关于轴对称，求直线的斜率．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，我们说球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：
（1）如图，设母球的位置为，目标球的位置为，要使目标球向处运动，求母球球心运动的直线方程；
（2）若的位置为时，使得母球击打目标球时，目标球运动方向可以碰到目标球，求的最小值．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知在平面直角坐标系中，圆：，椭圆Γ：．
（1）若椭圆的焦距为2，求的值；
（2）若过原点倾斜角为的直线与椭圆和圆共4个交点，从左至右分别记为，若，求的值；
（3）若，直线：与椭圆Γ有且仅有一个公共点，交圆于点，求的面积的最大值．
第（2）题图 第（3）题图
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
椭圆：的焦距为，点关于直线的对称点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点，且直线与椭圆Γ交于两不同点，证明：是定值；
（3）若直线经过点，且与椭圆Γ交于两个不同的点，是否存在直线：（其中），使得到直线的距离满足恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1.； 2.10； 3.； 4.； 5.； 6.；
7.； 8.； 9.24； 10.； 11.； 12.
11．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆．现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心、短轴长为直径作，为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则______．
【答案】
【解析】依题意可得：的方程为：，设点，则.
切点弦所在直线的方程为，从而得.
所以.
12．如果平面内一动点到两定点、的距离之积等于1，那么的周长的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】依题意可得，
化简得，∴周长为.
∵，
∴，∴的周长范围为.
二、选择题
13.B 14.B 15.B 16.A
15．关于曲线：，给出下列四个结论：
①曲线关于原点对称，但不关于轴对称；
②曲线恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③曲线上任意一点到原点的距离都不大于；
④曲线上任意一点到原点的距离都不小于2．
其中，正确结论的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①：对于，有成立，
即点也在曲线上，故曲线当于原点对称；
对于，方程不一定成立，
方程不一定成立，故曲线不关于坐标轴对称，故①正确；
对于②：时，；时，；时，；时，.
则曲线恰好经过6个整点，故②不正确：
对于③：，由于，即，则有，即，即曲线上任意一点到原点的距离都不大于，③正确；
对于④：当时，曲线上任意一点到原点的距离，④错误；
综上所述：正确的有①③，选B.
16．已知直线l：与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，则满足的有（ ）．
A．40条 B．46条 C．52条 D．54条
【答案】A
【解析】直线，可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆上的整数点共有12个，分别为，，，12个点中过任意两点，构成条直线，其中有4条直线垂直轴，有4条直线垂直轴，还有6条过原点(圆上点的对称性)，故满足题设的直线有52条.
又满足，即，也就是圆心到直线的距离，可知直线所过两点不能相邻，综上可知满足题设的直线共有条，选A.
三．解答题
17.（1），；（2）.
18.（1）当时，曲线为圆；当时，曲线为椭圆；
当时，曲线为双曲线；
（2）当时，曲线的方程为，此时.
设，则，∴.
根据得，求得，
此时.
19.（1）；（2）.
20．已知在平面直角坐标系中，圆O：，椭圆Γ：．
（1）若椭圆的焦距为2，求的值；
（2）若过原点倾斜角为的直线与椭圆和圆共4个交点，从左至右分别记为，若，求的值；
（3）若，直线：与椭圆Γ有且仅有一个公共点，交圆于点，求的面积的最大值．
第（2）题图 第（3）题图
【答案】（1）；（2）；（3）2.
【解析】（1）若椭圆的焦距为2，则，解得.
（2）因为，即，联立，解得，
所，整理得，所以的值为.
（3）联立，得.
根据得.
设，
所以.
联立，得.
由韦达定理得，所以.
所以.
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，面积的最大值为2.
21. 椭圆：的焦距为，点关于直线的对称点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点，且直线与椭圆Γ交于两不同点，证明：是定值；
（3）若直线经过点，且与椭圆Γ交于两个不同的点，是否存在直线：（其中），使得到直线的距离满足恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在这样的的值：.
【解析】（1）依题意可得，∴.
点关于直线的对称点为，∴，∴，所以；
（2）联立得.整理得.
设，由韦达定理可得.
∴，
∴
故，为定值；
（3）设直线的方程为，联立，
整理得.
设，由韦达定理可得.
假设存在直线（其中），使得到的距离满足：恒成立，∴，即为，即有，∴，从而得.
故存在这样的的值：.

展开更多......

收起↑